八年级数学上学期轴对称专项练习

八年级数学上学期轴对称专项练习

一、单选题

1.在平面直角坐标系中，点A(-3,-2)关于y轴的对称点在()

A.第•象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.如图，在“BC中,AB=3,AC=4,8c=5,EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的任意一点，贝UPA+PB

的最小值是()

A.3B.4C.5D.6

3.如图，在AMC中，AB=AC,过点A作2M_LAC交BC于点。.若=,则4田的度数为

A.18°B.20°C.30°D.36°

4.如图，在3x3的正方形格纸中,格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中AABC

是一个格点三角形，在这个3x3的正方形格纸中，与成轴对称的格点三角形最多有()

A.3个B.4个C.5个D.6个

5.点(-2,5)关于坐标原点对称的点的坐标是()

A.(2,-5)B.(-2,-5)C.(2,5)D.(5,-2)

6.如图，每个小方格的边长为1,A,B两点都在小方格的顶点上，点C也是图中小方格的顶点，并且AABC

是等腰三角形，那么点C的个数为()

B

A.1B.2C.3D.4

7.如图在3x3的网格中，点A、8在格点处：以A8为一边,点P在格点处，则使AABP为等腰三角形的

点P有（）个

r--1------LT

ill,

A.2个B.3个C.4个D.5个

8.下列交通标志中,轴对称图形的个数为（）

▽

减速让行禁止驶入环岛行驶靠左侧1道路行驶

A.4个B.3个C.2个D.1个

9.正五边形A8CDE中，/8EC的度数为（）

A.18°B.30°C.36°D.72°

10.如图，已知N。,点P为其内一定点，分别在NO的两边上找点A、B,使A/MB周长最小的是

（）

2

P

A

A..B.

二、填空题

11.等腰三角形的周长为20cm,一边长为6cm,则底边长为cm.

12.把两个同样大小含45。角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角

尺的直角顶点重合于点A,且另外三个锐角顶点氏C,。在同一直线上.若舫=2,则8=—.

13.点M(3,-4)关于x轴的对称点的坐标是.

14.已知ZAQ8=30。，点C为射线08上一点，点。为0c的中点，且0C=6.当点P在射线OA上运动时，

则PC与PO和的最小值为.

15.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一

角.这个三等分角仪由两根有槽的棒0A,0B组成，两根棒在0点相连并可绕0转动,C点固定,0C=CD=DE,

点D、E可在槽中滑动.若NBDE=75。则NCDE的度数是

16.点P(2,—3)关于x轴对称的点P的坐标是

17.如图，。是A4BC内部的一点，AD=CD,NBAD=NBCD,下列结论中，®ZDAC=ZDCA;②AB

=AC;®BDLAC-,④8。平分NABC.所有正确结论的序号是.

18.如图，ZABC=60°,A8=3,动点P从点8出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线8c运动，设点

P的运动时间为，秒，当AABP是钝角三角形时，，满足的条件是.

19.如图，△ABC四△ADE,点D在边BC上，NE4C=36。，则NB=

20.如图，AB=AC,BD±AC,ZCBD=a,则乙4=(用含a的式子表示).

4

D

BC

21.在平面直角坐标系中，点P（l,2）关于y轴的对称点。的坐标是；

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，点8的坐标为（2,0）,若点A在第一象限内，且A8=OB,乙4=60。,

则点A到丫轴的距离为.

23.如图，AABC是等边三角形，8c于点D,DELAC于点E.若AD=12,则£＞E=—；AEDC

与AABC的面积关系是：产

3“8c

24.如果等腰三角形的一个角比另一个角大30。，那么它的顶角是度

三、解答题

25.如图，在等边三角形A8C右侧作射线CP,ZACP=a（0。＜。＜60。），点A关于射线CP的对称点为点

D,80交CP于点E,连接AD,AE.

p

(1)求NO8C的大小(用含a的代数式表示);

(2)在a(0°<«<60°)的变化过程中，N4E8的大小是否发生变化？如果发生变化，请直接写出变化的

范围；如果不发生变化，请直接写出/4EB的大小;

(3)用等式表示线段AE,BD,CE之间的数量关系，并证明.

26.如图，点D,E在AABC的边BC上，AB=AC,AD=AE,那么BD与CE相等吗？为什么?

