2023年北京市东城区高三高考一模数学试卷含答案

2023年北京市东城区高考数学一模试卷

学校:姓名：班级：考号：

题号—•二三总分

得分

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，

写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共9小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的

一项）

1.已知集合4=一2<0},且a€4,贝Ua可以为（）

A.-2B.-1C.：D.V2

2.在复平面内，复数（对应的点的坐标是（3,-1）,贝收=（）

A.1+3iB.3+iC.-3+iD.—1—3i

3.已知%>0,则％-4+：的最小值为（）

A.-2B.0C.1D.2<7

4.在△ABC中，a=2V~-6,b=2c,cosA=-7,则S—BC=（）

A.|<l5B.4C.5nL5D.2<15

5.设n是两条不同的直线，a,。是两个不同的平面，且THUa,a〃氏则"zn1n"

是"nl。”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.过坐标原点作曲线y=e>2+i的切线，则切线方程为（）

A.y=xB.y=2xC.y=D.y-ex

7.已知正方形ABC。的边长为2,P为正方形4BCD内部（不含边界）的动点，且满足瓦？.

方=0,则中•前的取值范围是（）

A.（0,8]B.[0,8）C.（0,4]D.[0,4）

8.已知a2.a3.a4,as成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（）

11

A--64B.-8C,-D.-

9.恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三

大成就.其中对数的发明，曾被十八世纪法国大数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时

间延长了天文学家的寿命”.已知正整数N的70次方是一个83位数，由下面表格中部分

对数的近似值（精确到0.001）,可得N的值为（）

M2371113

igM0.3010.4770.8451.0411.114

A.13B.14C.15D.16

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

10.函数f（x）=厂=+bix的定义域为.

11.（C+a）6的展开式中/项的系数为60,则实数a=.

12.已知双曲线马一m=l（a>0,b>0）的一个焦点为（，50）,且与直线、=±2%没

有公共点，则双曲线的方程可以为—.

13.已知数列｛即｝各项均为正数，。2=3的，Sn为其前n项和.若｛不｝是公差为:的等

差数列，则％=—，an=—.

14.已知函数/（乃=赤讥©%+9）（；1>0,0<0<兀）的部分图象如图1所示，A,B分

别为图象的最高点和最低点，过A作x轴的垂线，交x轴于点4',点C为该部分图象与x轴

的交点.将绘有该图象的纸片沿x轴折成直二面角，如图2所示，此时|4B|=CU，则

A=___.

给出下列四个结论:

①0=全

②图2中，丽•近=5：

③图2中，过线段的中点且与4B垂直的平面与x轴交于点C；

④图2中，S是△4'BC及其内部的点构成的集合.设集合T=｛QeS||4Q|W2｝,则7表示

的区域的面积大于去

其中所有正确结论的序号是—.

三、解答题(本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步

骤)

15.(本小题13.0分)

已知函数/'(x)=sinx+sin(x+1).

(I)求f(x)的最小正周期；

(11)若刀=*是函数y=/(x)-f(x+w)0>0)的一个零点，求9的最小值.

16.(本小题13.0分)

甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，

乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成

绩如表：

次数

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

同学

甲807882869593—

乙76818085899694

(1)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的

概率;

(2)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X表示这4次测试成绩达到优秀的次数,

求X的分布列及数学期望E(X)；

(3)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设丫表示这3次测试成绩达到优秀的次数,

试判断数学期望E")与(2)中E(X)的大小.(结论不要求证明)

17.(本小题15.0分)

如图，在长方体4BCD中，AAT=AD=2,BD］和当。交于点E,F为4B的

中点.

(I)求证：EF〃平面4。。送1；

(II)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求

(i)平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值;

(ii)点4到平面CE尸的距离.

条件①：CELBiD；

条件②：与平面BCGBi所成角为余.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.(本小题15.0分)

已知函数/(x)=ax2—xlnx.

(1)当。=0时，求f(x)的单调递增区间；

(11)设直线1为曲线;);=/(x)的切线，当a>鄂寸，记直线/的斜率的最小值为g(a),求g(a)

的最小值；

(HI)当a>0时，设M={y|y=1(x),x€点扫卜N={y|y=1(x),x6(/—},求

证：M呈N.

