八年级数学下册教案

16.1.1《二次根式》教案

【教学目标】

1.知识与技能

(1)理解二次根式的概念：

(2)理解二次根式中被开方数在实数范围内有意义的条件。

2.过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。

3.情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独

立思考的同时能够认同他人。

【教学重点】

从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念。

【教学难点】

二次根式有意义的条件。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【德育渗透】

学问勤中得，萤窗万卷书。三冬今足用，谁笑腹空虚。

意思是：学习要靠勤奋才能获得，经过三年就会学得满腹经纶。出自《神童

诗》。

【教学过程】

一、复习导入

在之前的学习中，我们学习了平方根的知识，我们知道平方根有这样的性质：

正数a有2个平方根,它们互为相反数；0的平方根是

Q；负数没有平方根。

根据这样的性质，大家来快速回答一下下边的问题吧。

求下列各数的平方根：

sia

(1)36；(2)—；(3)6.25；(4)——

1212

【过渡】同学们的知识掌握都不错，那么今天，我们就来学习一下与平方根有一定关系的新知识,

二次根式。

二、新课教学

1.二次根式

【过渡】从刚刚的问题中，我们得到了一个算术平方跟，现在，大家看课本思考的内容，并进行

填空吧。

(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为o

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2,则它的宽为m。

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下的高度h(单位:

m)满足关系h=5t2,如果用含有h的式子表示t,则1=。

【过渡】从刚刚的结果中，我们可以总结出这几个结果分别有什么意义呢？又有什么共同的特点

吗？结合之前学习的平方根的知识，大家谁能回答一下呢？

(学生讨论回答)

【过渡】结合之前的知识，我们知道，这几个式子都是表示一个非负数(包括字母或式子表示的

非负数)的算术平方根。今天，我们就给这样的式子下一个定义：二次根式。

二次根式的定义：一般地，我们把形如«(a>0)的式子叫做二次根式，“厂”称为二次根号。

【过渡】从二次根式的定义上，我们可以知道二次根式的一些特点：

(1)表示a的算术平方根；

(2)a可以是数，也可以是式；

(3)形式上含有二次根号；

(4)a20,«20,双重非负性；

(5)既可表示开方运算，也可表示运算的结果。

【过渡】其中，我们需要注意的最重要的是二次根式的双重非负性，这也是我们判断一个式子是

否为二次根式的重要依据。现在，我们就来练习一下吧。

练习：判断下列代数式中哪些是二次根式？

(1)J；(2)V46；(3)，a，+2a+2；(4)代(5)J(m+3>

(学生快速回答，并说明理由)

【过渡】现在，请大家思考这样一个问题，«+1这样的式子属不属于二次根式呢？结合二次根

式的定义，我们可以知道，它不属于二次根式，而是含有二次根式的代数式。

【过渡】根据我们刚刚所学的双重非负性性质，我们知道，被开方数必须大于0,因此，(2)不

是二次根式，这也就说明了，在实数范围内，负数没有平方根。

根据这个性质，我们还可以求解字母的取值范围，下边，我们看一下课本例1的内容。

例题讲解，例1»

【过渡】例1是简单的根据a'O进行求解范围，性质，我们来看一下思考内容，并思考二次根

式有意义需要满足什么样的条件呢？

课本P2思考内容。

【过渡】从思考题中，我们可以看出，对于二次根式来说，有意义的条件即为被开方数不能为负

数，具体的情况则需要具体分析。

【典题精讲】1、求下列a的取值范围。

(3)

解：(1)由a+120,得a2-l；

(2)由l-2a>0,得a<l/2；

(3)由(a-1)220,得a为任何实数.

2、|a-2|+Vb-3+(c-4)2=0,则a-b+c=3

【过渡】从这个例题中，我们能够清楚的看到，在解决求取值范围这一类的问题时，所依据的主

要就是二次根式的被开方数不能为负数。

在被开方数为分式的形式时，我们需要牢记分母不能等于0o

【知识巩固】1、下列各式中不是二次根式的是(B)