27.课堂上，老师提出了这样一个问题：如图1,在AABC中，AD平分Z&4C交于点D,且

AB+BD=AC.求证：ZABC=2ZACB.小明的方法是：如图2,在4c上截取AE,使AE=AB,连接£)E,

构造全等三角形来证明结论.

(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段A3构造全等三角

形进行证明.辅助线的画法是：延长A8至F,使斯=,连接。F.请补全小天提出的辅助线的

画法，并在图I中画出相应的辅助线；

(2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题：如图3,点D

在的内部，AD,BD,CD分别平分N84C,ZABC,NACB,S.AB+BD=AC.求证：

6

NABC=2NAC3.清你解答小芸提出的这个问题；

(3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下：如果在“U3C中，

ZABC=2ZACB,点D在边BC上，AB+BD=AC,那么平分㈤C.小东判断这个命题也是真命题,

老师说小东的判断是正确的.请你利用图4对这个命题进行证明.

图3图4

28.如图，AABC是等边三角形，AADC与"8C关于直线AC对称,AE与CC垂直交BC的延长线于点E,

ZEAF=45°,且AF与AB在AE的两侧，EFLAF.

(1)依题意补全图形.

(2)①在AE上找一点P,使点P到点B,点C的距离和最短；

②求证：点。到AF,EF的距离相等.

29.数学课上，李老师提出问题：如图1,在正方形ABCQ中，点E是边BC的中点，ZA£F=90°,且EF

交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF.

图1图2

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路.取AB的中点H,连接HE,则ASHE为等腰直角三角形，这

时只需证AAHE与4ECF全等即可.

在此基础上，同学们进行了进一步的探究：

(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边8c的中点”改为“点E是边8c上(不含点昆C)的任意一点”，

其他条件不变，那么结论『仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果

(2)小华提出：如图3,如果点E是边8c延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论"AE=EF，是

否成立？—(填“是”或“否”)；

(3)小丽提出：如图4,在平面直角坐标系xOy中，点。与点B重合，正方形的边长为1,当E为BC边

上(不含点B,C)的某一点时，点尸恰好落在直线y=-2x+3上，请直接写出此时点E的坐标.

30.如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,ZkABC的顶点都在网格线的交点上，点B关

于y轴的对称点的坐标为(2,0),点C关于x轴的对称点的坐标为(-1,-2).

(1)根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy;

(2)画出分别关于y轴的对称图形△AEG；

(3)写出点A关于x轴的对称点的坐标.

31.如图，AB//CD,点E在CB的延长线上，ZA=,AC=ED.

8

E

R

A

(1)求证：BC=CD,

(2)连接BD,求证：ZABD=AEBD.

32.如图，AABC中，AB=AC,ACBC于点，延长AB至点E,使乙4EC=/D4B.判断CE与A。

的数量关系，并证明你的结论.

33.在"BC中，ZC=90°,AC=BC=2,直线BC上有一点P,M,N分别为点尸关于直线AB,AC的对称

点,连接AM,AN,BM.

图2

(1)如图1,当点P在线段8c上时，求NMAN和NMBC的度数;

如图2,当点P在线段BC的延长线上时,

①依题意补全图2;

②探究是否存在点尸，使得需=3,若存在，直接写出满足条件时CP的长度；若不存在，说明理由.

34.如图，在AABC中，NC=90。，ZS=30。，请你按照下面要求完成尺规作图.

①以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点M,

②再分别以C,历为圆心，大于gcM的长为半径画弧，两弧交于点尸，

③连接AP并延长交BC于点D.

请你判断以下结论：

①AD是AABC的一条角平分线；②连接CM,AACM是等边三角形；③％小$△枫=1：4;

④点。在线段48的垂直平分线上；⑤加＞8=150。.其中正确的结论有(只需要写序号).

35.如图，在RtaABC中，AB=AC,ZC4B=90°.点。是射线84上一点，点E是线段A8上一点，且

点。与点E关于直线AC对称，连接8,过点E作直线所，8,垂足为点F,交CB的延长线于点G.

(1)根据题意完成作图；

(2)请你写出/CD4与NG之间的数量关系，并进行证明;

(3)写出线段GB,4£＞之间的数量关系，并进行证明.