19.(本小题14.0分)

已知椭圆E：务，=l(a>b>0)的一个顶点为4(0,1),离心率e=?.

(1)求椭圆后的方程；

(II)过点P(_q,l)作斜率为％的直线与椭圆E交于不同的两点B,C,直线4B,AC分别

与工轴交于点M,N.

设椭圆的左顶点为。，求黑j的值.

20.(本小题15.0分)

已知数表42n=(：：；：：：二：：；)中的项％("1,2；/=1,2,n)互不相同，

且满足下列条件：

@0-ij€[1,2,...,2n)；

②(T)m+i(aim-a2m)<0(m=1,2,

则称这样的数表42n具有性质「―

(I)若数表42具有性质P，且42=4,写出所有满足条件的数表42,并求出的1+的2

的值；

(口)对于具有性质P的数表4n，当为1+%2+-一+的丸取最大值时，求证：存在正整数

/c(l</c<n),使得aik=2n；

(HI)对于具有性质P的数表4n，当n为偶数时，求由1+%2+…+%n的最大值.

答案和解析

LB

解：由题意可得集合A=｛幻-V2<X</无｝,

因为a64,所以-/至<a<，至，

故选项8正确，ACD错误.

故选：B.

根据不等式的解法求出集合4然后求出a的范围，再对各个选项逐个判断即可求解.

本题考查了元素与集合的关系，属于基础题.

2.A

解：由题意，复平面内，复数(对应的点的坐标是(3,-1),

可得(=3-i,所以z=(3-i)-i=1+3t.

故选：A.

根据复数的几何意义得到：=3-i,结合复数的运算法则，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

3.B

解：x>0,

44/4

x,

**«x—4+-X=--X----4227/—X4=0,

当且仅当x=立即x=2时取等号.

X

故选:B.

利用基本不等式求解即可.

本题考查基本不等式的应用，属于基础题.

4.C

解：a=2V-6»b=2c,cosA="~"a=—L

2bc4

所以4c2+cj-24=」,解得c=2,b=4,

因为4€（0,兀）,

所以si?Vl=\bcsinA=x2x4x=V15.

4AHQL224

故选：c.

利用余弦定理得到c=2,h=4,利用同角三角函数基本公式得到Sina=?，然后利用面

4

积公式求面积即可.

本题主要考查余弦定理，属于基础题.

5.B

解：mua,a]IB，

由mln,可得n〃0或nu0或n与0相交，相交也不一定垂直，

反之，由可得n_La,而mua,则zn_Ln.

则“m1n”是“n10”的必要不充分条件.

故选：B.

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系结合充分必要条件的判定得答案.

本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，考查充分必要条件的判

定，是基础题.

6.4

解：由函数y=e*-2+i,可得y，=e*-2,

设切点坐标为(t,e-2+1),可得切线方程为y—(e・2+1)=et-2(x一力，

把原点(0,0)代入方程，可得0-(e"2+i)=/-2(。一。，即(t-i)/-2=i,

解得t=2,所以切线方程为y-(e0+l)=e°(x-2),即y==

故选：A.

设切点坐标为(t,e-2+1),求得切线方程为y-(e-2+1)=gt-2(x一t),把原点(0Q)代入

方程，得到—=解得t=2,即可求得切线方程.

本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题.

7.D

解：已知正方形/BCD的边长为2,建立如图所示的平

面直角坐标系，

则4(-1,0),6(1,0),C(l,2),D(-1,2),

又为正方形4BCD内部(不含边界)的动点，且满足

PA-PB=0^

■.P(cos6,sin6'),0E(0,n),

则丽-DP=(cosd-l,sin9-2)■(cosd+l,sin9—

2)=4—4sin0,

又sin。e(0,1],

则方•而e[0,4）.

故选：D.

先建立平面直角坐标系，求出对应点的坐标，然后结合平面向量数量积的坐标运算及三角函

数值域的求法求解即可.

本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三角函数值域的求法，属基础题.

