初中数学圆和圆的位置关系练习题

初中数学圆和圆的位置关系练习题

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

1.如图，PQ是。。1，。。2的公共弦，过点P的直线分别交。。1,。。2于点4D,

过点Q的直线分别交。。1，。。2于点8、C,则下列结论不一定成立的是（）

\.AB//CDB.^ABQ=乙DPQ

C.APAB+乙PQB=180°D.AD//BC

2.如图，点魂、周、毁在。。上，4密标1,以=别。则空的度数是（）

C

3.已知。。与。。'外切于点C,外公切线48与连心线。。'交于点P,力、B为切

点.4B=2g,大圆。的半径为3,则两条外公切线所夹的锐角的度数是（）

A.90°B.60°C.45°D.30°

4.为了欢度春节，江宁区政府计划在中心广场用鲜花和彩灯布置一个如下图所示的景

观带（粗线部分），实线部分是半径为12米的两条等弧组成的景观带，若每条弧所在

的圆都经过另一个圆的圆心，则花圃的景观带为（）米.

A.l67rB.247rC.327rD.367r

5.两圆的半径分别为2,5,圆心距为6,则两圆的公切线共有()

A.1条B.2条C.3条D.4条

6.15个台球平放在桌子上，它们正好挤在一个等边三角形框内，该框的内周长为

876mm,则每个台球的半径(以mm为单位)是()

A.yB.詈(4一百)C.146(2-V3)D.y(2-V3)

7.在平面直角坐标系中，的圆心坐标为(1,0),半径为1,点⑥为OC的直径，若

点谶的坐标为Q匕)则点⑱的坐标为()

A.(—a—1,—b)B.(—a+1,—b)C.(—a+2,-b)D.(—a—2,—b)

8.已知。Oi和。。2相切，。01的直径为9cm,。。2的直径为4cm.则O1O2的长是()

A.5czn或13cmB.2.5cm

C.6.5cmD25cm或6.5cm

9.已知相交两圆的公共弦长为24厘米，两圆的半径长分别为15厘米与20厘米，则此两

圆的圆心距等于0

A.9厘米B.7厘米

C.25厘米D.25厘米或7厘米

10.如图，矩形魂连期中，寿=编廖=寓，以会为圆心，3为半径作题哪，圜为

题密上—动点，连接，因，以度!置为直角边作费叁星理'，使2通期率二颗即，

舞"=—

鼠则点熏与点烈的最小距离为()

二、填空题(本题共计6小题，每题3分，共计18分，)

试卷第2页，总23页

11.易拉罐的形状是圆柱，其底面的直径为6cm,将10个相同的易拉罐按如图方式堆

放，则这10个易拉罐所达到的最大高度是.（保留根号）＜人人

12.若两圆的半径分别是3cm和4czn,圆心距为7cm,则两圆的位置关系是______

13.相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段_（判断对错）

14.如图，在RtAABC中，ZC=9O°MC=2,BC=4,分别以AC,BC为直径画弧,

则图中阴影部分的面积为.

15.四个半径为r的圆如图放置，相邻两个圆交点之间的距离也为r,不相邻两个圆的

圆周上两点间的最短距离等于2,贝忏的值是________

16.图1中的圆与正方形各边都相切，设这个圆的面积为Si；图2中的四个圆的半径相

等，并依次外切，且与正方形的边相切，设这四个圆的面积之和为52；图3中的九个圆

半径相等，并依次外切，且与正方形的各边相切，设这九个圆的面积之和为S3，…依

此规律，当正方形边长为2时，第兀个图中所有圆的面积之和％=.

三、解答题（本题共计8小题，每题10分，共计80分，）

17.如图，我校有一教师买了辆奥迪车，奥迪车商标的长为34cm,宽为10cm,贝Ijd的

值为18cm.

18.如图，在平面直角坐标系xOy中，4(0,8),B(6,0),C(0,3),点。从点4运动到点

(2)当OP与2B相切时，求APOB的面积；

(3)连接AP、BP,在整个运动过程中，△P4B的面积是否为定值，如果是，请直接

写出面积的定值，如果不是，请说明理由.