A.代耳B.口C.8D.J(a-b)L

2、当x是多少时，旦在实数范围内有意义。

2x4

解：依题意有x20且2x・lW0,

解得x20且xwL

2

.।

故当x》0且xW-时，二二在实数范围内有意义。

22x-l

【拓展提升】1、已知y=g+、空J-2,求xy的值。

解；由题意得，3-x20且x-320,

解得xW3且x23,所以，x=3,

y=-2,所以"，=3”=义O

2、已知a,b分别为等腰三角形的两条边长，且a・b满足b=4+v%不+3您工，求此三角形的周长。

解：由题意得，3a-620,2-a20,

解得，a22,aW2,则a=2,

则b=4,

V2+2=4,.,.2,2、4不能组成三角形，

此三角形的周长为2+4+4=10。

【小结、板书设计】

1、二次根式的定义：

一般地，我们把形如正（a20）的式子叫做二次根式，“厂”称为二次根号

2、二次根式有意义的条件：

各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；

如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零。

【教学反思】

16.1.2《二次根式》教案

【教学目标】

1.知识与技能

(1)经历探索性质0?=a(a，0)和=2(a>0)的过程，并理解其意义；

(2)会运用性质(y=a(a20)和=&(a20)进行二次根式的化简；

(3)了解代数式的概念。

2.过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。

3.情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识，在独

立思考的同时能够认同他人。

【教学重点】

理解二次根式的两个基本性质，并能用它们进行计算和化简。

【教学难点】

运用二次根式的性质。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【德育渗透】

业精于勤，荒于嬉，行成于思，毁于随。

意思是：学业的精深在于勤奋刻苦，荒废在于嬉戏游乐；道德行为的成功

在于深思熟虑，败毁在于因循苟且。出自韩愈《进学解》。

【教学过程】

一、复习导入

【过渡】上节课我们学习了二次根式的概念，了解了满足什么样的条件才能称为二次根式，现在,

我们来复习一下吧。

课件展示复习题，学生快速回答。

【过渡】形如(a20)的式子叫做二次根式。我们知道，二次根式有这样的特点，(1)根指数必

须为2；(2)被开方数必须是非负数。那么二次根式还有其他什么性质吗？今天我们就来探究一下吧。

二、新课教学

1.二次根式的性质1

【过渡】之前我们学习了算术平方根，现在，大家根据算术平方根的意义填一下探究内容吧。

()2=4；()22；

()2=；()2=Q。

【过渡】大家的计算都很正确，现在，请大家思考一下，如果我们把被开方数换成a,那么就会

有：(2=a(a20)。

这就是二次根式的第一个性质：

(2=a(a20)

【过渡】根据等式的定义，我们可以将上述式子写作：a=C(a^0)o由这个式子的特点，我们

可以得到一种解决问题的办法，即如何将一个非负数写成平方的形式,而这对某些题目是有益的办法。

例题：课本例2。

2.二次根式性质2

【过渡】接下来，我们来看第二个探究内容。

问题2填空：

=2；=0.1;

=；=0O

【过渡】和刚刚一样，我们同样将其扩展到所有范围内，则得到：=a(a20)

【过渡】由此，我们可以得到二次根式的第二个性质：

=a(aNO)

同样，根据等式的定义，我们可以得到：a(a^O)

【过渡】利用这个式子，可以把任何一个非负数写成带有“厂”的形式。

例题：课本例3。

【典题精讲】1、已知l<x<8,化简++。

解：Vl<x<8,

++

=|x-8|+|x+8|+n

=8-x+x+8-l

=15

2、己知实数x,y满足|x-4|+=0,求以x,y的值为两边长的等腰三角形的周长。

解：根据题意得x-4=0,y-8=0,

解得x=4；y=8,

(1)若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8,

不能组成三角形；

(2)若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8,

能组成三角形，周长为4+8+8=20。

3.代数式

问题3回顾我们学过的式子，如5,a,a+2b,-ab,等，这些式子有哪些共同特征？

【过渡】大家对这个问题有什么答案吗？

(1)含有表示数的字母；

(2)用基本运算符号连接数或表示数的字母。

【过渡】我们一般称这样的式子叫做代数式。

用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来得到的式子叫代数式。

【练习】判断下列式子是否为代数式？

(1)

(2)x+y=5

(3)

(4)xWO

⑸3W2

【过渡】我们可以看到，(2)与(5)是和我们的代数式的概念相违背的，因此，这种用等号或

不等号连接起来的式子都不是代数式。

【知识巩固】

1、下列五个等式中一定成立的有(A)

①C=a；②=a；③=a?；④a°=l；⑤=2

A.1个B.2个C.3个D.4个

2、在实数范围内分解下列因式：

(1)X2-2；(2)X4-9；(3)3x2-5。

解：(1)X2-2=X2-()2=(X-)(X+)；

(2)X4-9=(X2+3)(X2-3)=(X2+3)(X+)(X-)；

(3)3X2-5=(X+)(X-)O

3、化简下列各式：

(1)(y>0)；

(2)；

(3)(x2)；

(4)+(l<x<3)

解：(1)Vy>0,

=7x2・|y|=7x?y

(2)n>3,则3-n<0

=71-3

(3)Vx>,则l-3xW0

:.==|l-3x|=3x-l

(4)Vl<x<3则有x-3<0,l-x<0

/.+=|x-3|+|1-x|=3-x+x-1=2

4、已知2<aV3,化简+|a-3|。

解：V2<a<3,

：.2-a<0,a-3<0,

J!^^=a-2+|a-3|=a-2+3-a=l.

