三次函数的图象与性质（学生版）

三次函数知识点总结知识点一：三次函数概念定义：形如fxf'x=3ax2+2bx+c当Δ>0时，令f'x知识点二：三次函数的图像及单调性注意：三次函数要么无极值点，要么有两个，不可能只有一个！图像图像性质增区间减区间xfx极大值，极小值f'fx在Rfx增区间x减区间fx极大值fx2f'fx在Rfx知识点三：三次函数的韦达定理设fx=axx1+x2+x3=−ba知识点四：三次函数的零点个数若三次函数fx性质三次函数图像说明零点个数三个bf两个极值符号相异图像与x轴有三个交点两个bf有一个极值为0图像与x轴有两个交点一个bf不存在极值时，函数单调，与x轴有一个交点知识点五：三次函数的对称性结论1：三次函数fx=ax3+b结论2：已知三次函数fx=ax3+bx2结论3：若y=fx图像关于点m，n对称，则y=f'x图结论4：点对称函数的导数是轴对称函数，轴对称函数的导数是点对称函数结论5：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数知识点六：三次函数的零点性质定理定理一：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图象与x轴交点分别为P1，P2，P3，点P是三次函数固象上异于P1，P定理二：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠定理三：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图像与x轴交点分别为定理四：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0在其中心对称点Px0，fx定理五：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图像与x轴的交点分别为P1x1，0，P2x2，0，P3x3，0，过P1的法线为知识点七：三次函数的割线性质定理定理一：已知在三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0推论一：已知在三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠0的图像上任取点P，过点P推论二：已知在三次函数fx=ax3+bx2+cx+da≠定理二：已知三次函数fx=ax3+bx2+cx+da>0的中心对称点为点Px0，fx0，极大值为m，且即x2−x知识点八：三次函数的切线条数判断定理类型一：过三次函数图像上任一点的切线①设点P为三次函数fx=ax3+bx②若点P为三次函数图像的中心对称点，则过点P有且只有一条切线；③若点P不是三次函数图像的对称中心，则过点P有两条不同的切线.类型二：过三次函数图像外一点的切线区域分布切线条数判定定理：过三次函数fx=ax3+bx2①当x0=−b3a，则P为中心对称点，过点②当x0≠−b3a，且gx③当x0≠−b3a，且gx④当x0≠−b3a，且gx类型三：由三次函数切线斜率值判断切线条数斜率值切线条数判定定理：已知三次函数fx=ax3+k与系数的关系aak一条一条k两条两条k零条两条题型一：三次函数的零点问题例1．（2023·全国·高三专题练习）函数存在3个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型二：三次函数的最值、极值问题例2．已知函数，.（1）若函数在上存在单调递增区间，求实数的取值范围；（2）设.若，在上的最小值为，求的零点.题型三：三次函数的单调性问题例3．已知函数，，m是实数.（1）若在区间(2,+∞)为增函数，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下,函数有三个零点，求m的取值范围.题型四：三次函数的切线问题例4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数．(1)求曲线在点，处的切线方程；(2)设常数，如果过点可作曲线的三条切线，求的取值范围．变式c．（2023·全国·高三专题练习）设函数在处取得极值．(1)设点，求证：过点的切线有且只有一条，并求出该切线方程；(2)若过点可作曲线的三条切线，求的取值范围；(3)设曲线在点、处的切线都过点，证明：．题型五：三次函数的对称问题例13．（2023·全国·高三专题练习）给出定义：设是函数的导函数，是函数有实数解，则称为函数的“拐点”.经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数，则（

）A．B．C．D．变式1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象上存在一定点满足：若过点的直线与曲线交于不同于的两点，就恒有的定值为，则的值为______.变式2：（多选题）已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（

）A．，B．函数有三个零点C．过可以作两条直线与图像相切D．若函数在区间上有最大值，则E．的值是199.F．过可以作三条直线与图像相切题型六：三次函数的综合问题例6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有3个实数根，它们分别是，，2，则的最小值是（

）A．5B．6C．1D．8变式．（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，现给出如下结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的序号是__．题型七：三次函数恒成立问题例7．（2023·全国·高三专题练习）设为实数，函数，.(1)求的极值；(2)对于，，都有，试求实数的取值范围.变式1．已知三次函数．（1）若函数在点处的切线方程是，求函数的解析式；（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围．变式2c．已知函数，为函数的导函数(1)若为函数的极值点，求实数的值；(2)的单调增区间内有且只有两个整数时，求实数的取值范围；(3)对任意时，任意实数，都有恒成立，求实数的最大值.课后练习（多选题）1．已知三次函数有三个不同的零点，若函数也有三个不同的零点，则下列等式或不等式一定成立的有（

）A． B．C． D．2．设三次函数，则以下说法正确的是（

）A．函数的“拐点”为B．过函数的“拐点”有三条切线C．当时，函数有两个极值点，且两个极值点之和为D．若，则3．已知三次函数，下列结论正确的是（

）A．当时，单调递减区间为B．当时，单调递增区间为C．当时，若函数恰有两个不同的零点，则D．当时，恒成立，则a的取值范围为4．若函数，则下列说法正确的是（

）A．的极大值为B．有且仅有2个零点C．点是的对称中心D