2024届天津市滨海新区大港第八中学高三第六次月考数学试题

2024届天津市滨海新区大港第八中学高三第六次月考数学试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知函数（表示不超过x的最大整数），若有且仅有3个零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．2．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（）A． B． C． D．3．已知点为双曲线的右焦点，直线与双曲线交于A，B两点，若，则的面积为（）A． B． C． D．4．设直线的方程为，圆的方程为，若直线被圆所截得的弦长为，则实数的取值为A．或11 B．或11 C． D．5．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（）A． B． C． D．6．已知变量，满足不等式组，则的最小值为（）A． B． C． D．7．已知函数满足，当时，，则（）A．或 B．或C．或 D．或8．设全集，集合，则＝()A． B． C． D．9．点在所在的平面内，，，，，且，则（）A． B． C． D．10．设集合，则()A． B．C． D．11．如图，内接于圆，是圆的直径，，则三棱锥体积的最大值为（）A． B． C． D．12．已知是边长为1的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中，的系数是______.14．命题“”的否定是______．15．设为数列的前项和，若，，且，，则________．16．数列的前项和为，则数列的前项和_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cosB（1）求b的值；（2）若cosB+3sin18．（12分）已知，，求证：（1）；（2）.19．（12分）平面直角坐标系中，曲线：.直线经过点，且倾斜角为，以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）写出曲线的极坐标方程与直线的参数方程；（2）若直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值．20．（12分）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.21．（12分）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）经常网购偶尔或不用网购合计男性50100女性70100合计（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．参考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822．（10分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．求C；若，求，的面积

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解题分析】

根据[x]的定义先作出函数f（x）的图象，利用函数与方程的关系转化为f（x）与g（x）=ax有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可．【题目详解】当时，，当时，，当时，，当时，，若有且仅有3个零点，则等价为有且仅有3个根，即与有三个不同的交点，作出函数和的图象如图，当a=1时，与有无数多个交点，当直线经过点时，即，时，与有两个交点，当直线经过点时，即时，与有三个交点，要使与有三个不同的交点，则直线处在过和之间，即，故选：A．【题目点拨】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.2、A【解题分析】

依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，根据求出的坐标，求出边所在直线的方程，设，利用坐标表示，根据二次函数的性质求出最大值.【题目详解】解：依题意，如图以为坐标原点建立平面直角坐标系，由，，，，，，，因为点在线段的延长线上，设，解得，所在直线的方程为因为点在边所在直线上，故设当时故选：【题目点拨】本题考查向量的数量积，关键是建立平面直角坐标系，属于中档题.3、D【解题分析】

设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，设，得，求出的值，即得解.【题目详解】设双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知四边形是平行四边形，所以，.设，则，又.故，所以.故选：D【题目点拨】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查余弦定理解三角形和三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4、A【解题分析】

圆的圆心坐标为（1，1），该圆心到直线的距离，结合弦长公式得，解得或，故选A．5、D【解题分析】

根据统计数据，求出频率，用以估计概率.【题目详解】.故选:D.【题目点拨】本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.6、B【解题分析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值.【题目详解】解：由变量，满足不等式组，画出相应图形如下：可知点,，在处有最小值，最小值为.故选：B.【题目点拨】本题主要考查简单的线性规划，运用了数形结合的方法，属于基础题.7、C【解题分析】

简单判断可知函数关于对称，然后根据函数的单调性，并计算，结合对称性，可得结果.【题目详解】由，可知函数关于对称当时，，可知在单调递增则又函数关于对称，所以且在单调递减，所以或，故或所以或故选：C【题目点拨】本题考查函数的对称性以及单调性求解不等式，抽象函数给出式子的意义，比如：，，考验分析能力，属中档题.8、A【解题分析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的补集.【题目详解】由解得，故，所以，故选A.【题目点拨】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.9、D【解题分析】

确定点为外心，代入化简得到，，再根据计算得到答案.【题目详解】由可知，点为外心，则，，又，所以①因为，②联立方程①②可得，，，因为，所以，即．故选：【题目点拨】本题考查了向量模长的计算，意在考查学生的计算能力.10、B【解题分析】

直接进行集合的并集、交集的运算即可．【题目详解】解：；∴．故选：B．【题目点拨】本题主要考查集合描述法、列举法的定义，以及交集、并集的运算，是基础题.11、B【解题分析】