8.B

解：若相邻两项为1和4,则公比为正数，每一项都为正数，舍去；

若奇数项为1和4,则奇数项均为正数，舍去；

因此只能a2和分别为1和4,

当=4,。4=1时，公比为士;，则&5=。4勺=±最

当。2=1，。4=4时，公比为±2,贝！=a4q=±8；

则的最小值为-8.

故选：B.

分1和4在相邻两项和不相邻两项，在奇数项和偶数项讨论，求出公比，可得的最小值.

本题考查等比数列的基本量运算，考查分类讨论思想，属于基础题.

9.C

解：由题可知1。82<N’O<1083,

：.01。82<IgN70<lg1083,即82<70lgN<83,

1.171<IgN<1.185,

•••lgl4=lg2+lg7=0.301+0.845=1.155<1.171,

lgl6=4lg2=4x0.301=12.04>1.185,

N=15.

故选：C.

利用1082<N70<1083,计算可得结论.

本题考查归纳推理，考查运算求解能力，属中档题.

10.（0,1]

解：要使/"（X）=，丁三+1nx有意义，则解得0<xWL

所以原函数的定义域为（0,1].

故答案为（0,1].

直接由根式内部的代数式大于等于0,对数式的真数大于0联立取交集即可.

本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量支的取

值范围，是基础题.

1I.±2

解：(V-x+a)6的通项公式为Tr+i=吗x竽ar>

令与工=2可得r=2,展开式中/项的系数为60=Cla2,

a2=4,a=+2.

故答案为：±2.

在(C+a)6的通项公式中，令x的指数等于2,求得r=2,从而得到展开式中产项的系数

为60=/a?,解方程求得实数a的值.

本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，得到60=C1a2,

是解题的关键，属于中档题.

12.久2一[=i(答案不唯一)

解：由题意得©=门，且双曲线的渐近线方程为y=±5心

•••双曲线与直线y=±2*没有公共点，

二取直线y=±2x为渐近线，贝哈=2,

222

又=a+b,则Q2=i,b=4,

・••双曲线的方程可以是/—[=L

故答案为：/_q=i(答案不唯一).

由题意得°=/亏，且双曲线的渐近线方程为y=±5x,可得5=2且c2=a2+F,求解即

可得出答案.

本题考查双曲线的性质，考查转化思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题.

13•件

解：因为数列｛an｝各项均为正数，a2=3a1(

若｛、/"X｝是公差为9的等差数列，则厅-C=I5TT而-B=2JF-，石=

所以/X=j+2(n~=

所以Sn=9，

所以n“时，an=Sn-SnT=q-吟=竽,

9适合上式，

14

M2几一1

故每=—•

故答案为：竽.

24

由题意得J52-JS]='&+a2-，%=2，a、一7a、=7%=可求的，然后结

合等差数列的通项公式可求的，然后结合数列的和与项的递推关系可求.

本题主要考查了数列的和与项的递推关系，还考查了等差数列的通项公式的应用，属于基础

题.

14.0②③

解：在图2中，过B作

BD垂直工轴于D,

由题意可得T=字=

2

4,A'D=2,

•••A'B=VA2+4,■■■

AB=

VA'B2+AA'2=

V2A2+4=V10»

解得a=，耳或a=―，一W(舍去)，

f(x)=V_3sin(^x+<p),当x=0时，\T^sin<p=—，

0<q)<n,(p=季或w=也

当8=?显然不符合图象的变化情况，故舍去，

；.平彗,故①错误；

由题意可得AC=V3+1=2.BC=2,

10+4-4_£22

・••cosZ-BAC=2715x2―4

■■■AB-AC=\AB\-\AC\-cos^BAC=<10X2x望=5，故②正确；

•••AC=BC=2,.•.过线段4B的中点且与48垂直的平面与x轴交于点C,故③正确;

•••<2,二面角为直二面角可得M'Q|<1,

•••T表示的区域的面积为兀xMx等<2,故④错误.

故答案为：@(3).

由题意可求得周期，进而可得2储+4=中,可求人进而可求仍进而计算可判断每

个选项的正确性.

本题考查三角函数的图象，考查向量的数量积的计算，考查运算求解能力，属中档题.

