八年级数学（上册）《轴对称图形》经典例题含解析

《第2章轴对称图形》

一'选择题

1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是轴对称图形的是〔

B•④。忠。・舄

2.一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个圆形小孔,则展开铺平后的图案是

3.已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为〔

A.11B.160.17D.16或17

4.如图,在4ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则NB的度数为〔

A.30°B.36°C.40°D.45°

5.如图,已知在4ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分NABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则4BCE的面

积等于〔

A.10B.7C.5D.4

6.如图，AABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BEJLAC,AFXBC,则下面结论错误的是C

A.BF=EFB.DE=EF0.ZEFC=45"D.NBEF=NCBE

7.如图,在第1个ZkAiBC中，7B=30°,A,B=CB；在边A,B上任取一点D,延长CA,到A2,使7A2=A&,得

到第2个△A,A?D；在边A2D上任取一点E,延长A内到A3,使A2A3=A2E,得到第3个AA2A3E,…按此做法

继续下去，则第n个三角形中以人为顶点的内角度数是〔

A.(y«75°B.〔产・65。C.〔产・75°D.弓“85。

8.如图,在线段AE同侧作两个等边三角形AABC和ACDE〔NACEV120。，点P与点M分别是线段

BE和AD的中点，则△CPM是〔

A.钝角三角形B,直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形

9.如图是丹、P2、…、九十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分.今小玉连接PR、

PE。、PgPsP5P6、P6P7,判断小玉再连接下列哪一条线段后，所形成的图形不是轴对称图形？［

A.P2P3B.P4P5C.P7P8D.P8P9

10.如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得NDAC=

ZACD.如图3,将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE,得到四边形ABED.则

BE的长是〔

A.4B.-yC.3^2D.275

二'填空题

11.下面有五个图形，与其它图形众不同的是第个.

12.如图,在2X2方格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出方格纸中所有与AABC成轴对称

且也以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有个.

13.如图,AABC中，ZC=90°,NBAC的平分线交BC于点D,若CD=4,则点D到AB的距离是.

14.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知NADE=40°,则NDBC=°.

15.如图，在aABC中，NB与NC的平分线交于点0,过点。作DE〃BC,分别交AB、AC于点D、E.若

AB=5,AC=4,51IJAADE的周长是.

16.如图,CD与BE互相垂直平分,AD±DB,NBDE=70°,则ZCAD=°.

17.如图，NBAC=110°,若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则NPAQ的度数是.

18.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°,则它的顶角为.

19.在4X4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放,移动其中一个正方形到空白方格中,与其余

四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形,这样的移法共有种.

20.如图，NA0B是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管正F、FG、GH…，

且0E=EF=FG=GH…,在0A、0B足够长的情况下,最多能添加这样的钢管的根数为.

三、解答题

21.如图，在由边长为1的小正方形组成的10X10的网格中〔我们把组成网格的小正方形的顶点称

为格点,四边形ABCD在直线I的左侧,其四个顶点A,B,C,D分别在网格的格点上.

[1请你在所给的网格中画出四边形A|BG”,使四边形A|B,CR和四边形ABCD关于直线I对称；

〔2在〔1的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形A/GDi的面积.

22.如图,在4ABC中，ZC=90度.

[1用圆规和直尺在AC上作点P,使点P到A、B的距离相等；〔保留作图痕迹,不写作法和证明

〔2当满足〔1的点P到AB、BC的距离相等时，求NA的度数.

23.如图，在aABC中,DM、EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M、N两点,DM与EN相交于点F.

[1若△CMN的周长为15cm,求AB的长；

［2若NMFN=70。，求NMCN的度数.

24.如图，在AABC中，点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件：①NEBO=

ZDCO；②BE=CD；③OB=OC.

〔1上述三个条件中，由哪两个条件可以判定4ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形

〔2请选择C1中的一种情形,写出证明过程.

25.如图,在4ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且BD=CE,BE=CF,如果点G为DF的中

点,那么EG与DF垂直吗？

26.如图，在AABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点，连接AD、AE,以4ADE的边AE所在直线为对称轴

作4ADE的轴对称图形△曲'E,连接D'C,若BD=CD'•

〔1求证：△ABDg^ACD'；

〔2若NBAC=120°,求NDAE的度数.

27.如图，已知aBAD和4BCE均为等腰直角三角形，NBAD=NBCE=90°,点M为DE的中点,过点E与

AD平行的直线交射线AM于点N.

