2023年福建省龙岩市南山中学高三数学理联考试卷含解析

2023年福建省龙岩市南山中学高三数学理联考试卷含

解析

一、选择题：本大题共1()小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.函数/(功=3-*+1»国零点的个数是()

A.lB.2C.3D.0

参考答案：

C

【解析】令/(x)=3—x+ln|x|=o,则x—3=ln|x|.

设g(x)=x—3，〃(x)=In忖，且函数〃(x)为偶函数，

其图象关于y轴对称.观察函数g(x)与//(x)图象可得:两

个函数图象有三个交点，故函数/(x)=3-x+山忖有3

个零点.

n

2.将函数y=cos2x的图象向右平移4个单位，得到函数y=f(x)?sinx的图象，贝Uf(x)

的表达式可以是()

A.f(x)=-2cosxB.f(x)=2cosx

C.选D.V2

f(x)=2sin2xf(x)=2(sin2x+cos2x)

参考答案:

B

略

3.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}

(x20),则f(x)的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

参考答案：

C

【考点】函数的最值及其几何意义.

【专题】计算题.

【分析】在同一坐标系内画出三个函数y=10-x,y=x+2,y=2*的图象，以此作出函数f

(x)图象，观察最大值的位置，通过求函数值，解出最大值.

【解答】解：10-x是减函数，x+2是增函数，2乂是增函数，令x+2=10-x,x=4,此时,

y=x+2与y=2”交点是A、B,y=x+2与y=10-x的交点为C(4,6),

故选：C

【点评】本题考查了函数的概念、图象、最值问题.利用了数形结合的方法.关键是通过

题意得出f(x)的简图.

4.

宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生''的问题：松长五尺，竹长两尺，松日

自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a,b

分别为5,2,则输出的“

参考答案:

15

解：当n=l时，a=5,b=4,满足进行循环的条件,

45

当n=2时，a=T,b=8满足进行循环的条件，

135

当n=3时，a="V,b=16满足进行循环的条件，

405

当n=4时，a=16,b=32不满足进行循环的条件,

故输出的n值为4,故选C.

=1

5.已知双曲线C：?„>0,8>0)的右顶点为d,o为坐标原点，以d为

圆心的圆与双曲线c的某渐近线交于两点P，°,若加。="且==笫。，则双

曲线c的离心率为()

立也也

A.4B.3C.2D.币

参考答案：

C

6.已知集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|-2<x<2},则ACB=()

A.{x|-2<x<2}B.{x|-2<x<3}C.{x|-l<x<3}D.{x|-l<x<2}

参考答案：

D

【考点】交集及其运算.

【分析】求出A中不等式的解集，找出A与B的交集即可.

【解答】解：由A中不等式变形得：(x-3)(x+l)<0,

解得：即A={x|-l<x<3},

•••B={x|-2<x<2},

则AClB={x|-l<x<2}

故选：D

7.设/CO与g(x)是定义在同一区间g,b］上的两个函数，若对任意Xe［a,b］,都有

|/(x)-g(x)E】成立,则称和g(x)在［a,b］上是“密切函数”，区间［a,b］称为

“密切区间”,若/(X)=X'-3X+4与g(x)=2x-3在匕，b］上是“密切函数”，则其

“密切区间”可以是()

(A)[1,4](B)[2,4](C)[3,4](D)[2,3]

参考答案：

D

8.已知平面向量AB=(1,y),AC=(2,-1),且AB，AC=O,则3AB-2AC=()

A.(8,1)B.(8,3)C.(-1,8)D.(7,8)

参考答案：

C

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】根据题意，由平面向量数量积的坐标计算公式可得标•位=lX2+yX(-1)=0,

解可得y的值，即可得向量标的坐标，由向量加减法的坐标计算公式计算可得答案.

【解答】解：根据题意，AB=(1,y),AC=(2,-1),

则有屈•菽=lX2+yX(-1)=0,

解可得y=2,

则AB=(1,y)=(1,2)

故3瓦-2届(-1,8)；

故选：C.

9.给出定义：若函数/5)在。上可导，即/'(X)存在，且导函数/'(X)在。上也可

导,则称,(x)在。上存在二阶导函数，记/«x)=(/'(x)),若/'(xlvO在。上恒

fo-)

成立，则称/J)在。上为凸函数。以下四个函数在I2)上不是凸函数的是

()

A./(^)=sinx+co$xB./(x)=lnx-2x

C./W=-^+2x-lD./(x)=一疝7

参考答案：

D

1().