19.如图所示，。。八。。2、。。3两两外切，切点为4、B、C,它们的半径为乙、「2、

(1)若△。1。2。3是直角三角形，「2：七=2：3,用友表示万；

(2)若△。1。2。3与以4B、C为顶点的三角形相似，求1、「2、「3必须满足什么条件,

并加以证明.

20.如图，一半径为1的圆内切于一个圆心角为60。的扇形，求扇形的周

试卷第4页，总23页

21.已知：相交两圆的公共弦的长为6cm,两圆的半径分别为3&cm,5cm,求这两个

圆的圆心距.

22.如图，已知矩形ABCD的边4D在直线MN上，BC=6,AB=8,点E是直线MN上

的一个动点，若以AB为半径的。4与以ED为半径的。E相切，求。E的半

23.如图，奥迪车商标是由4个全等的圆相交而成，根据图中的数据，可得圆的半径为

24.如图，点A,B在直线MN上，4B=11厘米，QA,。B的半径均为1厘米.。A以

每秒2厘米的速度自左向右运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径r（厘米）

与时间t（秒）之间的关系式为r=1+t（t>0）.

（1）试写出点力、8之间的距离d（厘米）与时间t（秒）之间的函数表达式；

（2）问点A出发后多少秒两圆相切？

参考答案与试题解析

初中数学圆和圆的位置关系练习题

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1.

【答案】

D

【考点】

相交两圆的性质

【解析】

依据圆内接四边形的性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角，即可作出判断.

【解答】

解：力、4DPQ=4ABQ,

又；Z.DPQ+/LDCQ=180°,

^ABQ+^DCQ=180°,

/.4B〃CD.故结论成立；

B、根据圆内接四边形的性质可得：^ABQ=乙DPQ、故结论正确；

C、根据圆内接四边形的性质，NP4B+4PQB=180°成立，故结论正确；

D、力。和8c是过P和Q的任意直线，则4D〃BC不一定成立.

故选D.

2.

【答案】

B

【考点】

圆与圆的综合与创新

等腰三角形的判定

平行线的判定

【解析】

连接OB,分别经计算乙4B。和NCB。的度数即可.

【解答】

解：连接。B,如图所示.

OA=OB

/.OBA="=70"

试卷第6页，总23页

ABPOC

(BOC=/-OBA=70°

OC=OB

180°—70°-

Z.OBC=-------------=55

2

/-ABC=/-OBA+乙OBC=700+55°=125°

故选：B

3.

【答案】

B

【考点】

相切两圆的性质

【解析】

根据切线的性质得出4E=BE=EC=®再利用tan/E。缶=襄=得出

NEO'B=30。，进而求出NP的度数，即可得出两条外公切线所夹的锐角的度数.

【解答】

解：如图，作两圆的公切线EC,连接B。"，EO',

。。与。。'外切于点C,外公切线4B与连心线。0'交于点P,4、B为切点，

O'BA.PB,

<•,EB,EC是。。'的切线，AE.EC是。。的切线，

EB=EC,AE=EC,

AE=BE=EC=y/3,

"：BO'=3,

在RtABEO',

tanZ-EOrB=—=—,

BOt3

同理可得出：4EO'C=30°,

・・・Z,P=30°,

・,・两条外公切线所夹的锐角的度数是：60。.

4.

【答案】

C

【考点】

相交两圆的性质

【解析】

如图，连接AB,CD,CB,DB,可求得NDCB=30。，则NCBD=120。，再由弧长公式

署算出答案即可.

1OU

【解答】

解：如图，连接4B,CD,CB,DB.

'：AB=BC=12cm,

^DCB=30°,

乙CBD=120°,

花圃的周长=2x署=2x等出=32TT,

5.

【答案】

B

【考点】

圆与圆的位置关系

【解析】

由两圆的半径分别为2,5,圆心距为6,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r

的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系，继而求得两圆的公切线的条数.