［1当A,B,C三点在同一直线上时〔如图1,求证：M为AN的中点；

〔2将图1中的4BCE绕点B旋转,当A,B,E三点在同一直线上时〔如图2,求证：4ACN为等腰直角

三角形；

〔3将图1中4BCE绕点B旋转到图3位置时，［2中的结论是否仍成立？若成立,试证明之,若不成

立,请说明理由.

《第2章轴对称图形》

参考答案与试题解析

一、选择题

1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识,在这些汽车标识中,是轴对称图形的是〔

B@，・念。.舄

［考点］轴对称图形.

［分析］根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个

图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴进行分析.

［解答］解：A、不是轴对称图形，故此选项错误；

B、不是轴对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，故此选项错误；

故选：C.

［点评］此题主要考查了轴对称图形,关键是掌握轴对称图形的概念.

2.一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后,再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是

［考点］剪纸问题.

［分析］对于此类问题，学生只要亲自动手操作,答案就会很直观地呈现.

［解答］解：严格按照图中的顺序向右翻折，向右上角翻折,打出一个圆形小孔,展开得到结论.

故选C.

［点评］此题主要考查了剪纸问题；学生的动手能力及空间想象能力是非常重要的，做题时,要注意培

养.

3.已知等腰三角形的两边长分别为5和6,则这个等腰三角形的周长为〔

A.11B.16C.17D.16或17

［考点］等腰三角形的性质；三角形三边关系.

［专题］分类讨论.

［分析］分6是腰长和底边两种情况,利用三角形的三边关系判断,然后根据三角形的周长的定义列式

计算即可得解.

［解答］解：①6是腰长时,三角形的三边分别为6、6、5,

能组成三角形，

周长=6+6+5=17；

②6是底边时,三角形的三边分别为6、5、5,

能组成三角形，

周长=6+5+5=16.

综上所述,三角形的周长为16或17.

故选D.

［点评］本题考查了等腰三角形的性质,三角形的三边关系,难点在于分情况讨论.

4.如图,在4ABC中,AB=AC,且D为BC上一点,CD=AD,AB=BD,则NB的度数为〔

A.30°B.36°C,40°D.45°

［考点］等腰三角形的性质.

［分析］求出NBAD=2NCAD=2NB=2NC的关系,利用三角形的内角和是180°,求NB,

［解答］解：；AB=AC,

ZB=ZC,

；AB=BD,

.,.ZBAD=ZBDA,

•；CD=AD,

.,.ZC=ZCAD,

；NBAD+NCAD+NB+NC=180°,

.-.5ZB=180",

ZB=36°

故选：B.

［点评］本题主要考查等腰三角形的性质,解题的关键是运用等腰三角形的性质得出ZBAD=2ZCAD=2

NB=2NC关系.

5.如图，已知在4ABC中,CD是AB边上的高线,BE平分NABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,则4BCE的面

积等于〔

A.10B.7C.5D.4

［考点］角平分线的性质.

［分析］作EF±BC于F,根据角平分线的性质求得EF=DE=2,然后根据三角形面积公式求得即可.

［解答］解：作EF_LBC于F,

VBE平分NABC,ED±AB,EF±BC,

.,.EF=DE=2,

/.SABCE=^BC*EF=-1-X5X2=5,

故选c.

［点评］本题考查了角的平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键.

6.如图，AABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE±AC,AF±BC,则下面结论错误的是〔

A.BF=EFB.DE=EFC.ZEFC=45°D.NBEF=NCBE

［考点］线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.

［分析］根据等腰三角形的三线合一得到BF=FC,根据直角三角形的性质判断A；根据直角三角形的性

质判断B；根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质判断C,根据直角三角形的性质判断D.

［解答］解：；AB=AC,AFJLBC,

.,.BF=FC,

•.,BE±AC,

.•.EF=［BC=BF,A不合题意；

■.■DE=-^-AB,EF=^BC,不能证明DE=EF,B符合题意；

VDE垂直平分AB,

，EA=EB,又BE_LAC,

.-.ZBAC=45",

，NC=67.5°,又FE=FC,

.,.NEFC=45°,C不合题意；

VFE=FB,

ZBEF=ZCBE；

故选：B.

［点评］本题考查的是线段垂直平分线的性质'等腰三角形的性质和直角三角形的性质，掌握线段的垂

直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.

