第十组数学建模第三次作业

易拉罐形状和尺寸的最优设计

我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料（例如饮料量为355毫升的可口可

乐、青岛啤酒等）的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的。看来，这并非

偶然，这应该是某种意义下的最优设计。当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优

设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的

话，可以节约的钱就很可观了。

现在来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。具体说，完成以

下的任务：

1.取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，

测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数

据列表加以说明。

2.设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计其结果是否可以合理地

说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。

3.•

4.设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部

分是一个正圆柱体。

什么是它的最优设计其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺

寸。

5.利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力,做出关于易拉罐形状和尺寸的最优

设计。

易拉罐形状和尺寸的最优设计

本题在建立数学模型的基础上，用LINGO实证分析了各种标准下

易拉罐的优化设计问题，并将实测数据和模型摸拟结果进行了对比分

析。结论表明，易拉罐的设计不但要考虑材料成本（造价），还要满足结

构稳定、美观、方便使用等方面的要求。

在第二个问题中，易拉罐被假定为圆柱体，针对材料最省的标准，

得到了不同顶部、底部与侧面材料厚度比时的最优设计方案。针对材料

厚度的不同，建立两个模型：模型一，设易拉罐各个部分厚度和材料单

价完全相同，最优设计方案为半径与高的比R:"=1:2（H为圆柱的高，R

为圆柱的半径）；模型二，设易拉罐顶盖、底部厚度是罐身的3倍，通过

计算得到半径与高H：H=1：6时，表面积最小。一般情况下，当顶盖、底

部厚度是罐身的8倍时，最优设计方案为R："=2"

在第三问中，针对圆柱加圆台的罐体，本文也建立了两个模型：模

型三，设易拉罐整体厚度相同，利用LINGO软件对模型进行分析，得

出当“+/2=2R=4r（/z为圆台的高，r为圆台上盖的半径）时，设计最优;

模型四，假设罐顶盖、底部的厚度是罐身的3倍，同样利用软件LINGO

对其进行分析，得出”+〃。4.5穴，r->0时材料最省,即顶部为圆锥时材料

最省，模型的结果在理论上成立，但与实际数据不符。原因是厂商在制

作易拉罐时，不仅要考虑材料最省，还要考虑开盖时所受到的压力、制

造工艺、外形美观、坚固耐用等因素。

在第四问中，本文根据第三问中模型最优设计结果与实测数据的误

差，调整了的设计标准，在材料最省的基础上，加入了方便使用，物理

结构更稳定等标准。通过比较发现，前面四个模型中，模型二和模型四

体现了硬度方面的要求。进一步对模型二、四进行比较，发现模型四的

结论更优。为此，将模型四结论中的底部也设计为圆锥。此时，材料最

省。但是，两端都设计为圆锥时，无法使用。因此，将项部和底部设计

为圆台，并考虑拉环长度和手指厚度（易于拉动拉环）时，得到圆台顶端

和底部半径都为。此时，易拉罐形状和尺寸最优。如果设计为旋转式拉

环，r=2.2,/z=O.75,R=3.93,〃=6.86时，可以得到优于现实中易拉罐的设计方

《在

o

最后，本文总结了此次数学建模中有益的经验-在数学建模过程必

须灵活应用从简到繁、由易到难不断扩展的研究方法，并且要充分发挥

数学软件在优化设计中无可比拟的优势。

文中符号注解

R:圆柱半径

r:圆台半径

H:圆柱高

h:圆台高

S:易拉罐表面积

I

V:易拉罐体积

MIN:最小化

为方便在LINGO软件中计算，定义：

XI:在软件LINGO中的圆柱半径（R）

X2:在软件LINGO中的圆柱高（H）

X3:在软件LINGO中的圆台半径（r）

X4:在软件LINGO中的圆台高（h）

第一问：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口

可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、

高度、厚度等。

表1：数据测量结果

/

2(mm)3(mm)4(mm)平均（mm）

l(mm)

D1（罐盖直径）

D2（罐身直径）

D3（罐底直径）

Xl（罐盖厚度）

]