15.解：(I)因为/(x)=sinx+sin(x+g)=sinx+1sinx+?cosx=|sinx+峥cosx=

V-3sin(x+)

所以/(%)的最小正周期为2TT；

(口油题设丫=/(%)-f(x+8)=V_3sin(x+弓)-V_3sin(x+看+。)，

由X屋是该函数零点可知，，3sin(3+$--3sin/+着+0)=0,BPsin(^+</?)=^>

故g+0=g+2k7r,k&Z,或^+9=等+2/:兀，k&Z,

解得9=2/OT,卜62或9=]+2/(:乃，keZ,

因为租>0,所以w的最小值为宗

(I)将函数化简后利用公式求周期；(口)将零点代入y=f(x)-f(x+w)，可得少的最小值.

本题考查两角和差公式，函数的零点，三角函数求值，属于基础题.

16.解：(1)由题意可知：甲、乙两名同学共进行的13次测试中，

测试成绩超过90分的共4次，由古典概型的概率计算公式可得P=或，

所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，该次测试成绩超过90分的概率

4

P=—；

13，

(2)由题意可知：从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，这4次测试成绩达到优秀的次数X

的可能取值为1,2,3,

则。81)=警=喂=/「5=2)=等=登=|；P(X=3)=^=^V

所以X的分布列为：

X123

1

P13

555

所以E(X)—lx—+2x—+3x-=—=2.

(3)由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试成绩达到优秀的次数丫

的可能取值为0,1,2,3,

则P（y=0）==—±.p（y=1）=_3x4_12

=1J

八八，即c33535，"3535,

p（v-2）-或\—3x6_竺。pry—3）-。睛—

-

C3-3535'尸"_3）_c3-35-35-

所以丫的分布列为：

Y0123

112184

P

35353535

所以E(Y)=0x^+lxg+2x1|+3x^=^,E(X)>E(Y).

(1)根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解；

(2)根据题意先求出所有X的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并

计算出期望即可求解；

(3)根据题意先求出所有y的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，计算出期望与(2)

中期望即可求解.

本题考查离散型随机变量的分布列与期望的求解，古典概型的概率公式的应用，属中档题.

17.证明：(I)如图，连接ZD1，Bi%,BD.

因为长方体4BC0-41/65中，BBJ/DDI且BBi=DD、,

所以四边形8位。1。为平行四边形，

所以E为BD1的中点，

在中，因为E,F分别为BO1和4B的中点,

所以E/7/ZDi，

因为EFC平面力DOi^i，ADru平面

所以EF〃平面力DDi4；

解：(□)选条件①：CE1BjD.

(i)连接SC.

因为长方体中441=4。=2,所以当。=2，茏，

在ACBDi中，因为E为当0的中点，CE工BQ

所以CD=BiC=2。，

如图建立空间直角坐标系。-xyz,因为长方体中44=AD=2,CD=2-1,

则。(0,0,0),4(2,0,0),C(0,2<7,0),8(2,2。,0),尸(2,yTz,0)，

BQ2m),EQ,SY),

所以屈=(1,-C,1),CF=(2,-yTl.,0)，CB=(2,0,0)，

设平面CEF的法向量为记=(Xi，yi，zj,

则,沅♦国=0,即卜1-4%+4=0,

(m-CF=0(2x1-y/~2y1=0

令=1,则yi=yT2,z1=1,可得沆=(1,。,1),

设平面BCE的法向量为有=(x2,y2(Z2))

则伊•国=0,gp[x2-<^y2+z2=0；

(n-C5=012X2=0

令丫2=1，则％2=。*2=V-2>所以元=(0,1/V-2)»

设平面CEF与平面BCE的夹角为8,

则cos。=|cos<m,n>\=窝,=芋，

所以平面CEF与平面BCE的夹角的余弦值为?；

5)因为版=(0,C,0)，

所以点4到平面CEF的距离为d=率瞿=1.

1«1

选条件②：Bi。与平面BCGBi所成角为a

连接&C.

因为长方体4BC。一必当口劣中，CO_L平面BCC/i，/Cu平面BCCi/,

所以CD，&C.

所以NDBiC为直线&D与平面BCG/所成角，即NDBiC=：,

所以△。8传为等腰直角三角形，

因为长方体中44=4。=2,所以当。=2\[~2-

所以CD=B[C=2yT2.