【解答】

解:;两圆的半径分别为2,5,圆心距为6,

又；2+5=7,5-2=3,3<5<7,

此两圆相交，

两圆的公切线共有2条.

故选B.

6.

【答案】

B

【考点】

相切两圆的性质

【解析】

结合已知条件，设台球的半径为叱利用圆和圆之间的关系和勾股定理出等式，计算即

可.

【解答】

解：结合题意，设台球的半径为叱

那么，中间的矩形是长为8r,宽为r

两边的两个直角三角形全等，且因为小球与两边相切

所以，球心与三角形的顶点连线平分三角形的内角

所以在直角三角形中，较长的直角边=高方=百「

那么，整个边长就等于8r+2^r=(8+2d3)r

则有方程：(8+2V3)r=292

所以，「=管(4-6)，

故选B.

7.

试卷第8页，总23页

【答案】

C

【考点】

圆与圆的综合与创新

【解析】

作轴于D,BE_Lx轴于E,易证得△AC。WABCE,^\\AD=BE,DC=CE,由于

点4的坐标为(a,b)OC的圆心坐标为

(1,0),BE=AD=b,EC=CD=a-WE=l-(a-l)=-3+2,根据坐标的表示方

法即可得到B点坐标为(-8+2,—b),同样得

到当点月圆上的任何位置都有此结论.

【解答】

解：如图，作ZD1轴于D,BE1轴于E,

4B为。C的直径，；.CA=CB

而ZJ4CD=乙BCE

△ACD=△BCEQAAS)

AD=BE,DC=CE

点4的坐标为(a,b)OC的圆心坐标为(1,0)

小BE=AD=b,EC=CD=--1

.OE=1—(a—1)=—a+2

:B点坐标为(一a+2,-b)

当点4圆上的任何位置都有此结论.

故选：C.

【答案】

D

【考点】

圆与圆的位置关系

【解析】

半径不相等的两圆相切有两种情况：内切和外切，不要只考虑其中一种情况.由。3

与。。2的直径分别为9cm和4cm得两圆的半径分别为4.5cm、2cm；当两圆外切时，

OiO2=4.5+2=6.5(cm)；当两圆内切时，。［。2=4.5—2=2.5(cm),所以01。2的值为

6.5cm或2.5sn.注意，相同半径的两圆只有外切与外离，而没有内切与内含的位置关

系.

【解答】

。。1和。。2相切，

两圆可能内切和外切，

当两圆外切时，。1。2=4.5+2=6.5(口71)；

当两圆内切时，。1。2=4.5-2=2.5(cm)；

。1。2的长是2.5cm或6.5cm.

9.

【答案】

D

【考点】

相交两圆的性质

【解析】

先根据勾股定理，可得得圆心距的两部分分别是9,16,然后根据两圆的位置关系确定

圆心距.

【解答】

解：如图1,AB=24,OrA=15,02A=20,

V公共弦长为24.

AC=12,AB1OQ,

222

OyC=y/O^-AC=9,02C=y/O2A-AC=16,

①当公共弦在两个圆心之间时，圆心、距=9+16=25；

②当公共弦在圆心的同侧时，如图2,圆心距=16-9=7.

故这两个圆的圆心距是25或7.

10.

【答案】

A

【考点】

圆与圆的综合与创新

【解析】

如图，取4B的中点G,连接FG,FC,GC,0E由△/MG〜△E4C,推出=

AE=1:3,因为DE=3

,可得FG=1,推出点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，再利用两点之间线段

最短即可解决问题.

【解答】

试卷第10页，总23页

如图，取的中点G,连接FG,FC,GC,DE.

