2019-2020学年八年级（下）期末数学试卷

2019-2020学年八年级（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

2.（3分）将50个数据分成5组列出频数分布表，其中第二组的频数为15,则第二组的频

率为（）

A.0.28B.0.3C.0.4D.0.2

3.（3分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（）

4.（3分）点Q（3m,2m-2）在x轴上，则机的值为（）

A.0B.1C.-1D.-3

5.（3分）在RtZ\ABC中，NC=90°,若C=10CH,a：b=3：4,则△ABC的周长（）

A.12cmB.20cmC.24cmD.48cm

6.（3分）一次函数），=-4x+2的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（3分）如图，在△A2C中，AB=AC=3,BC=4,AE平分/8AC交8c于点E,点。

为AB的中点，连接。E,则△BOE的周长是（）

8.（3分）如图，正方形ABC。的面积为36,点E、尸分别在A8,AD上，若CE=3代,

且NECF=45°,则CF长为（）

A.2^/10B.375C.D.10^

33

二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

9.（3分）如图，平行四边形OABC中，OA=3,C（1,2）,则点3的坐标为

10.（3分）已知y=3x+m+3是正比例函数，则切=.

11.（3分）从一个〃边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个

多边形分割成6个三角形，则〃的值是.

12.（3分）如图，在RtZVIBC中，ZC=90°,AB=5,则正方形AOEC与正方形BCFG

的面积之和为.

13.（3分）若一次函数的图象是由直线y=-2x向上平移3个单位所得，则该一次函数的

表达式为

14.（3分）如图所示是某班学生体重的频数分布直方图，则该班学生体重不足45千克的有

人.（注：35〜40千克包括35千克，不包括40千克，其他同）.

15.（3分）在平面直角坐标系中，等边AABC的顶点A（-3,0）,B（3,0）,则顶点C

的坐标为.

16.（3分）如图，在锐角三角形A8C中，BC=6近,ZABC=45°,8。平分/ABC,M、

N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是.

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分1（）分）

17.（5分）已知一次函数y=fcv+3的图象经过点（1,-3）.

（1）求一次函数的表达式；

（2）已知点（小4）在该函数的图象上，求a的值.

18.（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是。4,OC的中点，。为对角线AC

与30的交点，请证明£>M〃8N.

四、（本大题2个小题，每小题6分，满分12分）

19.（6分）如图，在平面直角坐标系中有三个点4（-3,2）、8（-5,1）、C（-2,0）,

P（a,b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后得到△AiBiCi,点P的对应点为

P\(〃+3,6+2).

（1）画出平移后的△481C1；

（2）写出点4、Bi、Ci的坐标;

（3）求四边形ACC14的面积.

（1）学校离他家米，从出发到学校，王老师共用了分钟；

（2）王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快？吃完早餐后的平均速度是

多少？

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21.（7分）如图，己知8,C在线段AC上，S.AD=CB,BF=DE,NAED=/CFB=90°

求证:

(1)AAED^/XCFB；

(2)BE//DF.

22.（7分）如图，在△ABC中，ZC=90°,将AACE沿着AE折叠以后C点正好落在48

边上的点。处.

（1）当NB=28°时，求NCAE的度数;

（2）当AC=6,AB=10时，求线段OE的长.

六、（本大题2个小题，每小题8分，满分16分）

23.（8分）2020年3月25日是全国中小学生安全教育日，常德芷兰实验学校为加强学生的

安全意识，组织了全校8000名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统

计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图解题.

频率分布表

分数段频数频率

50.5〜60.5160.08

60.5〜70.5400.2

70.5〜80.5500.25

80.5〜90.5m0.35

90.5-100.524n

（1）这次抽取了名学生的竞赛成绩进行统计，其中：,n=；

（2）补全频数分布直方图.

（3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育,

则该校安全意识不强的学生约有多少人？

24.(8分)如图，分别以RtZiABC的直角边AC及斜边A8向外作等边△ACZ),等边已

知NBAC=30°,EF±AB,垂足为F,连接。F.

求证：(1)AC—EF-,

(2)四边形AOFE是平行四边形；

(3)ACLDF.

