2023年河南省新乡市高考数学四模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1）,则该几何体的体积是（）

A.2乃一一B.271-1C.2"一2D.2"一4

2

QJT

2.下列与?的终边相同的角的表达式中正确的是()

4

9

A.2*n+45°(*ez)B.A・3600+.(AWZ)

4

6Ji

C.A・360。一315。伏£Z)D.kn+^—伏£Z)

3.在△ABC中，点P为BC中点,过点P的直线与AB,AC所在直线分别交于点M,N,若疝=2瓦,

AA?=//AC(A>0,//>0),则人+4的最小值为()

57

A.-B.2C.3D.-

42

4.已知命题P：VXG/?,sinx<L则-1?为()

A.3x0GR,sinx()>1B.VXER,sinx'l

C.3x()GR,sinx0>1D.VXG/?,sinx>1

5-已知复数z=S'贝以的共扼复数在复平面对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴影

区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）

1C.1-1

B.-D.2--

2371

问=2,忖=1,£与石的夹角为夸，且Q+肪，（2小垃，则实数2的值为（）

7.已知平面向量£石满足

A.-7B.-3C.2D.3

8.已知函数/（x）=sin（3>0,财<|）的最小正周期为"（x）的图象向左平移弓个单位长度后关于）'轴对

jr

称，则/（x-"）的单调递增区间为（

6

冗i5冗i_7T.7T..—

——\-K7T,------\-K7VKEZB・--------卜k冗,—FK7TkeZ

3636

71J5万,.r7117tl,r

------卜、——+

C.---------FK71y------FK7TkSZD.k7Tk7TkeZ

121263

9.函数/（力=4112%+加$缶％+3%在［四,2］上单调递减的充要条件是（）

63

C.〃小述

A.m<-3B.m<-4D.m<4

3

10.我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积术%即：以少广求之，以小

斜嘉并大斜累减中斜辱，余半之，自乘于上；以小斜哥乘大斜累减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.其

实质是根据三角形的三边长a,b,c求三角形面积S,即S=Qa2c2一（上苧立了］.若A4BC的面积S=平

a=b=2,贝！jsinA等于（）

A.叵C.叵或叵D.U或U

15.--------

1061062036

11.在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示.将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向

外的最大突出（图中8）有15c、m,跨接了6个坐位的宽度（AB）,每个座位宽度为43c加，估计弯管的长度，下面的

结果中最接近真实值的是（）

A.250cmB.260cmC.295cmD.305cm

12.设S“为等差数列｛%｝的前"项和，若生=-3,S7=-7,则S”的最小值为（）

A.-12B.-15C.-16D.-18

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且4+%=4+3,则Sg=.

14.随着国力的发展，人们的生活水平越来越好，我国的人均身高较新中国成立初期有大幅提高.为了掌握学生的体质

与健康现状，合理制定学校体育卫生工作发展规划，某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示全市30000

名高中男生的身高二（单位：。加）服从正态分布N（172,CT2）,且P（172<J4180）=0.4,那么该市身高高于180cm

的高中男生人数大约为.

15.已知函数/（x）=alnx—/zr2图象上一点（2,/（2）处的切线方程为y=—3x+21n2+2,则|。+。=

16.若复数z满足2z+W=3+i，其中i是虚数单位，1是z的共粗复数，则2=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，OO的直径A8的延长线与弦CD的延长线相交于点P,£为。。上一点，AE=AC,DE交AB

于点尸.求证：\PDF~\POC.

18.（12分）某工厂生产一种产品的标准长度为10.00cm,只要误差的绝对值不超过0.（）3cm就认为合格，工厂质检

部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图:

频数”

400

9C140160115

OWLV.9^57W।89I5910I.00I01B111M21■M310M长度（cm）

（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望;

(2)如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标

准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时,

生产一件产品为标准长度的概率的最小值.