1

Z-EAF=90°tanZ./lEF=-

3

AF1

AE=3

AB=6AG=GB

AG=GB=3

AD=9

AG_3_1

AD=9=3

AF_AG

AE=AD

四边形ABC。是矩形，

乙BAD=CB=Z,EAF=90°

/.FAG=Z-EAD

△FAG△EAD

FG:DE=AF/.AE=1:3

DE=3

FG=1

…点F的运动轨迹是以G为圆心1为半径的圆，

GC=yjBC2+BG2=3V10

FC>GC-FG

FC>3V10-1

.CF的最小值为3"U-1

故选：A.

二、填空题(本题共计6小题，每题3分，共计18分)

II.

【答案】

(9V3+6)cm

【考点】

相切两圆的性质

【解析】

根据相切两圆的圆心距等于两圆的半径的和可以得到构成的等边三角形的边长，进而

可以求得其高度.

【解答】

解：如图所示，圆心组成等边三角形2BC,过4作4D1BC于D,

则4B=AC=BC=18cm,

BD=CD=9cm,

根据勾股定理得：AD=4182-92=9V3,

即这10个易拉罐所达到的最大高度是(9b+6)cm,

故答案为：(9V3+6)cm.

12.

【答案】

外切

【考点】

圆与圆的位置关系

【解析】

由两圆的半径分别为1和3,圆心距为4,根据两圆位置关系与圆心距d,两圆半径R,r

的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系.

【解答】

解：：两圆的半径分别为4和3,圆心距为7.

又：4+3=7,

A两圆的位置关系是外切.

故答案为：外切.

13.

【答案】

x

【考点】

相交两圆的性质

【解析】

根据相交两圆的性质(相交两圆的连心线垂直平分公共弦)判断即可.

【解答】

解：错误，

理由是：相交两圆的连心线垂直平分公共弦，反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心

的线段，

故答案为：X.

14.

【答案】

5

2n~4

【考点】

圆与圆的综合与创新

【解析】

试卷第12页，总23页

此题暂无解析

【解答】

1

解:SRI△ABC=xBC=4,

S阴影=2个半圆的面积—Rt△4BC的面积

—［兀（当）2+^兀（竽）2―4=|兀-4.

故答案为：^兀一4.

15.

【答案】

r=V6+2

【考点】

相交两圆的性质

【解析】

由题意易知四个圆的圆心正好构成一个正方形，根据相邻两圆交点距离为r,且圆的半

径为r,由垂径定理和勾股定理可求得正方形的边长，进而可求得正方形的对角线长；

由题意知：正方形的对角线长减去两个圆的半径和即为不相邻两圆圆周上两点的最短

距离，已知了这个距离为2,即可求得圆的r的值.

【解答】

解：由题意知：四个圆的圆心正好构成正方形，且边长为：

2xJr2-（1）2=V3r,则对角线长为：V2xV3r=V6r；

•••不相邻两个圆的圆周上两点间的最短距离为：（V6-2）r,

由题意知：（述-2）r=2,解得：r=遍+2.

16.

【答案】

7T

【考点】

相切两圆的性质

【解析】

先从图中找出每个图中圆的面积，从中找出规律，再计算面积和.

【解答】

解：根据图形发现：

第一个图中，圆的半径平方是正方形边长平方的

第二个图中，所有圆的半径平方之和是正方形边长平方的;;

依此类推，则第n个图中所有圆的面积之和又和第一个图中的圆的面积都是相等的，

即为兀.

故答案为：兀.

三、解答题（本题共计8小题，每题10分，共计80分）

17.

【答案】

18

【考点】

圆与圆的位置关系

【解析】

根据已知可知圆的直径是10cm,从而可求得重叠部分的宽，则不难求得d的值

【解答】

,/宽为10cm,

圆的直径是10cm,

圆的重叠部分的宽是(40-34)+3=2cm,

d-20-2-18cm.

18.

【答案】

4(0,8),B(6,0),C(0,3),

0/1=8,08=6,OC=3,

4c=5,

.ACCD

••—=—,

AOOB'

,5CD

••一=—

86

/.CD的=今

4

•••OP的半径为真

o

在RtMOB中，04=8,OB=6,

AB=y/OA2+OB2=V82+62=10,

如图2,当OP与AB相切时，CD1AB,

Z.ADC=^AOB=90°,/.CAD=/-BAO,

：.LACD^^ABO,

・AC_AD_CD

•・AB~AO~~OB'

试卷第14页，总23页

^=T=T

•・AD=4,CD=3,

・•C。为OP的直径,

1a

-CP=-CD=-.