36.如图，计划在某小区道路/上建一个智能垃圾分类投放点O,使得道路/附近的两栋住宅楼4，B到智

能垃圾分类投放点。的距离相等.

A.

'B

(1)请在图中利用尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)，确定点。的位置;

(2)确定点O位置的依据为.

10

参考答案

1.D

【分析】

根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数求出对称点的坐标，再根据各象限

内点的坐标特点解答.

【详解】

解：•.•点A(-3,-2)关于y轴的对称点是(3,-2),

.•.A(-3,-2)关于y轴的对称点在第四象限.

故选：D.

【点睛】

本题考查了已知点的坐标和该点关于y轴的对称点的坐标的关系(二者的纵坐标不变，横坐

标互为相反数)，以及四个象限中点的坐标的特点.

2.B

【分析】

根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C,故当点P-为EF和AC的交点时，AP+BP值

最小为AC的长为4.

【详解】

；.B、C关于EF对称，

当AC交EF于P时，AP+BP的值最小，最小值等于AC的长为4,

故选:B.

【点睛】

本题考查轴对称——最短路线问题的应用.解决此题的关键是能根据轴对称的性质和两点之

间线段最短找出P点的位置.

11

3.A

【分析】

根据等腰三角形的性质可得4=NC,在根据NB=2Z&M>,以及三角形的内角和即可得

到答案.

【详解】

-,-DAA.AC,

ZDAC=90°,

■.AB=AC,

为等腰三角形，

NB=NC,

ZB+ZC+ABAC=180°,NB=2ZBAD,

2ABAD+2ABAD+ABAD4-ADAC=180°,

:.5ZBAD=90°,

.•.440=18°

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关

键.

4.D

【分析】

根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出成轴对称的三角形即可得解.

【详解】

解：与成轴对称的格点三角形最多有6个.

12

c(c)

【点睛】

本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键,

本题难点在于确定出不同的对称轴.

5.A

【分析】

根据关于原点对称的点的坐标：横、纵坐标都互为相反数，可得答案.

【详解】

点(-2,5)关于坐标原点对称的点的坐标是(2,-5),

故选A.

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标,关于原点对称的点的坐标:横、纵坐标都互为相反数.

6.C

【分析】

分AB为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数.

【详解】

解：如下图：

13

当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作圆，可找出格点C的个数有2个;

当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有1个，

所以点C的个数为：2+1=3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，能分以AB为底和以AB为腰两种情况，并画出图形是解题

关键.

7.D

【分析】

根据等腰三角形的判定可得答案.

【详解】

解：如图所示，满足条件的点P的个数有5个，

故选D.

【点睛】

本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是学会分类讨论，注意不能漏解.

8.B

【分析】

根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可.

14

【详解】

解：第1个是轴对称图形，符合题意；

第2个是轴对称图形，符合题意；

第3个不是轴对称图形，不合题意；

第4个是轴对称图形，符合题意；

故选:B.

【点睛】

此题主要考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，对称轴可使图形两部分折叠

后重合.

9.C

【分析】

根据正五边形的性质和内角和为540。,得到AA8E丝△DCE,先求出N8EA和NCED的度数，

再求/BEC即可.

【详解】

解：根据正五边形的性质可得AB=AE=CD=DE,ZBAE=ZCDE=108°,

/\ABE^/\DCE,

：.NBEA=NCED=；(180°-108°)=36°,

NBEC=108o-36°-36o=36°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了正多边形的性质和内角和，全等三角形的判定，等腰三角形的性质，证明AABE

=/\DCE是解题关键.

10.D

【分析】

根据轴对称图形与三角形的周长定义即可求解.

【详解】

D图中，三角形的周长=AP+BP+AB=PIA+AB+BP2=PIP2,为一条线段，故为最小，其他三个

选项均不是最小周长.

15

故选D.

【点睛】

此题主要考查轴对称的性质与周长的定义，解题的关键是熟知轴对称的性质.

11.6或8

【分析】

分6cm是底边与腰长两种情况讨论求解.

【详解】

解：①6cm是底边时，腰长=；(20-6)=7cm,

此时三角形的三边分别为7cm、7cm、6cm,

能组成三角形，

②6cm是腰长时，底边=20-6x2=8cm,

此时三角形的三边分别为6cm、6cm、8cm,

能组成三角形，

综上所述，底边长为6或8cm.

