第1章空间向量与立体几何 综合检测-人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册章节复习

第一章空间向量与立体几何综合检测题

一、单选题

1.已知直线/的方向向量是£=(3,2』)，平面C的法向量是==(—1,2,7),则/与a

的位置关系是()

A.ILaB.lHa

C./与。相交但不垂直D.U/a或lua

2.已知平面a的法向量为£=(1,2,-2),平面P的法向量为5=(—2,-4,k).若

a_LB,则k=()

A.4B.-4

C.5D.-5

3.已知向量值=(2,1,-3),5=(1，-1，2),则1+2石=()

A.372B.(4,-1,1)C.(5,1,-4)D.近

4.正方体ABCO-AgCQ中，分瓦+丽'+丽=()

A.A^CB.而C.西D.西

5.如图，正方体中，E，尸分别是8片和的中点，则平面ECE

与平面ABC。所成的角的余弦值为()

A-TB-TD'T

6.在正四棱锥P—ABC。中，M.N分别为24，依的中点，且侧面与底面所成

二面角的正切值为正，则异面直线DM与AN所成角的余弦值为（）.

111

--C二

A.3B.68-D.

12

7.已知棱长为1的正方体ABCO—AgGA的上底面A4GQ的中心为。i，则

A。；•沅的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

8.已知1=（cosa』,sina）,5=（sina,l,cosa）,则向量。+石与4―/的夹角是（）.

A.90°B.60,C.30°D.0°

9.如图在长方体ABCD-\BXC,DX中，设AO=A4=1,43=2,则BZ)；-AZ5等于

()

A.1B.2C.3DT

—■1—■1—.

10.空间四边形ABCZ）中，E、F分别是BC、CC的中点，则A8+—6C+—30=（）

22

A.EFB.FAC.AFD-FE

11.在空间四边形Q48c中，G是AABC的重心，若函=£,而=反反="，则砺

等于()

0

1-1-1-1_1_1____

A.—a+—b+—cB.—a+—h+—cC.a+B+cD.3a+3b+3c

333

12.如图，已知点E、F、G、〃分别是正方体45CO—44G2中棱A4、AB、

BC、GA的中点，记二面角E—FG—。的平面角为a，直线”G与平面ABCD所

成角为4，直线”G与直线0G所成角为/，则()

A.a>B.P>a>Yc.P=a>YD.Y>a=(3

二、填空题

13.已知空间向量1=(-2,1,5),6=(1,3,-4),则/石=.

14.在正方体ABCD—ABCQI中，E是CC的中点，则BE与平面84。。所成角的

正弦值为.

15.如图，PA_L平面ABC，AC1BC,PA=AC=1,BC=C，则二面角

A-PB-C的余弦值大小为.

16.已知以垂直于正方形ABCD所在的平面，M,N分别是CD,PC的中点，并且附

=40=1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN=.

三、解答题

17.如图，在四棱锥尸一ABCD中，平面ABC。，PA^AB=BC=2,

ND4C=ZABC=90。，AD=42-

(I)证明：AD1PC；

(II)求P。与平面PBC所成角的大小.

p

18.如图，在四棱锥P—ABC。中，底面ABC。，且底面ABC。为直角梯形,

AB//CD,ZSA£)=90°，PA=AD^AB=\，CD=2,£为PC的中点.

p

AB

(1)求证：BE平面PCD；

(2)求平面E8O和底面ABC力的夹角余弦值.

19.如图，在多面体ABC—4BQ中，四边形AIABBI是正方形，48=AC,BC=^AB,

BiC产;8C,二面角4-A8-C是直二面角.

求证：(1)AiBi_1_平面AAiC；

(2)A3〃平面4cle

20.如图所示，在三棱柱4BC-A4G中，CG1•平面ABC,ACLBC,

AC=BC=2,CG=3,点。，E分别在棱AA和棱eq上，且4)=1，CE=2,

点M为棱的中点.

(1)求证：C}M±B,D；

（2）求二面角。的正弦值;

（3）求直线A3与平面所成角的正弦值.

21.如图，在几何体A3CD跖中，平面4）E_L平面ABCD,四边形ABC£＞为菱形,

ZZMB=60°,EA=ED=AB=2EF，EF//AB,M为BC中点.