过点P作PE，4。于点E,

・・•^PEC=Z.ADC=90°,/,PCE=^ACD,

：.&CPEfCAD、

CP_CE

ACCD'

即卜半

9

•*"一

939

・・・OF=CE+OC=-4-3=-,

ioio

11OQ117

△008的面积=；*08*0£=/6*看=^；

①如图3,若OP与ZB只有一个交点，则G)P与4B相切,

由(2)可知PDLAB,PD=^CD=l，

：.APAB的面积=[xaBxPD=；xl,0x|=蔡.

②如图4,若OP与48有两个交点，设另一个交点为F,连接CF,可得NCFD=90。,

图4

由⑵可得6=3,

过点P作PG1AB于点G,则DG=\DF,

则PG为△DCF的中位线，PG=1CF=|,

△248的面积="48*%="10X|=}

综上所述，在整个运动过程中，△P4B的面积是定值，定值为日.

【考点】

圆与圆的综合与创新

圆与相似的综合

圆与函数的综合

【解析】

(1)由条件可得出*=黑，可求出CD的长，则OP的半径可求出；

AUUD

(2)证明△ACD7AB0,可得比线线段*=翼=黑，求出CD,4。的长，过点P作

ADAUUD

PE14。于点E,证明△CPEsaCZD,由比例线段可求出点P的坐标，可求出APOB

的面积；

(3)①若。P与4B只有一个交点，则。P与48相切，由(2)可知PD14B,PD=

|CD=|,贝必P4B的面积可求出.

②若OP与4B有两个交点，设另一个交点为F,连接CF,可得ZCFQ=9O。，可求出CF

=3,过点P作PGJ.4B于点G,可得则PG为△DC尸的中位线，PG=

：CF=|,则APAB的面积可求出.

【解答】

,/4(0,8),B(6,0),C(0,3),

Z.。4=8,0B=6,0C=3,

4c=5,

^ACD-^AOB,

,AC_CD

・*AO~~OB'

,5CD

••一=—

86

4

•••OP的半径为去

o

在RtZ^OB中，。4=8,0B=6,

AB=\/0A2+0B2=V82+62=10,

如图2,当OP与4B相切时,CD1AB,

试卷第16页，总23页

图2

，^ADC=^AOB=90°,Z.CAD=^BAO,

/.△ACDABO,

・AC_AD_CD

■,AB~AO~OB'

即三=竺=竺

即1086

•・AD=4tCD=3,

・•CO为OP的直径,

13

•・CP=-CD=~,

过点P作PE_L4。于点E,

^PEC=Z.ADC=90°,/.PCE=/-ACD,

：.ACPE〜ACAD、

CP_CE

~AC~~CD'

即£

'CE=*

OE=CE+OC=-+3=—,

1010

△208的面积=：*08*06=[*6*工=黑；

①如图3,若OP与48只有一个交点，则OP与48相切,

1R

由（2）可知P。_LAB,PD=^CD=l，

：.△/548的面积=2*48*「0=3*10*|=£.

②如图4,若。P与4B有两个交点，设另一个交点为F,连接CF,可得4CFD=90。,

D

0\Bx

图4

由⑵可得CF=3,

过点P作PG14B于点G,则DG=\DF,

则PG为△DCF的中位线，PG=\CF=\,

：.NAB的面积=gx4BxPG=：X10义|=}

综上所述，在整个运动过程中，APAB的面积是定值，定值为日.

19.