故答案为6或8.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，难点在于要分情况讨论.

12.V6-V2.

【分析】

先利用等腰直角三角形的性质求出==,8尸=4尸=0,再利用勾股定理求

出DF,即可得出结论.

【详解】

如图，过点A作AFL8c于尸，

在RfA/WC中，ZB=45°,

BC=y/2AB=2>/2,BF=AF=%AB=4i,

・••两个同样大小的含45。角的三角尺，

:.AD=BC=2y/2,

在用凶£>尸中，根据勾股定理得，DF=y]AD2-AF2=76;

:.CD=BF+DF-BC=y/2+>/6-2y/2=>j6-y/2,

16

故答案为6-四.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题

的关键.

13.(3,4).

【分析】

根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答.

【详解】

点M(3,-4)关于x轴的对称点M，的坐标是(3,4).

故答案为(3,4).

【点睛】

本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律:

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

14.3g

【分析】

作点D关于0A的对称点D，，连接CD，交0A于点P,连接DP,,根据轴对称的性质得到

PD，=P，D,此时DP4CP，=CD，即为PC+PD的最小值，根据已知条件计算求出结果即可.

【详解】

解：作点D关于0A的对称点D\连接CD，交0A于点P',连接DP,,根据轴对称的性质得

到PD=PD,此时DP4CP，=CD，即为PC+PD的最小值.

设DD，与OA交于点E,

VZO=30°,0D=3,由对称性可知/DEO=90。，

AZODE=60°,DE=^-OD=",

22

・・・DD'=2DE=3,・・・DD'=CD,

17

/.ZD'=ZDCD'=^ZODE=30°,ZEDP'=ZD'=30°,

NODP，=NODE+/EDP，=90。，

.•.在RSODP，中，ZO=30°,OD=3,；.DP，="

，CP，=2DP，=2"

ADP'+CP'=3y/3.

故PC与PZ）和的最小值为3&

【点睛】

本题考查了轴对称-最短路线问题，两点之间线段最短的性质.得出动点所在的位置是解题

的关键.

15.80°

【分析】

根据OC=CD=DE,可得NO=/ODC,ZDCE=ZDEC,根据三角形的外角性质可知NDCE=

NO+NODC=2NODC据三角形的外角性质即可求出NODC数，进而求出NCDE的度数.

【详解】

OC=CD=DE,

二NO=N8C,ZDCE=ZDEC,

设NO=NODC=x,

ZDCE=ZDEC=2x,

：.NCDE=180°-NDCE-ZDEC=180°-4x,

NBDE=75。,

：.ZODC+NCDE+NBDE=180°,

即x+180°-4x+75°=180°,

解得：x=25。，

ZCDE=1800-4x=80°.

【点睛】

18

本题考查等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关

键.

16.(2,3)

【分析】

根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答.

【详解】

点尸(2,—3)关于x轴对称的点P的坐标是(2,3).

故答案为(2,3).

【点睛】

本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：

(1)关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

(2)关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

(3)关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

17.①③④.

【分析】

根据等腰三角形的性质和判定定理以及线段垂直平分线的性质即可得到结论.

【详解】

解：-：AD=CD,

.•./D4c=NDCA,故①正确；

'：ZBAD=ZBCD,

：.ZBAD+ZDAC=NBCD+NDCA,

即NBAC=NBC4,

：.AB=BC,故②错误；

"：AB=BC,AD=DC,

.♦•80垂直平分AC,故③正确；

.•.80平分NABC,故④正确；

故答案为：①③④.

【点睛】

本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定以及等腰三角形的判定和性质.

18.0<7<|■或，>6.

19

【分析】

过A作APLBC和过A作P'ALAB两种情况，利用含30。的直角三角形的性质解答.

【详解】

解：①过A作APLBC时，

V60°,AB=3,

3

：.BP=~,

2

.•.当0<f<!■时，ziABP是钝角三角形；

②过4作尸/，48时，

：NABC=60。，AB=3,

：.BP'=6,

.,•当f>6时，"BP是钝角三角形，

3

故答案为：0<1<］或f>6.

【点睛】

此题考查含30。的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30。角所对的直角边等于

斜边的一半解答.