2

19.(12分)设函数/(x)=|x-a|+|x+-|(a＞0).

a

2

(D若不等式f(x)-|*+一色4*的解集为{*降1},求实数a的值；

a

(2)证明：/(x)＞272.

20.(12分)已知椭圆「:二+马=13＞。＞0)过点(0,变)，设椭圆「的上顶点为3,右顶点和右焦点分别为A,F,

a~b~2

5兀

KZAFB=—.

6

(1)求椭圆「的标准方程；

(2)设直线/：丫=履+〃(〃=±1)交椭圆厂于P,。两点，设直线阱与直线8。的斜率分别为％"，kBQ＞若

与P+怎0=-1,试判断直线/是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

21.(12分)已知函数/(x)=aln(l+x),g(x)=gx3-ax,/z(x)=e'—1.

(1)当xK)时，/(x)＜h(x)恒成立，求a的取值范围；

(2)当xVO时，研究函数尸(x)=h(x)-g(x)的零点个数；

(3)求证：些＜%＜型四(参考数据：Inl.lM.0953).

10002699

22.(10分)在以ABCDE尸为顶点的五面体中，底面ABCD为菱形，ZABC=120°,AB=AE=ED^=2EF,EF//AB,

点G为CO中点，平面EADL平面A5CZ).

(2)若三棱锥VE_FBC求菱形ABCD的边长.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.

【详解】

由几何体的三视图可得，

几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为72的等腰直角三角形、高为2的棱

柱，

故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，

即IV=兀・尸・2—L•亚•亚・2=2九一2,

2

故选C.

【点睛】

本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据

几何体的结构求出其体积.

2.C

【解析】

利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.

【详解】

与岑的终边相同的角可以写成2E+4优GZ),但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正确.

44

故答案为C

【点睛】

(1)本题主要考查终边相同的角的公式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与。终边相同的角

夕=人360°+。其中％ez.

3.B

【解析】

11(\1A

由M，P,N三点共线，可得7+丁=1,转化彳+〃=(/1+〃)—+—,利用均值不等式，即得解.

2T22〃(242〃)

【详解】

因为点尸为BC中点，所以=+

22

又因为血=4瓦，AN=JLIAC,

所以戒+4丽.

2Z2〃

因为M,P,N三点共线,

I1,

所以十丁1

[11）1,1c

所以丸+〃=（丸+4）—+—=iiA+Z£H—..Id—x2=2,

12兄2从）2+21〃2J22〃A

2_〃

〃A'

当且仅当即；l=〃=l时等号成立,

11

——+——=1

2Z2/z

所以;I+〃的最小值为1.

故选：B

【点睛】

本题考查了三点共线的向量表示和利用均值不等式求最值，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于

中档题.

4.C

【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.

【详解】

•.•全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题P：VxeR,sinx<l,

-1P:Bx0GR,sinx0>1.

故选：C.

【点睛】

本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.

5.C

【解析】

分析：根据复数的运算，求得复数Z,再利用复数的表示，即可得到复数对应的点，得到答案.

详解：由题意，复数z=二一=(~\(―'—?=-1+i>贝!lz=-1-i

1-iU-i)(7+0

所以复数z在复平面内对应的点的坐标为位于复平面内的第三象限，故选C.

点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示，其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键，着重考查了

推理与运算能力.

6.C

【解析】

令圆的半径为1,则P=2=匚型二1=±一1,故选C.

S7171

7.D

【解析】

由已知可得仅+")-(2£回=0,结合向量数量积的运算律，建立2方程，求解即可.

【详解】

——27r

依题意得ab-2xlxcos——=-1

3

由+B)=。，得2a—Xb+(24—l)a-B=O

即一32+9=0,解得/l=3.

故选:D.

【点睛】

本题考查向量的数量积运算，向量垂直的应用，考查计算求解能力，属于基础题.

