多元函数微积分

多元函数微积分

第一节空间解析几何简介

第二节

多元函数的基本概念

第三节

偏导数和全微分

第四节

多元复合函数求导法则第五节

隐函数的求导法则河南农业职业学院《高等数学与工程数学》第六节

多元函数的极值第七节

二重积分的概念和性质第八节

二重积分的计算第九节

对坐标的曲线积分

第一节空间解析几何简介

空间解析几何:

用代数方法讨论空间图形

先修知识：向量代数后续知识：多元微积分一、空间直角坐标系

二、空间两点间的距离

三、空间曲面及其方程

四、二次曲面

主要内容:

基本要求:

了解空间直角坐标系，空间点的坐标；掌握空间两点间的距离公式了解空间曲面（平面）方程的概念，由平面及常见曲面方程作出其图形

重点:

由平面及常见曲面方程作出其图形

一、空间直角坐标系yzOx空间直角坐标系：数(数组)与形(空间图形)结合的工具每两条坐标轴确定的平面称为坐标平面：xyOzxyOzxyOzyoz平面xoy平面xoz平面

三个坐标平面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限：

oxyⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧⅦzzxO

y

NM)

,

,

(

z

y

x

P

'

P′

yRz

x空间点有序实数组一一对应例1、建立空间直角坐标系，并作出下列点：二、空间两点间的距离公式三、空间曲面及其方程

曲面S与方程F(x,y,z)=0关系：（1）S上任一点的坐标都满足方程；（2）S外点的坐标都不满足方程.oxyz1、曲面方程的概念曲面S:空间满足一定条件的动点的轨迹.S

利用平面方程研究平面:

设平面的一般方程为

（1）A≠0，B≠0，C≠0，D≠0平面不过原点，在x轴、y轴、z轴、上的截距分别为

-D/A、-D/B、-D/C.令-D/A=a、-D/B=b、-D/C=c，则有

上式称为平面的截距式方程平面与三坐标轴的交点分别为

P(a,0,0)、Q(0,b,0)、

R(0,0,c)

其中a、b、c均不为零．

oxyzP(a,0,0)Q(0,b,0)R(0,0,c)（2）A≠0，B≠0，

C≠0，D=0

平面过原点（3）A、B、C中有一个为零A=0，平面方程为

By+Cz+D=0平面平行于x轴oxyzoxyz

B=0,平面方程为

Ax+Cz+D=0

平面平行于y轴

C=0,平面方程为

Ax+By+D=0

平面平行于z轴oxyzoxyz（4）A、B、C中有两个为零A=0，B=0,平面方程为

Cz+D=0平面与z轴垂直B=0，C=0,平面方程为

Ax+D=0平面与x轴垂直oxyzoxyzA=0，C=0,平面方程为

By+D=0平面与y轴垂直(5)z=0，xOy平面；

x=0，yOz平面；

y=0，xOz平面。oxyzz

O

x

y2

zO

x

y

1

z

O

x

y

1

1

A

B

C

263zO

x

y

练习：作出下列平面的图形1、2、3、4、5、6、（1）（2）（3）（4）（5）（6）

3、柱面CL要求：掌握母线平行于坐标轴的柱面方程M0

M

z

Ox

y

（2）母线平行于坐标轴的柱面方程

І、F(x,y)=0

准线C:xOy

平面上的曲线F(x,y)=0

母线与z轴平行；Ⅱ、G(x,z)=0

准线C:xOz

平面上的曲线G(x,z)=0

母线与y轴平行；Ⅲ、H(y,z)=0

准线C:yOz

平面上的曲线H(y,z)=0

母线与x轴平行.x

y

O

zyOx

z

y

Ox

z

例如：抛物柱面

y-x2=0准线C:xOy

平面上的抛物线

y-x2=0母线平行于z轴圆柱面

x2+z2=1准线C:xOz

平面上的圆

x2+z2=1母线平行于y轴yoxzoxyz

4、旋转曲面

CLLCLC绕旋转一周

(1)设yOz

平面上的曲线C:F(y,z)=0，绕z

轴旋转一周，问曲面方程怎样表示？取C上的一个点Ｍ1(0,y1,z1)，那么有

F(y1,z1)=0

当C绕轴旋转时，点Ｍ1旋转到点Ｍ(x,y,z)．这时有

z=z1

C：因此,yOz

平面上的曲线C:F(y,z)=0绕z

轴旋转一周而成的旋转曲面方程为

同理可得,曲线C:F(y,z)=0绕y

轴旋转所成的旋转曲面方程为同学们可以写出另外几种情形：小结：旋转面（坐标面内的曲线绕坐标轴旋转而成）方程的特点：1、形如

由曲线或绕轴旋转而成2、形如

由曲线或绕轴旋转而成3、形如

由曲线或绕轴旋转而成

zx

y

O练习：1、建立下列曲面的方程（1）（2）绕轴：绕轴：绕轴：绕轴：（3）（4）2、下列曲面是否旋转面？若是，如何产生？试作出其旋转面的图形：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）参考答案：（2）（3）（5）（6）（7）（8）（9）（10）

四、二次曲面

分析曲面形状的方法－－平行截面法：

用坐标面及平行于坐标面的平面去截曲面，考察其交线（即截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状.图形特性：

（1）关于坐标面，坐标轴以及坐标原点对称；

（2）完全包含在一个以原点为中心的长方体

|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c内；

（3）截痕：与三个坐标面的交线是椭圆与平面z=z1(|z1|≤c)的交线也是椭圆（4）特例

a=b时为旋转椭球面由xOz平面上的椭圆绕z轴旋转而成.类似地，与平面

的交线仍是椭圆．

椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化．

a=b=c时为球心在原点O，半径为a的球面.

