小升初数学冲刺复习讲义

第一讲图形面积本次阴影专题是在阴影专题〔一〕的根底上加深对三角形的认识，再引入圆形阴影局部。1、r2的运用涉及圆的面积有：圆的面积公式S圆=r2；扇形面积公式S扇=r2“月牙形〞面积公式S月牙=0.285r2；“风筝形〞面积公式S风筝=0.215r2通过以上公式，我们发现一个共同的特点，即在计算圆的阴影面积时，从本质上讲，我们不用求出r的值，只要求出r2是多少，把r2作为一个整体，即可求解。这是学习圆的阴影面积时首先需要掌握的。2、割补法学习圆的阴影面积时，有一个解题方法非常重要，它是“割补法〞。很多看似无法解的问题，运用割补法，解起来非常巧妙、简洁。3、“容斥〞原理在例题中讲解。总体看，与三角形相比，求圆的阴影面积，变化不多，题型较为简单。因此本讲仍将把三角形阴影面积的求法做为学习重点，继续运用“等底等高，高相等底倍数〞的方法解题，到达熟练掌握的程度，同时学习用代数法、等分法、旋转法、割补法、填补法等方法解题。[关键词]：r2的运用割补法代数法例1、如图，三角形ABC的面积是1平方厘米，且BE=2EC，F是CD的中点。那么阴影局部的面积是多少平方厘米？例2、如图正方形ABCD的边长为10cm，EC=2BE，求阴影局部面积？例3、H如图正方形边长10厘米，E、F、HH例4、如图：有一张斜边为22厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边为36厘米例5、如下图四边形ABCD，线段BC长为6厘米，角ABC为直角，角BCD为135o，而且点A到边CD的垂线AE的长为12厘米，线段ED的长为5厘米，求四边形例6、有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠放，如下图。露出局部中红色面积是20，黄色局部是14，绿色局部是10，那么正方形盒子的面积是多少？例7、如图⑴把线段OA绕点O向右旋转90°，图中阴影局部即为OA扫过的面积。如图⑵AB=6，BC=2，AC=5，把三角形ABC绕点B向右旋转90°，AC边必扫过一个局部。⑴请画出三角形ABC旋转后的图形，并用阴影表示AC边扫过的面积。⑵求出阴影局部的面积。综练：1、把△ABC的BA边延长一倍到D点，CB边延长两倍到F点，AC边延长三倍到E点，连接DE，EF，FD得到△DEF，△DEF是△ABC面积的几倍？2、三角形ABC的面积是36平方厘米，AC长8厘米，DE长3厘米，求阴影局部的面积。3、如图：长方形中，求阴影局部的面积。〔单位：cm〕4、计算如图四边形的面积。5、如图，边长是10厘米和14厘米的两个正方形并放在一起，三角形ABC〔阴影局部〕6、如图：把正方形的一组对边平均分成4等分，B、C为四等分点，连接AB、BC；再把AB、BC分别平均分成4等分，D、E为四等分点，连接CD、DE；再把CD四等分，F为四等分点，连接EF。假设正方形边长为16厘米，求三角形DEF的面积。7、用两条直线把某三角形分割为4块，其中3块的面积如下图为：3、7、7，请问标问号那局部的面积是多少？8、小圆半径是大圆直径的，小圆面积是5cm2，大圆面积是多少平方厘米？9、求阴影局部的面积。〔用a、b表示，=3〕10、求图中阴影局部的面积。〔单位：厘米π=3.14〕11、半径为7个单位的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中AB弧与AD弧是四分之一圆，而BCD弧是一个半圆，那么此区域面积是多少平方单位？12、如下图〔单位：厘米〕，阴影局部的面积是多少平方厘米？13、如图，大圆直径为30，4个小圆的直径都是大圆直径的一半，求阴影局部的面积。14、如图，有一个直径为3厘米的半圆，再将半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转60°，B点移到C点，阴影局部的面积是多少平方厘米？第二讲速算和巧算速算和巧算是数学学习中的一个重要内容，同学们也一定希望自己在计算时，算得正确迅速又合理灵活吧！那么怎样才能做到这些呢？首先必须掌握一些计算法那么，定律、性质和拆、拼等一些技巧性方法。其次是要整体观察题目，找出数据特点及它们之间的联系。