7.如图,在第1个ZkAM中，ZB=30°,7B=CB；在边A,B上任取一点D,延长CA,到A2,使7A2=AQ,得

到第2在边A2D上任取一点E,延长A内到A3,使A2A3=A?E,得到第3个AA2A3E,•“按此做法

继续下去，则第n个三角形中以人为顶点的内角度数是〔

A.t—n»75"B.〔LT.长。Q.(―n'1«75°D.(—MS0

2222

［考点］等腰三角形的性质.

［专题］规律型.

［分析］先根据等腰三角形的性质求出NBAQ的度数,再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质

分别求出ZDA2A„NEA3A2及NFA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以A。为顶点的内角度

数.

［解答］解：•••在ACBAi中，NB=30°,A1B=CB,

440=18°;-NB

=75°,

•••A|A2=ARNBA©ftAA,A2D的外角,

/.ZDA2A,=—ZBA,C=—X75°；

同理可得，

NEA3A2=〔畀75。，ZFA4A3=CyX75°,

..•第n个三角形中以人为顶点的内角度数是〔■1■>'X75°.

故选：C.

［点评］本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质,根据题意得出NDAzA”NEA3A2及N

FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键.

8.如图,在线段AE同侧作两个等边三角形AABC和aCDE〔NACEV120。，点P与点M分别是线段

BE和AD的中点，则△CPM是C

A.钝角三角形B.直角三角形C.等边三角形D.非等腰三角形

［考点］全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质.

［分析］首先根据等边三角形的性质,得出AC=BC,CD=CE,ZACB=ZECD=60°,则NBCE=NACD,从而根

据SAS证明4BCEgAACD,得NCBE=NCAD,BE=AD；再由点P与点M分别是线段BE和AD的中点,得

BP=AM,根据SAS证明△BCPgZkACM,得PC=MC,ZBCP=ZACM,则NPCM=NACB=60°,从而证明该三角形

是等边三角形.

［解答］解：:△ABC和都是等边三角形，

二.AC=BC,CD=CE,NACB=NECD=60°.

ZBCE=ZACD.

.,.△BCE^AACD.

.-.ZCBE=ZCAD,BE=AD.

又点P与点M分别是线段BE和AD的中点,

-,.BP=AM.

.,.△BCP^AACM.

.,.PC=MC,ZBCP=ZACM.

ZPCM=ZACB=60°.

•1■△CPM是等边三角形.

故选：c.

［点评］三角形中位线性质应用比较广泛,尤其是在三角形、四边形方面起着非常重要作用,本题结合

三角形全等的知识,考查了等边三角形的性质.

9.如图是巴、P?、…、巴。十个点在圆上的位置图，且此十点将圆周分成十等分.今小玉连接PR'

PE。'P9P,。'P5P6'P6P7,判断小玉再连接下列哪一条线段后，所形成的图形不是轴对称图形？1

A.P2P3B.P4P5C.P7P8D.P8P9

［考点］利用轴对称设计图案.

［分析］利用轴对称图形的性质分别分析得出即可.

［解答］解：由题意可得：当连接P2P3,P4P"P7P8时,所形成的图形是轴对称图形，

当连接P8P9时,所形成的图形不是轴对称图形.

故选：D.

［点评］此题主要考查了利用轴对称设计图案,正确把握轴对称图形的性质是解题关键.

10.如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得NDAC=

NACD.如图3,将aACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE,得到四边形ABED.则

BE的长是〔

A.4B.-yC.372D.275

［考点］翻折变换〔折叠问题；四点共圆；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质.

［分析］只要证明△ABDs^MBE,得冬黑,只要求出BM、BD即可解决问题.

DmBE

［解答］解：:AB=AC,

.,.ZABC=ZC,

".-ZDAC=ZACD,

ZDAC=ZABC,

,.■zc=zc,

.".△CAD^>ACBA,

.CA=CD

■,cTTc'

.4_CD

"V4,

..@=与,BD=BC-CD=^,

VZDAM=ZDAC=ZDBA,ZADM=ZADB,

.".△ADM^ABDA,

16

DM

AD：DMT

，即

BD~DA33=运

T

.•.DM=N，MB=BD-DM=、F

VZABM=ZC=ZMED,

...A、B、E、D四点共圆,

.'.ZADB=ZBEM,NEBM=NEAD=NABD,

/.△ABD^AMBE,

.AB_BD

,,BFBE'

•・小嘤**耳

4

故选B.

