控制工程基础

7.离散控制系统7.离散控制系统7.1根本概念离散控制系统：具有离散信号的控制系统延续信号离散信号采样离散化数字编码脉冲信号数字信号ty(t)延续信号采样器y*(t)脉冲信号tT3TTy(kT)数字信号t3TT0q3q7.离散控制系统离散控制系统采样控制系统数字控制系统计算机控制系统计算机采样开关和A/DD/A和坚持器被控对象反响器件-r(t)e(t)e(kT)f(kT)y(t)b(t)计算机坚持器被控对象反响器件-r(t)e(t)e(kT)f(kT)y(t)b(t)ST控制器控制器7.离散控制系统把延续信号转变为离散信号的操作或过程，称为采样。采样过程：Tτ0ty(t)y*(t)y(t)y*(t)TT：采样周期τ：采样继续时间0tτ<<Ty*(t)0tT2T0y(t)tt0T-T-2T2T1δ(t-kT)y*(t)0tT2T+y*(t)：离散信号7.离散控制系统采样的物理过程就是对延续信号每隔一定时间(采样周期T)取其信号值的过程。显然，采样周期T越小，离散信号y*(t)越接近于延续信号y(t)，即越能反映延续信号的变化；假设采样周期T过大，离散信号y*(t)就不能准确反映延续信号y(t)的变化，即由y*(t)不能复现延续信号y(t)。如今的问题：采样周期T终究应该在什么范围内为好。采样定理〔香农定理〕：采样频率fs至少应是被采样信号最高频率fmax的2倍，即7.离散控制系统坚持器：将离散信号〔数字信号〕转换为延续信号的安装0ty*(t)0ty(t)坚持器y*(t)y(t)数值坚持显然，坚持器是一种在时域内的数值外推安装。按常数、线性函数和抛物线函数关系外推的坚持器，分别称为零阶、一阶、二阶坚持器。零阶坚持器〔ZOH〕：把kT时辰的数值不增不减地坚持到下一个采样时辰(k+1)T。其数学表达式为7.离散控制系统离散控制系统的性能主要有：(1)稳定性；(2)呼应特性(含控制精度)但是由于系统的信号类型不仅有延续信号，还有离散信号〔数字信号〕，使得离散控制系统的分析与设计的方法或采用的数学工具与延续控制系统的不一样。主要的数学工具是“z变换〞。离散控制系统的分析思绪依然是：首先，建立数学模型(脉冲传送函数)；其次，基于脉冲传送函数进展性能分析；再次，基于性能分析给出改善性能的控制器设计；最后，进展控制器的工程实现7.离散控制系统离散控制系统的性能主要有：(1)稳定性；(2)呼应特性(含控制精度)但是由于系统的信号类型不仅有延续信号，还有离散信号〔数字信号〕，使得离散控制系统的分析与设计的方法或采用的数学工具与延续控制系统的不一样。主要的数学工具是“z变换〞。离散控制系统的分析思绪依然是：首先，建立数学模型(脉冲传送函数)；其次，基于脉冲传送函数进展性能分析；再次，基于性能分析给出改善性能的控制器设计；最后，进展控制器的工程实现7.离散控制系统离散控制系统〔计算机控制系统〕的主要特点：〔1〕计算机担任控制器的作用——数字控制器〔2〕系统中延续信号和离散信号〔数字信号〕并存由此引申出不少的控制优势：(1)控制的顺应性强。经过编程可以完成复杂的控制义务(2)数据存储、计算、分析处置的才干强(3)易于实现集散控制和网络控制离散控制系统的知识是计算机控制技术的根底7.2z变换7.离散控制系统z变换是拉普拉氏变换的一种变形，它是分析离散系统的一种常用数学方法。〔1〕z变换对于离散信号：拉普拉氏变换为：令〔z变量是一个复变量〕离散信号y*(t)的z变换定义为：7.离散控制系统留意：习惯上也称Y(z)是延续信号y(t)或Y(s)的z变换，其含义是指对其采样后的离散信号的z变换〔2〕z变换的计算①按定义式计算这实践上是级数计算方法。普通地，在一定条件下(即|z|>R)这个级数是收敛的，可以写成级数和的方式〔收敛半径R取决于y(kT)〕。例7.1：计算延续函数e-at的z变换〔a>0〕。解：延续函数e-at的采样值其z变换为假设|e-aTz-1|<1，那么7.离散控制系统②按部分分式展开法计算这是针对延续函数y(t)的拉氏变换式Y(s)的z变换计算方法，其本质是对延续函数Y(t)在各采样时辰的离散序列y*(t)的z变换。