根据已知证明平面，只要设，则，从而可得体积，利用基本不等式可得最大值．【题目详解】因为，所以四边形为平行四边形.又因为平面，平面，所以平面，所以平面.在直角三角形中，，设，则，所以，所以.又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.故选：B．【题目点拨】本题考查求棱锥体积的最大值．解题方法是：首先证明线面垂直同，得棱锥的高，然后设出底面三角形一边长为，用建立体积与边长的函数关系，由基本不等式得最值，或由函数的性质得最值．12、D【解题分析】

设，，作为一个基底，表示向量，，，然后再用数量积公式求解.【题目详解】设，，所以，，，所以.故选：D【题目点拨】本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

先将原式展开成，发现中不含，故只研究后面一项即可得解.【题目详解】，依题意，只需求中的系数，是.故答案为：-40【题目点拨】本题考查二项式定理性质，关键是先展开再利用排列组合思想解决，属于基础题.14、，【解题分析】

根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.【题目详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，则该命题的否定是：，故答案为：，．【题目点拨】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．15、【解题分析】

由题可得，解得，所以，，上述两式相减可得，即，因为，所以，即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以．16、【解题分析】

解：两式作差，得，经过检验得出数列的通项公式，进而求得的通项公式，裂项相消求和即可．【题目详解】解：两式作差，得化简得，检验：当n=1时，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列；，，令故填：．【题目点拨】本题考查求数列的通项公式，裂项相消求数列的前n项和，解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论，侧重考查运算能力．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）b=32【解题分析】试题分析：（1）本问考查解三角形中的的“边角互化”.由于求b的值，所以可以考虑到根据余弦定理将cosB,cosC分别用边表示，再根据正弦定理可以将sinAsinC转化为ac，于是可以求出b的值；（2）首先根据sinB+3cosB=2求出角B的值，根据第（1）问得到的b值，可以运用正弦定理求出ΔABC外接圆半径R，于是可以将a+c转化为2RsinA+2R试题解析：（1）由cosB应用余弦定理，可得a2化简得2b=3则b=（2）∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b则a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因为b=32得34又因为ac≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三边关系定理可知综上a+c∈(考点：1.正、余弦定理；2.正弦型函数求值域；3.重要不等式的应用.18、（1）见解析；（2）见解析．【解题分析】

（1）结合基本不等式可证明；（2）利用基本不等式得，即，同理得其他两个式子，三式相加可证结论．【题目详解】（1）∵，∴，当且仅当a=b=c等号成立，∴；（2）由基本不等式，∴，同理，，∴，当且仅当a=b=c等号成立∴．【题目点拨】本题考查不等式的证明，考查用基本不等式证明不等式成立．解题关键是发现基本不等式的形式，方法是综合法．19、（Ⅰ）（t为参数）；（Ⅱ）或或.【解题分析】

试题分析:本题主要考查极坐标方程、参数方程与直角方程的相互转化、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，用，化简表达式，得到曲线的极坐标方程，由已知点和倾斜角得到直线的参数方程；第二问，直线方程与曲线方程联立，消参，解出的值.试题解析：（1）即,.（2）,符合题意考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与抛物线的位置关系.20、（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析【解题分析】

（1）由题知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判断动点P的轨迹W是椭圆，写出椭圆的标准方程，根据平面向量数量积运算和点A在抛物线上求出抛物线C的标准方程；（2）设出点P的坐标，再表示出点N和Q的坐标，根据题意求出的值，即可判断结果是否成立．【题目详解】（1）由题知，，所以，因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，又知，，所以曲线的标准方程为.又由题知，所以，所以，又因为点在抛物线上，所以，所以抛物线的标准方程为.（2）设，，由题知，所以，即，所以，又因为，，所以，所以为定值，且定值为1.【题目点拨】本题考查了圆锥曲线的定义与性质的应用问题，考查抛物线的几何性质及点在曲线上的代换，也考查了推理与运算能力，是中档题．21、（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①；②数学期望为6，方差为2.4.【解题分析】

（1）完成列联表，由列联表，得，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，偶尔或不用网购的有人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率．②由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，由题意，由此能求出随机变量的数学期望和方差．【题目详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：经