8.D

【解析】

先由函数/(x)=sin(3+0)的周期和图象的平移后的函数的图象性质得出函数f(x)=sin(ox+0)的解析式，从而

TT7T

得出/(X-/)的解析式，再根据正弦函数/(x)=sinx的单调递增区间得出函数/5-丁)的单调递增区间，可得选

项.

【详解】

r\

因为函数/'0)=5皿5+。)3>0,［同<1)的最小正周期是万，所以兀=」，即0=2,所以/(x)=sin(2x+0),

2co

/(x)=sin(2x+0)的图象向左平移6个单位长度后得到的函数解析式为

y=sin2^x+—+*J=sin[2x+]+eJ,

由于其图象关于)'轴对称，所以g+e=g+2Z"#wZ,又|e|<g,所以夕=$,所以/(x)=sin(2x+J

3226\o

所以/(x_a=sin[2(xq)+7

=sin2x--，

7T7T

因为/(x)=sinx的递增区间是：-『2k兀,2k兀+3,keZ,

7Z77yz77

由----\-2k7t<2x--W2k"——，keZ,得：-----\-k7r<x<k7v-\——，keZ,

26263

所以函数/>(X—［71)的单调递增区间为一g++(ZeZ).

663

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦型函数的周期性，对称性，单调性，图象的平移，在进行图象的平移时，注意自变量的系数，属于

中档题.

9.C

【解析】

先求导函数，函数在［7,£］上单调递减则/(x)40恒成立，对导函数不等式换元成二次函数，结合二次函数的性质

63

和图象，列不等式组求解可得.

【详解】

依题意，f(x)=2cos2x+根cosx+3=4cos?x+根cosx+1,

令cosx=t,则'64*'故4产+而+1W0在g,争上恒成立;

・

4“x—1+〃2x—1+L,0C明，-4

42

结合图象可知，,、r,解得873

4x—+/nx—+1,,0遇，-

42

故〃小述

3

故选：C.

【点睛】

本题考查求三角函数单调区间.求三角函数单调区间的两种方法：

(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角〃(或f),利用基本三角函数的单调性列不等

式求解；

(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.

10.C

【解析】

将5=①，a=JLb=2,代入s=匕a2c2解得/=5,/=9,再分类讨论，利用余

2V42

弦弦定理求cosA,再用平方关系求解.

【详解】

已知S=>a=6,b-2,

2

代入S=4/c-(---------)］，

得出-(二4i=乎,

即/-12c2+45=0，

解得=5,c~=9f

当。2=5时，由余弦弦定理得：cosA=b+*-,=Hi,sin/=A/1-cos2A=叵.

2bc1010

当c2=9时，由余弦弦定理得：cosA=生土U:二=*,sinA=71-cos2A=—.

2bc66

故选：C

【点睛】

本题主要考查余弦定理和平方关系，还考查了对数学史的理解能力，属于基础题.

11.B

【解析】

为弯管，A3为6个座位的宽度，利用勾股定理求出弧A3所在圆的半径为「，从而可得弧所对的圆心角，再利

用弧长公式即可求解.

【详解】

如图所示，AB为弯管，AB为6个座位的宽度,

D

0

贝!JAB=6x43=258cm

CD=15cm

设弧A3所在圆的半径为r,则

r2=(r-CD)2+AC2

=(r-15)2+1292

解得r«562cm

129

sinZAO£>=—«0.23

562

可以近似地认为sinxax,即NAODaO.23

于是/403。0.46,AB长7562x0.46a258.5

所以260cm是最接近的，其中选项A的长度比AB还小，不可能,

JT

因此只能选B,260或者由cosx«0.97,sin2xx0.45=>2x<—

6

7T

所以弧长＜562x3*294.

6

故选：B

【点睛】

本题考查了弧长公式，需熟记公式，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题.

12.C

【解析】

根据已知条件求得等差数列｛4｝的通项公式，判断出s“最小时〃的值，由此求得s”的最小值.

