2024届湖南省武冈二中重点高中联盟领军考试4月高三数学试题（文）试题

2024届湖南省武冈二中重点高中联盟领军考试4月高三数学试题（文）试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若，则的虚部是A．3 B． C． D．2．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积等于（）cm3A． B． C． D．3．将函数向左平移个单位，得到的图象，则满足（）A．图象关于点对称，在区间上为增函数B．函数最大值为2，图象关于点对称C．图象关于直线对称，在上的最小值为1D．最小正周期为，在有两个根4．命题“”的否定为（）A． B．C． D．5．已知直线是曲线的切线，则（）A．或1 B．或2 C．或 D．或16．已知是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的两支分别交于两点（A在右支，B在左支）若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．7．已知，若则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：）A．1624 B．1024 C．1198 D．15609．已知函数.设，若对任意不相等的正数，，恒有，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．10．某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为，则该三棱锥外接球的表面积为（）A． B． C． D．11．在中，角所对的边分别为，已知，则（）A．或 B． C． D．或12．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合，若，则__________．14．的展开式中，的系数是__________.(用数字填写答案)15．等腰直角三角形内有一点P，，，，，则面积为______.16．给出下列等式：，，，…请从中归纳出第个等式：______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数，且.（1）求的解析式；（2）已知，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围.18．（12分）已知，函数有最小值7.（1）求的值；（2）设，，求证：.19．（12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，，分别为，的中点．（1）求证：．（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（1）求的值；（2）当，且时，求的面积.21．（12分）已知函数．（1）解不等式：；（2）求证：．22．（10分）如图在直角中，为直角，，，分别为，的中点，将沿折起，使点到达点的位置，连接，，为的中点．（Ⅰ）证明：面；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解题分析】

因为，所以的虚部是.故选B．2、D【解题分析】解：根据几何体的三视图知，该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据，计算它的体积为：V=V三棱柱+V半圆柱=×2×2×1+•π•12×1=（6+1.5π）cm1．故答案为6+1.5π．点睛：根据几何体的三视图知该几何体是三棱柱与半圆柱体的组合体，结合图中数据计算它的体积即可．3、C【解题分析】

由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项.【题目详解】函数，则，将向左平移个单位，可得，由正弦函数的性质可知，的对称中心满足，解得，所以A、B选项中的对称中心错误；对于C，的对称轴满足，解得，所以图象关于直线对称；当时，，由正弦函数性质可知，所以在上的最小值为1，所以C正确；对于D，最小正周期为，当，，由正弦函数的图象与性质可知，时仅有一个解为，所以D错误；综上可知，正确的为C，故选：C.【题目点拨】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题.4、C【解题分析】

套用命题的否定形式即可.【题目详解】命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”.故选：C【题目点拨】本题考查全称命题的否定，属于基础题.5、D【解题分析】

求得直线的斜率，利用曲线的导数，求得切点坐标，代入直线方程，求得的值.【题目详解】直线的斜率为，对于，令，解得，故切点为，代入直线方程得，解得或1.故选：D【题目点拨】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.6、D【解题分析】

根据双曲线的定义可得的边长为，然后在中应用余弦定理得的等式，从而求得离心率．【题目详解】由题意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故选：D．【题目点拨】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把到两焦点距离用表示，然后用余弦定理建立关系式．7、C【解题分析】

根据，得到有解，则，得，，得到，再根据，有，即，可化为，根据，则的解集包含求解，【题目详解】因为，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因为，所以，即，可化为，因为，所以的解集包含，所以或，解得，故选：C【题目点拨】本题主要考查一元二次不等式的解法及集合的关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题，8、B【解题分析】

根据高阶等差数列的定义，求得等差数列的通项公式和前项和，利用累加法求得数列的通项公式，进而求得.【题目详解】依题意：1，4，8，14，23，36，54，……两两作差得：3，4，6，9，13，18，……两两作差得：1，2，3，4，5，……设该数列为，令，设的前项和为，又令，设的前项和为.易，，进而得，所以，则，所以，所以.故选：B【题目点拨】本小题主要考查新定义数列的理解和运用，考查累加法求数列的通项公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.9、D【解题分析】

求解的导函数，研究其单调性，对任意不相等的正数，构造新函数，讨论其单调性即可求解.【题目详解】的定义域为，，当时，，故在单调递减；不妨设，而，知在单调递减，从而对任意、，恒有，即，，，令，则，原不等式等价于在单调递减，即，从而，因为，所以实数a的取值范围是故选：D.【题目点拨】此题考查含参函数研究单调性问题，根据参数范围化简后构造新函数转换为含参恒成立问题，属于一般性题目.10、C【解题分析】

