高等数学(大一)题库

-4-（一）函数、极限、连续一、选择题：在区间(-1,0)内，由()所给出的函数是单调上升的。(A)(B)(C)(D)当时，函数f(x)=xsinx是()（A）无穷大量（B）无穷小量（C）无界函数（D）有界函数当x→1时，都是无穷小，则f(x)是的()（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶无穷小（D）等阶无穷小x=0是函数的()（A）可去间断点（B）跳跃间断点；（C）振荡间断点（D）无穷间断点下列的正确结论是（）（A）若存在，则f(x)有界；（B）若在的某邻域内，有且都存在，则也存在；（C）若f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a),f(b)<0则方程f(x)=0,在(a,b)内有唯一的实根;当时，都是无穷小，但与却不能比.二、填空题：若且则f(x)的表达式为;已知数列的极限是4,对于满足n>N时，总有成立的最小N应是;(b为有限数),则a=,b=;设则x=a是f(x)的第类间断点;且f[g(x)]在R上连续，则n=；计算题:1、计算下列各式极限：（1）；（2）；（3）（4）（5）（6）2、确定常数a,b，使函数在x=-1处连续.四、证明：设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且a<f(x)<b,证明在(a,b)内至少有一点，使.（二）导数与微分一、填空题:设存在，则=;则;设,则dy=;设则;y=f(x)为方程xsiny+ye确定的隐函数,则.二、选择题:则的值为()(A)–lna(B)lna(C)(D)设曲线与直线相交于点,曲线过点处的切线方程为()(A)2x-y-2=0(B)2x+y+1=0(C)2x+y-3=0(D)2x-y+3=0设处处可导，则()(A)a=b=1(B)a=-2,b=-1(C)a=0,b=1(D)a=2,b=1（C）（D）设在[a，b]上连续，则在（a，b）内必有（）导函数（B）原函数（C）极值（D）最大值或最大值下列函数对中是同一函数的原函数的有（）在积分曲线族中，过点的曲线方程是（）7、下列积分能用初等函数表出的是（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.8、已知一个函数的导数为，且x=1时y=2,这个函数是（ ）（A）（B）（C）（D）9、（ ）（A）;（B）;（C）；（D）.10、（ ）（A）；（B）；（C）；（D）.二、计算题:1、2、3、5、6、7、三、求其中（五）定积分及其应用一、填空题：设是连续函数，，则F'(x)=;设是连续函数，则；；4、设是连续函数，f(0)=-1,则；5、函数=在区间[a，b]上的平均值为.二、单项选择题：设存在，则在[a，b]上()(A)可导(B)连续(C)具有最大值和最小值(D)有界设是以T为周期的连续函数，则()（A）（B）（C）（D）设存在，则I=()(A)(B)(C)(D)0,在()（A）P<1时收敛,P≥1时发散（B）P≤1时收敛,P≥1时发散（C）P>1时收敛,P≤1时发散（D）P≥1时收敛,P<1时发散曲线及y轴所围的图形面积为()(A)(B)(C)(D)三、计算下列定积分:1、2、3、4、四、求下列极限:1、2、五、设可导函数y=y（x）由方程所决定，试讨论函数y=y（x）的极值.六、已知抛物线，求p和a的值，使得：抛物线与y=x+1相切；抛物线与0x轴围成的图形绕0x轴旋转有最大的体积.（六）向量代数空间解析几何一、填空题：1、向量与x，y，z轴的夹角分别为，则，，。2、设，则=，=，=，=。3、以点为球心，且通过坐标原点的球面方程为。4、平面通过点（5，-7，4）且在x，y，z三轴上截距相等，则平面方程为。5、把曲线绕x轴旋转一周，则旋转曲面的方程为。二、选择题：1、平面与互相平行，则（）。（A）充要条件是（B）充要条件是（C）必要而不充分条件是（D）必要而不充分条件是2、设与为非零向量，则是（）（A）∥的充要条件；（B）⊥的充要条件；（C）=的充要条件；（D）∥的必要但不充分的条件；3、设直线，则该直线为（）。（A）过原点且垂直于x轴（B）过原点且平行于x轴（C）不过原点但垂直于x轴（D）不过原点但平行于x轴4、直线和平面的关系是（）。（A）直线与平面垂直；（B）直线与平面平行，但直线不在平面上；（C）直线在平面上；（D）直线与平面相交，但不垂直。5、平面在轴的截距分别为，则（）。（A）（B）（C）（D）6、方程表示（）（A）椭球面；（B）椭圆柱面；（C）椭圆柱面在平面y=0上的投影曲线；（D）y=1平面上椭圆。7、方程表示（）（A）锥面；（B）单叶双曲面；（C）双叶双曲面；（D）椭圆抛物面。