导数综合题集锦

导数综合题集锦1．函数其中a为常数，且.〔Ⅰ〕当时，求在〔e=2.71828…〕上的值域；〔Ⅱ〕假设对任意恒成立,求实数a的取值范围.2.函数〔I〕假设曲线在点处的切线与直线垂直，求a的值；〔II〕求函数的单调区间；〔III〕当a=1，且时，证明：3.〔〕．〔Ⅰ〕求函数的单调递减区间；〔Ⅱ〕当时，假设对有恒成立，求实数的取值范围．4．函数〔I〕假设x=1为的极值点，求a的值；〔II〕假设的图象在点〔1，〕处的切线方程为，〔i〕求在区间[-2，4]上的最大值；〔ii〕求函数的单调区间5．函数〔I〕当a<0时，求函数的单调区间；〔II〕假设函数f〔x〕在[1，e]上的最小值是求a的值.6．函数R〔1〕求函数的导函数；〔2〕当时，假设函数是R上的增函数，求的最小值；〔3〕当时，函数在〔2，+∞〕上存在单调递增区间，求的取值范围.7．函数〔1〕假设，求曲线处的切线；〔2〕假设函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；〔3〕设函数上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。8.设函数〔I〕假设直线l与函数的图象都相切，且与函数的图象相切于点，求实数p的值；〔II〕假设在其定义域内为单调函数，求实数p的取值范围。9.函数，如果在其定义域上是增函数，且存在零点〔的导函数〕。〔I〕求的值；〔II〕设是函数的图象上两点，10.设函数，。〔Ⅰ〕当a=0时，在〔1，+∞〕上恒成立，求实数m的取值范围；〔Ⅱ〕当m=2时，假设函数在［1，3］上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；〔Ⅲ〕是否存在实数m，使函数和函数在公共定义域上具有相同的单调性？假设存在，求出m的值，假设不存在，说明理由．12.函数在是增函数,在(0,1)为减函数.〔1〕求、的表达式；〔2〕求证:当时,方程有唯一解；(3〕当时,假设在∈内恒成立,求的取值范围.13.函数上恒成立.〔1〕求的值；〔2〕假设〔3〕是否存在实数m，使函数上有最小值－5？假设存在，请求出实数m的值；假设不存在，请说明理由.14.函数，．〔Ⅰ〕讨论函数的单调区间；〔Ⅱ〕设函数在区间内是减函数，求的取值范围．15.设函数．〔Ⅰ〕求f(x)的单调区间和极值；〔Ⅱ〕是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为〔0，+〕？假设存在，求a的取值范围；假设不存在，试说明理由．17.函数〔Ⅰ〕求的极值；〔Ⅱ〕假设函数的图象与函数=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围。18.函数,〔Ⅰ〕求函数的定义域；〔Ⅱ〕求函数的单调区间；〔Ⅲ〕当>0时，假设存在x使得成立，求的取值范围.20.函数的图像关于原点成中心对称，设函数．(1)求的单调区间; (2)对任意恒成立．求实数的取值范围(其中是自然对数的底数)．21.设函数，其中为常数．〔Ⅰ〕当时，判断函数在定义域上的单调性；〔Ⅱ〕假设函数的有极值点，求的取值范围及的极值点；〔Ⅲ〕假设,试利用〔II〕求证：n3时，恒有。22.函数求在处的切线方程假设的一个极值点到直线的距离为1，求的值；求方程的根的个数.24．,4,6定义域为R的函数是奇函数．,4,6(1)求的值；(2)假设对任意的,不等式恒成立,求k的取值范围.25．函数对任意实数均有，其中常数为负数，且在区间上有表达式.〔1〕求，的值；〔2〕写出在上的表达式，并讨论函数在上的单调性；〔3〕求出在上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值.26．函数〔，R〕求函数的单调区间；求函数在上的最大值和最小值．27．函数为定义在R上的奇函数，且当时，，求时的表达式；假设关于的方程有解，求实数的范围。28．函数，满足：①对任意，都有；②对任意n∈N*都有．试证明：为上的单调增函数；〔Ⅱ〕求；〔Ⅲ〕令，试证明：29．函数．〔Ⅰ〕假设为的极值点，求实数的值；〔Ⅱ〕假设在上为增函数，求实数的取值范围；〔Ⅲ〕假设时，方程有实根，求实数的取值范围．30．函数满足，是不为的实常数。〔1〕假设当时，，求函数的值域；〔2〕在〔1〕的条件下，求函数的解析式；〔3〕假设当时，，试研究函数在区间上是否可能是单调函数？假设可能，求出的取值范围；假设不可能，请说明理由。31．函数在上是减函数，在上是增函数，函数在上有三个零点，且1是其中一个零点．〔1〕求的值；〔2〕求的取值范围；〔3〕试探究直线与函数的图像交点个数的情况，并说明理由．32．定义在上的函为常数〕在x=－1处取得极值，且的图像在数处的切线平行与直线.〔1〕求函数的解析式及极值；〔2〕设，求不等式的解集；〔3〕对任意33．函数有以下性质：“假设，使得〞成立。〔1〕利用这个性质证明唯一；〔2〕设A、B、C是函数图象上三个不同的点，试判断△ABC的形状，并说明理由。34．函数〔1〕假设函数存在单调递减区间，求a的取值范围；〔2〕当a>0时，试讨论这两个函数图象的交点个数．35．设函数f(x)的定义域D关于原点对称，0∈D，且存在常数a>0，使f(a)=1，又，〔1〕写出f(x)的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；〔2〕判断并证明函数f(x)的奇偶性；〔3〕假设存在正常数T，使得等式f(x)=f(x+T)或者f(x)=f(x-T)对于x∈D都成立，那么都称f(x)是周期函数，T为周期；试问f(x)是不是周期函数？假设是，那么求出它的一个周期T；假设不是，那么说明理由。