复变函数工科第二讲

第三节复数的乘幂与方根二、幂与根三、小结与思考一、乘积与商2一、乘积与商定理一

两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.证3两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为4说明由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.例如，5由此可将结论推广到n

个复数相乘的情况:6定理二

两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.证按照商的定义,[证毕]7例1解8例2解如图所示,910二、幂与根1.n次幂:11棣莫佛公式推导过程如下:2.棣莫佛公式12根据棣莫佛公式,13当k以其他整数值代入时,这些根又重复出现.14从几何上看,15例3解1617例4解18即19例5解即2021三、小结与思考

应熟练掌握复数乘积与商的运算.在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便:

棣莫佛(deMoivre)公式放映结束，按Esc退出.第四节复平面的区域一.平面点集的有关概念1.邻域：平面上以z0为中心,

以d(任意的正数)为半径的开圆:|z-z0|<d内部的点的集合称为z0的邻域。去心邻域：由不等式0<|z-z0|<d所确定的点集称为z0的去心邻域。δz0

开集：设G为一平面点集,z0为G中任意一点.

如果存在z0的一个邻域,该邻域内的所有点都属于G,则称z0为G的内点.

2.开集与闭集

闭集：平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记作,开集的余集称为闭集。

边界：设D为复平面内的一个区域,若在点z0的任一邻域内既有G的点,又有的点，则称z0

是G的边界点.

G的所有边界点组成G的边界。如果G内的每个点都是它的内点,则称G为开集

孤立点:z0属于G,若在z0的某一邻域内除z0外不含G的点，则称z0为G的一个孤立点。孤立点一定是G的边界点。

有界集：若存在一个以z=0为中心的圆盘包含G，则称G为有界集，否则称G为无界集。G孤立点边界邻域z0例题:R3.区域

平面点集D满足下列两个条件，则称之为区域：

1)D是一个开集;

2)D是连通的。

(即：D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连接起来)D

z1z2区域区域D和它的边界构成闭区域或闭域，记作：故：区域就是连通开集例题：

表示方法：

a、参数方程：z(t)=x(t)+iy(t)

b、动点z所满足的关系式

光滑曲线：如果在闭区间[a,b]上Rez(t)和

Im

z(t)都是连续的，且它们的导函数恒不为零，则称此曲线为一条光滑曲线。

类似地，可以定义分段光滑曲线。4.平面曲线

简单曲线：设C:z=z(t)(a

t

b)为一条连续曲线,

z(a)与z(b)分别为C的起点与终点

对于满足a<t1<b,a

t2

b的t1与t2,当t1

t2

但z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C的重点.

没有重点的连续曲线C,称为简单曲线或

若当(Jardan)曲线

z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)

若当曲线定理:

任一简单闭曲线把平面分成两个区域，它们都以该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另外一个为无界区域，称为外部。简单闭曲线的这一性质,其几何直观意义是很清楚的.内部外部C

如果对区域D内的任一条简单闭曲线的内部总属于D,则称D为单连通区域。

一个区域若不是单连通区域,就称为多(复)连通区域.单连通区域多连通区域5.连通区域33二、复球面1.南极、北极的定义34球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作

.因而球面上的北极N就是复数无穷大

的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.2.复