【拓展提升】1、已知实数a满足+=a,求a-20132的值。

解：根据二次根式有意义的条件可得a-201420,解得a22014,

•/+=a

a-2013+=a,

.•.=2013,

/.a=20132+2014,

；.a-20132=2014

2、已知实数a,b在数轴上的位置如图所示：试化简

ab

I!IIIII.)

-3-2-1012345

解：根据数轴可知：-3Va<-2,4<b<5,

b>2,a-b<0,

=|a+)|-|b-2|-|a-b|

=-(a+)-(b-2)-[-(a-b)]

=-a--b+2+a-b

=-2bo

【小结、板书设计】

1、二次根式性质1:

(2=a(a20)

2、二次根式性质2：

=a(a>0)

3、代数式

【教学反思】

16.2.1《二次根式的乘除》教案

【教学目标】

1.知识与技能

理解日•通=v^ab（a，0,b，0）,Vab=v^-vS（a20,b20）,并利用它们进行计算和化简。

2.过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。

3.情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。

【教学重点】

v'a,yjb=Vab（a»0,b20）,v^=v'a,VE（a20,bZO）及它们的运用。

【教学难点】

发现规律，导出«•屁=Vab（a》0,b，0）。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【德育渗透】

志当有高远。

意思是：人应当有远大的志向。出自（三国•蜀）诸葛亮《诚外甥书》。

【教学过程】

一、复习导入

【过渡】上节课我们学习了什么是二次根式以及二次根式的特点，现在，我们一起来复习一下

这些基本的知识吧。

（引导学生复习基本知识）

二次根式的特点及性质。

【过渡】在有理数的运算中，我们学习了加、减、乘、除四则运算，那么，在我们学习了二次根

式之后，大家有没有考虑过，两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？让我们从研究

乘法开始。

二、新课教学

1.二次根式的乘法

【过渡】现在，大家来看一下课本的探究内容，研究一下二次根式的乘法吧。根据二次根式与算

术平方根。

课本P6探究内容。

【过渡】从刚刚的结果中，我们可以看到，分别有这样的等式，旧义遍=国，代乂星

=、，佞踮，而x8=73衣23。大家能用字母表示你所发现的规律吗？

(学生讨论回答)

【过渡】将字母表示规律，就得到二次根式的乘法法则：

一般地，对二次根式的乘法规定为

4a-x[b=\[ab.(a>0,b>0)

【过渡】从这个乘法法则中，我们需要知道：

(1)被开方数都是正数；

(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另

一边二次根式中的被开方数。

【过渡】在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。现在，我们来练习一下利用乘

法法则计算吧。

课本例1。

【过渡】例1只是简单的利用公式进行计算，大家想一想，根据等式的定义，把式子反过来同样

成立。

V,而\向•、行(a>0,b>0)

根据这个式子，我们可以利用它对二次根式进行化简。

【过渡】大家思考这样一个问题，V(-4)x(-9>斤*癖成立吗？为什么？

(学生回答)

【过渡】大家回答的很正确，这样是不正确的，原因呢，就是瓜•的(a20,b>0)o

课本例2o

【过渡】从这个例题中，我们可以总结出化简二次根式的一般步骤：

(1)将被开方数尽可能分解成几个平方数。

(2)应用诬f(a>0,b>0)

(3)将平方项应用捋=2(a>0)

【过渡】现在，我们利用这个步骤来看一下例3的内容吧。

课本例3。

【过渡】例3中，我们看到了有系数的二次根式，而且可以知道，这样的二次根式化简的时候,

系数和系数相乘，积为最终结果的系数。

【典题精讲】1、若v密1•=J(x-2)(2-x)成立,试化筒|x*4|+|x|.

解：根据题意得：

x-l2O,2-x20,解得1WXW2,

所以|x-4|+|x|=-(x-4)+x=-x+4+x=4

2、己知v访是不大于20的整数，求整数x的值。

解：根据题意得：>/l2x<20,

.•.0W12xW”400

100

，0WxW—

3

整数x为0、3、12、27.