三是联想一些相关的运算定律和性质，选择最正确算法，从而使较复杂的计算题能很快的计算出结果。例题1、计算：试一试1、例题2、计算：试一试2、计算：例题3、计算：试一试3、计算：例题4、试一试4、例题5、试一试5、例题6、试一试6、例题7、试一试7、例题8、试一试8、例题9、试一试9、综合练习：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、考查练习：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、第三讲分数应用题又如，“有一堆糖果，其中奶糖占，再放入16块水果糖后，奶糖就只占，这堆糖果原来共有多少块〞。分析单位“1〞时，我们发现与虽然单位“1〞都是糖果总数量，但前后两个糖果总数量已经改变，即单位“1〞不统一了。这样就要用不变的量作为单位“1〞进行解答。而此题中我们发现奶糖块数前后是不变的，可以把它确定为单位“1〞，即原来的糖是奶糖的，现在的糖是奶糖的，从而找出16块水果糖的对应分率，求出奶糖，进而求出问题。这种方法称为抓住不变量解题。再如：“合唱队共有84人，男生人数的与女生人数的共58人，问男女生各有多少人？〞此题中含有两个未知量，而他们各自的分率不同，所以84人就不能直接利用，这时我们可以假设男生也选出，这样男生女生人数的就是全班84人的，可以求出是84=63〔人〕，比实际58人多63—58=5〔人〕，分析原因可知这是男生分率减少导致的，从而可知5人的对应分率是－=，求出男生人数为5=40〔人〕，继而求出女生有44人。这种方法在五年级学习鸡兔同笼问题时采用过，称作假设法。从上面的讲解中，我门知道了在解答分数应用题时除了要熟练掌握常规解法外，还要灵活运用复原法，抓不变量，假设法等方法，这样你的分析能力，解题能力就会有很大的提高。[关键词]：方程法倒推复原法抓住不变量转化单位“1”例1、食堂有一篮鸡蛋，第一天吃了，第二天吃了剩下的，第三天吃了第二天剩下的，这时篮中还有6个鸡蛋，那么，原来篮中共有鸡蛋多少个？例2、例3、红星小学五年级学生中男生占，后来又转来了15名男生，这样男生占到五年级总人数的，五年级原来有学生多少人？例4、有一堆苹果和一堆梨，苹果的和梨的放在一起是21千克，苹果的和梨的放在一起是23千克。那么，苹果有多少千克？例5、小红看一本科技书，看了3天，剩下66页，如果用这样的速度看4天，就剩下全书的，这本书有多少页？例6、王先生、李先生、赵先生、杨先生四个人比年龄，王先生的年龄是另外三人年龄和的，李先生的年龄是另外三人年龄和的，赵先生的年龄是其他三人年龄和的，杨先生26岁，你知道王先生多少岁？例7、某班一次集会，请假人数是出席人数的，中途又有一人请假离开，这样一来，请假人数是出席人数的，那么这个班共有多少人？综练：1、李师傅加工一批零件，第一天加工了全部零件的，第二天又加工了余下零件的，这时还剩下36个，这批零件共多少个？2、3、一瓶酒精，第一次倒出，然后倒回瓶中40克，第二次再倒出瓶中酒精的，第三次倒出180克，瓶中还剩下60克，原来瓶中多少克的酒精？4、一袋米第一次取出又千克，第二次取出剩下的又千克，第三次取出剩下的又千克，袋里还剩1千克，这袋米原重多少千克？5、三只猴子分桃子。第一只猴子分到全部的多2个，第二只猴子分到余下的少4个，第三只猴子分到20个，共有多少个桃子？6、甲、乙、丙三人共有220元钱，甲拿出一些给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加1倍；乙又拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加1倍；丙又拿出一些钱给甲和乙，使甲、乙的钱数比原来也增加1倍。结果，丙的钱数是乙的2.5倍，乙的钱数又是甲的一半，那么三人原来各有多少元钱？7、甲、乙两个粮食仓库，甲仓库存粮是乙仓库的，如果从乙仓库调50吨到甲仓库，甲仓库存粮是乙仓库的，甲仓库原存粮多少吨？8、一杯盐水，盐占盐水的，再参加26克盐后，盐占盐水的，原来盐水有多少克？9、五年级一班和二班共有学生96人。抽一班人数的，二班人数的，组成66人的鼓号队。五年级一班和二班各有学生多少人？10、由于浮力作用，金放在水中称量，其重量减轻了；银放在水中称量，其重量减轻了。