19.72°

【分析】

先由△ABC/△ADE,得至ljAB=AO,NBAC=NZME,继而解得N84£>=NE4C=36。，由

等边对等角解得4=")3,最后根据三角形内角和180。解题即可.

【详解】

-,-AABC^/XADE

AB=AD,NBAC=ZDAE

ZBAD+ZDAC=ZEAC+ZDAC

:.ZBAD=ZEAC=36°

:.ZB=ZADB

=；(18O0_ZBA0

20

=；(180°-36°)

=72°

故答案为：72°.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，是重要考点,

难度较易，掌握相关知识是解题关键.

20.2a.

【分析】

根据已知可表示得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得/A的度数；

【详解】

解：VBD1AC,ZCBD=a,

AZC=(90-a)°,

VAB=AC,

.\ZABC=ZC=(90-a)°,

.\ZABD=90-a-a=(90-2a)°

.,.ZA=90°-(90-2a)0=2a;

故答案为：2a.

【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形

的内角和定理进行答题，此题难度一般.

21.(-1,2)

【分析】

关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同.

【详解】

关于y轴对称的两点坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同.

故Q坐标为(-1,2).

故答案为(-1,2).

【点睛】

此题考查的是关于y轴对称的两点坐标的特点，掌握两点关于坐标轴或原点对称坐标特点是

解决此题的关键.

21

22.1

【分析】

过A作ACLOB,首先证明AAOB是等边三角形，再求出OC的长即可.

【详解】

解，过A作ACLOB于点C,

VAB=OB,ZA=60°

/AOB=60。且AAOB是等边三角形，

•.•点B的坐标为(2,0)

；.OB=2

VAC1OB

OC=-OB=-x2=\

22

故答案为：1.

【点睛】

此题主要考查了坐标与图形的性质，掌握等边三角形的性质是解答此题的关键.

1

6

238-

【分析】

根据等边三角形三线合一性质，可知ND4C=g/BAC=30。，再利用30。角所对的直角边等

于斜边的一半解得DE=6;由。E工AC解得ZEDC=30°,继而解得EC=；DC、BC=4EC,

再根据三角形面积公式解得S,皿=gEDEC=3EC,S^ABC=^ADBC^24EC,整理即可解

q

得产的值.

【详解】

,「△ABC是等边三角形，AD±BC

「.AD是ZZMC的平分线

22

N£>AC=-NBAC=30°

2

在施中，

OE」A£)=」xl2=6;

22

-,-DE1AC

ZEDC=900-60°=30°

:.EC=-DC

2

BC=2DC=4EC

•：SAbED[)LC=—2ED-EC

=-x6x£C

2

=3EC

SYABC=；ADBC

=-xl2xBC

2

=6BC

=24EC

1

q=

.°&CDE8-

,s

故答案为：6;

o

【点睛】

本题考查等边三角形的性质、含30。角的直角三角形等知识，是重要考点，难度较易，掌握

相关知识是解题关键.

24.80。或40°

【分析】

根据已知条件，先设出三角形的两个角，然后进行讨论，即可得出顶角的度数.

【详解】

①较大的角为顶角，设这个角为x,则：

x+2(x-30)=180

x=80;

②较大的角为底角，设顶角为y°,则：

23

y+2(y+30)=180

y=40,

故填：80。或40。.

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数,

做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键.

25.(1)ZDBC=60°-a；(2)NAEB的大小不会发生变化，且NAE8=60。；(3)8ZA2AE+CE,

证明见解析.

【分析】

(1)如图1,连接CQ,由轴对称的性质可得AC=OC,ZDCP=ZACP=a,由AABC是等

边三角形可得AC=BC,ZACB=60°,进一步即得/88=60。+20,BC=DC,然后利用三角

形的内角和定理即可求出结果；

(2)设4C、8。相交于点H,如图2,由轴对称的性质可证明AACE也△DCE,可得NC4E=

ZCDE,进而得/£>BC=NC4E,然后根据三角形的内角和可得即可作出判

断；

(3)如图3,在皮)上取一点M,使得CM=CE,先利用三角形的外角性质得出/BEC=60。，

进而得ACME是等边三角形，可得NMCE=60。，ME=CE,然后利用角的和差关系可得/

BCM=ZDCE,再根据SAS证明"。例丝于是进一步即可得出线段4E,

BD,CE之间的数量关系.