（1）求证：FM〃平面BDE：

（2）求平面B0E与平面BCF所成二面角（不大于90。）的余弦值.

22.如图，在直三棱柱ABC—A4cl中，A41=A8=AC=1,ABVAC，M.N

分别是棱cc，8c的中点，点P在直线上.

（1）求直线PN与平面ABC所成的角最大时，线段AP的长度；

（2）是否存在这样的点P，使平面刖与平面4BC所成的二面角为二，如果存在,

试确定点P的位置；如果不存在，请说明理由.

参考答案

1.D

【分析】

判断£与之的位置关系，进而可得出直线/与a的位置关系.

【详解】

VGW=-3+4-1=0»:.a±u>:.lHa或lua.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用空间向量法判断线面位置关系，属于基础题.

2.D

【分析】

根据题意。得出小5=0,列出方程求出k的值.

【详解】

Va_Lp,aA.ba-b———2—8—2k=0.k=—5,

答案：D

【点睛】

本题考查了平面的法向量与向量垂直的应用问题，是基础题.

3.B

【分析】

根据空间向量坐标运算求解，即可得结果.

【详解】

a+2b=(2,1,-3)+(2,-2,4)=(4,-1,1)

故选：B

【点睛】

本题考查空间向量坐标运算，考查基本求解能力，属基础题.

4.D

【分析】

利用A。；=B^,CD=4可及向量加法法则计算.

【详解】

•；ABCD-^B^D,是正方体，

:.函+疝+B=函+则+第=函.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间向量加法法则，属于基础题.

5.B

【分析】

以点A为坐标原点，AB，AD＜胸的方向分别为8轴、＞轴、z轴的正方向建立空间直

角坐标系，求出平面ECF的一个法向量与平面ABCO的一个法向量，利用空间向量的数量

积即可求解.

【详解】

以点A为坐标原点，AB-AD＞A&的方向

分别为x轴、＞轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.

设正方体的棱长为2,则A(0,0,0),£(2,0,1),尸(0,2,1),C(2,2,0),

ACE=(0,-2,l),CF=(-2,0,1).

二平面EC尸的一个法向量为乃=(1,1,2).

设平面EC尸与平面ABCO的夹角为仇

•.•初=(0,0,1)是平面A3CO的一个法向量,

\m-rn

COSe=|cos〈玩,n>|==厂］厂=，.

网•几71义763

故选：B

【点睛】

本题考查了空间向量法求二面角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

6.B

【分析】

不妨设正四棱锥底面边长为2,则由该正四棱锥侧面与底面所成二面角的正切值为血，易

得其高为0.取底面正方形的中心为原点。，建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用

空间向量进行求解即可

【详解】

如图所示.

不妨设正四棱锥底面边长为2,底面中心为。，

连P。，则P01平面ABC。，

取8C中点E，连OE,PE,则OE工BC,PE人BC,

所以NPEO为侧面PBC与底面ABCD所成的角，

即tanNPEO=0,OE=l，所以=

取底面正方形的中心。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(l,—1,0),5(1,1,0),C(-1,1,0),0(-P((),(),0),

।⑸

则/

(222J

___(31----—►f1342]

所以£>M=—,----,AN=—

(222J12

|威•212

设。M与A7V所成的角为6,贝！Icos6=

\DM\\AN\6

故选：B.

【点睛】

此题考查求异面直线所成的角，考查空间向量的用法，属于基础题

7.C

【分析】

根据空间向量的线性运算，将画和女用丽、而、而表示，再根据空间向量的数

量积运算可得解.

【详解】

福=羽+丽=丽+3（病+丽）=福+3（通+亚）

AC=AB+AD>

则

1/\2

-AB+A^AD+^AB+ADj

=；(|A用2+|A方『)=1.

故选：C.

【点睛】

本题考查了空间向量的线性运算，考查了空间向量的数量积，属于基础题.

8.A

【分析】

求出向量力,5，再由®+5)・侬-5)=|万『一|5|2=0得出答案.

【详解】

：|G|2=2,|B『=2,(々+5).(@-B)=|万『一|6『=0,A(a+b)l(a-b).

故选：A

【点睛】

本题主要考查了求向量的夹角，属于基础题.

9.A

【分析】

利用向量加法化简BD}-AD,结合向量数量积运算求得正确结果.