有一重500克的金银合金，放在水中称量，其重量减轻了32克，这块合金中含金多少克？11、梨和苹果共140个，卖出梨的和7个苹果后，梨和苹果的个数相等，梨和苹果原来各有多少个？12、幼儿园大班人数是小班的，老师给他们发画片，大班每人发17张，小班每人发13张，结果小班比大班多发126张，小班有多少人？13、甲、乙两人共有人民币108元，甲用去了自己钱数的，乙用去了自己钱数的，两人剩下的钱数相等，乙原来有多少元钱？14、有两堆煤，第一堆运走了它的，第二堆运走了它的，两堆剩下的合在一起相当于第二堆的。如果两堆原来共有105吨，那么两堆煤原来各有多少吨？15、甲、乙、丙三所学校共有学生2900人，如果甲校学生减少，乙校学生增加14人，那么三校学生数相等，甲、乙、丙三校各有学生多少人？16、有两只桶，共装油44千克，第一桶里倒出，第二桶里倒入2.8千克，那么两只桶内油量相等。原来每只桶各装油17、四个工程队合修一条路。第一队修的是另外三个队总数的，第二队修的是另外三个队总数的，第三队修的是另外三个队总数的，第四队修了104米，这条路长多少米？小丽看一本书。早上看了一些，已看的页数是剩下的，中午她又看了8页，这时已看的页数是未看的，这本书共有多少页？19、希望小学六年级三个班捐款，一班捐款是另两个班的，二班捐款是另两班的，三班比二班少捐57元，问三个班共捐多少元?20、某班学生缺勤的人数是出勤人数的，后又有一名学生请假，于是出勤人数是缺勤人数的17倍。这个班一共有学生多少人？21、职工食堂三天用完一桶油，第一天用去了9千克，第二天用去余下的，第三天用去的正好是这桶油的一半，这桶油共多少千克？考题：1、多少块？2、有两堆煤，第一堆比第二堆重60%，那么第二堆比第一堆轻%3、某校五年级举行语文和数学竞赛，参加竞赛人数占全年级总人数的40%，参加语文竞赛的人数占竞赛人数的，参加数学竞赛的人数占竞赛人数的，两项都参加的有14人。那么该校五年级共有学生多少名？4、三种动物赛跑，狐狸的速度是兔子的，兔子的速度是松鼠的2倍，1分钟松鼠比狐狸少跑14米，那么半分钟兔子比狐狸多跑多少米？5、水果店运进两筐苹果共65千克。如果将甲筐苹果的装入乙筐，这时，甲、乙两筐苹果的重量比是7:6。甲、乙两筐各有苹果多少千克？6、有甲、乙、丙、丁四桶酒，先把乙中的倒入甲，再把丙中的倒入乙，再把丁中的倒入丙，这时，四桶中的酒都是30升，求每桶原来各装酒多少升？7、修一段路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下的，还剩500米，这段公路长多少米？8、小明和小红共有50张邮票，如果小明拿出给小红，小红再拿出给小明，这时小明和小红的邮票的比是7:3，小明、小红原来各有邮票多少张？9、某校六年级男生人数是女生的，后来转走了3名女生，转进了2名男生，这时男生人数是女生人数的。六年级现在男、女生各有多少人？10、农贸市场上，一个个体菜贩运来西红柿和茄子共385千克。西红柿卖掉，茄子卖掉后，剩下的两种菜质量相等。求运来西红柿和茄子各多少千克？第四讲行程问题我们把研究路程、速度、时间这三者之间关系的问题称为行程问题。行程问题主要包括相遇问题和追及问题。相遇问题和追及问题常见的数量关系有：相遇路程＝速度和×时间追及距离＝速度差×时间例题1、东西两镇相距20千米，甲、乙两个人分别从两镇同时出发相背而行，甲每小时行的路程是乙的2倍，3小时后两人相距56试一试1、甲、乙两城相距472千米，两辆汽车分别从两城同时相对开出，一辆汽车每小时行58千米，比另一辆汽车每小时少行2例题2、王欣和陆亮两人同时从相距2000米的两地相向而行，王欣每分钟行110米，陆亮每分钟行90米，如果一只狗与王欣同时同向而行，每分钟行500米，遇到陆亮后，立即回头向王欣跑去，遇到王试一试2、丽丽放学回家，在离家280米时，妹妹和小狗一起向她跑去，丽丽的速度是每分钟50米，妹妹的速度是每分钟40米，小狗的速度是每分钟200米，小狗遇到丽丽例题3、甲、乙两人在环形跑道上以各自的不变速度跑步，如果两人同时同地相背而行，乙跑4分钟两人第一次相遇，甲跑一周要6分钟，乙跑一周要多少分钟？