若数列｛X"｝满足lgx"+i=1+lgx"(/?eN*),且X+X2+…+xioo=1OO,则

lg(X)01+X102+…+X200)的值等于()

A、200B、120C、110D、102

参考答案：

答案：D

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

：/3

11.设函数f(x)=x'-1,对任意xGB.D.(-8,-2]U上有定义，若对象Xi,

X1+X2_1

xzG,有£(2)则称f(x)在上具有性质P.设f(x)在上具有性质P.现

给出如下结论：

①f(x)=2x1在上具有性质P；

②f(/)在上具有性质P；

③f(x)在上的图象是连续不断的；

④若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x6；

其中正确结论的序号是.

参考答案：

①④

【考点】命题的真假判断与应用.

【专题】新定义；函数思想；定义法；简易逻辑.

X1+X21

【分析】①根据定义，直接求出f(2),2,比较即可；

②③可通过反例说明不成立；

x+(4-x)1

④中构造l=f(2)=f(2)2(f(x)+f(4-x)),结合定义可得出f

(x)只能为1才满足题意.

【解答】解：①f(x)=2x~,Xi,X2@,

X1+X2(X1+X2)21之之

Af(~~2-)=2,2=xl+x2,

X1+X21

显然有f(―2~)故在上具有性质P,故正确；

②中，反例：f(x)=-X在上满足性质P,但f(x2)=-X?在上不满足性质P,故②错

误；

③中，反例：f(X)Kx<3；f(x)=2,x=3在上满足性质P,但f(x)在

上不是连续函数，故③不成立;

④中f(x)在x=2处取得最大值1,

x+(4-x)1

•.T=f⑵=f(2)W'(f(x)+f(4-x)),

Af(x)+f(4-x)22,

Vf(x)Wl,f(4-x)Wl,

：.f(x)=1,xG,故正确；

故答案为①④.

【点评】考查了新定义类型的抽象函数，应紧扣定义，可用反例法排除选项.

12.函数式1rD的定义域是.

参考答案：

(138)

【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知

识.

【知识内容】函数与分析/函数及其基本性质/函数的有关概念.

【试题分析】依题意可知，x-]>0,即X>1,所以函数/=1,式K-D的定义域为

0网

/(x)=aiin2x4-coa(2x+—)

13.已知函数3的最大值为1,则“=.

参考答案：

。或小

2+1?

14.若实数小》、加满足且・则加的值为.

参考答案：

〃、［7.xSl

15.已知函数卜乂x>l,^.-(x)=2>则

x-.

参考答案：

log}2

16.函数/(工)是定义在公上的奇函数，对任意的x【死满足且当

时，/任卜产，则/(，均+/{)=.

参考答案：

6

17.已知函数/(*)=2hxr在点(1,1)处的切线与曲线，=9-2r+a相切，则。的值为

_______a

参考答案：

6.

【分析】

,二4/一3

先求出切线方程为y=4x-3,再联立［y=7-2x+a,由A-•得解.

2

【详解】由题意得，9则切线的斜率*・/。)・4,

则切线方程为2=4(*-1),即y=41-3,

JF=4X-3

联立1/='一如+，得6x+a+3=0,

由A=%*a+3)=0得a=6

故答案为：6

【点睛】本题主要考查导数的几何意义，考查切线方程的求法，考查直线和曲线的位置关

系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(12分)

设“为实数，函数

/(x)=/+|x-a|+l,xeR

(1)讨论J*)的奇偶性；

(2)求了5)的最小值。

参考答案：

解析：(D当。=0时，函数/(-x)=(・力'+l-x|+1=/(力

此时，/(x)为偶函数

当awO时、〃0)=『+】，/(-a)=『+2|a|+l,

/⑷工/(-O),/⑷=-/(-«)

此时了(x)既不是奇函数，也不是偶函数

j(x)=x3-x+a+1=(x--)a+a+—•

(II)(i)当工£。时・，2A

a.