【知识巩固】1、同、值的值是一个整数，则正整数a的最小值是(B)

A.1B.2C.3D.5

3、已知三角形一边长为同，这边上的高为回m,求这个三角形的面积。

解：...三角形一边长为V?2cm,这边上的高为45Ucm,

.•.这个三角形的面积为：；X闻X痴=3闻，

答：这个三角形的面积为：3V35cm2

2

【拓展提升】1、已知|x-2|+%/6^y+z-6z+9=0,求标、予、仿的值。

22

解：V|x-2|+%,'6-y+z-6z+9=|x-2|++(z-3)=0

x-2=0,6-y=0,z-3=0,即x=2,y=6,z=3,

则原式=V5X、，GXVJ=6

2、求比(巡+0)6大的最小整数。

解：设V6+V5=x,V6->/5=y>x+y=2V6，xy=l,

又：x2+y2=(x+y)2-2xy=(2V6)2-2Xl=22,

x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)=422、总

/.(V6+V5)6+(VS-V5)6=x6+y6=(x3+y3)2-2x3y3=10582,

又o〈v6V5<i,从而ov(、住V5)6<i,

故10581〈(巡-、5)6<10582,

.••比(遍+逐)6大的最小整数为10582。

【小结、板书设计】

1、二次根式的乘法：

v'a•瓜=Vab=(a>0,b>0)

【教学反思】

16.2.2《二次根式的除法》教案

【教学目标】

1.知识与技能

理解空=-(a>0,b>0)和(a>0,b>0)及利用它们进行计算。

加邓遥

2.过程与方法

利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及

利用它们进行计算和化简。

3.情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。

【教学重点】

理解"=~(a>0,b>0)和1='(a>0,b>0)及利用它们进行计算.

Vby/b品

【教学难点】

发现规律，归纳出二次根式的除法规定。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【德育渗透】

自古圣贤，盛德大业，未有不由学而成者也。

意思是：自古以来，圣人贤人的盛德大业，没有不是通过学习而成V纪的。

出自(清)黄宗羲《明儒学案》。

【教学过程】

一、复习导入

【过渡】上节课我们学习了什么是二次根式的乘法法则，现在，我们一起来复习一下如何正确

运用二次根式的乘法法则进行计算吧。

课件展示题目。

【过渡】现在，请大家快速计算一下吧，看谁能最先得到正确答案。

带领学生复习，进行计算。

二、新课教学

1.二次根式的除法

【过渡】上节课，我们通过实例的探究总结出了二次根式的乘法法则，那么这节课呢，我们采用

同样的方法来总结除法法则。大家根据课本P8的探究内容，来总结一下二次根式的除法法则吧。

课本P6探究内容。

【过渡】从刚刚的结果中，我们大家能用字母表示你所发现的规律吗？

(学生讨论回答)

【过渡】将字母表示规律，就得到二次根式的除法法则：

一般地，对二次根式的除法规定为

¥口(a>0,b>0)

&N匕

【过渡】从我们总结出来的规律，以及二次根式和分母的条件，我们可以知道，在除法中，必须

要有的条件。

【过渡】在这里，如果没有特殊要求，我们的被开方数都是正数。现在，我们来练习一下利用除

法法则计算吧。

课本例4o

【过渡】例4只是简单的利用公式进行计算，大家想一想，根据等式的定义，把式子反过来同样

成立。

根据这个式子，我们可以利用它对二次根式进行化简。

课本例5。

【过渡】这些例题中，我们能够发现，在我们所得到的结果中，都需要满足这样的要求。

(1)分母中不含有二次根式，并且二次根式中不含分母；

(2)最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式。

【过渡】那么现在又有一个问题，究竟什么的根式属于最简二次根式呢？我们来看一下这样几个

根式，得，3^5,20,2仃，这几个根式均是没有办法再进一步化简的计算结果。从这几个式子当

中，结合刚刚的例题，大家能总结出来最简二次根式的定义吗？

最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。

【练习】课件展示练习题，学生快速回答。

【过渡】根据这个最简二次根式，大家来计算一下例6吧。

课本例6o

【过渡】从例6中，我们可以发现，如果在最初的化简之后，得不到最简二次根式，那么我们就

需要想办法去满足。这个在做题的过程中，需要大家慢慢体会。

【典题精讲】1、已知：a2+b2-4a-2b+5=0,求正迎二上的值。

arab

解：Va2+b2-4a-2b+5=0,

J(a-2)2+(b-1)2=0,

.*.a-2=0,b-1=0,解得a=2,b=l,

aHU)?ab

原式二

当a=2,b=l时，原式=1+一

2

—2x-^-/xv+3v

2、.已知x、y均为正数，且次（次+,@=34（、反+5Jy），求q~QpJ的值。

解：由已知条件可知：x-2月-15y=0

（、反+3^/y）（v'x-5行）=0

；舟3护0

，、反-5J户0,，、氏=5即x=25y

原式=2

【知识巩固】1、计算（1）坐；（2）空

V23五

解：（1）

「、9屈9叵■而，_

（2）-^=375

3近3遍

解：原式=那第La2b2、，额

【拓展提升】1、则m的值是B)