36.设对于任意的实数，函数，满足，且,，，〔Ⅰ〕求数列和的通项公式；〔Ⅱ〕设，求数列的前项和;〔Ⅲ〕设，存在整数和,使得对任意正整数不等式恒成立,求的最小值.37．对于定义在区间D上的函数，假设存在闭区间和常数，使得对任意，都有，且对任意∈D，当时，恒成立，那么称函数为区间D上的“平底型〞函数.〔Ⅰ〕判断函数和是否为R上的“平底型〞函数？并说明理由；〔Ⅱ〕设是〔Ⅰ〕中的“平底型〞函数，k为非零常数，假设不等式对一切R恒成立，求实数的取值范围；〔Ⅲ〕假设函数是区间上的“平底型〞函数，求和的值..38．设函数f(x)的定义域为R，假设|f(x)|≤|x|对任意的实数x均成立，那么称函数f(x)为函数。〔1〕试判断函数==中哪些是函数，并说明理由；〔2〕求证：假设a>1，那么函数f(x)=ln(x2+a)-lna是函数。39．集合A是由具备以下性质的函数组成的：(1)函数的定义域是；(2)函数的值域是；(3)函数在上是增函数．试分别探究以下两小题：〔Ⅰ〕判断函数，及是否属于集合A？并简要说明理由．〔Ⅱ〕对于〔I〕中你认为属于集合A的函数，不等式，是否对于任意的总成立？假设不成立，为什么？假设成立，请证明你的结论．40．是定义在的函数，满足．设，．当时，．分别求当、、时，的表达式、、．41.函数R，〕.〔I〕求的单调区间；〔II〕曲线〕处的切线恒过y轴上一个定点，求此定点坐标；〔III〕假设，曲线处的切线与x轴的交点为〔〕，试比拟的大小，并加以证明.42.函数f(x)=(Ⅰ)当时,求的最大值;(Ⅱ)设,是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?假设存在,求的取值范围;假设不存在,请说明理由.43..函数f〔ｘ〕＝(1)求函数的定义域;(2)确定函数f〔ｘ〕在定义域上的单调性,并证明你的结论；(3)假设当ｘ>０时，f〔ｘ〕＞恒成立,求正整数k的最大值。44.函数和的图象在处的切线互相平行.(Ⅰ)求的值；〔Ⅱ〕设，当时，恒成立，求的取值范围.45.函数的图象与直线相切于点。〔1〕求的值；〔2〕求函数的单调区间和极小值。46.函数．与的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公共切线．(1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P处的公切线方程；(2)设，其中，求F(x)的单调区间．47.函数，，〔1〕证明：当时，恒有〔2〕当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围;48.函数f(x)=x3＋bx2＋cx＋d有两个极值点x1=1,x2=2,且直线y=6x＋1与曲线y=f(x)相切于P点.(1)求b和c郝进制作(2)求函数y=f(x)的解析式;(3)在d为整数时,求过P点和y=f(x)相切于一异于P点的直线方程.49.函数f(x)=x3－3ax(a∈R)．(I)当a=l时，求f(x)的极小值；(Ⅱ)假设直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值范围；(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式．50.函数，，的最小值恰好是方程的三个根，其中．〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕设，是函数的两个极值点．①假设，求函数的解析式；②求的取值范围．51.函数f(x)=x3+ax2+ax-2(a∈R),(1)假设函数f(x)在区间(-∞，+∞)上为单调增函数，求实数a的取值范围；(2)设A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))是函数f(x)的两个极值点，假设直线AB的斜率不小于-求实数a的取值范围.52.函数的图象关于原点对称，且当时，．〔1〕求a，b，c的值；〔2〕当时，图象上是否存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直？证明你的结论．53.对于x的三次函数f〔x〕=x3+〔m2－4m+2〕x+m3－6m2+9〔Ⅰ〕假设f〔x〕有极值，求m的取值范围；〔Ⅱ〕当m在〔1〕的取值范围内变化时，求f〔x〕的极大值和极小值之和g〔m〕，并求g〔m〕的最大值和最小值．54.函数〔I〕当a>2时，求f(x)的极小值；〔II〕讨论方程f(x)=0的根的个数.55.设函数〔1〕求导数，并证明有两个不同的极值点；〔2〕假设对于〔1〕中的不等式成立，求的取值范围。56.，函数〔Ⅰ〕当t=1时，求函数在区间[0，2]的最值；〔Ⅱ〕假设在区间[－2，2]上是单调函数，求t的取值范围；〔Ⅲ〕〕是否存在常数t，使得任意恒成立，假设存在，请求出t，假设不存在请说明理由.57.设x1、的两个极值点.〔1〕假设，求函数f(x)的解析式；〔2〕假设的最大值；〔3〕假设，求证：58.函数，，和直线，又．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕是否存在的值，使直线既是曲线的切线，又是的切线；如果存在，求出的值；如果不存在,说明理由．〔Ⅲ〕如果对于所有的,都有成立，求的取值范围．59.设函数的图象与直线相切于．〔Ⅰ〕求在区间上的最大值与最小值；〔Ⅱ〕是否存在两个不等正数，当时，函数的值域也是，假设存在，求出所有这样的正数；假设不存在，请说明理由；〔Ⅲ〕设存在两个不等正数，当时，函数的值域是，求正数的取值范围．60.