试一试3、赵杨和李华在周长400米的环形跑道上练长跑，两人从一点朝相反方向跑，从第一次相遇到第二次相遇经过了50秒。赵杨每秒跑5例题4、甲、乙两人骑车同时从东、西两地相向而行，8小时相遇。如果甲每小时少行1千米，乙每小时多行3千米，这样经过7小时就可以相遇，东、西两地相距试一试4、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前进，那么4小时相遇。如果两人各自都比原方案每小时少走1千米，那么5小时相遇。那么A、B例题5、甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地60千米处第一次相遇，各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地40千米处相遇。A、试一试5、甲、乙两辆汽车分别从A、B两地相对开出。甲每小时行40千米，乙每小时行45千米，甲、乙两车第一次相遇后继续前进，甲、乙两车各自到B、A两地后，立即按原路原速返回，两车从开始到第二次相遇共行6小时，那么A、例题6、小王和小李同时从A、B两地相向而行，小王每小时行4千米，小李每小时行3千米，两人在距中点2千米处相遇。A试一试6、王海和张亮同时从家出发相对而行，两人在距两家中点80米处相遇，王海每分钟行38米，张亮每分钟行例题7、甲、乙两人分别从相距24千米的两地同时同向而行，甲骑自行车每小时行13千米，乙步行每小时走试一试7、小王步行每分钟行60米，12分钟后，小李骑车去追他。如果要在5分钟内追上小王，小李每分钟应行多少例题8、甲、乙二人同时从A地去B地。甲每分钟走60米，乙每分钟走90米，乙到达B地后立即返回，在离B地180米处与甲相遇，A、B试一试8、兄妹二人同时从家去学校。哥哥每分钟走80米，妹妹每分钟走65米，哥哥到学校后发现忘带课本，立即沿原路返回，在距学校例题9、甲、乙、丙三人行的速度分别是每分钟30米、40米、50米，甲、乙在A地，丙在B地同时相向而行，丙遇到乙后10分钟和甲相遇。求A试一试9、甲、乙、丙三人行走的速度分别为每分钟30米、40米和50米。甲、乙在A地，丙在B地同时相向而行，丙遇到乙后15分钟和甲相遇，求A综合练习：1、甲、乙两车分别从相距480千米的A、B两城同时出发，相向而行，甲车从A城到B城需要6小时，乙车从B城到A城需12小时，两车出发后多少小时相遇？2、A、B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米，一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发，向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。这样一直飞下去，燕子飞了多少千米，两车才相遇？3、小冬和小刚两人在环形跑道上以各自不同的不变速度跑步，如果两人同时从同地相背而行，小刚跑6分钟后两人第一次相遇，小冬跑一周要8分钟，小刚跑一周要几分钟？4、甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，6小时后相遇。甲车从A地到B地要9小时，乙车从A地到B地要几小时？5、小明骑摩托车，小军骑自行车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，5小时相遇。小军从甲地到乙地要15小时，小明从乙地到甲地要几小时？6、甲、乙两人同时分别从两地骑车相向而行，甲每小时行20千米，乙每小时18千米。两人相遇时距全程中点3千米7、解放军某部从营地出发，以每小时6千米的速度向目的地前进，8小时后部队有急事，派通讯员骑摩托车以每小时548、小华和小亮的家相距380米，两人同时从家中出发，在同一条笔直的路上行走，小华每分钟走65米，小亮每分钟走9、甲、乙二人同时从A地去B地，甲每分钟走60米，乙每分钟走90米，乙到达B地后立即返回，在离B地180米处与甲相遇。A10、甲、乙、丙三人，甲每分钟走60米，乙每分钟走67米，丙每分钟走73米，甲、乙从南镇，丙从北镇同时相向而行，丙遇乙后考查练习：1、A、B两地相距900米，甲、乙两人同时从A去B，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米，当甲到达B2、甲、乙两车分别从相距285千米的两地同时出发，相向而行3小时相遇。