七、(本大题2个小题，每小题1()分，满分20分)

25.(10分)如图，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于4、B两点，直线BC与x轴交于点

C(-2,0),P是线段上的一个动点(点P与A、B不重合).

(1)求直线8C所对应的的函数表达式；

(2)设动点尸的横坐标为f,△POA的面积为S.

①求出S与，的函数关系式，并写出自变量，的取值范围；

(1)如图1,点E、F分别在BC、C。上，AE、BF相交于点。，NAOB=90°,试判断

AE与BF的数量关系，并说明理由；

(2)如图2,点E、F、G、H分别在边BC、CD、DA.A8上，EG、FH相交于点O,

ZGOH=90°,且EG=7,求FH的长；

(3)如图3,点E、尸分别在BC、CD上，AE,8尸相交于点O,NAO8=90°,若48

=5,图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为4：5,求AAB。的周长.

图1图2图3

2019-2020学年湖南省常德市市区八年级（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

1.（3分）下列图案中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（）

B.

C.D.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解.

【解答】解：4、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；

8、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

。、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：A.

【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形与轴

对称图形的概念：

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合：

中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合.

2.（3分）将50个数据分成5组列出频数分布表，其中第二组的频数为15,则第二组的频

率为（）

A.0.28B.0.3C.0.4D.0.2

【分析】根据频率=频数小数据总数，列式即可求解.

【解答】解：..•将50个数据分成5组列出频数分布表，其中第二组的频数为15,

第二组的频率为：」互=0.3.

50

故选：B.

【点评】本题考查了频数分布表，掌握频率、频数与数据总数的关系是解题的关键.

3.（3分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（)

【分析】根据函数的意义即可求出答案.

【解答】解：根据函数的意义可知：

对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以。正确.

故选：D.

【点评】本题考查了函数的定义.解题的关键是掌握函数的定义，在一个变化过程中有

两个变量x,对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，

x叫自变量.

4.（3分）点。（3机，2巾-2）在x轴上，则机的值为（）

A.0B.1C.-1D.-3

【分析】根据坐标的位置特点，当点位于x轴上时，纵坐标为0可求得加的值，即可得

点。的坐标.

【解答】解：根据题意，可得：2m-2=0；

解得m=\,

故选：B.

【点评】考查了点在坐标轴上的坐标特点，解题的关键是明确当点位于x轴上时，纵坐

标为0；当位于y轴上时，横坐标为0.

5.（3分）在RtZvWC中，ZC=90°,若C=10CTC,a：b=3：4,则△ABC的周长（）

A.12cmB.20cmC.24cmD.48cm

【分析】设a=3xc7;2,b=4xcm,由勾股定理得出方程，解方程求出x,得出。和b,即

可得出结果.

【解答】解：设〃=3尢。m，b=4xctn,

VZC=90°,

(3x)2+(4x)2=1()2,

解得：x=2,

♦♦a==6cm,h=>

.♦.△ABC的周长=a+b+c=6+8+IO=24(cm).

故选：C.

【点评】本题考查的是勾股定理的灵活运用，题型比较简单，注意认真计算.

6.(3分)一次函数y=-4x+2的图象不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】先根据一次函数y=-4x+2判断出鼠。的符号，再根据一次函数的性质进行解

答即可.

【解答】解：•.•一次函数y=-4x+2中，k=-4V0,b=2>0,

.♦•此函数的图象经过第一、二、四象限，

此函数的图象不经过第三象限.

故选：C.

【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b(kWO)中，k<0时函数

图象经过第二、四象限，6>0时函数图象与y轴相交于正半轴.

7.(3分)如图，在△A2C中，A8=4C=3,BC=4,AE平分/8AC交8c于点E,点。

为AB的中点，连接。E,则的周长是()

A.3B.4C.5D.6

【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，先求出BE,再利用中位线定理求出。E即可.

【解答】解：•在△ABC中，AB=AC=3,AE平分/BAC,

:.BE=CE=lj3C=2,

2

又是AB中点，

:.BD=1AB=3-,

22

.•.QE是△ABC的中位线，

.,.£>E=LC=3,

22

ABDE的周长为BO+OE+8E=3+3+2=5.

22

故选：C.