［点评］本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键

是充分利用相似三角形的性质解决问题,本题需要三次相似解决问题,题目比较难,属于中考选择题

中的压轴题.

二'填空题

11.下面有五个图形,与其它图形众不同的是第一③一个.

［考点］轴对称图形.

［分析］根据轴对称图形的概念求解.

［解答］解：第①②④⑤个图形是轴对称图形，

第③个不是.

故答案为：③.

［点评］本题考查了轴对称图形的概念:轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分沿对称轴折叠后

可重合.

12.如图,在2X2方格纸中,有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出方格纸中所有与AABC成轴对称

且也以格点为顶点的三角形,这样的三角形共有5个.

［考点］利用轴对称设计图案.

［分析］根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能完全重合,这个图形

就是轴对称图形进行画图即可.

［解答］解：如图：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有△ABD、ABCDvAFBEvAHCE,

△AFG,

共5个.

故答案为：5.

［点评］本题考查轴对称图形的定义,以及利用轴对称设计图案,利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴

对称的性质,利用轴对称的作图方法来作图,通过变换对称轴来得到不同的图案.

13.如图,680中，NC=90°,NBAC的平分线交BC于点D,若CD=4,则点D到AB的距离是

［考点］角平分线的性质.

［分析］过点D作DE_LAB于点E,然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD,即可得解.

［解答］解：如图，过点D作DE_LAB于点E,

•••AD是NBAC的平分线，

.,.DE=CD,

•.•CD=4,

.,.DE=4.

故答案为：4.

［点评］本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，作出图形并熟记性质是解题的关键.

14.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,已知NADE=40°，则NDBC=15°.

［考点］线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质.

［分析］根据线段垂直平分线求出AD=BD,推出ZA=ZABD=50°,根据三角形内角和定理和等腰三角形

性质求出NABC,即可得出答案.

［解答］解：•••口£垂直平分AB,

.,.AD=BD,ZAED=90",

.-.ZA=ZABD,

ZADE=40",

ZA=90°-40°=50°,

ZABD=ZA=50",

■.,AB=AC,

.-.ZABC=ZC=^［180°-ZA=65°,

ZDBC=ZABC-ZABD=65°-50°=15°,

故答案为：15.

［点评］本题考查了等腰三角形的性质,线段垂直平分线性质,三角形内角和定理的应用，能正确运用

定理求出各个角的度数是解此题的关键,难度适中.

15.如图，在AABC中，NB与NC的平分线交于点0,过点。作DE〃BC,分别交AB、AC于点D、E.若

AB=5,AC=4,则AADE的周长是9.

［考点］等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.

［专题］压轴题.

［分析］由在4ABC中，ZB与ZC的平分线交于点0,过点0作DE/7BC,易证得ADOB与△EOC是等腰三

角形，即D0=DB,E0=EC,继而可得4ADE的周长等于AB+AC,即可求得答案.

［解答］解：•..在AABC中，NB与NC的平分线交于点0,

.,.ZDB0=ZCB0,ZEC0=ZBC0,

；DE〃BC,

.,.ZD0B=ZCB0,ZE0C=ZBC0,

.,.ZDB0=ZD0B,ZEC0=ZE0C,

..0D=BD,0E=CE,

".■AB=5,AC=4,

.,.△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+D0+E0+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9.

故答案为：9.

［点评］此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质.此题难度适中，

注意证得aDOB与aEOC是等腰三角形是解此题的关键,注意掌握数形结合思想与转化思想的应用.

16.如图,CD与BE互相垂直平分,AD±DB,NBDE=70°,则ZCAD=70°.

［考点］轴对称的性质；平行线的判定与性质.

［专题］常规题型.

［分析］先证明四边形BDEC是菱形，然后求出ZABD的度数,再利用三角形内角和等于1800求出N

BAD的度数,然后根据轴对称性可得NBAC=NBAD,然后求解即可.

［解答］解：:CD与BE互相垂直平分，

..•四边形BDEC是菱形，

.".DB=DE,

ZBDE=70°,

-.•AD±DB,

/.ZBAD=90°-55°=35°,

根据轴对称性,四边形ACBD关于直线AB成轴对称，

.,.ZBAC=ZBAD=35",

ZCAD=ZBAC+ZBAD=350+35°=70°.