【详解】

由长方体的性质可知AD1AB,AD±BB[,AD//BC,AD=BC=\,

丽；=丽+阮+丽;,

所以丽.砺=(丽+册+瓯)•而=丽•亚+肥・赤+瓯・赤

=O+BC2+O=I-

故选：A

10.C

【分析】

作出图形，连接E尸，可得EF〃BD,EF=LBD,进而利用向量的线性运算，可求出答案.

2

【详解】

如下图，连接EF，则EF〃BD,EF=LBD,

2

所以福+g就+；丽=而+而+丽=荏+而=而.

故选：C

11.A

【分析】

由G是AA3C的重心，则心存=:函=；（m+而），根据向量的加法有

____2___

OG=OC+CG=OC+-CM,从而可得答案.

3

【详解】

由G是△/$（?的重心，则心存=］函=；（m+而）,

0_____O1____

南3+金诙+产抵+gX*+西

^OA-OC）+（OB-OC）］

=oc+

=OC+^OA-WC+OB\

I__.1__.1___.1_1_1-

=-OC+-OA+-OB=-a+-b+-c

333333

故选：A

12.D

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角、二面角、异面直角所成角，即可比较;

【详解】

解：如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为2,则£(2,0,1),F(2,l,0),G(1,2,0),

”(0,1,2)，用=(1,1,-2),诙=(1,2,0)，丽=(0,1,-1),FU=(-1,1,0),

显然面ABCD的法向量为“=(0,0,1),设面EFG的法向量为团=(x,y,z),则

fnEF-0y-z=0

<一，即｛八，令y=i则z=l、x=l,所以而=(1,1,1)

mFG=0[-X+y=0

所以cosa一回一迫」叫一2.戈

所以cos/?=^/1-sin2p=-^-»

卜卜何3叫“V63

|//G*£)G||1X1+1X2+0X(-2)|730

C0S/-|WG|.|DG|76x7510

因为走>避0,即cosocosy,所以y>a=£

310

故选：D

13.-19

【分析】

根据空间向量数量积的坐标运算，计算即可.

【详解】

空间向量值=(-2,1,5),6=(1,3,-4),

所以存B=-2xl+lx3+5x(—4)=—19.

故答案为：-19.

14.叵

5

【分析】

建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2,求得向量屁，衣的坐标，易知祝是平面

\BE-AC\

8耳口。的一个法向量,然后由sin8=求解.

【详解】

如图所示，建立空间直角坐标系:

设正方体的棱长为2,

则5(2,2,0),C((),2,())<((),2,2),£(0,2,1),

所以砺=(一2,0,1),衣=(-2,2,0),

由正方体的几何特征，则AC_L平面BBQQ,

所以/=(—2,2,0)是平面的一个法向量,

设BE与平面。所成的角为氏

\BE-AC\4屈

所以sin。=।।=—j=---尸=——,

|BE|-|AC|V5-2V25

故答案为：叵

5

.5近

3

【分析】

以点C为原点，C4为X轴，CB为y轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求二面角.

【详解】

以点C为原点，C4为X轴，CB为y轴建立空间直角坐标系,

：A(1,O,O)、8(0,0,0)、C(0,0,0)、P(L0,l)

AP=(0,0,1),而=(-1，①-1),CB=(0,72,0),

设平面AP8的法向量为“=（x，X，Z|）,

设平面P8C的法向量为区=（孙％，Z2），

4=0岳2=0

则｛厂且｛为

-%+>/2y=0-x2+x/2y2-z2=0

__.—Vn•几一2

•••可取）=（2,60），&XT，。4），，c°sW〃2）=帚向=而&=一三.

二面角A—PB-C是锐二面角，，其余弦值为

3

故答案为：正.

3

叵

1O.-------

2

【分析】

利用空间向量的模的求法即可求解.

【详解】

连接尸。，因为M,N分别为CD,PC的中点，

所以又P(0,0,1),D(0,1,0),

所以尸0=J()2+(—i)2+]2=阻,所以MN=[L

故答案为：Y2

2

【点睛】

本题考查了空间向量法求两点间的距离公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题.

TT

17.(I)见解析；(H)§

【分析】

(I)可证AT)_L平面P4C,从而得到AO_LPC.