【点评】本题主要考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的性质：是三线合一，是中

学阶段的常规题.

8.（3分）如图，正方形4BC。的面积为36,点E、F分别在AB,A。上，若CE=3收，

且/ECF=45°,则CF长为（）

A.2v15B.3依C.D.

33

【分析】首先延长尸。到G,使DG=BE,利用正方形的性质得NB=/CDF=NC£）G=

90°,CB=CD；利用SAS定理得△BCE也ADCG,利用全等三角形的性质易得△GCF

丝AECF,利用勾股定理可得AE=3,设AF=x,利用G尸=EF,解得x,利用勾股定理

可得CF.

【解答】解：；正方形ABC。的面积为36,

：.BC^AB=6,

如图，延长FD到G,使DG=BE；

连接CG、EF；

•••四边形A8CD为正方形，

'CB=CD

在aBCE与△DCG中，，ZCBE=ZCDG-

BE=DG

:.△BCEWADCG（SAS）,

：.CG=CE,NDCG=NBCE,

：.ZGCF=45°,

GC=EC

在△G”与△ECF中，＜/GCF=NECF，

CF=CF

:•△GCFQAECF(SAS),

:.GF=EF,

YCE=3娓,CB=6,

：.BE=3,

・"E=3,

设则=6-x,GF=3+(6-x)=9-x,

1■,£F=VAE2+X2=V9+X2,

(9-x)2=9+/,

.*.x=4,

BPAF=4,

ADF=6-4=2,

'CF=VCD2+DF2=V62+22=Z2^/^

【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，构建

全等三角形，利用方程思想是解答此题的关键.

填空题（本大题8个小题，每小题3分，满分24分）

9.（3分）如图，平行四边形。48c中，0A=3,C（1,2）,则点B的坐标为.(4,2)

【分析】由平行四边形的对边平行且相等得出8C=OA=3,点8的纵坐标为2,横坐标

为点C横坐标加上BC的长度，从而得出答案.

【解答】解：：四边形0A8C是平行四边形，。4=3,

C.BC//OA,BC=QA=3,

•.•点C坐标为（1,2）,

.♦•点8的坐标为（4,2）,

故答案为：（4,2）.

【点评】本题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边平行且

相等的性质.

10.（3分）己知y=3x+〃?+3是正比例函数，则加=-3.

【分析】根据正比例函数的意义：形如（%是不等于零的常数），可得答案.

【解答】解：由题意得机+3=0,

解得m=-3.

故答案为：-3.

【点评】本题考查了正比例函数，利用正比例函数的意义是解题关键.

11.（3分）从一个〃边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个

多边形分割成6个三角形，则n的值是8.

【分析】根据从一个〃边形的某个顶点出发，可以引（n-3）条对角线，把〃边形分为

（«-2）的三角形作答.

【解答】解：设多边形有〃条边，

则n-2=6,

解得"=8.

故答案为：8.

【点评】本题主要考查了多边形的性质，解题的关键是熟悉从〃边形的一个顶点出发，

分别连接这个点与其余各顶点，形成的三角形个数为（n-2）的规律.

12.（3分）如图，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AB=5,则正方形AOEC与正方形BCFG

的面积之和为25.

【分析】根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可.

【解答】解：在RtA4CB中，AC2+BC2^AB2-25,

则正方形ADEC与正方形BCFG的面积之和=AC2+BC2=25.

故答案为：25.

【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是“，b,斜边长

为c,那么<r+b1—（?,.

13.（3分）若一次函数的图象是由直线），=-2%向上平移3个单位所得，则该一次函数的

表达式为v=-2x+3.

【分析】由平移的规律可直接求得答案.

【解答】解：直线y=-级向上平移3个单位后的函数解析式是y=-2x+3=-2x+3,

故答案为：y—~2r+3.

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，掌握

直线（々#0）平移时大的值不变是解题的关键.

14.（3分）如图所示是某班学生体重的频数分布直方图，则该班学生体重不足45千克的有

30人.（注：35〜40千克包括35千克，不包括40千克，其他同）.

【分析】根据学生体重频数分布直方图得出前面4组的学生人数，再相加即可.