函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x＝0，x＝2时取得极小值．〔Ⅰ〕求函数f(x)的解析式；〔Ⅱ〕能否找到函数f(x)垂直于x轴的对称轴,并证明你的结论;〔Ⅲ〕设使关于x的方程f(x)＝λ2x2－5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A,且两个非零实根为x1、x2．试问：是否存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3],λ∈A恒成立？假设存在，求m的取值范围；假设不存在，请说明理由．61.f(x)=x3+bx2+cx+2.(Ⅰ)假设f(x)在x=1时，有极值-1，求b、c的值；(Ⅱ)当b为非零实数时，证明f(x)的图像不存在与直线(b2-c)x+y+1=0平行的切线；(Ⅲ)记函数|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M，求证：M≥.62.设函数，，且〔a∈R，且a≠0〕，函数〔b∈R，c为正整数〕有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。〔1〕试求a、b的值；〔2〕假设时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。63.函数和〔其中〕，，．〔1〕求的取值范围；〔2〕方程有几个实根？为什么？64.函数f(x)=且都为常数)的导函数为f′(x)=3x，且f(1)=7，设F(x)=f(x)-ax(a∈R).(Ⅰ)当a<2时，求F(x)的极小值；(Ⅱ)假设对任意的x∈，都有F(x)≥0成立，求a的取值范围并证明不等式.答案及解析1.解：〔Ⅰ〕当时，得 ………………2分令，即，解得，所以函数在上为增函数，据此，函数在上为增函数， ………………4分而，，所以函数在上的值域为 ………………6分〔Ⅱ〕由令，得即当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增； ……………7分假设，即，易得函数在上为增函数，此时，，要使对恒成立，只需即可，所以有，即而，即，所以此时无解.………………8分假设，即，易知函数在上为减函数，在上为增函数，要使对恒成立，只需，即，由和得. ………………10分假设，即，易得函数在上为减函数，此时，，要使对恒成立，只需即可，所以有，即，又因为，所以. ……………12分综合上述，实数a的取值范围是. ……………13分2.解：〔I〕函数，……………………2分 又曲线处的切线与直线垂直， 所以 即a=1.………………4分〔II〕由于 当时，对于在定义域上恒成立， 即上是增函数. 当 当单调递增； 当单调递减.…………8分〔III〕当a=1时， 令………………10分 当单调递减. 又 即 故当a=1，且成立.……13分3解：〔Ⅰ〕〔1〕当，即时，，不成立．〔2〕当，即时，单调减区间为．〔3〕当，即时，单调减区间为．-------------------5分〔Ⅱ〕，在上递增，在上递减，在上递增．〔1〕当时，函数在上递增，所以函数在上的最大值是，假设对有恒成立，需要有解得．〔2〕当时，有，此时函数在上递增，在上递减，所以函数在上的最大值是，假设对有恒成立，需要有解得．〔3〕当时，有，此时函数在上递减，在上递增，所以函数在上的最大值是或者是．由，①时，，假设对有恒成立，需要有解得．②时，，假设对有恒成立，需要有解得．综上所述，．-------------14分4．解：〔1〕是极值点，即或2.…………3分〔2〕在上.∵〔1，2〕在上又〔i〕由可知x=0和x=2是的极值点.在区间[－2，4]上的最大值为8.…………8分〔ii〕令，得当m=2时，，此时在单调递减当时：x(－∞，2，－m)2－m〔2－m，0〕0〔0，+∞〕G′〔x〕－0+0－G〔x〕减增减当时G〔x〕在〔－∞，2，－m〕，〔0，+∞〕单调递减，在〔2－m，0〕单调递增.当时：x〔－∞，0〕0〔0，2－m〕2－m〔2－m+∞〕G′〔x〕－0+0－G〔x〕减增减此时G〔x〕在〔－∞，0〕，〔2－m+∞〕单调递减，在〔0，2－m〕单调递增，综上所述：当m=2时，G〔x〕在〔－∞，+∞〕单调递减；时，G〔x〕在〔－∞，2－m〕，〔0，+∞〕单调递减，在〔2－m，0〕单调递增；时，G〔x〕在〔－∞，0〕，〔2－m，+∞〕单调递减，在〔0，2－m〕单调递增.5．解：函数的定义域为…………1分…………3分〔1〕故函数在其定义域上是单调递增的. …………5分〔II〕在[1，e]上，发如下情况讨论：①当a<1时，函数单调递增，其最小值为这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾； …………6分②当a=1时，函数单调递增，其最小值为同样与最小值是相矛盾； …………7分③当时，函数上有，单调递减，在上有单调递增，所以，函数满足最小值为由…………9分④当a=e时，函数单调递减，其最小值为还与最小值是相矛盾； …………10分⑤当a>e时，显然函数上单调递减，其最小值为仍与最小值是相矛盾； …………12分综上所述，a的值为…………13分6．〔I〕解：……3分〔II〕因为函数是R上的增函数，所以在R上恒成立，那么有设那么当且r=1时，取得最小值.〔可用圆面的几何意义解得的最小值〕…………8分〔Ⅲ〕①当时是开口向上的抛物线，显然在〔2，+∞〕上存在子区间使得，所以m的取值范围是〔0，+∞〕.②当m=0时，显然成立.③当时，是开口向下的抛物线，要使在〔2，+∞〕上存在子区间使，应满足或解得或，所以m的取值范围是那么m的取值范围是……………………13分7．