A.大于1B.小于1

C.等于1D.无法确定

2、已知x为奇数,求、，l-2x-x」+，3x-l的值。

...x-620,9-x>0,解得6Wx<9；

又「x为奇数,

【小结、板书设计】

1、二次根式的乘法：

【教学反思】

16.3《二次根式的加减》教案

【教学目标】

1.知识与技能

（1）理解和掌握二次根式加减的方法；

（2）含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用。

2.过程与方法

先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解。再总结经验,

用它来指导根式的计算和化简。

3.情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。

【教学重点】

二次根式的乘除、乘方等运算规律。

【教学难点】

最简二次根式的判断，及二次根式的混合运算。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【德育渗透】

少壮不努力，老大徒悲伤。一一汉乐府古辞《长歌行》

【教学过程】

一、复习导入

【过渡】在之前的学习当中，我们学习了同类项的合并，大家还记得同类项合并的计算方法吗？

我们来检测一下吧。

学生活动：计算下列各式。

(1)2x+3x；(2)2X5-5X5+5X5；(3)3x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a3

【过渡】上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并。同类项合并就是字母不变，

系数相加减。而我们本节内容，则主要是学习二次根式的加减，那么这两者之间有没有什么共同点呢？

现在，就让我们一起来探究一下吧。

二、新课教学

1.二次根式的加减

【过渡】按照我们刚刚复习的同类项的合并，我们来试着思考一下，这样的同类项合并能否用于

二次根式呢？我们来看看课本12页的思考题。

【过渡】问题是要判断能否截出两个正方形，转化为几何问题，即为判断两个正方形的边长和与

长方形的边长的大小，若小于长方形的边长，则说明不能截出。那么两个正方形的边长分别是建和

vl8＞两者之和为、用该如何计算这个呢？

(学生讨论回答)

结合我们复习的同类项合并，可以这样计算。课件展示计算过程。

【过渡】在这个问题之后，我们再来看几个简单的计算：

(1)75+375=⑵3675=⑶述+v隹⑷博旧=

(5)66=(6)

【过渡】根据刚刚我们探究的内容，这几个计算很容易就能算出来，我们也发现，(5)(6)这两

个是不能合并同类项的，而从(3)(4)中，在计算之前，我们需要将二次根式化简为最简根式。从

结果中，我们发现，前四个式子中，均分别有相同的二次根式V5与口，而二次根式的加减，也只能

在这样的条件下进行，这样的式子，我们称之为同类二次根式。

同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就叫做

同类二次根式。

【过渡】那么，我们该如何判断是否为同类二次根式呢？根据刚刚的内容，有人能总结一下吗？

(学生回答，并进行总结)

(1)先化简：把各个二次根式都化为最简二次根式。

(2)再观察：化简后的二次根式的被开方数是否相同。

【过渡】在判断的时候，我们只需要看被开方数是否相同，而与其前面的因式及符号无关。大家

来练习一下吧。

【练习】下列各组二次根式是否为同类二次根式?

（1）配与V50;（2）g与g；（3）-3、6用与2代；（4）与三倔；（5）府与J-

【过渡】在判断的过程中，我们发现，有的二次根式表面上看是不同类，但是将其化简到最简根

式的时候，则为同类二次根式，因此，在判断的过程中，一定要记得，比较的是最简二次根式。

【过渡】在认识了同类二次根式之后，我们就可以总结二次根式加减的一般步骤了。

（1）将每个二次根式化为最简二次根式；

（2）找出其中的同类二次根式；

（3）合并同类二次根式。

【过渡】简单的对其进行总结，可以归纳为一化二找三合并，记住了这几个字，二次根式的加减

计算，就简单多了。

例题，课本例lo

【练习】下列计算哪些正确，哪些不正确？

（1）V5+V2=V5;（2）a+v侯aVE:⑶后丫信丫康；（4）avG+b、,G=（a+b）标⑸

32

（学生回答，并指出如何错误）

【过渡】在二次根式的加减运算中，通过刚刚的练习，我们需要牢记掌握的即是同类二次根式才

能相加。

【过渡】从计算中，我们可以发现，二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的运算

实质也基本相同。

【过渡】例1只是简单的加减法，现在我们看例2中加减法的混合运算吧。

课本例2。

【过渡】在之前学习过的运算中，我们会有加减乘除在一块的混合运算，在二次根式的运算中，

同样也有这样的混合运算。

课本例3,例4。

【过渡】从例题中，我们能够看出，以前学过的运算律、运算法则、运算顺序，二次根式混合运

算仍然适用。

【典题精讲】1、设x-m,,求（=2+的值。

222

例..1-V2+V31W2-V3

解：.x=-------，y=-------,

22

x+y=],x-y=73-V2»xy=-

2

js-vr(x+yXx-y)^…_避-丫入二2+遍」

原式=[-------J+xy=(-------)+-------

2224o

2、如果最简二次根式"/石和v砺豆是同类二次根式，求a、b的值.

