高数-全微分方程

第五节全微分方程显然全微分方程（1）的隐式通解为若（1）是全微分方程，有其中是G内一适当选定的点。则称方程为全微分方程。（1）设、在区域

G有连续的一阶偏导数。若，形如（1）的方程是全微分方程（2）注:1例1求解解∵∴所给方程是全微分方程。取、，有所以，方程的通解为2例2求解解由将方程两端同乘以，则化为全微分方程知是一个积分因子。即于是原方程的通解为：，即

y=Cx。注一般来说，积分因子并不是唯一的。例2中,都是它的积分因子。可引入积分因子，成为全微分方程。当条件不能满足时，使注:3例3求微分方程的通解。解取积分因子原方程化为全微分方程取、当为齐次方程时，其积分因子为即得微分方程的通解为：补充4(1)1)微分方程(1)只有一个只依赖于y的积分因子的充要条件为:且其积分因子为:2)微分方程(1)只有一个只依赖于x的积分因子的充要条件为:且其积分因子为:5例4求微分方程的通解。解:显然该方程不是全微分方程,但所以该微分方程有积分因子:以乘以原方程的两侧,得方程:两边积分得:或补充6熟记一些简单常用的二元函数的全微分，如7例5求微分方程的通解。解:显然该方程不是全微分方程.将原方程改写为:又取积分因子则方程化为:两边积分的方程的通解为:补充8例6求微分方程的通解。解它不是全微分方程。重新组合得：两边乘以积分因子得两边积分得：即方程的通解为:补充9第七节可降阶的高阶微分方程一、型的微分方程例1求微分方程的通解。解这就是所求的通解。一般地，形如的方程，只要连续积分n次，即可求得通解。对所给方程积分三次得10二、型的微分方程(不显含y)令则对应的微分方程就成为一个关于变量x、p

的一阶微分方程设其通解为则又得到一个一阶微分方程两端积分便得原方程的通解为11例2求解初值问题:解令两边积分得由得两端再积分得:于是所求的特解为由得即分离变量后，有代入方程得12

例3悬链线的方程（将一均匀、柔软的绳索两端固定，绳索仅受重力作用而下垂，达平衡状态时即为悬链线）。TθOxyAMρgsH解且│OA│=某个定值。设绳索的最低点为A，取

y

轴通过点A、x

轴水平向右，设绳索曲线的方程为

y=y(x),则该段绳索的重量为ρgs。在曲线上任取一点M(x，y),设A到M弧段长为s，绳索的线密度为ρ，绳索在点A处的张力沿水平方向向左，其大小设为H；在点M处的张力沿绳索斜向上,并在M点与绳索相切,设其倾角为θ、大小为T。13于是，y=y(x)应满足的微分方程为:（*）因作用于AM弧段上的外力相互平衡，把作用于此弧段上的外力沿铅直及水平两方向分解，得TθOxyAMρgsH将两式相除得又由弧长公式取│AO│=α，初始条件为14令，代入方程（*）并分离变量得代入初值条件，得积分得（**）于是（**）式成为即代入初始条件得所以，悬链线方程为15三、型的微分方程(不显含

x

)令则于是就成为分离变量并积分，便得原方程的通解为这是一个关于y、p的一阶微分方程。设其通解为16例4求微分方程的通解.解代入原方程得令则两端积分得即或原方程的通解为分离变量得：两端积分得在y≠0、p≠0

时，约去p并分离变量得由得显然,y=C

也在通解中.17练习：P3661（5）(7)（10）解（5）：令则原方程化为即即18解（10）：令则原方程化为即由得由分离变量得两边积分得即分离变量得两边积分得原方程的通解为19小结：1.全微分方程、