，甲车比乙车每小时多行5千米，求甲、乙两车的速度3、一条环形跑道长400米，小强每分钟跑300米，小星每分钟跑4、甲、乙两人绕周长为1000米的环形广场竞走，甲每分钟走125米，乙的速度是甲的2倍，现在甲在乙后面5、甲、乙两人同时从正方形花坛〔如图〕的A点出发，沿着花坛的边上走，甲顺时针每分钟行40米，乙逆时针每分钟行45米，两人在距C点56、龟兔赛跑，全程2000米。龟每分钟爬25米，兔每分钟跑300米，兔自以为速度快，在途中睡了一觉，结果龟到终点时兔离终点7、甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，相遇时距A地128米，相遇后继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地150米处再次相遇。A、8、A、B两车同时从甲、乙两站相对开出，两车第一次在距甲站50千米处相遇。相遇后继续前进，各自到达乙、甲两站后立即返回，第二次距乙站30千米处相遇。甲、乙两站相距多少千米？9、甲骑自行车每小时行15千米，乙步行每小时行5千米，如果两人同时同地同一方向出发，甲行20千米10、甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶3小时到达B地，乙车每小时行45千米，A、B两地相距多少千米？第五讲百分数应用题本讲百分数应用题主要学习盈利问题小明的爸爸和小亮的爸爸最近心情都不错，因为快到夏天，他们的生意越来越好做了。小明的爸爸是销售空调的，现在咨询的人是络绎不绝。小亮的爸爸经营超市，矿泉水的销量不错。小明问小亮：“矿泉水怎么卖呢？〞小亮说：“我爸爸销售的矿泉水，进价1元，卖1.2元。〞小明神气地说：“那可比我爸爸差远了，我爸爸空调进价3000元，卖3500，每台就赚500元呢！〞你认为应该如何比拟谁赚的更多呢？小亮爸爸每瓶矿泉水赚0.2元和小明爸爸每台空调赚500元，叫利润。但他们投入的本钱不同，如果按投入的本钱相同计算，小亮爸爸投入3000元，可售3000÷1×1.2=3600元，获利3600－3000=600元，比小明爸爸赚的多。因此，从事商业活动，除了要看所赚的钱数，即利润大小，还要看利润占所投资比例的大小，我们将后者称为利润率，一般用百分数表示。下面我们来学习一些常用概念：商品进价：购进这种商品的价格，也叫本钱价，买入价等。商品标价：出售商品时标出的价格，也叫定价。商品售价：出售商品时的实际价格，也叫卖出价或卖价。折扣=%打折后的商品，售价=标价×折扣在学习利润问题时，题目中经常会出现求利润率及求本钱的问题，因此以下两个公式非常重要：利润率=%本钱=售价÷〔1＋利润率〕为了方便记忆以上两个公式，一是要联系生活中的实际例子来记，二是通过找准单位“1〞来记。你知道以上两个公式中的单位“1〞分别是谁吗？[关键词]：利润率本钱假设法服装店方案采购一批服装销售，按20%的利润定价销售，每件正好60元。采购时，这种服装进价降低了20%，如果商店仍按20%的利润定零销售价，每件应是多少元？例4、一件衣服进货价80元，按标价打六折出售仍获52元利润，那么这件衣服打八折后可获利多少元？例5、有一种练习本，按40%的利润定价出售，当销售了80%时，对剩下的练习本降价出售，结果获利润是预定的86%，问剩下的练习本是按定价降了百分之几出售的？例6、某种商品按定价卖出可得利润960元，如果按定价的80%出售，要亏损832元，该商品购入价是多少元？例7、某商品按定价出售，每个可以获得45元钱的利润。现在按定价打8.5折出售8个，所获得的利润与按定价每个减价35元出售12个所获得利润一样。问这一商品每个定价是多少元？张先生向商店订购了每件定价100元的某种商品80件。张先生对商店经理说：“如果你肯减价，那么每减价1元，我就多订购4件。〞商店经理算了一下，假设减价5%，那么由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元。问：这种商品的本钱多少元？