【解答】解：•••体重是25〜30的人数为：2人，

体重是30〜35的人数为：10人，

体重是35〜40的人数为：8人，

体重是40〜45的人数为：10人.

，该班学生体重不足45千克的有：2+10+8+10=30（人），

故答案为：30.

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图

获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题.利

用直方图得出前面4组的人数是解题关键.

15.（3分）在平面直角坐标系中，等边4ABC的顶点A（-3,0）,B（3,0）,则顶点C

的坐标为（0,3、万）或（0,-3退）.

【分析】有两种情况，当C在x轴的上方和点C在x轴的下方，由题意可知c在），轴上，

根据直角三角形中30度角的性质可得OC的长，即可得出点C的坐标.

.•.04=08=3,

*.*△A8C是等边三角形，

・・・C在y轴上，

OC1.AB,

：.ZACO=^ZACB=30°,

2

□△AOC中，VZ4CO=30°,OA=3,

，OC=3料，

...此时点C的坐标是（0,3«）；

当C在x轴的下方时，同理得C点的坐标是（0,-3«）,

故答案为：（0,3«）或（0,-3«）.

【点评】本题考查了坐标与图形性质，等边三角形的性质和勾股定理，能求出0C的长

是解此题的关键.

16.（3分）如图，在锐角三角形ABC中，BC=6近,NABC=45°,8。平分NABC,M、

N分别是B。、BC上的动点，则CM+MN的最小值是6.

【分析】过点C作于点E,交BD于点M',过点M‘作M'N'J_BC于N',

则CE即为CM+MN的最小值，再根据2C=6企，NABC=45°,8。平分NA8C可知

△BCE是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出CE的长.

【解答】解：过点C作CELAB于点E,交BD于点、M',过点M‘作N'L3C于

N',则CE即为CW+MN的最小值，

,:BC=6近,NABC=45°,8。平分/ABC,

...△BCE是等腰直角三角形，

，C£=8C.cos45°=6&X返=6.

2

...CM+MN的最小值为6.

【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角

三角形是解答此题的关键.凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结

合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

三、（本大题2个小题，每小题5分，满分10分）

17.（5分）已知一次函数y=fcv+3的图象经过点（1,-3）.

（1）求一次函数的表达式；

（2）已知点（小4）在该函数的图象上，求。的值.

【分析】（1）将已知点坐标代入一次函数解析式中求出k的值，即可确定出一次函数解

析式；

(2)把点B的坐标代入函数解析式进行验证即可.

【解答】解：(1)将x=l,y=-3代入一次函数解析式得：-33+3,

解得：k=~6.

故一次函数解析式为y=-6x+3；

(2)把点(a,4)代入y=-6〃+3,得

a=--1,

6

的值为-工.

6

【点评】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关

键.

18.(5分)如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别是04,0C的中点，。为对角线AC

与80的交点，请证明£>M〃2N.

【分析】依据平行四边形的性质，即可得到A0=C0,B0=D0,进而得出M0=N。，

判定四边形BMOV是平行四边形，即可得出结论.

【解答】证明：•••四边形ABC。是平行四边形，

：.A0=C0,BO=DO,

又N分别是04,0C的中点，

：.MO=NO,

四边形BMDN是平行四边形，

.,.DM//BN.

【点评】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解题时注意：对角线互相平分的四

边形是平行四边形.

四、(本大题2个小题，每小题6分，满分12分)

19.(6分)如图，在平面直角坐标系中有三个点4(-3,2)、8(-5,1)、C(-2,0),

P(a,b)是△ABC的边AC上一点，△ABC经平移后得到△48i。，点P的对应点为

Pl(«+3,6+2).

(1)画出平移后的△48ICI；

(2)写出点4、Bi、CI的坐标;

(3)求四边形ACC14的面积.

【分析】(1)由点P及其对应点为的坐标可得平移方式，据此将点A、B、C分别向右

平移3个单位、向上平移2个单位，然后首尾顺次连接即可得；

(2)根据所作图形可得点的坐标：

(3)先求出S^AC.C'S&IC.C'再根据$四边形AAC.C=S^AA.CJSAAC.C可得答

案.

