高等数学微积分第2章 第8节 函数的连续性_第1页
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第八节函数的连续性一.连续函数的概念1.改变量初值终值记作:注1.改变量可正可负.2.2.连续定义2.14设函数在点的某邻域内有定义,自变量的改变量如果时,函数的改变量趋于也趋于即,则称在点连续.注在点函数连续的几何意义.例1证明在处连续.因证所以故在处连续.例2证明在处连续.例3证明在内任一点连续.证在内任取一点因所以故在内任一点连续.讨论函数连续的另一定义形式定义2.15设函数在点的某邻域内有定义,如果则称在点连续.注精确性定义:设函数在点的某邻域内有定义,如果对不论多么小,总存在当时,恒有则称在点连续.连续条件:有定义有极限值相等.有定义、有极限都是连续的必要条件.如果则称在点右连续.则称在点左连续.关系连续的充要条件为左连续且右连续.区间连续:如果函数在开区间内每一点都连续,则称在开区间内连续.如果函数在开区间内连续,并且在左端点右连续,在右端点左连续,则称在闭区间上连续.注几何意义两定义分工:定义(1)一般用于证明题.定义(2)一般用于具体题判断.例4设讨论处的连续性.解故在处连续.在即例5讨论函数处的连续性.解所以故函数连续.因又从而在例6求的值,使函数在分界点连续解依题意得故二、函数的间断点1.跳跃间断点例7解2.可去间断点例8解注意

可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.关于可去间断点的附加说明在是可去间断点.因而却不存在,所以间断.如果将改成则在连续.但事实上是在连续.数学上可以通过讨论解决的问题.补充定义的方法:先求极限值,极限值是几,就将函数值改成几.例8给补充一个什么数值,能使在点连续.解补充如例8中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点3.第二类间断点例9解例10解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.例11解例12讨论若有间断点判别其类型，并作出图形解

跳跃间断点

可去间断点

第一类间断点

左右极限存在

左右极限不相等

左右极限相等不等于函数值

无穷间断点

其它间断点

第二类间断点左右极限至少有一个不存在左右极限至少有一个为无穷大

振荡间断点

左右极限至少有一个振荡第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyx可去型oyx三.连续函数的性质如果和在点连续,则(1)在点连续;(2)在点连续;(3)当时,在点连续.如果函数在点连续,在点连续,并且则复合函数在点连续.定理2.22定理2.23如果函数在点连续,且有反函数则在点连续.重要结论一切初等函数在其定义区间内连续.注在定义域内不连续.定理2.24问题:(1)初等函数求连续区间?(2)初等函数求间断点?(3)分段函数求间断点?求极限:(1)已知在点连续,则例13求解原式(2)极限符号与函数符号互换条件:外函数在内函数的极限点处连续.例14求解令则

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