X2（罐身厚度）

X3（罐底厚度）

H1（罐盖高度）

H2（罐身高度）

H3（罐底高度）

L（罐盖斜边长度）

拉环长度42.5342.4842.4842.51

42.50

注:数据由测量可口可乐355ml易拉罐所得。

本文测量以上数据是为了在以下建模中，提供数据和验证结果。重要的是，拉环

长度与易拉罐项部直径相差约1.53厘米左右，正好是指头厚度。显然是使用方便设

计的。

第二问：设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计其结果是

否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和

局之比，等等。

一问题重述

一个饮料量为355毫升的易拉罐，找出易拉罐的最优设计。假设它是一个正圆

柱体，在不考虑易拉罐受外界影响下，求在正圆柱体的表面积最小时，底半径r与

高度h的比值。

二问题分析

>

假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积为最

小）。在表面积为最小时，设圆柱形的体积V为常数，求底半径r与高度h的比值，

如果能求出一定比例，就能找出模型最优设计。在建立模型之前，必须考虑易拉罐

的厚度，一种是在考虑节约材料前提下，另一种是在考虑材料受力的情况。

三模型假设、建立与求解

（一）易拉罐整体厚度相同时的最优设计模型

1、假设：（1）易拉罐是正圆柱体

（2）易拉罐整体厚度均相同

2、确定变旧和参数：设易拉罐内半径为R,高为H,,厚度为a,体积为V,其中r

和h是自变量，所用材料的面积S是因变量，而V是固定参数，则S和V分别为：

S=2;r（R+a）~++xH-7rR2H

=2兀aR”+4zr«2R+27ra+2兀HRa+nHa'

V=TTR2H,H=工

兀K

设g（R,"）=万Amy

3、,

4.模型建立：

minS（r,/z）

/?>0,/7>（）

g（R，H）=o

其中S是目标函数，g（凡"）=0是约束条件，V是已知的，即要在体积一定的

条件下求S的最小值时，r和h的取值是多少

4、模型求解

因为按照实际测量数据可知。所以带/,a?的项可以忽略，且”=工，则

7TR2

S（R,H⑻）=2兀aR?十卷~

有

求S（r,〃（r））的最小值，令其导数为零，即S（凡”（3）=0,解得临界点为

V

R=,则H==2R

因为S"(R)=4a7r+4”12wr〉0,所以当R:H=1:2时，是S最优解

R'

5.模型结论

在假设易拉罐是正圆柱体且厚度均相同的条件下，当体积为固定参数，而表面

积最小时，通过对面积求导，得到高是半径的两倍，r:h=l:2,此时，模型最优。

（二）易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同时的最优设计模型

1、假发：（1）易拉罐是正圆柱体

（2）易拉罐顶盖、底盖厚度为3a,其它部分厚度为a

2、确定变吊和参数:设饮料内半径为R,高为H,体积为V,易拉罐顶盖、

底盖厚度为a,其它部分厚度为b。其中r和h是自变量，所用材料的体积S

是因变量，而a,b,c和V是固定参数。则S和V分别为：

S=2万（R+a）2x3a+乃+—乃A?”

=6a兀R。+1Ic^nR+6a3TV+InRaH+a2H

2V

V=7CR2H,H=--

7l：R-

设V=%（xl『（x2）g（R,H）=7rR2H-V

3、模型建立:

minS（/?,”）

R>O,H>Q

g（尺"）=0

其中S是目标函数，g（R,〃）=0是约束条件，厚度比例与V是已知的，即要在

体积V一定的条件下求r和h的取值是多少时体积S最小

4、模型求解

因为按照实际测量数据可知"R,所以带出,的项可以忽略，且*荒,则

S=6d卷

求S（r,〃（r））的最小值，令其导数为零，即S'（R"（/?））=0,解得临界点为

48。万〉0,因此当H=6R时;S为最优

解

观察模型（一）与模型（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比不同，似乎有

一定的联系，因此我们假设顶与底盖厚度为ab,壁的厚度为a,其中b为比例系数,

则

S=2万（7?+&）-xba+7r^R+ayxH-TVR^H

=2兀abR，+4兀a%R+2兀a3b+2/rHRa+nHcr

因为按照实际测量数据可知ayR，所以带/的项可以忽略，且"=二，则

万R2

有S=2ab7rR2+^-

R

求S（r,〃⑺）的最小值，令其导数为零，即S'（R,"（H））=0,解得临界点为

因为S〃（R）=44%+斗12而兀＞。，因此当R:H=l:2b时，S为最

R

优解

5.模型结论

在假设易拉罐是正圆柱体，且顶盖、底部的厚度是罐身的三倍的条件下，当体

积为固定参数，而表面积最小时，通过对表面积求导，得到半径与高的比是一比六,

R:H=1:6,此时，观察模型（一）与模型（二），可见当厚度比例不同时，半径与高的比

不同，似乎有一定的联系，因此本题假设顶与底盖厚度为ab,壁的厚度为a,其中

b为比例系数，则R:H=l:2b。

四、模型评价

在不考虑厚度的情况下，考虑节约材料前提下得到，底半径r是高度h的一半时,

圆柱的表面积最小。考虑易拉罐顶盖、底盖厚度与罐体厚度不同的情况下，考虑了

材料的厚度，因此，建立顶端是侧壁的三倍厚度（因为此比例有利于罐身受力，便于

开盖），高度h是底半径r的6倍时;圆柱的表面积最小。第一二种模型相较之下，

第二种模型更费材料，第一种模型设计更优。所以，在不受力的情况下，假设易拉

罐是一个正圆柱体，当底半径r是高度h的一半时;模型最优。不过，本文通过实

际数据发现，厂商制作易拉罐时，不单单是考虑材料最省，可能还考虑到开盖时所

受到的压力，外形美观等因素。

第三问:设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正

圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计其结果是否可以

合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。

一、问题描述

通常，在现实生活中，本文所见地易拉罐都不是单纯的正圆柱体，一般都是混

合的三维图形。由于实际生活中，易拉罐是受到外力的影响（如开盖时的拉力，堆放

时的压力等等），因此，本文依照生活中的易拉罐，设易拉罐的中心纵断面如图1所

示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。通过计算和测量，在理

论的基础上，建立易拉罐最优设计的模型。

图1

二、问题分析

本文假设最优化条件为保证容积的情况下，使制作易拉罐所需材料最省（表面积

为最小）。由于易拉罐形状不是单纯的正圆柱体，所以本文建立模型时，先假设易拉

罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体。然后，考虑易拉罐的厚度，在厚

度一致时，利用lingo软件，计算出模型的最优解；通过本文观察发现易拉罐顶盖的

厚度是罐身的三倍，所以，假设另一种模型当易拉罐顶盖、底盖厚度为a,其余部

分为b,且a:b=3：1,体积V=355ml时，同样利用lingo软件，计算出模型的最优

解。

三模型假设、建立与求解

（一）第三种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

1、假设：（1）易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体

（2）易拉罐整体厚度均相同

2、确定变量和参数：设易拉罐顶盖、底部半径为R,正圆柱体高为H,正圆台高为

h,体积为V,其中R,r,H,h是自变量，所用材料的体积S是因变量，而V是固定参数,

则S和V分别为：

S=7T(R2+产)+2兀RH+万(R+r)荷卡伊常

V=7rR2H+^7r(R2+Rr+r2)h

设8(尺「,”,力)=1/?2”+；4(/?2+灯+/)力一丫

3、模型建立：

minS(7?,r,//,/?)

/?>0,r>0,H>0,/z>0

g(R,r,H,h)=O

其中S是目标函数，g(氏r,〃,/z)=O是约束条件，V是已知的，即要在体积一

定的条件下求表面积最小值时，R,r,H,h的取值各是多少

4、模型求解

利用LINGO求解，设R=x1,r=x3,H=x2,h=x4,则

S=4((叫一+(x3)-)+2万(刈(犬2)+乃((xl)+(x3))+((xl)-(x3)y

V=%(叫2(x2)+*((xl『+(xl)(*3)+(*3)2)(")