以下同选条件①.

(I)利用空间中直线与平面平行的判定定理，结合三角形中位线即可证明；

(口)若选条件①，利用CEJ.81。，通过推理论证得到CD=BiC=2。，建立空间直角坐

标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求解；

若选条件②，利用当。与平面BCG/所成角为会通过推理论证得到CD=BiC=建

立空间直角坐标系，求平面法向量，再根据面面夹角的向量公式及点到面的距离公式运算求

解.

本题考查了线面平行的证明和二面角的计算，属于中档题.

18.解：(I)当a=0时,f(x)=-xlnx(x>0),故/''(x)=—Inx-1.令/'(x)=—Inx—1>0,

则0<x<]，

e

即/。)的单调递增区间为(0,

(口)由/(工)=ax2-xlnx(x>0),可得((x)=2ax-Inx-1,即直线1的斜率为尸(x)=

2ax—Inx—I,

设/i(x)=2ax-Inx-1,则〃(%)=2a-：=因为Q>/故0V/<

当0<x</时，兄⑺<0,h(x)在(0,否上递减，当x>/时，兄⑺>0,九(%)在点,+8)

上递增，

故九(x)mm=九七)=)2a,即「COmm==ln2a,即g(a)=ln2a,而a>故g(a)

的最小值为"2x]=1.

(HI)证明：由已知a>0,由(II)可知xe弓，言)时，/"(x)为单调增函数，

由/'(F)=-In；="2a,f'(；)=；-ln/=；+ln4a-ln3,

则M={y\y=f'(x)，xe点分}=(Zn2a,j+ln4a-)3),

又时，[。)为单调减函数，

/'(；)=1-ln^--l=-1+ln4a,

Jv4ay24a2

故N={y\y=f'G),xe(卷初=(Zn2a,-|+Zn4a),

由于ITL3>1,即2—ITI3<——»故2+)4a—仇3<——4-伍4a.

故M星N.

(I)求出函数的导数，令导数大于0,即可求得答案；

(H)求出函数的导数，判断导数正负，确定函数单调性，即可求得函数最值；

(巫)根据(n)的结论，判断函数在给定区间上的单调性，即可求得M,N,比较端点处的值

的大小关系，即可证明结论.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究曲线上某点处的切线方程,

考查运算求解能力，属于难题.

rb=1

19.解：(1)由题设得上=?，解得a=C，b=l,c=<2，

L2=b2+c2

2

所以椭圆的方程为a+丫2=1，

(口)直线BC的方程为y-1=fc(x+<3),

联立+%?2人,；，得(3/(2+I)%2+(6y/-3k2+6k)x+9/c2+6A/-3/C=0,

由4=(6/3/+6fc)2_4(3^2+1)(弘2+6门外>0，解得k<0,

设BQ。％),C(x2,y2),

而|、l,6>/~3k2+6k9/C2+6AT3/C

//T+Xo=5，XiXo=5f

3/+13k'+l

直线4B的方程为y=+1,

X1

令y=。得M点的横坐标为X”=一卷7=一而言予，

同理可得N点的横坐标为孙=一*1=一而舟可，

所以X”+&/=-%(五冽+12巧％2+^~^(-1+%2)

XlX2+^~^(Xl+X2)+3

.9k%fCk、6d+6k、

9k+6\jr3k+^_^(_6v/~'5/c+6与+3

因为点。的坐标为(--3,0),

所以D为线段MN的中点，

rb=1

(I)由题设得后呼，解得a，b,c,即可得出答案.

&=b2+c2

(II)设8(方,%)，C(x2,y2),直线8c的方程为y-l=k(x+「)，联立椭圆的方程，结合

韦达定理可得/+X2,万62,进而可得M点，N点的横坐标，计算XM+XN，由点。的坐标为

(-<3,0),即可得出答案.

本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题.

为(")，Q3(")，

20.解：(I)满足条件的数表42

所以由1+的2的值为5，5,6；

(U)证明：若当的1+%2+•••+%“取最大值时，存在lW/Wn),使得a2j=2n,

由数表42n具有性质P可得/为奇数，