解：.•…遂和、国帝是同类二次根式，

b-a=2,3a=2b-a+2

解得：a=3,b=5

【知识巩固】1、计算：⑴3^18+^-4703;(2)VT7-15#+：日;⑶佗g[+闻

_rrrz

解：⑴原式=9您+芋-4X#=8@

61

(2)原式=3VJ-15xj+[X4VJ=-V5；

(3)原式=\^5-------f■无尽2v5二—F2丫怎

236

2、把卜列各式化成最简二次根式(a>0,b>0).

(1)师+3a器-毋xJ|

⑵I厄ab寻卡

解：(1)原式=2、版+丫辰・、，辰=2^/55

(2)原式=(2\&屈)x[=2瓜

【拓展提升】1、解下列方程和不等式。

V21

(1)M-X+-^=2x+l

V2-1正+1

(2)、用(x-1)>3(x+1)

V21

解：(1)-=r-X+——=2x+l

V2-1V2+1

分母有理化，得

V2（V2+l）x+V2-l=2x-l

去括号，得2X+V2X+V5-1=2X-1

移项及合并同类项，得

V5X=-2,解得，x=-l»

(2)厌(x-1)>3(x+1)

去括号，得

的x-y/6>3x-3

移项及合并同类项，得

(V6-3)x>3+V6

系数化为1,得

x<-5-2、石

2、如图，某学校计划在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水

池.搞设计需要考虑有关的周长，如果小喷水池的面积为8平方米，花坛的绿化面积为10平方米，

问花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？

解：由题意可知喷水池的边长为、国米，

花坛的外周边长为V而耳=，无米.

所以周长一共是：4(、用+VI8)=4(272+3V2)=200(米).

答：花坛的外周与小喷水池的周长一共是20匹米。

3、已知5-仃的整数部分为a,小数部分为b,则求2af的值。

解：由题意可得：a=3,b=2-V3，

2a--=2X3-3=4-VJ。

b2-V3

【小结、板书设计】

1、二次根式的加减即为对同类二次根式的合并。

二次根式的加减与整式的加减根据都是分配律，它们的运算实质也基本相同。

【教学反思】

17.1.1《勾股定理》教案

【教学目标】

1.知识与技能

(1)了解关于勾股定理的一些文化历史背景。

(2)能用勾股定理解决一些简单问题。

2.过程与方法

发展观察、归纳、概括等能力，发展有条理的思考能力以及语言表达能力。

3.情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。

【教学重点】

勾股定理的推导

【教学难点】

利用勾股定理解决问题。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【德育渗透】

一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。一一《增广贤文》

【教学过程】

一、情景导入

【过渡】如图所示为2002年在北京举行的国际数学家大会的会徽，它标志着我国古代数学的

成就。这个图形里到底蕴涵了什么样博大精深的知识呢？今天我们就来探究一下，关于这个图形，究

竟有哪些知识。

■CM2€C2

Beijing

August20-28,2002

二、新课教学

I.勾股定理

【过渡】相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中

反映了直角三角形三边的某种数量关系。现在，我们也来观察一下，从图形中能发现什么知识呢？

【过渡】大家来看P22页的思考内容，我们发现，这个图形与上边的图形是一致的，今天，我们

也来当一回科学家，来思考一下，这个图形到底有什么奥秘呢？

/

/

/C\

\/

A/

\/

B

图甲

【过渡】我们能够看到，在这个图中，有三个正方形A、B、C,现在，我们假设小方格的边长

为1。正方形A、B、C的面积各为多少？

（学生回答）引导学生通过小方格的个数计算。

【过渡】通过观察，我们发现，三个正方形，SA=6,SB=6,SC=12»由此，我们能够回答思考内

容中的第一个问题，即三个正方形的关系是SA+SB=SC。

【过渡】现在，我们来看第二个问题，结合正方形的知识，我们知道三个正方形所围成的，即蓝

色部分是一个等腰直角三角形。我们假设A、B、C三个正方形对应的边长分别为a、b.c»则通过

正方形面积的计算，大家能得到什么呢？

(学生回答)