利用LINGO计算结果(见附表一)，得

H+h=2R=4r时，S为最优解

5.模型结论

在易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体，且厚度均相同的前

提下，当体积为固体参数，表面积最小时，利用软件(LINGO)计算，得到圆台

的高与圆拄的高等于两倍圆拄的半径，同时也等于四倍的圆台的半径，

H+h=2R=4r,模型最优。

(二)第四种易拉罐形状和尺寸的最优设计模型

1、假设：(1)易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆柱体

(2)易拉罐整体厚度

(3)V=355ml

2、确定变量和参数：设易拉罐顶盖半径为，底盖半径为R,正圆柱体高为H,正圆

台高为h,体积为V,其中R,r,H,h是自变量，所用材料的体积S是因变量，而V是

固定参数，则S和V分别为：

222

S=a7r(R+r\+27rRHb+乃b(R+r)^h+(??-/•)-

1

-2

V=TTKH3兀（R2+Rr+r\h

3、模型建立：

minS(Rr,H,hj

R>O,r>O,H>O,h>Q

g(R,r,H,h)=O

其中S是目标函数，g(&r,〃,/z)=O是约束条件，V是已知的，即要在体积一

定的条件下求表面积最小值时，R，r,H,h的取值各是多少

4、模型求解

利用LINGO求解，ISR=xl,r=x3,H=x2,h=x4,jiLa=,b=则

S=0.333^((xl)2+(x3)2)+2^(xl)(x2)x0.111+0.111x^((xl)+(x3))^(x4)2+((xl)-(x3))2

V=(x2)+；;r((xl)-+(xl)(x3)+(x3)-)(x4)

利用LINGO计算结果(见附表二)，得

H+h^4.5R,r->0时.，S为最优解

5.模型结论：

在假设易拉罐上部分是一个正圆台，下部分是一个正圆拄体，且厚度不同，顶

盖、底部半径是罐身3倍的条件下，当体积为固定参数，而表面积最小时，通过软

件(LINGO)得至UH+h约等于，r-0,模型最优。

四、模型评价

以材料节约、实用为基础，建立易拉罐的形状和尺寸最有设计的模型。第三个

模型优点在于实用，第四个模型更为优化。因为，本文在建立模型时发现，模型四

在制作过程中，所用材料更为节约，造价更低，所以，第四种模型更为优化。

第四问：利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐

形状和尺寸的最优设计。

一、对现有易拉罐的解释

如果增加两个标准，考虑易拉罐的稳定性和使用的方便性。考虑稳定性时，只

能采用模型二与模型四的设计。将厚度比例本题视为已知条件时，代入测量所得的

数据，并利用LINGO求解模型二

目标：求minS=a万(6,+12a+6a2+

条件：V=兀』11

设r=xl,h=x2,V=355,a=，在LINGO求解(见附录三)。比较模型二与第三问中模型

四的结果，易见模型四比较优化。但模型四脱离了实际，因为实际中需要在顶盖设

计一个拉环，所以r必需大于零。

下面考虑r取不同值时，模型的优化程度。模型仍为：

minS=O.333^-((xl)2+(A：3)2)+2^(xl)(A：2)xO.l11+0.111X7T((xl)+(x3))^(x4)2+((xl)-(x3))2

V=》(xl)2(*2)+gzr((xl)~+(xl)(*3)+(*3)2)(x4)

r分别取，，，，，，，，，，，，，时，利用LINGO计算模型中R,H,h,S的最

优值(见表2)：

表2

R

H

h¥

S&

表2(续)