故答案为：70.

［点评］本题考查了轴对称的性质,三角形的内角和定理,判断出四边形BDEC是菱形并得到该图象关

于直线AB成轴对称是解题的关键.

17.如图，NBAC=110°.若MP和NQ分别垂直平分AB和AC,则NPAQ的■数是40°.

［考点］线段垂直平分线的性质.

［分析］根据三角形内角和定理求出ZB+ZC的度数,根据线段的垂直平分线的性质得到PA=PB,QA=QC,

得到NPAB=NB,ZQAC=ZC,结合图形计算即可.

［解答］解：；NBAC=110。，

/.ZB+ZC=70",

VMP和NQ分别垂直平分AB和AC,

.,.PA=PB,QA=QC,

.,.ZPAB=ZB,ZQAC=ZC,

...NPAB+NQAC=NB+NC=70",

.".ZPAQ=ZBAC-(ZPAB+ZQAC=40°,

故答案为：40。.

［点评］本题考查的是线段的垂直平分线的性质,掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的

距离相等是解题的关键.

18.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则它的顶角为60。或120°.

［考点］等腰三角形的性质.

［专题］计算题；分类讨论.

［分析］等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系,三角形内部,三角形的外部,三角形的边上.根

据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论.

［解答］解：当高在三角形内部时，顶角是120。；

当高在三角形外部时，顶角是60°.

故答案为：60°或120°.

［点评］此题主要考查等腰三角形的性质,熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关

键，本题易出现的错误是只是求出120。一种情况，把三角形简单的认为是锐角三角形.因此此题属

于易错题.

19.在4X4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放,移动其中一个正方形到空白方格中,与其余

四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形,这样的移法共有13种.

［考点］利用轴对称设计图案.

［专题］压轴题.

［分析］根据轴对称图形的性质,分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案.

［解答］解：如图所示：

故一共有13做法，

故答案为：13.

［点评］此题主要考查了利用轴对称设计图案,熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，

利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案.

20.如图，NA0B是一角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管:EF、FG、GH…，

且OE=EF=FG=GH…,在0A、0B足够长的情况下,最多能添加这样的钢管的根数为

［考点］等腰三角形的性质.

［专题］应用题.

［分析］根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质,找出图中存在的规律,根据规律及三角

形的内角和定理不难求解.

［解答］解：•.•添加的钢管长度都与0E相等，NA0B=10°,

NGEF=NFGE=20°,…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是

10°,第二个是20°,第三个是30°,四个是40°,五个是50°,六个是60°,七个是70°,八个是

80°,九个是90°就不存在了.所以一共有8个.

故答案为8.

［点评］此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现

并利用规律是正确解答本题的关键.

三、解答题

21.如图，在由边长为1的小正方形组成的10X10的网格中〔我们把组成网格的小正方形的顶点称

为格点,四边形ABCD在直线I的左侧,其四个顶点A,B,C,D分别在网格的格点上.

［1请你在所给的网格中画出四边形4BGD”使四边形A|B,CR和四边形ABCD关于直线I对称；

〔2在〔1的条件下，结合你所画的图形，直接写出四边形A|BGD|的面积.

［考点］作图-轴对称变换.

［分析］〔1根据轴对称的性质画出图形即可；

〔2利用矩形的面积臧去四个顶点上三角形的面积即可.

［解答］解：［1如图所示.

〔2S1M舷Ai=3X4-*X2X1-2X2X1-*X3X1-±X2X2

3

=12-1-1---2

2

_13

2,

［点评］本题考查的是作图-轴对称变换,熟知轴对称的性质是解答此题的关键.

22.如图，在AABC中，NC=90度.

［1用圆规和直尺在AC上作点P,使点P到A、B的距离相等；〔保留作图痕迹,不写作法和证明

〔2当满足。的点P到AB、BC的距离相等时，求NA的度数.

［考点］线段垂直平分线的性质.

［专题］作图题.

［分析］〔1作线段AB的垂直平分线即可；

〔2到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.那么点P是NB的平分线和线段AB的垂直

平分线的交点.

［解答］解：［1

［2

连接BP.

•.•点P到AB、BC的距离相等，

r.BP是NABC的平分线，

.,.ZABP=ZPBC.

又・・,点P在线段AB的垂直平分线上,

---PA=PB,

/.ZA=ZABP.