【答案】

解：(1)圆心距分别为+r3,r2+r3,r2:r3=2:3,

有七=1.572，巳＞「3时，

222

(n+r2)=(n+r3)+(r2+r3),

解得ri=-7.5七(不合题意，舍去)，

222

6W2时，d+r3)=(n+r2)+(r2+r3),

解得G=5r2；

(2)万=「2=厂3时，△。1。2。3与以4B、C为顶点的三角形相似，

"=r2=r3＞

48=[。1。3,

AC=1O2O3,CB=\020U

...△。1。2。3八C4B为顶点的三角形相似.

【考点】

相切两圆的性质

【解析】

(1)因为△。1。2。3是直角三角形，根据。。1，。。2，。。3两两外切，得出三边的长

度，结合斜边的情况，利用勾股定理用「2表示；

(2)万=72=巧时，AO1O2O3与以4、B、C为顶点的三角形相似.

【解答】

解：(1)圆心距分别为巳+「2，万+r3，「2+「3,r2：「3=2:3,

有七=1.5万，「1＞『3时，

22

(n+r2y=(ri+r3)+(r2+r3),

解得「1=-7.52(不合题意，舍去)，

430i+R)2=(ri++(r+r)2,

W「时，r2y23

解得=5r2；

(2)[=「2=「3时，AO1O2O3与以4、B、C为顶点的三角形相似，

"q=七=七，

...AB=1O1O3,AC=\O2O3,CB=^O2Olt

•••△。1。203sAC48为顶点的三角形相似.

试卷第18页，总23页

20.

【答案】

解：作PD104于D,如图,

则PD=1.

♦・,OC、。4与。P相切，

/.A0B=-Z.AOC=ix60°=30°,

22

在RtAP。。中，OP=2PD=2,

二OB=OP+PB=3,

，BC弧的长度=曙=兀,

1OU

扇形的周长=3+3+兀=

【考点】

相切两圆的性质

【解析】

作PD_LOA于D,根据切线的性质得到PD=1,再根据切线长定理得到乙40B=

^AOC=30°,则有。P=2PD=2,所以。8=3,即扇形的半径为3,然后根据弧长

公式计算出弧BC的长，再把弧BC的长、。4和。C的长相加即可.

【解答】

解：作PD104于D,如图，

则PD=1,

•••0C、。4与。P相切，

：./.AOB=-Z-AOC=-x60°=30°,

22

在RSP。。中，OP=2PD=2,

JOB=OP+PB=3,

BC弧的长度=3票=兀,

扇形的周长=3+3+71=6+〃.

21.

【答案】

解：如图,AB6cm,O1A=5cm,O2A=3V2cm,

V公共弦长为6cm,

/.AC=3cm,AC1O1O2.

。传=4cm,02C=3cm,

当公共弦在两个圆心之间时，圆心距=4+3=7cm；

(

当公共弦在圆心的同侧时，圆心距=4-3=1cm.1图2

o

则这两个圆的圆心距是7cm或1cm.图1

【考点】

相交两圆的性质

【解析】

先根据勾股定理，得圆心距的两部分分别是4cm,3cm,然后根据两圆的位置关系确

定圆心距.

【解答】

解：如图，AB=6cm,OXA=5cm,O2A=3正cm,

V公共弦长为6cm,

AC=3cm,AC1O^O2,

O1C=4cm,O2C=3cm,

当公共弦在两个圆心之间时，圆心距=4+3=7。n；

(

当公共弦在圆心的同侧时，圆心距=4-3=1cm.1图2

0

则这两个圆的圆心距是7cm或1cm.图1

22.

【答案】

解：：四边形4BCD是矩形，AB=8,BC=6,

BC=AD=6,的半径为8,

点。在。4的内部，

,­,点E是直线MN上的一个动点，若以AB为半径的。A与以ED为半径的。E相切,

；•两圆相切时切点是直线MN和。4的交点，

试卷第20页，总23页

如图，有两种情况：当圆心是打时，DF=1X(8-6)=1；

当圆心是E2时，DE=1x(6+8)=7,

即。E的半径是1或7.

【考点】

相切两圆的性质

【解析】

根据相切两圆的性质得出两圆相切时切点是直线MN和。