r

2.39400

R

H[000

h

s(

大于3时，图形已非

最优，省去后面的结果。即当r小于3时，S的值都小于模型二的结果，因此可以得

出结论：模型四比模型二的设计更优。

既然模型四比模型二省材料•，那么是否可以把模型四的正圆柱底部也改成一个

正圆台

考虑上、下都为圆台的设计方案(模型五)，材料体积S的方程如下：

minS=2a^r2+2兀RHb+27rb(R+r)J.+(R_r)~

V=7rR2H+^7r(R2+Rr+r2)h=355

利用软件(LINGO)计算(见附录四)，得$=

将上述S与模型四的结果比较，易见上下都为圆台的设计方案更优。但考虑到

存放方便时，，这样易拉罐“站”不稳，同时“易拉罐”一定需要有一个拉环，如果

设计在项部，r必需大于零。

进一步考虑上下都为圆台时，r的合理取值。

因为S=2a兀户+2兀RHb+2帅(R+r)小川+()一］『

V=7rR2H+^7c（R2+Rr+r2）h=355

利用LINGO分析r分别取，，，，，，，，，，，，，得出最优解时R,H,h,S

的值（结果见表3）：

表3

r

R

H

h

s%

表3（续）

r

R

H=

h

1*

s

表3（续）

H

h

s9

在现实中，拉环的测量值为，手指的大小约为，则最优设计就是拉环穿过直径,

所以r=+/2=，近似为r=,此时H=«

二、比现实更优的设计方案

因为上项半径越小，材料越省，我们尽量减小上底半径。一种可行方案是将设

计旋转型的拉环（现实中的拉环不可旋转，是直的，导致上底半径大），拉环长度可

减小半，即r=2=,近似为/-2.2时，设计最优。设计方案为

r=2.2,力=0.75,/?=3.93,"=6.86时，此时S=，材料更省，优于现实中的设计。

附录一

LINGO最优化软件：

在LINGO输入min=(x1八2+x3人2+2*x1*x2+(x1+x3)*(x4人2+(x1-x3)A2)A(l/2))*;

*x1A2*x2+(l/3)**(x1A2+x1*x3+x3A2)*x4=355;

init:

xl=2;

x2=4;

x3=2;

x4=l;

endinit

2；LIWGO[SolutionReport-LIRCO11£1回闵

E»l.CditLINGOXindowHelp

□IcglHl-lx|叱QlBHel&Mx」・|因|幻|3|由|包噫|

Localoptimalsolutionfoundatiteration:159

Objectivevalue:263.9849

VariableValueReducedCost

XI4.034325-0.2275414E-07

X31.8782660.5096152E-07

X25.5054650・000000

X42.5631860.2832437E-07

RowSlackorSurplusDualPrice

1263.9849-1.000000

20.000000-0.4957462

[QC0n三-小型暇Hd<hTyp・-…\LtSQO-[S。-口》»ic-N»vr。0文档1-IUUW?々613:5^-

图2

附录二

LINGO最优化软件：

在LINGO输入min=*xl八2+*x3八2+2*xl*x2*+*(xl+x3)*(x4八2+(xl-x3)八2)八(1/2))*;

*xl八2*x2+(l/3)**(xl八2+xl*x3+x3A2)*x4=355;

init:

xl=;

x2=;

x3=;

x4=l;

endinit

ELINGO-[SolutionReport-L1KG01]£］叵区

/EditXiiid&wy«lp_9X

口后旧制；I叫a、田ji•i-i区iSI^IBB望陷

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:8274

Objectivevalue:37.97324

VariableValueReduced.Cost

XI3.1131160.000000

X30.0000000.000000

X210.731570.000000

X42.7844550.1236074E-08

RowSlackorSurplusDualPrice

137.97324-1.000000

20.000000-0.7131125E-01

ForHelp,pressFlKW»HOD514,Col75052an

厂，茏给©QC"uUMGO-[Solutio''M.thTyp.-未命名1Q42空求廨-N>cr»UEJ?q,网5?叁oS£|

图3

附录三

LINGO最优化软件：

在LINGO输入

min=**(6*x1A2+12**xl+6*A2+2*x1*x2+*x2);

*xlA2*x2=355;

LINGO【SolutionReport-LINGO1】■叵I区

ty£ii.£dit1tnwojrindwy»ip_&

◎身Hg巾|0|a|二I且］西囿国管1闻

Globaloptimalsolutionfoundatiteration:19

Objectivevalue:46.31159

VariableValueReducedCost

XI2.6605770.2808570E-07

X215.963460.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

146.31159-1.000000

20.000000-0.8518111E-01

得'1并始QOSLung15。13>。tUlhTyy.-率eg13梗型求加"，"・=H?)，臼'上①293

图4

附录四

利用LINGO求最优值

在LINGO输入：

min=(2**x3A2+2*x1*x2*+2**(xl+x3)*(x4A2+(x1-x3)A2)A(1/2))*;

AA

东x1八2*x2+(l/3)**(x12+x1*x3+x32)*x4=355;

1^LINGO-[SolutionKwpurI-L1MGO1JJ］但〕庄1