【过渡】大家都是很优秀的科学家，就是这样，我们能够得到a?+b2=c2,而从图中，我们又能发

现，a、b、c刚好是等腰直角三角形的三条边。那么，现在谁能来总结一下，等腰直角三角形中三边

的关系呢？

对于等腰直角三角形有这样的性质：斜边的平方等于两直角边的平方和。

【过渡】既然等腰三角形中有这样的性质，那大家就可能会说，其他一般的三角形中会不会也有

同样的性质呢？我们来看课本探究的内容。

【过渡】同样是假设小方格为1,我们画出了一般情况下的直角三角形。同样根据刚刚的面积法,

我们来探索一下。

【过渡】同样的，我们能够得到SA+AB=SC，而对应的边所组成的三角形的边长也有同样的关系:

a2+b2=c2o

【过渡】由以上的例子，我们得到这样的猜想：

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a?+b2=c2。

【过渡】从古至今，有很多科学家对命题1进行了证明，下边我们来介绍证明方法：

(1)赵爽弦图：学生阅读课本，进行理解。

【过渡】赵爽弦图是比较著名的证明方法，他的基本思路是用四个直角三角形围成如图所示的正

方形。从面积角度入手，大正方形的面积为c2,小正方形的面积(b-a)2。与此同时，S大=4S三+S小。

即c2=2ab+a2-2ab+b2。由此得到a2+b2=c2o

【过渡】赵爽弦图证明了命题I的正确性。我们将其成为勾股定理。

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

【过渡】利用勾股定理，可以简单的解决一些问题。大家来练习一下吧。

【过渡】在勾股定理的应用当中，也会存在一些变式的应用。如确定斜边等。

课件展示变式应用。

【典题精讲】

如果直角三角形两边长分别为3和4,那么第三边的长为_5或妊.

解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5,

（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为，

V7

故答案为5或、斤.

如图已知AD是直角^ABC的中线，E为BD的中点，BA=BD,问AC、AE的长度有何等量关

解析：AB=2AE.

证明：设AB=x,

VAD为斜边BC的中线，

；.BD=DC=DA=x,即4ABD为等边三角形,

；.AE==AB.

AC=,且BC=2AB,

；.AC=AB,；.AC=2AE

【知识巩固】1、如图，则正方形A的边长是（A）

64

/100厂

A.6B.36C.64D.8

2、若一个直角三角形的一条直角边长是7cm,另一条直角边比斜边短1cm,则斜边长为(D)

A.18cmB.20cmC.24cmD.25cm

3、判断题：

(1)直角三角形三边分别为a,b,c,则一定满足下面的式子：a?+b2=c2错误

(2)直角三角形的两边长分别是3和4,则第三边长是5错误

4、如图，在AABC中，/A=45°,NB=30°,CDJ_AB,垂足为D,CD=1,则AB的长为(D)

A.2B.2C.+1D.+1

【拓展提升】1、已知RtaABC的周长为14,面积为7.试求它的三边长。

解：设AABC的三边长分别为a、b、c,其中c为斜边，依题意得方程组：

a2+b2=c2①；ab=7②；a+b+c=14③

由③得：a+b=14-c

从而解得：c=6.

于是，a+b=14-c=8,ab=98-14c=14.

从而a、b是方程z2-8z+14=0的两根.解得z=4±.

故Rt^ABC的三边分别为4-、％4+品6

【小结、板书设计】

1、勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

【教学反思】

17.1.2《勾股定理》教案

【教学目标】

1.知识与技能

利用勾股定理解决实际生活问题。

2.过程与方法

灵活运用所学知识，主动参与讨论学习。

3.情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。

【教学重点】

正确利用勾股定理解决实际问题。

【教学难点】

将实际问题转化为数学问题。

【教学方法】

讲解与练习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【德育渗透】

天行健，君子以自强不息。一一《周易•乾•象》

【教学过程】

一、复习导入

【过渡】上节课我们学习了什么是勾股定理以及简单的应用，现在我们先来回忆一下，什么是

勾股定理？

（引导学生回答）

【过渡】大家回答的都很正确，看来课下都进行了复习。那么，现在我就要检验一下大家究竟会

不会运用勾股定理。

课件展示简单的应用题。学生回答。

【过渡】刚刚的问题只是非常简单的应用，这节课我们将学习勾股定理的深一步应用。

二、新课教学

1.勾股定理的应用

(1)生活中的数学问题

【过渡】我们首先来看勾股定理在生活实际问题中的应用。

讲解例1。

【过渡】读过问题之后，我们知道，这是一道实际的问题。在之前，我们学习过，遇到实际问题

时，我们需要想办法将其转化为数学问题，而实际的图形就需要转化为数学图形0

【过渡】从题目中，我们知道，木板的长和宽都大于门的宽度和高度。因此，不论是横着还是竖

着，都是不可能将木板弄进屋里。在这个时候，我们就需要考虑，斜着能否将其抬进去呢？

【过渡】我们知道，在矩形中，其对角线的长度是最大的，因此，就将问题转化为比较对角线与

木板长度的大小。在这里，我们就需要用到勾股定理。

课件展示解题过程。

【过渡】现在，我们来看另一类问题。

讲解例2.