解：〔1〕当时， 函数 曲线在点处的切线的斜率为1分 从而曲线在点处的切线方程为 即〔2〕3分 令，要使在定义域〔0，∞〕内是增函 只需在〔0，+∞〕内恒成立4分 由题意的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为， 只需时，在〔0，+∞〕内为增函数，正实数的取值范围是6分〔3〕上是减函数，时，， 即1分①当时， 其图象为开口向下的抛物线，对称轴在车的左侧， 且，所以内是减函数。 当时，在 因为， 所以 此时，内是减函数。 故当时，上单调递减，不合题意；②当时，由 所以 又由〔2〕知当时，上是增函数，，不合题意；11分③当时，由〔2〕知上是增函数， 又上是减函数， 故只需 而 即 解得， 所以实数的取值范围是。13分8.解：〔Ⅰ〕方法一：∵，………………2分∴．设直线，并设与相切于点M〔〕………………3分∵∴2∴代入直线的方程，解得p=1或p=3．………………6分方法二：将直线方程代入得∴解得p=1或p=3．………………6分〔Ⅱ〕∵，①要使为单调增函数，须在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又，所以当时，在为单调增函数；…………9分②要使为单调减函数，须在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，又，所以当时，在为单调减函数．…………11分综上，假设在为单调函数，那么的取值范围为或．……12分9.解：〔I〕因为 所以 因为上是增函数。 所以上恒成立……………1分 当 而上的最小值是1。 于是〔※〕可见 从而由〔※〕式即得①………………..…………4分 同时， 由 解得②，或 由①②得 此时，即为所求……………6分 注：没有提到〔验证〕时，不扣分。〔II〕由〔I〕， 于是……………7分 以下证明〔☆〕〔☆〕等价于……………8分 构造函数 那么时，上为增函数。 因此当即 从而得到证明。……………11分 同理可证……………12分 注：没有“综上〞等字眼的结论，扣1分。10.解：〔Ⅰ〕由a=0，可得，即┉┉┉┉┉┉┉┉1分记，那么在〔1，+∞〕上恒成立等价于.求得┉┉┉┉┉┉┉┉2分当时；；当时，┉┉┉┉┉┉┉┉3分故在x=e处取得极小值，也是最小值，即，故.┉┉┉┉┉┉┉┉4分〔Ⅱ〕函数在上恰有两个不同的零点等价于方程，在上恰有两个相异实根．┉┉┉┉┉┉┉┉5分令，那么┉┉┉┉┉┉┉┉6分当时，，当时，g〔x〕在[1，2]上是单调递减函数，在上是单调递增函数．故┉┉┉┉┉┉┉┉8分又g〔1〕=1，g〔3〕=3-2ln3∵g〔1〕>g〔3〕，∴只需g〔2〕<a≤g〔3〕，故a的取值范围是〔2-2ln2，3-2ln3〕┉┉┉┉┉┉┉┉9分〔Ⅲ〕存在m=，使得函数f〔x〕和函数h〔x〕在公共定义域上具有相同的单调性．，函数f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕．┉┉┉┉┉┉10分假设，那么，函数f〔x〕在〔0，+∞〕上单调递增，不合题意；┉┉┉11分假设，由可得2x2-m>0，解得x>或x<-〔舍去〕故时，函数的单调递增区间为〔，+∞〕单调递减区间为〔0，〕┉┉┉┉┉┉┉┉12分而h〔x〕在〔0，+∞〕上的单调递减区间是〔0，〕，单调递增区间是〔，+∞〕故只需=，解之得m=┉┉┉┉┉┉┉┉13分即当m=时，函数f〔x〕和函数h〔x〕在其公共定义域上具有相同的单调性．┉14分.11.解：〔I〕因为……1分〔II〕证：因为处取得极小值e〔III〕证：因为，①当上有解，且只有一解………………11分②当，所以上有解，且有两解③当上有且只有一解；12.解:〔1〕依题意,即,.∵上式恒成立,∴①…………1分又,依题意,即,.∵上式恒成立,∴②…………2分由①②得. …………3分∴…………4分〔2〕由(1)可知,方程,设,令,并由得解知……5分令由…………6分列表分析:(0,1)1(1,+)-0+递减0递增可知在处有一个最小值0,…………7分当时,＞0,∴在(0,+)上只有一个解.即当x＞0时,方程有唯一解.…………8分〔3〕设,………………9分在为减函数又……………11分所以：为所求范围.…………12分13.解：〔1〕恒成立 即恒成立 显然时，上式不能恒成立是二次函数 由于对一切于是由二次函数的性质可得即．〔2〕 即 当，当．〔3〕 该函数图象开口向上，且对称轴为 假设存在实数m使函数区间上有 最小值－5.①当上是递增的. 解得舍去②当上是递减的，而在 区间上是递增的， 即 解得③当时，上递减的 即 解得应舍去. 综上可得，当时， 函数14.解：〔1〕求导：当时，，，在上递增当，求得两根为即在递增，递减，递增〔2〕，且解得：15.解：〔Ⅰ〕． 2分故当时，，时，所以在单调递增，在单调递减． 4分由此知在的极大值为，没有极小值． 6分〔Ⅱ〕〔ⅰ〕当时，由于，故关于的不等式的解集为． 10分〔ⅱ〕当时，由知，其中为正整数，且有． 12分又时，．且．取整数满足，，且，那么，即当时，关于的不等式的解集不是．综合〔ⅰ〕〔ⅱ〕知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为． 14分16.〔Ⅰ〕①由条件知PQ垂直平分AB，假设∠BAO=(rad)，那么,故，又OP＝10－10ta，所以，所求函数关系式为②假设OP=(km)，那么OQ＝10－，所以OA=OB=所求函数关系式为〔Ⅱ〕选择函数模型①，令0得sin，因为，所以=，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。