S四边形AA[C.（：—SAAA.C+SAAC,C-4+4-8

X1**，

【点评】本题主要考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移的定义和性质，并据此

得出变换后的对应点及割补法求三角形的面积.

20.（6分）某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所

示是王老师从家到学校这一过程中的所走路程S（米）与时间r（分）之间的关系.

（1）学校离他家10他米,从出发到学校，王老师共用了25分钟:

（2）王老师吃早餐以前的速度快还是吃完早餐以后的速度快？吃完早餐后的平均速度是

多少？

（3）王老师吃早餐用了多少分钟？

【分析】利用函数图象中横、纵坐标的意义分别求解.

【解答】解：（1）学校离他家1000米，从出发到学校，王老师共用了25分钟;

故答案为：1000,25；

（2）根据图象可得：

%一=50<1000-500所以吃完早餐以后速度快;

1025-20uu

（1000-500）4-（25-20）=100（米/分）

吃完早餐后的平均速度是100米/分.

（3）王老师吃早餐用了20-10=10分钟.

【点评】本题主要考查对函数图象的理解和掌握，能根据实际问题所反映的内容来观察

与理解图象是解答此题的关键.

五、（本大题2个小题，每小题7分，满分14分）

21.（7分）如图，已知8,。在线段AC上，HAD=CB,BF=DE,NAED=NCFB=90°

求证：

(1)AAED^ACFB；

(2)BE//DF.

【分析】(1)根据HL证明RtAAED注RtACFB得出结论；

(2)证明AOBE丝则/。BE=/B0凡可得出结论.

【解答】证明(1)VZAED=ZCFB=90°,

在RtAAED和RtACFB中

[AD=BC,

lDE=BF，

ARtAAED^RtACFB(HL).

(2)VAAED^ACFB,

:.NBDE=4DBF,

rDE=BF

在△OBE和△BO/中，ZBDE=ZDBF>

BD=DB

:.△DBEQABDF(SAS),

：.ZDBE=ZBDF,

J.BE//DF.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握全等三角形的

判定与性质是解决问题的关键.

22.(7分)如图，在△ABC中，NC=90°,将△ACE沿着AE折叠以后C点正好落在A8

边上的点。处.

(1)当/B=28°时，求NC4E的度数；

(2)当AC=6,48=10时，求线段OE的长.

【分析】(1)在RtZ\ABC中，利用互余得到NBAC=62°,再根据折叠的性质得/CAE

=工/。8=31°,然后根据互余可计算出NAEC=59°；

2

(2)Rt/XABC^P,利用勾股定理即可得到BC的长；设。E=x,则EB=BC-CE=8-x,

依据勾股定理可得，RtaBDE中。片+8。2=8片，再解方程即可得到。E的长.

【解答】解：(1)在Rt/XABC中，/ABC=90°,ZB=28°,

，NBAC=9()°-28°=62°,

■:MCE沿着AE折叠以后C点正好落在点D处，

AZCAE=AZCAB=AX62°=31°；

22

(2)在RtZXABC中，AC=6,4c=10,

BC=VAB2-AC2=V102-62=8,

「△ACE沿着4E折叠以后C点正好落在点。处，

：.AD=AC=6,CE=DE,

：.BD=AB-AD=4,

设DE=x,贝UEB=BC-CE=8-x,

RtABDE中，DE^+BD2=BE2,

.*.X2+42=(8-x)2,

解得x=3.

即DE的长为3.

【点评】本题考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，解题时常设要求

的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择

适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案.

六、(本大题2个小题，每小题8分，满分16分)

23.(8分)2020年3月25日是全国中小学生安全教育日，常德芷兰实验学校为加强学生的

安全意识，组织了全校8000名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩进行统

计.请根据尚未完成的频率分布表和频数分布直方图解题.

频率分布表

分数段频数频率

50.5〜60.5160.08

60.5-70.5400.2

70.5〜80.5500.25

80.5〜90.5m0.35

90.5〜100.524n

(1)这次抽取了200名学生的竞赛成绩进行统计,其中：m=70,〃=0.12;

(2)补全频数分布直方图.