【过渡】题目可以转化为比较BE与0.4m的大小，这样就能够将问题数学化，再利用勾股定理,

就可以解决问题了。

课件展示解题过程。

(2)立体问题

【过渡】除了以上的问题之外，我们还会遇到在立体图形中的问题。

例3：有一个圆柱，它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米，在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,

它想从点A爬到点B,蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少？(”的值取3)

【过渡】求至少要爬多少路程，根据两点之间直线最短，把圆柱体展开，在得到的矩形上连接两

点，求出距离即可。

课件展示解题过程。

(3)折叠问题

【过渡】折叠问题是勾股定理应用中的有一种类型，我们通过例题来看一下如何解决这类问题。

例4：矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=8,BC=10,求折痕AE

的长。

【过渡】解决这类问题最重要的是理解折叠，即找到对应的线。

课件展示解题过程。

【知识巩固】1、如图，小明家居住的甲楼AB面向正北，现计划在他家居住的楼前修建一座乙

楼CD,楼高为18米，已知冬天的太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°,若让乙楼的影子刚好

不影响甲楼，则两楼之间距离至少应是多少米？

解：：CE〃DB,

NECB=30°,

AZCBD=30°.

在RtZ\CBD中，CD=18m,

CB=2CD=2X18=36(m).

BD=v'BCJ-CDJ=18丫5(m)

2、如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6cm,BC=8cm,点P,Q同时从A,B两点出发，

分别沿AC,BC方向向点C匀速运动，它们的速度都是lcm/s,那么几秒后，P,Q两点之间的距离

为2、5cm?

设x秒后，PQ=2y/5cm,贝!|PC=PC=(6-x)cm,CQ=(8-x)cm,

由勾股定理得：(6-x)2+(8-x)2=(2VJ)2

整理得：X2-14X+40=0解得：x=4或x=0(不合舍去)

4秒后，PQ=2y/5cm

3、如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为55寸、10寸和6寸，A和B是这个

台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是多

少？

解：展开后由题意得：NC=90°,AC=3XI0+3X6=48（寸）,

BC=55寸，

由勾股定理得：AB=，ACJ-BO=73（寸）

4、如图，把长方形ABCD沿FE折叠，使点B落在边AD上的点B'处，点A落在点A'处,

若AE=3,BF=4,则AB长是多少？

解：由折叠的性质知：A'B'=AB,AE=A'E,BF=B'F,NA'=NA=90°,NB'FE=NBFE；

又：AD〃BC,

.,.ZBFE=ZB,EF,

.♦./B'EF=/BFE=/B'FE,即B'E=B'F=BF；

在RtZXA'B'E中，由勾股定理得：A'B'2+A（E?=B'E2,

即：AB2=BF2-AE2,

；.AB=严亍=/，即AB的长度是夕。

【拓展提升】1、已矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,点F在DC上，DF=2.动点M、N分别

从点D、B同时出发，沿线段DA、线段BA向点A的方向运动，当动点M运动到点A时，M、N

两点同时停止运动.连接FM、FN.设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x

秒，问：当x为多少时，FM±FN?

解：连接MN,做NPJ_DC,

当FM_LFN时，即△MFN为直角三角形，.*.FM2+FN2=MN2,

VMN2=AM2+AN2,DM2+DF2=FM2,PF2+PN2=FN2,

又•.•设点M、N的运动速度都是1个单位/秒，矩形ABCD的边长AB=6,BC=4,DF=2,M、N

运动的时间为x秒，DM=x,AM=4-x,AN=6-x,PN=4,PF=6-2-x,

DM2+DF2+PF2+PN2=AM2+AN2,

.\X2+4+(4-X)2+16=(4-x)2+(6-x)2,解得:x=4/3«

【小结、板书设计】

1、勾股定理的应用：

生活中的数学问题

立体问题

折叠问题

【教学反思】

17.1.3《勾股定理》教案

【教学目标】

1.知识与技能

(1)了解在数轴上无理数的表示。

(2)能用勾股定理解决问题。

2.过程与方法

在讲解与练习中进一步加深理解。

3.情感态度和价值观

通过师生共同活动，促进学生在学习活动中培养良好的情感，合作交流，主动参与的意识。

【教学重点】

无理数的表示

【教学难点】

正确的在数轴上表示无理数。

【教学方法】

自学与小组合作学习相结合的方法。

【课前准备】

教学课件。

【课时安排】

1课时

【教学过程】

一、复习导入

【过渡】在之前的学习中，我们了解到了数轴这样一个概念。现在，大家看一下这两个问题,