例9、某商场按如下规定对顾客实行优惠：①假设一次购物不超过200元，那么不予优惠；②假设一次购物超过200元，但不超过500元，按标价给予九折优惠；③假设一次购物超过500元，其中500元按第2条规定给予优惠，超过500元局部给予八折优惠。某人两次去购物，分别付款168元与423元，如果他把这两次购置的商品一次购置，那么应付多少元？综练：1、商店以每双13元购进一批凉鞋，售价为14.8元，卖到还剩5双时，除去购进这批凉鞋的全部开销外，还获利88元，问这批凉鞋共多少双？2、一种服装每套标价600元，现降价出售。第一次打八折出售，每件仍能获利20%。售出100套后，对剩下的8套服装再打八五折出售，当全部售完后，商店共可获利多少元？3、同一种商品，甲店比乙店的进货价廉价10%。甲店按20%的利润定价，乙店按15%的利润定价，甲店的定价比乙店廉价11.2元，乙店的进价是多少元？4、一件衣服打6折后的价格是72元，那么这件衣服打8折后的价格是多少元？5、一商店把某商品按标价的九折出售，仍可获利20%。假设该商品进价为1980元，问该商品的标价是多少元？某商场在国庆期间商品展销，将一批电器商品降价出售。如果减去定价的10%出售，可获盈利320元，如果减去定价的25%出售，就会亏损250元，那么这批商品的本钱是多少元？7、某商店进了一批笔记本，按30%的利润定价，当出售这批笔记本的80%后，为了尽早销完，商店把这批笔记本按定价的一半出售，问销售完后，商店实际获得利润的百分数是多少？考题：1、甲、乙两种商品本钱共200元，甲商品按30%的利润定价，乙商品按20%的利润定价。后来两种商品都按定价的90%出售，结果获利润27.7元，甲、乙两种商品的本钱各是多少元？2、一个商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，假设该物品的进价为21元，那么每件的标价应为多少元？3、某商店将进价为600元的商品按标价的8折销售，仍可获120元的利润，问：商品的标价为多少元？5、一种火腿肠，人人乐超市比某小商店的进货价廉价10%，人人乐超市按20%的利润定价，这个小商店按15%的利润定价。结果人人乐超市的定价比这个小超市的定价廉价0.28元。问小商店的进价是多少元？6、小华和小明星期天去书店买书，小华说：“听说这里花20元办一张会员卡，买书可以享受八折优惠〞，小明说：“是的，我上次买了几本书，加上办卡的费用还省了12元呢〞，那么小明上次所买书籍的原价是多少元？7、一批服装在进价根底上加价80%后标价，尽管商家打折销售，但还是销售不畅。于是商家进行促销，实行一口特价，即：直接加价20%出售，结果销售量也增加20%，并保持销售总额不变，问商家原来销售时打的折为几折？第六讲比例应用题小亮看到小明手中最新款的“MP4〞，非常羡慕。小明说这是妈妈用这个月的奖金给他买的生日礼物。我们来看这样一组数据：由于小明妈妈发奖金，小明家的本月收入比小亮家多，小明家与小亮家收入钱数之比是8:5。小明妈妈给小明买了礼物后，小明家和小亮家开支钱数比是8:3，结果小明家只结余了720元，而小亮家却结余了810元钱。小明妈妈给小明买礼物花了全家本月总收入的，那么一个“MP4〞多少元？这道生活中的数学题，巧妙地融入了比和比例的知识，根据所设未知数不同，可以得到多种解法。1、根据“总收入－结余=支出〞的关系来解题①设小明家收入为x元，得出小亮家收入，减去各自结余，得到支出比，列比例等式解。②还可设小明家收入为8x元，那么小亮家收入为5x元，然后列等式。这种方法列等式计算比拟方便，但一定要注意，所得的x值并非最终结果，还要代入开始设的收入中进一步推出结果。2、这道题讲解了用方程法来解比例应用题的方法，在本讲中还有以下几个学习重点：第一、掌握比例应用题转化为分数应用题。六年级数学及思维提升学习始终是围绕“分数应用题〞来学习的，很多比例应用题要用到分数应用题的概念或实际就是分数应用题，所以学会熟练地将比例应用题转化为分数应用题是很多题解题的关键。第二、掌握将两个单比化为连比的方法。例如：甲﹕乙=5:6，乙﹕丙=5:7，求甲:乙:丙=。第三、学会正确判断正反比以及应用正反比解题。比例应用题中还有一些其他题型，如：按比例分配，解比例，用假设法解题等，这些内容也将在今后的学习中不断练习。