【详解】

解：(1)如图1,连接8,•.•点A关于射线CP的对称点为点。，.•.AC=OC,ZDCP=Z

ACP=a,

「△ABC是等边三角形，.•.ACuBC,ZACB=6Q0,

：.ZBCD=600+2a,BC=DC,

皿C=/M80"C展180*(60。+2叽60〜.

22

24

(2)NAEB的大小不会发生变化，且NAEB=60。.

理由：设4C、8。相交于点H,如图2,•.,点A关于射线CP的对称点为点。，

：.AC^DC,AE=DE,又，：CE=CE,/XACE^/XDCE(SSS),；.NCAE=NCDE,

'：ZDBC^ZBDC,：.ZDBC=ZCAE,又；，/BHC=NAHE,：.ZAEB^ZBCA=60°,

即NAEB的大小不会发生变化,且NAEB=60。;

(3)AE,BD,CE之间的数量关系是：BD=2AE+CE.

证明：如图3,在8。上取一点使得CM=CE,

NBEC=/BDC+/DCE=60°-a+a=60°,

.•.△CM£是等边三角形，.^.NMCE=60。，ME=CE,

：.NBCM=ZBCD-ZMCE-ZDCE=60。+2。-60°—a=a,

；.NBCM=NDCE,又，；BC=DC,CM=CE,

：.4BCM空XDCE(SAS),：.BM=DE,

"：AE=DE,

：.BD=BM+ME+DE=2DE+ME=2AE+CE.

25

A

【点睛】

本题考查了等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和定理和轴

对称的性质等知识，熟练掌握并运用上述知识解题的关键.

26.BD=CE,理由见解析

【分析】

利用AAS证明△ADB^^AEC,即可得结论.

【详解】

解：BD=CE,理由如下：

VAB=AC,

：.ZB=ZC,

VAD=AE,

ZADE=ZAEC,

.,.ZADB=ZAEC,

在AADB和AAEC中，

ZB=ZC

-ZADB=ZAEC,

AD=AE

.'.△ADB^AAEC(AAS),

；.BD=CE.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰三角形的

性质是解题的关键.

27.(1)BD,证明见解析；(2)见解析；(3)见解析.

【分析】

26

(1)延长AB至F,使BF=BD,连接DF,根据三角形的外角性质得到/ABC=2NF,则

可利用SAS证明△ADFZ4ADC,根据全等三角形的性质可证明结论；

(2)在AC上截取AE,使AE=AB,连接DE,则可利用SAS证明AADB^4ADE,根据

全等三角形的性质即可证明结论；

(3)延长AB至G,使BG=BD,连接DG,则可利用SSS证明AADG丝aADC,根据全

等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论.

【详解】

证明：(1)如图1,延长AB至F,使BF=BD,连接DF,

则NBDF=/F,

ZABC=ZBDF+ZF=2ZF,

VAD平分NBAC

.,.ZBAD=ZCAD,

VAB+BD=AC,BF=BD,

.\AF=AC,

在AADF和AADC中，

AF=AC

,ZADF^ZADC,

AD=AD

AAADF^AADC(SAS),

.\ZACB=ZF,

/.ZABC=2ZACB.

故答案为：BD.

(2)如图3,在AC上截取AE,使AE=AB,连接DE,

27

图3

VAD,BD,CD分别平分NBAC,ZABC,ZACB,

・・・NDAB=/DAE,NDBA=NDBC,NDCA=NDCB,

・・・AB+BD=AC,AE=AB,

・・・DB=CE,

在2kADB和AADE中，

AB=AE

•/DAB=ZDAE,

AD=AD

/.△ADB^AADE(SAS),

・・・BD=DE,ZABD=ZAED,

・・・DE=CE,

/.ZEDC=ZECD,

AZAED=2ZECD,

・・・NABD=2NECD,

・・・NABC=2NACB.

(3)如图4,延长AB至G,使BG=BD,连接DG,

28

图4

则NBDG=NAGD,

・・・ZABC=ZBDG+ZAGD=2ZAGD,

VZABC=2ZACB,

・・・NAGD=NACB,

・・・AB+BD=AC,BG=BD,

・・・AG=AC,

AZAGC=ZACG,

AZDGC=ZDCG,

・・・DG=DC,

在ZkADG和AADC中，

AG=AC

<DG=DC,

AD=AD

AAADG^AADC(SSS),

.\ZDAG=ZDAC,即AD平分NBAC.