ZA=ZABP=ZPBC4-x900=30：

［点评］用到的知识点为：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.到一个角

的两边距离相等的点在这个角的平分线上.

23.如图，在aABC中,DM、EN分别垂直平分AC和BC,交AB于M、N两点,DM与EN相交于点F.

［1若^CMN的周长为15cm,求AB的长；

［2若NMFN=70°,求NMCN的度数.

［考点］线段垂直平分线的性质.

［分析］〔1根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM=CM,BN=CN,然后求出△CMN

的周长=AB；

〔2根据三角形的内角和定理列式求出NMNF+NNMF,再求出NA+NB,根据等边对等角可得NA=N

ACM.ZB=ZBCN,然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.

［解答］解：EN分别垂直平分AC和BC,

.,.AM=CM,BN=CN,

.,.△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB,

,.■△CMN的周长为15cm,

-'-AB=15cm；

C2VZMFN=70°,

AZMNF+ZNMF=180°-70°=110°,

VZAMD=ZNMFrNBNE二NMNF,

---ZAMD+ZBNE=ZMNF+ZNMF=110°,

・・・NA+NB=90°-ZAMD+900-ZBNE=180°-110°=70°,

VAM=CMtBN=CN,

・・・NA=NACM,NB=NBCN,

・・・NMCN=1800-2(ZA+ZB=180°-2X70°=40°.

［点评］本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,等边对等角的性质,三角

形的内角和定理，［2整体思想的利用是解题的关键.

24.如图，在aABC中，点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件：①NEBO=

ZDCO；②BE=CD；③OB=OC.

［1上述三个条件中，由哪两个条件可以判定4ABC是等腰三角形？〔用序号写出所有成立的情形

〔2请选择C1中的一种情形,写出证明过程.

［考点］全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定.

［专题］开放型.

［分析］［1由①②；①③.两个条件可以判定aABC是等腰三角形，

〔2先求出ZABC=ZACB,即可证明4ABC是等腰三角形.

［解答］解：〔1①②；①③.

［2选①③证明如下，

•.•OB=OC,

/.ZOBC=ZOCB,

,.,ZEBO=ZDCO,

又：NABC=NEBO+NOBC,NACB=NDCO+ZOCB,

.■.ZABC=ZACB,

•1.△ABC是等腰三角形.

［点评］本题主要考查了等腰三角形的判定,解题的关键是找出相等的角求NABC=NACB.

25.如图,在ZkABC中,AB=AC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且BD=CE,BE=CF,如果点G为DF的中

点,那么EG与DF垂直吗？

［考点］全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质.

［分析］连接DE,EF,易证△BDEgaCFE,可得DE=EF,可证△DGEgZkFGE,可求得NDGE=NFGE=90°.

［解答］解：连接DE,EF,

•.•AB=AC,

，NB=NC,

在4BDE和4CFE中，

'BD=CE

<ZB=ZC.

,BE=CF

/.△BDE^ACFE〔SAS,

.,.DE=EF,

在在aDGE和AFGE中，

'DG=FG

,GE=GE,

DE=EF

/.△DGE^AFGE(SSS,

.-.ZDGE=ZFGE,

".■ZDGE+ZFGE=180°,

AZDGE=ZFGE=90",

.-.EG±DF.

［点评］本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质,本题中求证

DE=EF是解题的关键.

26.如图，在AABC中,AB=AC,D、E是BC边上的点，连接AD、AE,以4ADE的边AE所在直线为对称轴

作4ADE的轴对称图形△&'E,连接D，C,若BD=CD'•

〔1求证：△ABDg^ACD'；

［2若NBAC=120°,求NDAE的度数.

［考点］全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；轴对称的性质.

［分析］〔1根据对称得出AD=AD',根据SSS证4ABD义△ACD，即可；

〔2根据全等得出NBAD=NCAD',求出NBAONDAD'，根据对称得出NDAE=*NDAD',代入求出即

可.

［解答］［1证明：•••以4ADE的边AE所在直线为对称轴作4ADE的轴对称图形4AD'E,

，AD=AD',

,在4ABD和AACD7中

'AB=AC

•BD=CD'.

AD=AD'

.'.△ABD^AACD/；

〔2解：•.,△ABD^AACD/,

，NBAD=NCAD',

.-.ZBAC=ZDAD/=120",

以4ADE的边AE所在直线为对称轴作aADE的轴对称图形AAD'