17解：〔1〕令当是增函数当是减函数∴〔2〕〔i〕当时，，由〔Ⅰ〕知上是增函数，在上是减函数又当时，所以的图象在上有公共点，等价于解得〔ii〕当时，上是增函数，∴所以原问题等价于又，∴无解18解：〔Ⅰ〕当时函数的定义域为；当时函数的定义域为〔Ⅱ〕令时，得即，①当时，时，当时，，故当时，函数的递增区间为，递减区间为②当时，，所以，故当时，在上单调递增．③当时，假设，;假设，，故当时，的单调递增区间为;单调递减区间为．〔Ⅲ〕因为当时，函数的递增区间为;单调递减区间为假设存在使得成立，只须，即19解：〔1〕据题意的〔2〕由〔1〕得：当时，当时，，为增函数当时，为减函数当时，当时，当时，当时，综上知：当时，总利润最大，最大值为19520解:(1)由可得C=0,∴,令,得．列表如下:(0,1)--+单调减单调减单调增所以的单调增区间为,单调减区间为和(2)在两边取对数,得．而．所以由(1)知当时,．所以．21解：〔1〕由题意知，的定义域为，当时，，函数在定义域上单调递增．〔2〕①由〔Ⅰ〕得，当时，,函数无极值点．②当时，有两个不同解，时，，,此时，随在定义域上的变化情况如下表：减极小值增由此表可知：时，有惟一极小值点，ii〕当时，0<<1此时，，随的变化情况如下表：增极大值减极小值增由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点；综上所述：当时，有惟一最小值点；当时，有一个极大值点和一个极小值点〔3〕由〔2〕可知当时，函数，此时有惟一极小值点且令函数22解：〔1〕且故在点处的切线方程为：〔2〕由得，故仅有一个极小值点，根据题意得：或〔3〕令当时，当时，因此，在时，单调递减，在时，单调递增.又为偶函数，当时，极小值为当时，，当时，当时，，当时，故的根的情况为：当时，即时，原方程有2个根；当时，即时，原方程有3个根；当时，即时，原方程有4个根23解：〔1〕，切线的斜率为，切线的方程为令得,令,得的面积(2),由,得当时,当时,在处,,故有故当时,24.(1)的值依次是2、1，(2)►解析：(1)因为是奇函数,所以=0,即又由知(2)解法一：由(1)知,易知在上为减函数。又因是奇函数，从而不等式：等价于.因为减函数,由上式推得:．即对一切有：,从而判别式解法二：由(1)知．又由题设条件得：即：整理得:.上式对一切均成立,从而判别式25、〔1〕，〔2〕在与上为增函数，在上为减函数；〔3〕①而在处取得最小值，在处取得最大值．②时，在与处取得最小值，在与处取得最大值．③时，在处取得最小值，在处取得最大值．►解析：〔1〕，．〔2〕对任意实数，．当时，；当时，．故在与上为增函数，在上为减函数；〔3〕由函数在上的单调性可知，在或处取得最小值或，而在或处取得最大值或．故有①而在处取得最小值，在处取得最大值．②时，在与处取得最小值，在与处取得最大值．③时，在处取得最小值，在处取得最大值．26.假设，那么，因此在上是增函数．假设，那么由得，因此的单调递增区间是，单调递减区间是．时，最大值是；当时，最大值是．►解析：解：(1)，故假设，那么，因此在上是增函数．假设，那么由得，因此的单调递增区间是，单调递减区间是．(2)假设，那么〔〕，因此在上是增函数．那么在上的最小值是，最大值是；假设，那么〔〕，因此在上是减函数．那么在上的最小值是，最大值是．假设，那么x180+↘极小值↗所以在上的最小值是，当，即时，最大值是；当时，最大值是．27、f(x)=,►解析：〔1〕当时，时，，〔6分〕〔2〕假设关于的方程有解，〔12分〕28、►解析：解：〔I〕由①知，对任意，都有，由于，从而，所以函数为上的单调增函数〔II〕令，那么，显然，否那么，与矛盾.从而，而由,即得.又由〔I〕知，即.于是得，又，从而，即.进而由知，.于是,,,,,,由于,而且由〔I〕知，函数为单调增函数，因此.从而.〔Ⅲ〕,，.即数列是以6为首项,以3为公比的等比数列.∴于是,显然,另一方面,从而.综上所述,.29、〔Ⅰ〕〔Ⅱ〕〔Ⅲ〕►解析：〔Ⅰ〕∵为的极值点，∴∴且∴.又当时，，从而为的极值点成立。〔Ⅱ〕因为在上为增函数，所以在上恒成立.假设，那么，∴在上为增函数不成立；假设，由对恒成立知。所以对上恒成立。令，其对称轴为，因为，所以，从而在上为增函数。所以只要即可，即所以又因为，所以．〔Ⅲ〕假设时，方程可得即在上有解即求函数的值域．令由∵∴当时，，从而在(0,1)上为增函数；当时，，从而在(1，+∞)上为减函数。∴，而可以无穷小。∴的取值范围为.30、〔1〕〔2〕〔3〕►解析：〔1〕。〔2〕当,，。〔3〕当,，；显然当时是增函数，此时，假设函数在区间上是是单调增函数，那么必有，解得：；显然当时，函数在区间上不是单调函数；所以。31、〔1〕0〔2〕〔3〕见解析►解析：〔1〕解：∵，∴．∵在上是减函数，在上是增函数，∴当时，取到极小值，即．∴．〔2〕解：由〔1〕知，，∵1是函数的一个零点，即，∴．∵的两个根分别为，．∵在上是增函数，且函数在上有三个零点，∴，即．∴．故的取值范围为．〔3〕解：由〔2〕知，且．要讨论直线与函数图像的交点个数情况，即求方程组解的个数情况．由，得．即．即．∴或．由方程，〔*〕得．∵，假设，即，解得．此时方程〔*〕无实数解．假设，即，解得．此时方程〔*〕有一个实数解．假设，即，解得．此时方程〔*〕有两个实数解，分别为，．且当时，，．综上所述，当时，直线与函数的图像有一个交点．当或时，直线与函数的图像有二个交点．当且时，直线与函数的图像有三个交点．32、1〕由题设知：，∴那么令当变化时，：+0－0+0所以的极大值为；极小值为……………5分〔2〕考虑方程根的情况：，那么方程当当当〔3〕33、〔1〕见解析〔2〕钝角三角形►解析：证明：假设存在使得∴∵∴∴上的单调增函数。∴是唯一的。〔2〕设∵∴上的单调减函数。∴∵∴∵∴∴为钝角∴△ABC为钝角三角形。