【点睛】

本题考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性

质定理是解题的关键.

28.(1)详见解析；(2)①详见解析；②详见解析.

【分析】

(1)本题考查理解题意能力，按照题目所述依次作图即可.

(2)①本题考查线段和最短问题，需要通过垂直平分线的性质将所求线段转化为其他等量

29

线段之和，以达到求解目的.

②本题考查垂直平分线的判定以及全等三角形的证明，继而利用角的平分线性质即可得出结

论.

【详解】

(2)①如图2,连接B。，P为BD与AE的交点

:等边ZkACD,AE1CD

.,.PC=PD,PC+PB最短等价于PB+PD最短

故B,D之间直线最短，点P即为所求.

②证明：连接OE,DF.如图3所示

图3

VAABC,△AOC是等边三角形

：.AC=AD,ZACB=ZCAD=60°

'：AELCD

：.ZCAE=|ZCAD=30°

：.ZCEA=ZACB-ZCAE=30°

ZCAE=ACEA

：.CA=CE

30

：.CD垂直平分AE

：.DA=DE

：.NDAE=ADEA

'：EF±AF,ZEAF=45°

：.ZFEA=45°

：.ZFEA=ZEAF

：.FA=FE,ZFAD=ZFED

:ZAD9丛FED(S4S)

，ZAFD=ZEFD

.•.点。到AF,Ef的距离相等.

【点睛】

本题第一问作图极为重要，要求对题意有较深的理解，同时对于垂直平分线以及角平分线的

定义要清楚，能通过题目文字所述转化为考点，信息转化能力需要多做题目加以提升.

29.(1)正确，结论“AE=Ef仍然成立,证明过程见解析；(2)是；(3)点、E(；,0).

【分析】

(1)在AB上截取连接由“4S4”可证△AHEgZkECF,继而根据全等三角形

的性质求得结论；

(2)在84的延长线上取一点N,^AN=CE,连接NE,由“ASA”可证△A/E之△£(?£继

而根据全等三角形的性质求得结论；

(3)在BA上截取连接HE,过点F作轴于M,设点E(a,0),由等腰

直角三角形的性质可得HE=丘a,由全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可得点F

坐标，代入解析式求得a的值，即可求解.

【详解】

(1)仍然成立，

如图2,在A8上截取BH=8E,连接HE,

31

图2

•・•四边形A5CD是正方形，

：.AB=BC,

・・・。/平分/。。6,

.\ZDCF=45°,

•••NEC尸=135。，

・；BH=BE,AB=BC,

：.ZBHE=ZBEH=45°,AH=CE,

：.ZAHE=NECF=135°,

VAE1EF,

・・・ZAEB+ZFEC=90°,

・.・NAE8+NBA£=90。，

工NFEC=NBAE,

:.XAHEQXECF(ASA),

：.AE=EF\

(2)如图3,在区4的延长线上取一点N,使4V=CE,连接NE.

图3

\9AB=BC,AN=CE,

：.BN=BE,

工NN=NFCE=45。,

・・•四边形ABC。是正方形,

32

：.AD//BE,

；・NDAE=NBEA,

：.ZNAE=ZCEF,

在和△£<?/中，

NN=NFCE

AN=CE,

ZNAE=ZCEF

：./\ANE^/\ECF(ASA)

：.AE=EF,

故答案是：是；

(3)如图4,在区4上截取出/=8石，连接HE,过点/作FMLx轴于M,

BE=a=BH,

：.HE=y/2a,

由(1)可得△AHEg△ECG

：.CF=HE=y/2a,

YCT平分NQCM,

:・NDCF=/FCM=45。,

VFM±CM,

J/CFM=ZFCM=45°,

CM=FM==a,

：.BM=1+a,

••点F(1+a,ci),

•・•点F恰好落在直线y=-2x+3上,

33

.\a=-2(1+a)+3,

•,«^=")

.•.点E(1,0).

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质的应用，-次函

数的性质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.

30.(1)详见解析;⑵详见解析;⑶(-4,-4).