[关键词]：比例化分数连比用比例解应用题假设法例1、小亮读一本故事书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读6页，这时已读的页数和剩下的页数比是9:11，小亮再读多少页就可以读完全书？例2、第一小学六年级分三组参加植树活动。第一组和第二组的人数之比是5:4，第二组和第三组的人数比是3:2。第一组人数比二、三组人数总和少15人，问六年级参加植树的共有多少人？例3、三人合买一台电视机，甲所付钱数的，恰好是乙所付钱数的，也恰好是丙所付钱数的。丙比甲多付了120元。那么，这台电视机多少元?例4、某校新生入学考试，参加考试的男、女生人数比是4:3。结果录取91人，其中男、女生人数比是8:5。未被录取的学生中，男生与女生人数比是3:4，问参参加学考试的学生共有多少人？例5、甲、乙、丙三位同学同时参加400米赛跑，自始至终保持匀速，结果甲得第一，当甲到达终点时，乙距终点还有30米，丙距终点还有50米综练：1、甲、乙、丙三数的和是2450，甲数的是乙数的，是丙数的，问甲、乙、丙三数各是多少？2、刘杰与王平8月份收入的钱数之比是8:5，8月份支出的钱数之比是8:3，月底刘杰结余800元，王平结余980元。8月份两人各收入多少元？3、亮亮、星星、明明三人去书店买书，他们共有54元。亮亮用了自己钱数的，星星用了自己钱数的75%，明明用了自己的钱数的，各买了一本《趣味数学》。那么亮亮和明明两人剩下的钱数共有多少元？4、一条路全长为30公里，分为上坡、平路和下坡三段，各段路程长的比是1:2:3，某人走各段路程所用的时间之比是4:5:6，他上坡的速度是每小时3公里，问此人走完全程共用多少小时？5、一间会议厅有的座位上坐了人，如果再坐进60人，那么已坐座位和未坐座位的比是4:1，这间会议厅有多少个座位？6、小明读一本书，已读和未读的页数比是1:5。如果再读30页，那么已读和未读的页数之比为3:5。这本书共有多少页？考题：1、一个车间有两个小组，一组与二组人数比是5:3，如果从一组调14人到二组，一、二组人数比变为1:2，求原来两组各多少人？2、一条绳子，第一次剪下全长的，第二次剪下的长度与第一次剪下长度的比是9:20，结果还剩7米，求这条绳子的长是多少米？:::5、甲、乙两个长方形的周长相等，甲长方形的长与宽的比是3:2，乙长方形的长与宽的比是7:5，那么甲、乙两个长方形的面积之比是多少？6、一批零件，甲独做比乙独做所需的时间多，如果两人合做，那么完成任务时乙比甲多做40个零件，这批零件有多少个？第七讲浓度问题我们在冲糖水喝时，一般采用“尝〞的方法来确定甜度，太甜了，加点儿水，不甜，就再加一些糖。可是在越来越标准化的今天，要求我们要采用更加科学的方法来度量甜度〔即“浓度〞〕，今天我们引进“浓度〞的概念。浓度=%〔如糖水中溶质就是“糖〞，“水〞是溶剂，总溶液是“糖+水〞〕解浓度问题，有一个普遍而又实用的方法，即“抓溶质，列等式〞。两种溶液混合形成新的溶液，新溶液中的溶质只能有一种来源，即来自原来两种溶液中，所以虽然我们对有些题还会找到更简洁的方法，但用列方程的方式，抓住溶液混合前后的溶质相等来列等式解题却是一个最根本，最需要掌握的方法。在我们已经能熟练掌握“抓溶质，列等式〞后，我们学习抓“不变量〞，利用溶质〔如盐，糖，纯酒精，苹果干等〕不变，或溶剂〔如水〕不变来更快捷地解题。解题原理是利用分数应用题中“分量÷对应分率=单位‘1’的量〞的方法来解。抓“不变量〞是解浓度问题的常用方法之一，更是对分数应用题学习的深化。[关键词]：抓溶质，列等式抓“不变量〞例1、浓度是20%的盐水50千克，再参加30例2、浓度为25%的盐水60克，要稀释为浓度10%例3、有浓度25%的酒精溶液10千克与浓度50%的酒精溶液5例4、有含盐8%的盐水40千克，要配制成含盐20%的盐水需加含盐40%例5、有含盐8%和含盐5%的两种盐水，要配成含盐6%的盐水300克综练：1、2、100克浓度为25%的食盐水，假设想到达40%3、有含盐20%的盐水假设干千克，加清水30千克，含盐量变为5%，问原有盐水多少千克？5、现有浓度为10%的盐水20千克，再参加多少千克浓度为30%的盐水，可以得到浓度为22%的盐水？