34、〔1〕a>1〔2〕有且仅有两个交点►解析：〔1〕假设使存在单调递减区间，那么上有解．而当问题转化为上有解，故a大于函数上的最小值．又上的最小值为-1，所以a>1．〔2〕令函数的交点个数即为函数的零点的个数．令解得随着x的变化，的变化情况如下表：-0+单调递减极〔最〕小值2+lna单调递增当恒大于0，函数无零点．②当由上表，函数有且仅有一个零点．③显然内单调递减，所以内有且仅有一个零点当由指数函数与幂函数增长速度的快慢，知存在使得从而因而又内单调递增，上的图象是连续不断的曲线，所以内有且仅有一个零点．因此，有且仅有两个零点．综上，的图象无交点；当的图象有且仅有一个交点；的图像有且仅有两个交点．35、〔1〕见解析〔2〕奇函数〔3〕见解析►解析：〔1〕取f(x)=tanx，定义域为{x∣x≠kπ+，k∈Z}关于原点对称，且0∈D；且存在常数使得f(a)=tana=1；又由两角差的正切公式知，符合。〔2〕f(x)是D上的奇函数；证明如下：f(0)=0，取x1=0，x2=x，由，得f(-x)=-f(x)，所以f(x)是D上的奇函数；〔3〕考察f(x)=tanx的最小正周期T=π=4a，可猜想4a是f(x)的一个周期。证明：由，那么，。所以f(x)是周期函数，4a是f(x)的一个周期。36、〔Ⅰ〕，〔Ⅱ〕〔Ⅲ〕►解析：.解：〔Ⅰ〕取，得，取，故数列是首项是1，公比为的等比数列，所以取，，得，即，故数列是公差为的等差数列，又，所以〔Ⅱ〕，两式相减得所以〔Ⅲ〕，所以是增函数，那么由于，那么，由于，那么，所以因此当且时，恒成立，所以存在正数，使得对任意的正整数，不等式恒成立.此时，37、〔1〕不是“平底型〞函数〔2〕实数的范围是⑶m＝1，n＝1►解析：〔1〕对于函数，当时，.当或时，恒成立，故是“平底型〞函数.对于函数，当时，；当时，.所以不存在闭区间，使当时，恒成立.故不是“平底型〞函数.〔Ⅱ〕假设对一切R恒成立，那么.因为，所以.又，那么.因为，那么，解得.故实数的范围是.〔Ⅲ〕因为函数是区间上的“平底型〞函数，那么存在区间和常数，使得恒成立.所以恒成立，即.解得或.当时，.当时，，当时，恒成立.此时，是区间上的“平底型〞函数.当时，.当时，，当时，.此时，不是区间上的“平底型〞函数.综上分析，m＝1，n＝1为所求.38、〔1〕不是函数；〔2〕在R上恒有|f(x)|≤|x|成立，那么函数f(x)是函数.►解析：1〕∵|xsinx|≤|x|,∴f1(x)=xsinx是函数；∵，∴不满足|f(0)|≤|0|,∴不是函数；〔2〕设F(x)=f(x)-x,那么F′(x)=①当x>0时，∵a>1,∴当x=0时，F′(x)=-1<0∴当x≥0时，F′(x)=<0.∴F(x)在上是减函数∴F(x)≤F(0),又F(0)=f(0)=0,∴F(x)=f(x)-x≤0∵x>0时f′(x)=∴函数f(x)在上是增函数，∴f(x)≥f(0)=0∴0≤f(x)≤x,即|f(x)|≤|x|②当x<0时，-x>0,∴|f(-x)|≤|-x|,显然f(x)为偶函数∴|f(x)|≤|-x|即|f(x)|≤|x|∴在R上恒有|f(x)|≤|x|成立，那么函数f(x)是函数.39、〔1〕见解析〔2〕成立►解析：〔1〕函数不属于集合A.因为的值域是,所以函数不属于集合A.(或，不满足条件.)在集合A中,因为:①函数的定义域是；②函数的值域是；③函数在上是增函数．〔2〕，对于任意的总成立40、；►解析：当＝时，，由题意，当时，，由题意．，，当时，，．41.解：〔I〕当在R上是减函数；当所以，区间的减区间，区间的增区间.…5分〔II〕在点处曲线切线的斜率为，切线方程令x=0，可得y=－6，所以切线恒守定点〔0，－6〕…………9分〔III〕点处曲线的切线方程为，令，，因为，所以42.(Ⅰ)当-2≤<时，由=0得x1=显然-1≤x1<,<x2≤2，又=－当≤x≤x2时，≥0，单调递增；当x2<x≤2时，<0，单调递减，∴max=(x2)==-(Ⅱ)答:存在符合条件解:因为=不妨设任意不同两点，其中那么由知:1+因为，所以1+，故存在符合条件。43.解：(1)函数的定义域为(2)＝＝－∵ｘ＞０，∴ｘ２＞０，＞０．lｎ〔ｘ＋１〕＞０。∴＜０。因此函数f〔ｘ〕在区间〔０，＋∞〕上是减函数．当-1<x<0时,记,故g(x)在(-1,0)上是减函数,即知g(x)>g(0)=1>0,故此时＝－<0,因此,函数f(x)在区间(-1,0)上也是减函数.综上可知函数f(x)在(-1,0)和上都是减函数〔3〕当ｘ>０时，f〔ｘ〕＞恒成立,令ｘ＝１有ｋ＜２又k为正整数．∴k的最大值不大于３．……..10分下面证明当ｋ＝３时，f〔ｘ〕＞〔ｘ＞０〕恒成立．即证当ｘ>０时，＋１－２ｘ＞０恒成立．令ｇ〔ｘ〕＝＋１－２ｘ，那么＝－１，当ｘ>ｅ－１时，＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时，＜０．∴当ｘ＝ｅ－１时，ｇ〔ｘ〕取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０．∴当ｘ>０时，＋１－２ｘ＞０恒成立．因此正整数k的最大值为３44.解：(Ⅰ).∵函数和的图象在处的切线互相平行,,.〔Ⅱ〕令∴当时，,当时，.∴在是单调减函数，在是单调增函数.，.∴当时，有，当时，有.∵当时，恒成立,∴∴满足条件的的值满足以下不等式组①，或②不等式组①的解集为空集，解不等式组②得.综上所述，满足条件的的取值范围是：.45.解：〔1〕∵，∴，∵函数在处的切线方程为，∴，∴〔2〕∵点在直线上，∴，∴，∵在的图象上，∴，∴由〔1〕得：，令，那么，因此函数的单调递增区间为〔1，+∞〕，令，那么，因此函数的单调递减区间为〔－1，1〕∴当时，函数取得极小值46.