２、抛物面

（1）椭圆抛物面

截痕:

考察(p>0,q>0)•与平面z=0相截于原点（椭圆抛物面的顶点）；•与平面z=z1（z1>0）的截痕是椭圆与坐标面y=0的截痕是抛物线与平面y=y1的截痕也是抛物线

与平面x=

0及x=x1的截痕也是抛线。z

x

y

O

特别地p=q

时为旋转抛物面(由xOz面上的抛物线x2=2pz绕它的对称轴z轴旋转而成的)•与平面z=z1（z1>0）的截痕是圆

３、双曲面

（1）单叶双曲面截痕：与平面z=z1的交线是椭圆与平面

的交线是双曲线O

y

x

z

（2）双叶双曲面截痕：xyoz

４、双曲抛物面（马鞍面）

练习作出由下列曲面或平面所围成的几何体：1、

2、

3、4、第二节多元函数的基本概念一、多元函数

二、二元函数的极限与连续性

主要内容

基本要求

理解平面区域的有关概念；理解多元函数的概念及二元函数的几何表示，掌握二元函数的定义域及其几何表示；了解二元函数极限的思想；了解二元函数的连续性

重点

二元函数的概念、定义域，平面区域的有关概念1.实例分析

一、多元函数

１．二元函数的定义

O

2

2

2

a

y

x

=

+

y

x

a

a

yO

xx

O

1

3

y2.二元函数的几何表示

y

x

z

O

X

Y

M

D

P

x

y

z

O

z=1-x-y

z

2

2

y

x

z

+

=

x

y

O

y

x

z

R

R

R

O

1.二元函数的极限

二、二元函数的极限与连续性第三节偏导数和全微分

一、偏导数

二、高阶偏导数

三、全微分

主要内容

基本要求

理解偏导数的概念，掌握偏导数的求法；理解高阶偏导数的概念并掌握求法；了解多元函数全微分的概念，掌握计算方法

重点

多元函数偏导数和全微分的运算一、偏导数二、高阶偏导数三、全微分

1、全微分的定义第四节多元复合函数求导法则

基本要求

理解多元复合函数的概念；掌握求多元复合函数偏导数的链导法则，并会求多元复合函数（包括抽象函数）的偏导数。

重点

多元复合函数偏导数的链导法则z

u

x

y

y

z

u

v

w

x

y

x

y

u

v

w

z

u

x

x

y

《高等数学》z

u

v

x

基本要求

理解多元隐函数的概念；掌握求多元复合函数偏导数的运算方法。

重点

多元隐函数偏导数运算思考题：一、多元函数的极值

二、二元函数的最大值与最小值

三、条件极值

第六节多元函数的极值

基本要求

理解多元函极值数的概念；掌握二元函数极值的求法（限于两个偏导数存在的条件下）。

重点

二元函数极值的求法；实际问题中多元函数的最大值和最小值，条件极值。

掌握多元函数最大值和最小值的求法及其实际应用。

一、多元函数的极值O

x

y

zx

y

z

1

1

Oy

x

z

O

二、二元函数的最大值与最小值O

y

x

4

4

4

=

+

y

x

x

y

z

三、条件极值

第一节二重积分的概念与性质

基本要求

理解二重积分的概念和几何意义；了解二重积分的基本性质。

重点

二重积分的概念和几何意义一、二重积分的概念xzOyD2．二重积分的概念3．二重积分的性质第二节二重积分的计算一、利用直角坐标计算

二、利用极坐标计算

主要内容

基本要求：

会计算较简单的二重积分

重点：

二重积分的计算三、二重积分应用举例一、利用直角坐标计算二重积分

y

x

O

x

abD

(a)（ｂ）上式也可简记为

②O

y

x

)

(

2

y

x

x

=

=

x

)

(

1

y

x

c

d

D

化二重积分为累次积分时,需注意以下几点：（1）累次积分的下限必须小于上限;

Oy

x

ⅠⅢDⅡO

y

x

D

1

1

x

O

y

x

D

2

y

x

=

2

+

=

y

x

1

-

2

)

1

,

1

(

-

A

)

2

,

4

(

B

O

yxD

注：此题若选择另一种积分次序较烦琐，读者不妨一试。

注：此题若选择另一种积分次序，会出现“积不出来”的积分。1.极坐标系下的面积元素二、利用极坐标系计算二重积分

O

x

s

d

q

d

r

r

d

q

d

q

(a)

2.极坐标系下化二重积分为累次积分

(b)

O

x

b

a

)

(

1

q

r

r

=

)

(

2

q

r

r

=

O

x

q

)

(

q

r

r

=

y

x

O

q

D

q

cos

2

R

r

=

R

2

2

y

x

1

O

x

y

O

D