(II)建立如图所示空间直角坐标系A-肛z,算出所=(-1,1,-2)及平面P8C的法向量后

可得线面角的正弦值从而得到所求的角.

【详解】

(I)由A4_L平面ABC。，A£>u平面ABCD,所以Q4_LAO，

由ND4C=90°知，AD±AC,而Q4nAe=A,所以4），平面P4C,

因PCU平面PAC,故AO，PC.

(H)建立如图所示空间直角坐标系A-%”，则尸(0,0,2),3(2,0,0),C(2,2,0),

_________Ulll

£)(-1,1,0),所以尸£>=(T1,_2),PB=(2,0,-2),BC=(0,2,0),

n-PB=0,,y=0

设平面PBC的法向量为3=(x,y,z),由＜---得至Ij:

n-BC=0x—z=0

则cos(1,而)==-虫

MXn=(1,0,1),

\/V6xV22

所以PO与平面PBC所成的角为3.

【点睛】

TT

线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为一得到，而线面垂直又可

2

以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直

角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图

形中的角的计算.

n

18.(1)证明见解析；(2)g.

3

【分析】

(1)首先以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为8，y，z轴，建立空间直角坐标系,

根据正•丽=0，CDBE=Q，从而得到PC,BE,CD±BE,即可证明

BEJ.平面PCO.

(2)利用向量法求平面E8Z)和底面ABC。的夹角余弦值即可.

【详解】

(1)以A为坐标原点，AB，AD<AP分别为x，N，z轴，建立空间直角坐标系,

如图所示：

D(0,i,0),P(o,o,i),£(，；，；

依题意得A(0,(),0),5(1,(),0),C(2,l,0),

PC=(2,1,-1),CD=(-2,0,0),屁=(()《

2

因为正•丽=0+；+(-；)=0,而・丽=0+0+0=0,

所以PCLBE,CD上BE,又因为PCflCO=C，

所以BE，平面PC。.

(2)依题可知P4_L底面ABC。，

故A户=((),()/)为平面ABC。的一个法向量

又可解得防=(—1,1,0),丽=(0,；,g).

故设平面或)E的一个法向量为〃=(尤,y,z)

-x+y=0

n-BD=Q

则《，即《11八，令z=2,可得1=（一2,-2,2）

n-BE=Q—y+—z=0

12，2

于是cos（而内=当2=多=3,

\/\AP\-\n\2V33

所以平面BOE和底面ABC。的夹角余弦值为且

3

19.(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【分析】

利用面面垂直的性质定理证出AB,AC,441两两互相垂直，建立空间直角坐标系小孙z,

(1)求出平面A4C的一个法向量，证出4瓦//工，即可证明.

(2)求出平面4GC的一个法向量，证明福•病=0即可证明.

【详解】

因为—•面角A]-AB-C是直一面角,

四边形A\ABB\为正方形,

所以平面3AC.

又因为AB=AC,BC=4iAB,

所以NC4B=90。，

即CALAB,

所以AB,AC,AAi两两互相垂直.

建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

设AB=2,则A(0,0,0),Bi(0,2,2),4(0,0,2),C(2,0,0),G(l,1,2).

(1)祸'=(0,2,0),4A=(0,0,-2),AC=(2>0,0),

设平面AAC的一个法向量［=（x,y,z）,

fl-A^A-0-2z=0x=0_

则《即《即〈八，取y=i，则〃=（。，1，o）.

n-AC=02x=0z=0

所以隔=2兀

即福7加

所以平面A4C.

(2)易知福=(0,2,2),而=(1,1,0),汞=(2,0,-2),

设平面AGC的一个法向量而=（箝，yi,zi）,

zn-AC.=0伍+乂=。

则〈_1，即《

in-A}C=0[2%)—2zj=0

令xi=1,则yi=—1,zi=l,

即=(1,—1,1).

所以AB]=0x1+2x（—1）+2x1=0,

所以丽而，

又ABC平面4GC,

所以AB〃平面4GC.

【点睛】

本题考查了空间向量法证明线面垂直、线面平行，考查了基本运算，属于基础题.

20.（1）证明见解析；（2）画；（3）正.