假设其中：Ci是部分分式展开的系数，pi是Y(s)的极点。于是有：按7.离散控制系统例7.2：计算以下函数的z变换。解：部分分式展开有查z变换表，可得7.离散控制系统〔3〕z变换的性质Y(z)=z(y(t)),Y1(z)=z(y1(t)),Y2(z)=z(y2(t))，a、b为常数线性性质z[ay1(t)±by2(t)]=aY1(z)±bY2(z)滞后性质z[y(t-kT)]=z-kY(z)超前性质z[y(t+kT)]=zk(Y(z)-(y(0)+y(T)z-1+y(2T)z-2+…+y((k-1)T)z-(k-1)))终值性质y(nT)|n=∞=(z-1)Y(z)|z=1移位性质卷积性质7.离散控制系统〔4〕z反变换将Y(z)转换为离散信号y*(t)的操作或过程，称为z反变换，即例7.3：计算以下函数的z反变换〔习题7-3(5)〕。解：多项式长除法对照z变换表，z反变换为7.离散控制系统例7.4：计算以下函数的z反变换〔习题7-3(2)〕。解：部分分式展开对照z变换表，z反变换为7.离散控制系统7.3离散系统的数学模型7.3.1差分方程〔1〕差分的定义微分方程是延续系统的典型表示方式，对离散系统就是差分方程对于离散序列信号y(kT)，普通记作：y(k)。定义：一阶向前差分——⊿y(k)=y(k+1)-y(k)二阶向前差分——⊿2y(k)=⊿y(k+1)-⊿y(k)=y(k+2)-2y(k+1)+y(k)一阶向后差分——⊿y(k)=y(k)-y(k-1)二阶向后差分——⊿2y(k)=⊿y(k)-⊿y(k-1)-)=y(k)-2y(k-1)+y(k-2)高阶差分可依此类推。差分的本质是表示离散序列信号前后序列之差7.离散控制系统差分方程的普通方式是〔y(·)、u(·)分别是离散系统的输出、输入〕：〔2〕差分方程例7.5：以下图为一离散控制系统，计算其差分方程u(t)e(t)e*(t)eh(t)y(t)T零阶坚持器按零阶坚持器的作用，其输出应为积分器按积分器的作用，在一个采样周期内的输出应为又有所以一阶非奇次差分方程7.离散控制系统①迭代法：知k=0下的y(-j)〔j=0,1,…,n〕和知输入u(k)，以及采样周期T时。用迭代方法计算差分方程，有〔3〕差分方程的计算(1)初始条件：知k=0下的y(-j)和知u(k)。(2)令k=0和计算长度nk=k+1计算y(k)k>n?终了NoY留意：采样周期T获得不适当时，计算能够会出现系统不稳定的景象。7.离散控制系统例7.6：计算其差分方程，知y(0)和输入u(k)。解：零输入呼应输入呼应系统的稳定性由零输入呼应决议可见：当|1-aT|<1，那么(1-aT)ny(0)项随n的添加而衰减，即0<a<2/T时离散系统是稳定的，否那么，不稳定。而对于相近的延续系统，即只需a>0，系统就是稳定的。7.离散控制系统②z变化计算法：例7.7：计算差分方程的解，知y(0)=y(1)=0和输入u(0)=0。解:对差分方程的两边同时进展z变换由卷积公式7.离散控制系统7.3.2离散传送函数〔脉冲传送函数〕〔1〕离散系统的传送函数定义：在零初始条件下，系统输出信号的z变换y(z)与输入信号的z变换u(z)之比，即留意：这里对输出信号/输入信号的z变换本质是对其采样信号的z变换，采样开关存在与否并不影响这一含义。对于，假设输入信号是单位脉冲信号，即u(z)=1。有yg(z)是系统单位脉冲呼应信号采样值的z变换7.离散控制系统〔2〕脉冲传送函数的计算①假设知系统的传送函数G(s)或单位脉冲呼应函数g(t)，那么对G(s)进展z变换，或按下式计算G(z)②假设知系统的差分方程，且初始条件为零，那么可以对差分方程进展z变换计算获得G(s)该当指出：离散系统的脉冲传送函数表征系统的固有特性。它是关于z变量的有理函数，除了与系统构造及参数〔含采样周期〕有关外，还与采样开关在系统中的位置有关。7.