【详解】

ci,+2d=—3Q

依题意」解得q=-7,4=2,所以a“=2〃—9.由a“=2〃-9K0解得"4：,所以前〃项和中，前

7q+21d=-72

4项的和最小，且3=4q+6d=-28+12=-16.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列通项公式和前"项和公式的基本量计算，考查等差数列前〃项和最值的求法，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.27

【解析】

根据等差数列的性质求得火，结合等差数列前«项和公式求得S9的值.

【详解】

因为｛《,｝为等差数列，所以4+%=%+%=4+3,解得%=3,

所以§9=9(卬；%)=生等=9%=27.

故答案为：27

【点睛】

本小题考查等差数列的性质，前〃项和公式的应用等基础知识；考查运算求解能力，应用意识.

14.3000

【解析】

根据正态曲线的对称性求出P管>180),进而可求出身高高于1805的高中男生人数.

【详解】

解：全市30000名高中男生的身高J(单位：。机)服从正态分布N(172,b2),且P(172<4<180)=0.4,

则P(J>180)=上9产=0.1,

该市身高高于180cm的高中男生人数大约为3(X)(X)x0.1=3(X)0.

故答案为：3000.

【点睛】

本题考查正态曲线的对称性的应用，是基础题.

15.1

【解析】

求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得。力.

【详解】

由题意f\x)=--2bx,

X

•・・函数图象在点(2J(2)处的切线方程为y=-3%+2In2+2,

——4Z?=—3[a=2

，解得「「

b=1

aln2-4b=-6+21n2+21

a+b-3.

故答案为：1.

【点睛】

本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，

16.1+z

【解析】

设2=。+初，代入已知条件进行化简，根据复数相等的条件，求得”,人的值.

【详解】

z-a+hi,由2z+z=3+i，^2a+2hi+a-bi=3a+hi=3+i,所以。=l,b=l,所以z=l+i.

故答案为：1+i

【点睛】

本小题主要考查共输复数，考查复数相等的条件，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.证明见解析

【解析】

根据相似三角形的判定定理，已知两个三角形有公共角NP,题中未给出线段比例关系，故可根据判定定理一需找到另外

一组相等角，结合平面几何的知识证得NPFD=ZOCP即可.

【详解】

证明：VA£=AC,所以NCDE=NAOC,

又因为ZCDE=NP+ZPFD,ZAOC=ZP+ZPCO,

所以NPFD=NOCP.

在APZ)厂与APOC中，NP=NP，ZPFD=ZOCP,

故APZ)R~APOC.

【点睛】

本题考查平面几何中同弧所对的圆心角与圆周角的关系、相似三角形的判定定理;考查逻辑推理能力和数形结合思想；

分析图形，找出角与角之间的关系是证明本题的关键;属于基础题.

18.(1)0.01025(2)1—好

5

【解析】

(1)根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值X的频率分布列，再根据期望公式即可求出；

(2)由(1)可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4,即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率,

由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；

当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为X,可根据上述方法求出P=1-(1-幻？，解1-(1-X)220.8,

即可得出最小值.

【详解】

(1)由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值X的频率分布列为下表：

X00.010.020.030.04

频率产0.40.30.20.0750.025

所以X的数学期望的估计为

E(X)=0x0.4+0.01x0.3+0.02x0.2+0.03x0.075+0.04x0.025=0.01025.

(2)由(1)可知任取一件产品是标准长度的概率为0.4,设至少有1件是标准长度产品为事件3,则

、2

尸吁七<3=3=0.64<0.8,故不符合概率不小于0.8的要求.

725

设生产一件产品为标准长度的概率为工,

由题意P(8)=1—(1—x)220.8,又解得无21一且,

5

所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为1.

5

【点睛】

本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，相互独立事件同时发生的概率公式的应用，对立事件的概率公式的应用,

解题关键是对题意的理解，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题.