解：(1)∵过点∴a=-8,∴切线的斜率∵的图像过点∴4b+2c=0,∵,解得：b=8,c=-16∴切线方程为．即16x-y-32=0∵当m<0时，∵m<0∴又x>1当时当时∴F(x)的单调减区间是∴F(x)的单调增区间是(1，)即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，)，单调减区间是(，)。47.解：〔1〕设，那么=，当时，，所以函数在〔0，单调递增，又在处连续，所以，即，所以。〔2〕设，那么在〔0，恒大于0，，，的根为0和即在区间〔0，上，的根为0和假设，那么在单调递减，且，与在〔0，恒大于0矛盾；假设，在〔0，单调递增，且，满足题设条件，所以，所以。48.解:(1)设直线y=6x＋1,和y=x3＋bx2＋cx＋d相切于点P(x0,y0)∵f(x)=x3＋bx2＋cx＋d有两个极值点x1=1,x2=2,于是f'(x)=3x2＋2bx＋c=3(x－1)(x－2)=3x2－9x＋6从而b=－eq\f(9,2),c=6(2)又f(x)=x3－eq\f(9,2)x2＋6x＋d,且P(x0,y0)为切点,那么EQ\b\lc\{(\a\al(y0=6x0＋1①,y0=x03－\f(9,2)x02＋6x0＋d②,3x02－9x0＋6=6③))由③求得x0=0或x0=3,由①②联立知d=1＋eq\f(9,2)x02－x03.在x0=0时,d=1;在x0=3时,d=eq\f(29,2)∴f(x)=x3－eq\f(9,2)x2＋6x＋1,或f(x)=x3－eq\f(9,2)x2＋6x＋eq\f(29,2)(3)当d为整数时,d=1符合条件,此时P为(0,1)设过P(0,1)的直线l:y=kx＋1和y=x3－eq\f(9,2)x2＋6x＋1,相切于另一点(x1,y1).那么EQ\b\lc\{(\a\al(y1=kx1＋1④,y=x13－\f(9,2)x12＋6x1＋1⑤,k=3x12－9x1＋6⑥))由④⑤及x1≠0,可知:kx1=x13－eq\f(9,2)x12＋6x1即k=x12－eq\f(9,2)x1＋6再联立⑥可知k=x12－x1＋6=3x12－9x1＋6,又x1≠0,∴x1=eq\f(9,4),此时k=eq\f(15,16)故切线方程为:y=eq\f(15,16)x＋1.49.解:〔1〕∵当a=1时，令=0，得x=0或x=1………2分当时，当时∴在上单调递减，在上单调递增，∴的极小值为=-2.………………4分〔2〕∵………………6分∴要使直线=0对任意的总不是曲线的切线，当且仅当-1<-3a,∴.…………………………8分(3)因在[-1,1]上为偶函数,故只求在[0,1]上最大值，…………9分①当时，，在上单调递增且,∴，∴.…………10分②当时=1\*romani.当，即时，在上单调递增，此时……………………12分=2\*romanii.当，即时，在上单调递减，在上单调递增.10当即时，在上单调递增，在上单调递减，故.……14分20当即时，〔ⅰ〕当即时，〔ⅱ〕当即时，综上………………50.解：〔Ⅰ〕三个函数的最小值依次为，，，………3分由，得∴，故方程的两根是，．故，．………4分，即∴．…………5分〔Ⅱ〕①依题意是方程的根，故有，，且△，得．由………7分；得，，．由〔Ⅰ〕知，故，∴，∴．…………9分②〔或〕．………11分由〔Ⅰ〕∵，∴，又，∴，，〔或〕…13分∴．…………………15分51..解：(1)因为函数f(x)在(-∞，+∞)上为单调递增函数，所以f′(x)=x2+ax+a>0在(-∞，+∞)上恒成立.由Δ=a2-4a<0，解得0<a<4.4分又当a=0时，f(x)=x3-2在(-∞，+∞)上为单调递增函数;当a=4时，f(x)=x3+2x2+4x-2=(x+2)3-在(-∞，+∞)上为单调递增函数，所以0≤a≤4.6分(2)依题意，方程f′(x)=0有两个不同的实数根x1、x2，由Δ=a2-4a>0，解得a<0或a>4,且x1+x2=-a，x1x2=a.8分所以f(x1)-f(x2)=［(x12+x1x2+x22)+a(x1+x2)+a］(x1-x2).所以=［(x1+x2)2-x1x2］+a(x1+x2)+a=(a2-a)+a(-a)+a=-a2+a≥-.解之,得-1≤a≤5.所以实数a的取值范围是-1≤a<0或4<a≤5.52.解：〔1〕依题意，对任意实数x都有：，可得：,b=0；…(2分)…(3分)又当时，，所以：，．…(5分)解得：，故．…(6分)〔2〕当时，图象上不存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直．假设当时，图象存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直．设这两条切线的斜率分别为和,那么有.…(8分)那么由知这两点处的切线的斜率分别为：，且…(10分)这与〔*〕相矛盾，故假设不成立．…(13分)所以当时，图象上不存在两点，使得在这两点处的切线互相垂直．…(14分)53.解：〔Ⅰ〕∵f〔x〕=x3+〔m2－4m+2〕x+m3－6m2+∴f′〔x〕=3x2+〔m2－4m+2〕因为f〔x〕有极值，故f′〔x〕=0有两个不同的实数根，∴m2－4m+2＜0，∴．………………4分〔Ⅱ〕设f′〔x〕=0的实数根为，〔＜〕，那么+=0．于是g〔m〕=f〔〕+f〔〕=3+3+〔m2－4m+2〕〔+〕+2〔m3－6m2=〔+〕〔2－+2〕+〔m2－4m－2〕〔+〕+2〔m3－6m2+由+=0得g〔m〕=2〔m3－6m2+9m－1〕，〔〕．∴g′〔m〕=6〔m2－4m+3〕，由g′〔m〕=0，得m=1，3m…1…3…g′(m)+0－0+g〔m〕6－2由上表得，最大值g〔1〕=6，最小值g〔3〕=－2．