离散控制系统对于各环节相串联的离散系统：①假设各关节之间都有采样开关，那么系统总的脉冲传送函数为各环节脉冲传送函数的乘积，即G(z)=G1(z)···Gn(z)。②假设各环节之间没有采样开关，就需先计算串联各环节的总传送函数G(s)=G1(s)···Gn(s)，然后再对G(s)进展z变换，即G(z)=z(G(s))=G1···Gn(z)G(s)H(s)-u(t)y(t)闭环脉冲传送函数开环脉冲传送函数e(t)b(t)7.离散控制系统对于闭环的离散系统：其脉冲传送函数的方式因采样开关所在位置的不同而异。G(s)H(s)-u(t)y(t)G(s)H(s)-u(t)y*(t)G1(s)H(s)-u(t)y*(t)G2(s)G(s)H(s)-u(t)y(t)7.离散控制系统例7.8：计算控制系统的单位阶跃呼应，知T=0.25。-u(t)y(t)解：系统开环传送函数为取z变换，得开环脉冲传送函数由系统的闭环脉冲传送函数，有7.离散控制系统知有即z反变换就为7.4离散系统的时域分析7.离散控制系统这里主要引见离散控制系统的时域性能是：呼应特性〔动态呼应特性和稳态呼应特性〕、稳定性7.4.1动态呼应特性离散控制系统在典型信号输入作用下的动态呼应，可以采用z变换方法求得，从而可以分析或知道系统的动态呼应特性。设离散控制系统的极点为pi〔i≠j时，pi≠pj〕，输入信号为单位阶跃信号。那么离散控制系统的输出为〔G(z)为系统的闭环脉冲传送函数，ci为常数〕Z反变换为动态呼应稳态呼应7.离散控制系统离散控制系统的动态呼应特性取决于系统在z平面上的极点分布令s=σ+jω，z=Re+jIm。由于z=eTs，那么有因此〔ωs=2π/T〕：可见：(1)极点在z平面单位圆内，离单位圆周越近，动态呼应的衰减越慢；反之，越快。(2)极点位于z平面单位圆周上时，动态呼应是等幅变化的。(3)极点在z平面单位圆外，系统不稳定，其动态呼应是发散的。7.离散控制系统7.4.2稳态呼应特性——稳态误差G(s)H(s)y(s)u(s)e(s)-离散控制系统的误差定义为其中：GH(z)是系统开环脉冲传送函数，u(z)是系统的输入b(s)按照z变换的终值定理，离散控制系统的稳态误差就为根据离散控制系统的开环脉冲传送函数GH(z)所含z=1的极点数，称为0型、I型、II型系统7.离散控制系统对于不同的输入信号，离散控制系统的稳态误差分别为：Kp、Kv、Ka分别是位置误差系数、速度误差系数、加速度误差系数。离散系统的稳态误差取决于输入信号u(t)和系统构造GH(z)以及采样周期T7.4.3稳定性稳定性与系统动态呼应特性亲密相关，离散系统的稳定程度〔取决于系统极点在单位圆内的位置〕决议了系统动态呼应特性。与线性延续控制系统的稳定性取决于系统极点〔即系统特征根〕在s平面上的分布一样。对于线性离散控制系统的稳定性取决于系统极点〔即系统特征根〕在z平面上的分布。当离散控制系统的输入为单位脉冲信号时，其输出可以表示为〔ci为常数，zi是系统的特征根〕显然7.离散控制系统7.离散控制系统线性离散控制系统稳定的充分必要条件：离散控制系统的一切特征根〔即z特征方程的一切根，或系统脉冲传送函数的一切极点〕均位于z平面上以原点为中心的单位圆内。普通地，线性离散控制系统的特征方程为：1+GH(z)=0，那么可根据其根zi的模能否均小于1来判别能否稳定。留意：对于线性延续控制系统的特征方程：1+G(s)H(s)=0，是根据其根si的实部小于零来判别能否稳定的。因此，劳斯判据和赫尔维茨判据不能直接用于判分别散控制系统的稳定性。但是，当取双线性变换〔w变换〕：时，就可用延续控制系统的稳定性判别方法来判分别散控制系统的稳定性。7.离散控制系统例7.9：试分析判别如下离散控制系统的稳定性-u(s)y(s)解：系统的开环脉冲传送函数为离散控制系统的特征方程为7.离散控制系统运用w变换，即令有按延续控制系统的稳定性判别方法，该系统稳定的充要条件是：可见：离散控制系统的稳定性不但与系统的构造参数〔K、a〕有关，还与采样周期T有关。当K=4、a=0.005时，假设T=0.01，就有条件不满足7.