(3)若成绩在70分以下(含70分)的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育,

则该校安全意识不强的学生约有多少人？

【分析】(1)用第一个分数段的频数除以它的频率可得到调查的总人数，然后用总人数

成以0.35得到m的值，用24除以总人数可得到n的值；

(2)利用80-90的频数为70可补全频数分布直方图；

(3)估计样本估计总体，用8000乘以前面两分数段的频率之和可估计出该校安全意识

不强的学生数.

【解答】解：(1)164-0.08=200,

"2=200X0.35=70,“=24+200=0.12；

故答案为200,70；012；

(2)如图,

频数分布直方图

所以该校安全意识不强的学生约有2240人.

【点评】本题考查了频数（率）分布直方图：提高读频数分布直方图的能力和利用统计

图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能

作出正确的判断和解决问题.也考查了用样本估计总体.

24.（8分）如图，分别以RtAABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△AC£>,等边△A8E.已

知/BAC=30°,EF±AB,垂足为F,连接。F.

求证：（1）AC=EF；

（2）四边形ADFE是平行四边形；

【分析】（1）首先Rt^ABC中，由NBAC=30°可以得至ljAB=2BC,又因为△A8E是等

边三角形，EFLAB,由此得至l」AE=2AF,并且然后即可证明丝△BCA,

再根据全等三角形的性质即可证明AC=EB

（2）根据（1）知道EF^AC,而△AC。是等边三角形，所以EF^AC^AD,并且AD

LAB,而EFLAB,由此得到EF//AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形

AZJFE是平行四边形；

（3）先求NEAC=90°,由。ADFE得AE〃QF,可以得/AG£>=90°,则4c_L£>F.

【解答】证明：（1）;无△ABC中，NBAC=30°,

：.AB=2BC,

又「△ABE是等边三角形，EFLAB,

：.AB=2AF,AB=AE,

：.AF=BC,

在RtAAFE和RtABCA中，

...[AF=BC,

'IAB=AE'

A^AFE^/\BCA(HL),

：.AC^EF；

(2)•..△ACO是等边三角形，

ZDAC=60°,AC=AD,

：./D4B=ND4C+/BAC=90°

又：EF_LAB,

：.EF//AD,

"：AC=EF,AC=AD,

：.EF=AD,

四边形ADFE是平行四边形；

(3)VZ£/1C=ZEAF+ZBAC^60a+30°=90°,

•.•四边形AQFE是平行四边形，

J.AE//FD,

.•.Z£AC=ZAGD=90°,

：.ACA.DF.

【点评】此题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等的性质和判定以及等边三角

形的性质，首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和

等边三角形的性质证明平行四边形.

七、（本大题2个小题，每小题10分，满分20分）

25.（10分）如图，直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点

C（-2,0）,P是线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合）.

（1）求直线8c所对应的的函数表达式；

（2）设动点P的横坐标为f,△POA的面积为5.

①求出S与，的函数关系式，并写出自变量，的取值范围；

②在线段BC上存在点Q,使得四边形COPQ是平行四边形，求此时点Q的坐标.

【分析】（1）根据直线y=~x+4分别交x轴、y轴于A、B两点，直线BC与x轴交于点

C（-2,0）,可以得到点B的坐标，从而可以得到直线BC的函数表达式；

（2）①根据题意，可以用含r的代数式表示出点尸的坐标，从而可以得到S与r的函数

关系式，并写出自变量，的取值范围；

②根据题意和平行四边形的性质，可以用含/的代数式表示出点Q的坐标，再根据OC

=PQ,即可得到点Q的坐标.

【解答】解：（1）•••直线y=-x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,

点A的坐标为（4,0）,点B的坐标为（0,4）,

设直线BC所对应的的函数表达式为），="+4

（b=4

1-2k+b=0

解得，『=2,

Ib=4

即直线BC所对应的的函数表达式是y=2x+4；

（2）①\•点O（0,0）,点A（4,0）,

.,.OA=4,

•动点尸的横坐标为f,△POA的面积为S,P是线段AB上的一个动点（点P与A、B

不重合），

工动点P的纵坐标为-f+4,

...S=4*(-t+4)=_2什8,

2

即S与，的函数关系式是S=-2什8(0<Z<4)；

②过点P作PQ〃x轴，交8C于点Q,

■:点、P的坐