作出三棱锥的实物图，然后补成直四棱锥，且底面为矩形，可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球，然后计算出矩形的外接圆直径，利用公式可计算出外接球的直径，再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【题目详解】三棱锥的实物图如下图所示：将其补成直四棱锥，底面，可知四边形为矩形，且，.矩形的外接圆直径，且.所以，三棱锥外接球的直径为，因此，该三棱锥的外接球的表面积为.故选：C.【题目点拨】本题考查三棱锥外接球的表面积，解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图，并分析三棱锥的结构，选择合适的模型进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.11、D【解题分析】

根据正弦定理得到，化简得到答案.【题目详解】由，得，∴，∴或，∴或．故选：【题目点拨】本题考查了正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力.12、A【解题分析】

由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.【题目详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，则，，，.因此，随机变量的数学期望为.故选：A.【题目点拨】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解题分析】

分别代入集合中的元素，求出值，再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.【题目详解】依题意，分别令，，，由集合的互异性，解得，则.故答案为：【题目点拨】本题考查集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．确定集合中元素，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．14、【解题分析】

根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果.【题目详解】由题可知：项来源可以是：（1）取1个，4个（2）取2个，3个的系数为：故答案为：【题目点拨】本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题.15、【解题分析】

利用余弦定理计算，然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果.【题目详解】设由题可知：由，，，所以化简可得：则或，即或由，所以所以故答案为：【题目点拨】本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题.16、【解题分析】

通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第个等式即可．【题目详解】解：因为：，，，等式的右边系数是2，且角是等比数列，公比为，则角满足：第个等式中的角，所以；故答案为：．【题目点拨】本题主要考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键，属于中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解题分析】

（1）由,可求出的值,进而可求得的解析式;（2）分别求得和的值域,再结合两个函数的值域间的关系可求出的取值范围.【题目详解】（1）因为,所以,解得,故.（2）因为,所以,所以，则,图象的对称轴是.因为,所以,则,解得,故的取值范围是.【题目点拨】本题考查了三角函数的恒等变换,考查了二次函数及三角函数值域的求法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.18、（1）.（2）见解析【解题分析】

（1）由绝对值三解不等式可得，所以当时，，即可求出参数的值；（2）由，可得，再利用基本不等式求出的最小值，即可得证；【题目详解】解：（1）∵，∴当时，，解得.（2）∵，∴，∴，当且仅当，即，时，等号成立.∴.【题目点拨】本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用，属于中档题．19、（1）见解析（2）【解题分析】

（1）由已知可证明平面，从而得证面面垂直，再由，得线面垂直，从而得，由直角三角形得结论；（2）以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法示二面角．【题目详解】（1）证明：连接，，．，，平面．平面，平面平面．，为的中点，．平面平面，平面．平面，．为斜边的中点，，（2），由（1）可知，为等腰直角三角形，则．以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，则，记平面的法向量为由得到，取，可得，则．易知平面的法向量为．记二面角的平面角为，且由图可知为锐角，则，所以二面角的余弦值为．【题目点拨】本题考查用面面垂直的性质定理证明线面垂直，从而得线线垂直，考查用空间向量法求二面角．在立体几何中求异面直线成的角、直线与平面所成的角、二面角等空间角时，可以建立空间直角坐标系，用空间向量法求解空间角，可避免空间角的作证过程，通过计算求解．20、（1）；（2）【解题分析】

（1）利用二倍角公式求解即可，注意隐含条件.（2）利用（1）中的结论，结合正弦定理和同角三角函数的关系易得的值，又由求出的值，最后由正弦定理求出的值，根据三角形的面积公式即可计算得出.【题目详解】（1）由已知可得，所以，因为在锐角中，，所以（2）因为，所以，因为是锐角三角形，所以，所以.由正弦定理可得：，所以，所以【题目点拨】此类问题是高考的常考题型，主要考查了正弦定理、三角函数以及三角恒等变换等知识，同时考查了学生的基本运算能力和利用三角公式进行恒等变换的技能，属于中档题.21、（1）；（2）见解析.【解题分析】

（1）代入得，分类讨论，解不等式即可；（2）利用绝对值不等式得性质，，，比较大小即可.【题目详解】（1）由于，于是原不等式化为，若，则，解得；若，则，解得；若，则，解得．综上所述，不等式解集为．（2）由已知条件，对于，可得．又，由于，所以．又由于，于是．所以．【题目点拨】本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数学运算能力，属于中档题.22、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解题分析】

（Ⅰ）取中点，连结、，四边形是平行四边形，由，，得，从而，，求出，由此能证明．（Ⅱ