离散控制系统7.5离散系统的根轨迹与频域分析7.5.1离散系统的根轨迹离散系统的脉冲传送函数是z变量的有理函数，其特征方程是关于z变量的代数方程。离散系统的根轨迹就是其特征方程的根随系统某参数变化在z平面上所描画的曲线。离散系统的特征方程普通表示为由于那么z平面上根轨迹的幅值条件和相角条件为〔与延续系统的一样〕幅值条件相角条件7.离散控制系统假设离散系统的开环脉冲传送函数为zi是系统的零点，pj是系统的极点，K是系统的开环增益。那么离散系统根轨迹绘制的幅值条件和相角条件可以表示为可见，离散系统的根轨迹绘制可采用延续系统根轨迹绘制的方法。那么，按根轨迹确定系统极点后，就可根据零极点分布与系统参数及输出呼应的关系，分析获得系统的性能，或者根据系统零极点分布要求，可确定系统的参数。例7.10：试绘制如下系统的根轨迹，并确定系统临界稳定时的K值7.离散控制系统u(t)e(t)e*(t)eh(t)y(t)T=1s解：系统的开环传送函数及开环脉冲传送函数为10.368-0.72ReImK=15-2.1K=2.43按幅值条件，根轨迹分别点和集合点计算可计算，z平面上复共轭段根轨迹为圆与单位圆方程联立解得：系统临界稳定的K=2.437.离散控制系统7.5.2离散控制系统的频域分析离散系统的频率特性函数为——幅频特性：指系统输出序列的包络线幅值与输入序列包络线幅值之比——相频特性：指系统输出序列的包络线的初相位与输入序列包络线的初相位之差离散系统的频率呼应是指系统在三角函数输入下的稳态输出序列。这个稳态输出序列的包络线仍为三角函数，其频率与输入函数频率一致。7.离散控制系统绘制离散系统的对数频率特性图，需先对系统脉冲传送函数G(z)进展w变换，即将G(z)变换为G(w)，并令w=jωa〔ωa称为伪频率〕，把G*(w)变换成G*(jωa)，然后再绘制以lgωa为横坐标的Bode图。〔有关系〕例7.11：试绘制如下系统的对数频率特性图〔T=0.1s〕解：对系统脉冲传送函数做w变换，有令w=jωa后，就可按延续系统Bode图绘制方法绘制。这是一个非最小相位系统。1.00.4620.60720lg1.5ωaωaL(ωa)Φ(ωa)-900-18007.离散控制系统7.6离散控制系统的校正当系统性能不满足控制要求时，需对系统性能进展校正，即用串联、并联、反响等方式引入控制器，使引入控制器后的整个系统性能满足控制要求。但是，由于延续信号和离散信号在离散系统中普通是共存的。因此，校正可分为：〔1〕模拟化校正——先按延续系统校正方法获取控制器D(s)，然后将D(s)变换为D(z)〔2〕数字化校正——对离散系统G(z)，直接在z域内设计控制器D(z)7.离散控制系统7.6.1数字控制器设计对被控对象G0(s)和零阶坚持器构成的传送函数G(s)，变换为脉冲传送函数G(z)，并计算系统的闭环脉冲传送函数闭环脉冲传送函数闭环误差脉冲传送函数(2)根据控制性能要求，确定应具有的Φ(z)和Φe(z)(3)由要求的脉冲传送函数Φ(z)和Φe(z)，计算数字控制器D(z)7.离散控制系统显然，在知G(s)的情况下，如何根据控制性能要求确定闭环脉冲传送函数Φ(z)和Φe(z)是设计D(z)的关键。普通可采用如下方法设计D(z)：(1)模拟化设计——先绘制G(s)的Bode图，同时根据控制性能要求绘出希望的Bode图，将希望的Bode图减去G(s)的Bode图所获取的就是D(s)的Bode图；然后将D(s)变换为D(z)即成。(2)数字化设计——先将G(s)转换为G(z)，并变换为G(w)，绘制G(w)的Bode图，同时根据控制性能要求绘出希望的Bode图，将希望的Bode图减去G(w)的Bode图所获取的Bode图就是D(w)；然后将D(w)变换为D(z)即成。7.离散控制系统7.6.2离散系统的最少拍控制在信号的采样过程中，普通将一个采样周期称为一拍。最少拍控制系统就是指在典型输入信号作用下，系统的动态呼应输出能在有限拍〔最少拍〕的时间内完成。对于闭环脉冲传送函数当n个极点均位于z平面坐标原点时，