…………12分54.解〔I〕，………………2分当………………4分内单调递减，故…………6分〔II〕①当，只有一根；…………7分②当，当，极小值有三个根；………………9分③当，当，有一个根；………………10分④当有一个根………………11分⑤当，由〔I〕，有一个根综上：当有一根；当有三个根.………12分55.解:(1)所以方程有两个不同的实数解，不妨设，那么在区间和上，，是增函数；在区间上，，是减函数；故是极大值点，是极小值点。(2)由得：即又且所以整理得解得所以当时，不等式成立。56.解：(Ⅰ)，………………2分当时，，…………4分〔Ⅱ〕是单调增函数；………………6分由是单调减函数；………………8分〔Ⅲ〕是偶函数，对任意都有成立对任意都有成立1°由〔Ⅱ〕知当或时，是定义域上的单调函数，对任意都有成立时，对任意都有成立…………10分2°当时，，由上是单调增函数在上是单调减函数，∴对任意都有时，对任意都有成立………………12分综上可知，当时，对任意都有成立.……14分57.解：………1分〔1〕是函数f(x)的两个极值点，………………2分………3分…………4分〔2〕∵x1、x2是f(x)是两个极值点，∴x1、x2是方程的两根.∵△=4b2+12a3，∴△>0对一切a>0，恒成立.……6分由………………7分…………8分令在〔0，4〕内是增函数；∴h(a)在〔4，6〕内是减函数.∴a=4时，h(a)有极大值为96，上的最大值是96，∴b的最大值是…………………10分〔3〕证法一：∵x1、x2是方程的两根，，……………………12分…………14分……16分证法二：∵x1、x2是方程的两根，.……………………12分∵x1<x<x2，…………………14分……………16分58.解：〔Ⅰ〕因为,所以即,所以a=－2.(Ⅱ)因为直线恒过点〔0，9〕.先求直线是y=g(x)的切线.设切点为,因为.所以切线方程为,将点〔0，9〕代入得.当时，切线方程为y=9,当时，切线方程为y=12x+9.由得，即有当时，的切线，当时，的切线方程为是公切线，又由得或，当时的切线为，当时的切线为，，不是公切线综上所述时是两曲线的公切线(Ⅲ).〔1〕得，当，不等式恒成立，.当时，不等式为，而当时，不等式为，当时,恒成立，那么〔2〕由得当时，恒成立，，当时有设=，当时为增函数，也为增函数要使在上恒成立，那么由上述过程只要考虑，那么当时=在时，在时在时有极大值即在上的最大值，又，即而当,时，一定成立综上所述.59.解：〔Ⅰ〕。依题意那么有：，所以，解得，所以；，由可得或。在区间上的变化情况为：0134+0—0+0增函数4减函数0增函数4所以函数在区间上的最大值是4，最小值是0。〔Ⅱ〕由函数的定义域是正数知，，故极值点不在区间上；〔1〕假设极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点；〔2〕假设在上单调增，即或，那么，即，解得不合要求；〔3〕假设在上单调减，即，那么，两式相减并除得：，①两式相除并开方可得，即，整理并除以得：，②那么①、②可得，即是方程的两根，即存在，满足要求；〔Ⅲ〕同〔Ⅱ〕，极值点不可能在区间上；〔1〕假设极值点在区间，此时，故有①或②①由，知，，当且仅当时，；再由，知，，当且仅当时，由于，故不存在满足要求的值。②由，及可解得，所以，知，；即当时，存在，，且，满足要求。〔2〕假设函数在区间单调递增，那么或，且，故是方程的两根，由于此方程两根之和为3，故不可能同在一个单调增区间；〔3〕假设函数在区间单调递减，即，，两式相除并整理得，由知，即，再将两式相减并除以得，，即。即，是方程的两根，即存在，满足要求。综上可得，当时，存在两个不等正数，使时，函数的值域恰好是。60.〔Ⅰ〕解：∵函数f(x)＝x4＋ax3＋bx2＋c，在y轴上的截距为－5,∴c＝－5.∵函数f(x)在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减,∴x＝1时取得极大值，又当x＝0，x＝2时函数f(x)取得极小值．∴x＝0，x＝1，x＝2为函数f(x)的三个极值点，即f'(x)＝0的三个根为0，1，2，∴f'(x)＝4x3＋3ax2＋2bx＝4x(x－1)(x－2))＝4x3－12x2＋8x.∴a＝－4，b＝4,∴函数f(x)的解析式：f(x)＝x4－4x3＋4x2－5.〔Ⅱ〕解：假设函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴,设对称轴方程为x＝t,那么f(t+x)＝f(t－x)对x∈R恒成立.即:(t+x)4－4(t+x)3＋4(t+x)2－5＝(t－x)4－4(t－x)3＋4(t－x)2－5.化简得(t－1)x3+(t2－3t+2)x＝0对x∈R恒成立.∴eq\b\lc\{(\a\al(t－1＝0，,t2－3t+2＝0．))∴t＝1即函数f(x)存在垂直于x轴的对称轴x＝1.〔Ⅲ〕解：x4－4x3＋4x2－5＝λ2x2－5恰好有三个不同的根，即x4－4x3＋4x2－λ2x2=0恰好有三个不同的根,即x2〔x2－4x＋4－λ2〕＝0，∵x＝0是一个根，∴方程x2－4x＋4－λ2＝0应有两个非零的不相等的实数根，∴△＝16－4(4－λ2)＝4λ2>0，且x1x2＝4－2≠0，∴≠0，－2，2．假设存在实数m，使得不等式m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3],λ∈A恒成立.∵|x1－x2|＝eq\r((x1－x2)2－4x1x2)＝2||＞0，要使m2＋tm＋2≤|x1－x2|对任意t∈[－3，3],λ∈A恒成立,只要m2＋tm＋2≤0对任