19.(1)a=l；(2)见解析

【解析】

(1)由题意可得|x-a|N4x,分类讨论去掉绝对值，分别求得x的范围即可求出“的值.(2)由条件利用绝对值三角不

等式，基本不等式证得f(x)>272-.

【详解】

2

(1)由J'(x)-|x+—|>4x,可得|x-aR4x,(a>0),

a

当xNa时，x-a>4x,解得

3

这与工法>0矛盾，故不成立，

当xVa时，a-x>4x,解得

又不等式的解集是3烂1},故三=1，解得。=L

222

(2)证明：f(x)=|x-a|+|x+—|>|x-a-(x+一)|=|a+—|,Va>0,

aaa

29iy

：.la+-l=a+->2ja--^2y/2,当且仅当a=及时取等号，

aa\a

故/(x)>272.

【点睛】

本题主要考查绝对值三角不等式，基本不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础

题.

r2

20.(1)—+/=1(2)直线/过定点，该定点的坐标为(2,-1).

4

【解析】

621

(1)因为椭圆「过点(J5,半)，所以7十/=1①，

设。为坐标原点，因为乙4所=学，所以=又g="2+点=a,所以b=2a②，

662

[ci=2X2

将①②联立解得，，(负值舍去)，所以椭圆「的标准方程为二+y=i.

仍=14

(2)由⑴可知5(0,1),设P(X|,y),Q(x2,y2).

将丁=立+力代入工+y2=1,消去y可得(1+4女2优+8的X+4/-4=0,

4.

一854n2-4

2

贝!)〃=(8如y-4(1+4A2)(4/-4)=16(4公-n+l)>0,

_-1y2-1_x2(kxi+〃)一/+工|(心+n)-xl_2kx/+(〃一1)(%+x2)

所以4间,+kfiQ-H——

玉々

4/72-4-8kn

T74F(),rZ4F8&(〃-l)2k

4n2-44(/1+l)(n-1)n+1

1+4公

所以〃=一2々一1,此时4=16(4公-(-2&-iy+l]=-64A>0,所以k<0,

此时直线/的方程为。=狂-2左-1,即丁=以%-2)-1,

令x=2,可得y=-l,所以直线/过定点，该定点的坐标为(2,-1).

21.(1)(2)见解析；(3)见解析

【解析】

(1)令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),求得导数，讨论a>l和agl,判断导数的符号，由恒成

立思想可得a的范围；(2)求得F(x)=h(x)-g(x)的导数和二阶导数，判断P(x)的单调性，讨论吐-1,a

>1,F(x)的单调性和零点个数；(3)由(1)知，当a=l时，ex>l+ln(x+1)对x>0恒成立，令彳=卡：由(2)

知，当a=-l时，产>4/+%+1对xvo恒成立，令x=--L,结合条件，即可得证.

310

【详解】

(I)解：令H(x)=h(x)-f(x)=ex-1-aln(x+1)(x>0),

则H‘(x)=ex一^y(x>0),

x+1

①若agl,则一H1(x)>0,H(x)在［0,+oo)递增，

x+1

H(x)>H(0)=0,即f(x)<h(x)在［0,+oo)恒成立，满足，所以蛉1；

②若a>l,Hr(x)=ex-^-在［0,+oo)递增，H'(x)>H*(0)=1-a,且1-aVO,

x+1

且x—+co时，H*(x)—+oo,贝归xo£(0,+oo),

使H，(xo)=0进而H(x)在［0,xo)递减,在(xo,+co)递增，

所以当x£(0,xo)时H(x)<H(0)=0,

即当x£(0,xo)时，f(x)>h(x),不满足题意，舍去；

综合①，②知a的取值范围为(-8,1］.

(II)解：依题意得F(x)=h(x)-g(x)=eX-lWx'+axGVO),贝!]F'(x)=ex-x2+a,

o

贝(JF"(x)=e，-2x>0在(-co,0)上恒成立，故P(x)=e、-x2+a在(-8,0)递增,

所以