63

【分析】

（1）以C为原点，分别以C4,CB,CC1的方向为X轴、y轴、Z轴的正方向建系，可得

点G、M、。的坐标，进而可得[祈，丽的坐标，利用数量积公式，即可得证；

（2）分别求得平面和平面OgE的法向量，利用向量法即可求得二面角的余弦值，

即可得二面角8-片后―。的正弦值；

（3）求得丽的坐标，由（2）可得平面。耳E的法向量，利用线面角的夹角公式，即可求

得结果.

【详解】

（1）证明：依题意，以C为原点，分别以C4,CB,C&的方向为x轴、y轴、z轴的正

方向建立空间直角坐标系，如图所示,

可得C(0,0,0),A(2,0,0),8(0,2,0),C,(0,0,3),

A(2,0,3),4(0,2,3),0(2,0,1),E(0,0,2),加(1,1,3).

依题意，或=(1,1,0),丽=(2,-2,-2),

所以丽•丽=2—2+0=0，

所以G"，与。.

(2)因为C4J_3C,CAICC,,

所以C4_L平面BCC,B,,

所以瓦=(2,0,0)是平面BB.E的一个法向量,

又函'=((),2,1),ED=(2,0,-l).

设”=(x,y,z)为平面的法向量,

为.EBX=02y+z=0

则《即＜不妨设x=l可得3=(1,-1,2),

万•ED-02x-z=0

---CAn2V6

cos<CA,n>=r——.：-jri=-----7='=-",

|CA|-|n|2xV66

_V30

,sin<CA,n>=^/1-cos2<CA,n>

一丁'

二面角B-B.E-D的正弦值为叵.

6

(3)依题意，丽=(一2,2,0),由(2)知3=(1,-1,2)为平面的一个法向量,

设AB与平面所成角为0,

所以sin(9=cos<AB,〃>=।㈠=——，

网•忖3

直线AB与平面。与£所成角的正弦值为.

3

【点睛】

本题考查线线垂直的证明，线面角、二面角的求法，易错点为求二面角的正弦值，需用三角

函数进行转化，而求线面角时，法向量与直线方向向量所成角的余弦值即为线面角的正弦值,

不需要转化，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.

3

21.(1)证明见详解；(2)j

【分析】

(1)取C。的中点N,连接MN,FN,利用面面平行的判定定理证明平面RVM//平面

BDE，再利用面面平行的性质定理即可证明.

(2)取的中点。，连接EO,80,以。为原点，。4,0区。石为工，2轴,求出平面比应

的一个法向量以及平面8CT的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.

【详解】

(1)证明：取CO的中点N,连接MN,FN,

因为N,M分别为CO、8c中点，

所以MN//BD,

又BDu平面BDE，且MNU平面BDE，

所以肱V//平面3OE，

因为EF//AB,AB=2EF=2DN,AB//EF//DN

所以四边形瓦ND为平行四边形，

又因为FNu平面BDE，且FNU平面3OE，

所以FN//平面BOE，

又FNcMN=N,

所以平面//平面区DE，

因为RWu平面尸NM,所以FM〃平面BDE；

(2)取A£＞的中点。，连接£0,80,

因为E4=ED，所以EO_LA£),

因为平面平面ABC。，

所以EO_L平面ABC。，EOLBO,

因为AD=AB，ZZMB=60°),

所以△A£>8为等边三角形，

因为。为AO的中点，

所以ADJ.BO,

因为E0,80,A。两两垂直，

设AB=4，

以0为原点，。4,。8,0七为x,y,z轴，如图：

建立空间直角坐标系。一孙z,

网0,2瓜0),网0,0,2回0(-2,0,0),

C(-4,273,0),4-1,6,2⑹，

贝ij诙=12,-2后0),BE=(0,-273,2^),

5C=(M,0,0),=(-1,-473,273),

设平面BDE的法向量为n=(%,%,Z]),

n-BD=Q-2X]-2^3x=0

则《一，即《

n-BE=Q-2VJX+26Z|=0'

令X=1,则石=-73，4=1,

所以〃=卜石,1,1)

设平面3。户的法向量为〃7=(%2，%，22)，

m-BC=0

则《

in-BF=0

令为=1,贝!]彳2=0,z2=2,

所以〃z=(0,1,2),

设平面8DE与平面8b所成二面角为。(6不大于90。)，

/一八防〃||3|3

则cos6=cos(m,n)=匕"|W=一尸二一尸=二.