【分析】

(1)依据点8关于y轴的对称点坐标为(2,0),点C关于x轴的对称点坐标为(-1,-2),

即可得到坐标轴的位置；

(2)依据轴对称的性质，即可得到AABC分别关于y轴的对称图形“闰G;

(3)依据关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到点A关于x轴的

对称点的坐标.

【详解】

解：(1)如图所示，建立平面直角坐标系X。)，.

(2)如图所示，△A8G即为所求；

(3)A点关于x轴的对称点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，所以点A(-4,4)关于x

轴的对称点的坐标(-4,-4).

【点睛】

本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴时称变换的定义和性质.

31.(1)见解析;(2)见解析.

【分析】

(1)根据平行线的性质可得NABC=NECD,则可利用AAS证明AABC丝Z\ECD,再由全

等三角形的性质可证得结论；

34

(2)根据“等边对等角”可得NDBC=NBDC,结合/ABC=/ECD,可得/ABD=/ABC+

ZDBC=ZECD+ZBDC,再利用三角形的外角性质得NEBD=/ECD+/BDC,即可证明N

ABD=ZEBD.

【详解】

证明：⑴：AB〃CD,

；./ABC=/ECD,

在AABC和AECD中，

.NABC=NECD

、NA=NE,

AC=ED

/.△ABC^AECD(AAS),

.\BC=CD.

(2)证明：如图,

，NDBC=/BDC,

VZABC=ZECD,

ZABD=ZABC+ZDBC=ZECD+ZBDC,

XVZEBD=ZECD+ZBDC,

；.NABD=/EBD.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与

性质及等腰三角形的性质是解题的关键.

32.CE=2AD,证明详见解析

【分析】

延长AO至点N使。N=AO,AN交CE于点M,连接CN,根据等腰三角形的性质得到MA

=ME,根据全等三角形的性质得到根据平行线的性质得到N3=NAEC.求

35

得MC=MN,于是得到结论.

【详解】

解：CE=2AD;

理由：延长AO至点N使。N=AO,AN交CE于点、M,连接CN,

'：ZDAB=ZAEC,

：.MA=ME,

•：AB=AC,ADJLBC,

：.ZCAD=ZDAB,BD=CD,Zl=Z2=90°.

/.^ABD^^NCD(AAS),

:・/N=/DAB.

：.CN//AE.

：.Z3=ZAEC.

・・・N3=NN.

:・MC=MN,

：.CE=MC+ME

=MN+MA

=AN

=2AD.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正

确的作出辅助线是解题的关键.

33.(1)ZMAN=90°,ZMBC=90°；(2)补全图形见解析；(3)存在，CP=1.

【分析】

36

(1)连接CN,AP,MP,根据轴对称的性质和等腰三角形三线合一可得NNAC=/CAP,

ZPAB=ZMAB,ZABC=ZABM,再根据等腰直角三角形的性质即可求得/MAN和NMBC;

(2)①依据轴对称图形对应点的连线被对称轴垂直平分补全图即可；

②根据垂直平分线的性质可得PB=BM,PC=CN,再设BN长为x,利用铛■=3和线段的和

BN

差列出方程求解即可.

【详解】

解：(1)如图，连接CN,AP,MP,

N

VN.P关于AC对称，

.•.C为PN的中点，且AC为NP的中垂线，

；.AN=AP,

••.△ANP为等腰三角形，

ZNAC=ZCAP(三线合一)，

同理可证NPAB=NMAB,ZABC=ZABM,

：AC=BC=2,/ACB=90°,

/CAB=NABC=45。，

ZMAN=ZNAC+ZCAP+ZPAB+ZBAM=2ZCAB=90°,

ZMBC=ZABC+ZABM=2ZABC=90°;

(2)①补全图2如下，

图2

②由(1)知B在PM的中垂线上，A在PN的中垂线上,

.\PB=BM,PC=CN,

37

设BN长为x,则BM的长为3x,CN长为2-x,

.\PC=CN=2-x,

VPB=BM=PC+BC,

.".3x=2-x+2,

解得x=l,

,满足条件的P点存在，且CP=2-1=1.

【点睛】

本题考查轴对称的性质，作轴对称图形，等腰三角形三线合一，垂直平分线的性质等.理解

轴对称图形对应点连线被对称轴垂直平分是解题关键.

34.画图见解析；①②④.

【分析】

先按