三、计算题：1、将直线方程化成对称式方程。2、求两平行平面及之间的距离。3、设一直线通过点M（4，3，3），且垂直于由三点A1（6，0，1），A2（2，1，5），A3（5，3，5）所确定的平面，求该直线方程。4、求过点和且与平面成角的平面方程。四、应用题：设有一质点开始时位于点P（1，2，-1）处，今有一方向角分别为60°,60°,45°,而大小为100克的力作用于此质点，求当此质点自点P作直线运动至点M（2，5，-1+3）时，力所作的功（长度单位为厘米）。（七）多元函数微分学一、填空题：1、设，则f（x，y）=.2、设，则=.3、由方程所确定的函数在点（1，2，2）处的全微分dz=.4、曲面在点处的切平面方程是.5、设，则该函数的定义域为.二、选择题：1.当，时，函数的极限（）（A）等于0；（B）等于；（C）等于；（D）不存在2.函数z=f（x，y）的偏导数，在点（x0，y0）连续是函数z=f（x，y）在点（x0，y0）可微分的（）（A）充分条件但非必要条件；（B）必要条件但非充分条件；（C）充分必要条件；（D）既非充分条件也非必要条件；3.设z=f（u，v），而，其中f具有一阶连续偏导数，则等于（）（A）；（B）；（C）；（D）；4.在曲线的所有切线中，与平面平行的切线（）（A）只有1条；（B）只有2条；（C）至少有3条；（D）不存在5.设函数f（x，y）在点（0，0）的某个邻域内连续，且=2则在点（0，0）处f（x，y）（）（A）不可微分；（B）可微分，且；（C）取得极大值；（D）取得极小值.三、计算题：1、设，求2、设，求3、设,求4、设由方程所确定，求dz5、设，求6、求函数的极值.四、求曲面上同时垂直平面与的切平面方程五、在旋转椭球面上求距平面为最近和最远的点.习题答案（一）函数、极限、连续答案一、1、（D）2、（C）3、（C）4、（B）5、（D）二、1、2、N=103、4，104、一，跳跃5、三、1、（1）（2）（3）（不存在）（4）（5）（6）2、解：f（-1-0）=0f（-1）=bf（-1+0）=a+π使f（x）在x=-1连续四、证明：令F（x）=f（x）-x显然F（x）在[a，b]上连续F（a）=f（a）-a〉0F（b）=f（b）-b〈0∴在（a，b）内至少有一点使F（）=0即：使f（）=（二）导数与微分答案一、1、2、不存在3、4、5、0二、1、（A）2、（D）3、（C）4、（B）5、（D）三、解：1、2、而3、解：对等式两边关于t求导对等式两边关于t求导∴当t=0时，得x=0，y=-1∴曲线在t=0处的切线方程的斜率为，∴切线方程4、5、6、…7、设,则（三）导数的应用答案一、（1）（2）1，1；（3）1；（4）（5）二、B；D；D；A；A三、解：1.(1)、原式=(2)、原式=2.，驻点，，令，得，因为，所以为极大值点，所以为拐点所以极大值点与拐点的中点坐标为，所求直线为：四、1、解：G（x）单调下降：所以当提出概念所用的时间小于13分钟时，接受能力增强；当提出概念所用的时间大于13分钟时，接受能力降低（b）单调上升，学生的兴趣在增长。时取极大值，所以最难的概念应该在提出问题后的第13分钟时讲授。（d）因为G（13）=59.9，这个概念需要55的接受能力，小于最大接受能力，所以可以对这组学生讲授该概念。2、解：设与的公路总长为，则，所以，令，得：（舍去）只有唯一的驻点，所以在处取得最小值五、证：1、令当x>0时，，有，当x<0时，，有故（四）不定积分答案一、1、（C）2、（B）3、（C）4、（B）5、（A）6、（A）7、（D）8、（B）9、（D）10、（C）二、1、原式=2、原式=3、原式=4、原式=5、原式=6、原式===7、原式=三、原式=（五）定积分及其应用答案一、（1）（2）0；（3）ln2（4）（5）二、1、D，2、B，3、C，4、A，5、C。三、解：1、原式=2、原式=3、原式=4、原式=四、解：1、原式=2、，而又，由夹挤定理知，此外由的任意性知五、两边求导得即令y'=0，得x=0，且由于x<0时,y'<0;知x=0是y=y(x)的极小点,代入方程得:；注意:即y=y(x)的极小值为0六、解：对两边关于x求导得，由题设切点处有：，得，，代入抛物线方程可得，另一方面，旋转体体积为：令，得从而这时，时，，而时，,故，V取极大值，也是最大值。（六）空间解析几何答案一、1、2、1，3、4、5、二、1、B2、A3、A4、C5、C6、D7、B三、1、解：令，得到直线上一点，设的方向向量为故的对称式方程为2、解：在上取一点；则两平行平面间的距离为3、解：所求直线方向向量同时垂直于及∴∴直线的对称式方程为4、解：设所求平面方程为：；分别将A，B的坐标代入此方程：；故平面方程为：；所以平面方程为：四、解：∵∴克厘米（七）多元函数微分学