当’2,则函数/。)在(一8,旬上单调递减，从而函数/S)在(-8。】上的最小值

为了⑷=『+1

若0>5,则函数〃x）在s。】上的最小值为"?=彳+0,且受"⑷.

aJ

,、-u/（x）=x+x-a+l=（x+l）-a+2

（ii）当xNa时，函数24

1131

若则函数/（X）在（"»，<»】上的最小值为‘"m二，.。，且‘"PS'⑷

_2

若“2,则函数/*）在〔4板）上单调递增，从而函数/⑶在⑷田）上的最小值

为了⑷=/+1

“S二2

综上，当一5时，函数,a）的最小值为

1/1

・一<a0—1

当2―2时，函数的最小值为『+1

当”>5时，函数J。）的最小值为

19.已知/“）=丫1叽/）=#7+4

（1）当a=2时，求函蜘=g（x）在10，3］上的值域；

⑵求函数〃x）在口」+2］。>。）上的最小值；

⑶证明：对一切xeQ+co）,都有"s'~；成立

参考答案：

1,,3

yv-(X-1)+—

解：⑴⑻7=22,xe[o,3]1分

37

当x=i时，g&（x）=g6=2；当x=3时，g』a）=g0=5

g(x)

故值域为

................3分

(2)/'(x)=hx+1,当足气)，(Ax)<Q,/(x)单调递减，当X€(；.2)

/W>o,/(x)单调递

增.・・・・・・

......................5分

0</+2<-

①无

解;6分

0</<-</♦20ct<-

②Q即。时,ee................7分

③产"K艮产工时，/(力在1"+2]上单调递增，/。).=0=/叫8分

所以

0</<-

/ln41之一

e................9

分

(3)g(x)+1=x.所以句题等价于证胴xlnx>：■二(xwQxo)).由(2)可知/(x)-xlnx(x€(0,+<©))

**

的，值是-1,当且仅当x・l时取H,u分

99

设，(])■1-3(了W(Q.4CO)),则/白)・!_^,易⑴当且仅当1・1时取到，从而对

999♦

一切xw((1tg).晶有xlnK>幺.2成立.............]4分

略

14_

20.已知a+b=l,对?a,b£(0,+°°),a+b212x-11-|x+lj恒成立,

1_4_

(I)求a+b的最小值;

(II)求x的取值范围.

参考答案：

【考点】7G：基本不等式在最值问题中的应用；3R：函数恒成立问题.

1_4_

【分析】(1)利用“1”的代换，化简&+E,结合基本不等式求解表达式的最小值;

(II)利用第一问的结果.通过绝对值不等式的解法，即可求x的取值范围.

【解答】解：(I)Va>0,b>0且a+b=l

.金告(a+b))=54T>5+2后苓=9

当且仅当b=2a时等号成立，又a+b=l,即时，等号成立，

故ab的最小值为9.

(II)因为对a,be(0,+8),使ab^111।恒成立，

所以|2x-1|-x+l|W9,

当xW-1时，2-xW9,-7WxW-1,

当2时，-3xW9,2,

当x>1时，x-2<9,,3x91,

二-7<xWll.

21.在等差数列｛%｝中，■=>/<,在正项等比数列｛d｝中，*%与■,+5.

(1)求｛%｝与｛b｝的通项公式;

(2)求数列kSJ的前〃项和C.

参考答案：

⑴4=>[⑵^=u(jri)or

【分析】

(1)利用等差数列、等比数列的通项公式即可求出；

(2)利用错位相减法和等比数列的前n项和求和公式即可求出。

【详解】（1）等差数列（%>的公差设为4'=】，,=4,

可得l+3d=4,即

在正项等比数列｛4)的公比设为外型>°,

g'=%=4

bi=Oj-2,匕=4〃=S,可得％,即0=2

二4=222=21

1

(2)耳=11,22+34♦…+HZ>

2S■-]2124132,,

两式相减可得♦户"2・一1^1一*,

化简可得

【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“错位相减法”和等比数列的前n项

和求和公式。熟练掌握等差数列、等比数列的通项公式是解题的关键。

C—+=1（<2>>0）

22.在平面直角坐标系久Qy中，已知椭圆c：a2b3的左焦点为

玛QL°）,且椭圆c的离心率°-5.

（1）求椭圆c的方程；

（2）设椭圆C的上下顶点分别为Q是椭圆C上异于的任一点，直线。4•02

分别交X轴于点S,T,证明：匕区中R为定值，并求出该定值；

⑶在椭圆c上，是否存在点好（加㈤，使得直线‘：""+?=2与圆0/+"*-=亍"相

交于不同的两点A、B,且AOAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的AOAB

的面积若不存在请说明理

"=1•

.解：（1）由题章.解得：“=2.〃=偌

=分+/・

由.

参考答案:

•的以油回C：：一，1；.......................................................................................................................（4分）

C?＞山（I＞可知人11,而八N«!.而,设Q（，,，*）.

.5.式QA|：;»•73=*^—,•令