6、有含碘15%和含碘40%的两种碘酒，现要混合成含碘23%的碘酒30克7、有含盐15%的盐水20千克，要使盐水的浓度变为20%，需加盐多少千克？第七讲圆柱与圆锥按照数学学习规律，在学完图形的“面〞后，自然要学习“体〞的概念。圆柱的体积公式与长方体体积公式一致，也是底面积乘高。圆柱的外表积包括圆柱的两个底面积和圆柱的侧面积。底面积即圆的面积，侧面展开是一个长方形，它的面积是底面周长乘高。圆锥只掌握体积公式。圆锥体的体积是与它等底等高的圆柱体体积的。V圆柱＝sh＝r2hV圆锥＝sh＝r2hS圆柱表＝2S底＋S圆柱侧＝2r2＋2rh[关键词]：圆柱、圆锥体积公式圆柱外表积公式例1、一个圆柱和一个圆锥底面周长的比是3:4，它们体积的比是9:7，圆锥与圆柱高的最简单的整数比是例2、在一个底面半径是30厘米的圆柱形储水桶里，浸没着一个高为24厘米的圆锥形实物，当把这个实物从储水桶中取出时，桶里的水面下降了例3、一段圆柱体木料，如果截成两个小圆柱体，它的外表积增加6.28平方厘米；如果沿着直径劈成两个半圆柱体，它的外表积将增加80平方厘米，求原圆柱体的外表积。例4、例5、如图，一个物体由三个圆柱组成，它们的底面圆半径分别为1.5分米，3分米，5分米，而高都是2分米，那么这个物体的外表积是多少平方分米？综练：1、一块直角三角板，两条直角边的长度分别是4cm和3cm，分别绕两条直角边旋转一圈，都可以得到一个圆锥体，这两个圆锥体的体积比是几比几？2、一个圆锥与一个圆柱的体积之比是1:2，底面积之比是3:4，圆柱的高是9厘米，求圆锥的高是多少厘米？3？4、一个圆锥的高12厘米，体积是40立方厘米，比与它同底的圆柱体积少20立方厘米，这个圆柱的高是多少厘米？5、有两个边长为8厘米的正方体盒子。A盒中放入直径为8厘米、高为8厘米的圆柱体铁块一个，B盒中放入直径为4厘米、高为8厘米的圆柱体铁块四个。现在A盒注满水，把A盒的水倒入B6、打谷场上有一堆圆锥形的稻谷，底面周长18.84米，高1.5米，把这堆稻谷装入一个内直径第八讲最正确方案小红的妈妈出差去了，双休日赶不回来。而这天一早，爸爸又到单位加班。小红想：今天我可要好好“表现表现〞给出差的妈妈和加班的爸爸一份惊喜。她方案用20分钟擦玻璃，用15分钟整理书房、用30分钟淘米、洗菜，45分钟的时间用全自动洗衣机洗衣服〔包括先搓领口和放水的时间〕，用10分钟晾衣服、用8分钟烧水，把这六件家务活加起来一共要用128分钟的时间。可聪明的小红只用了75分钟就干完了所有的活。你知道小红是怎样安排这六件家务事的呢？完成同样一件事，有时会有几种方案，如果能够找到一种方案，使所用的时间最少，或所耗的费用最少，或所需的人数最少等等，这种方案就是最正确方案。统筹规划是专门研究“最优化〞问题的；列举比拟也能够比拟出一些方案的优劣；还可以运用渐进法，逐渐接近最优；另外，我们还可以想“极端〞，从而得出最正确方案。[关键词]：统筹规划极端法列举比拟渐进法例1、在一条公路上，每隔100千米有一座仓库〔如图〕，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量。现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费1010吨30吨20吨10吨60吨ABCDE例2、有一个水塔要供给某条公路旁的6个居民点用水〔如图，单位：千米〕，要安装的水管有粗细两种，粗管足够供给6个居民点用水，细管只能供给1个居民点用水，粗管每千米花费7000元，细管每千米花费2000元。粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？例3、某厂车队有3辆汽车给A、B、C、D、E五个车间组织循环运输，如图标出的数是各车间所需装卸工人数，为了节省人力，让一局部装卸工跟车走，最少安排几名装卸工就能保证各车间需要？例4、某种健身球由一个黑球和一个白球组成一套。两个车间都生产这种健身球，甲车间每月用的时间生产黑球，的时间生产白球，每月生产270套；乙车间每月用的时间生产黑球，的时间生产白球，每月生产300套。现在两个车间联合起来生产，每月最多能生产多少套健身球？综练：1、学校要买60个足球，王老师去了三个店，他们都有不同的促销方式：甲店的政策是：买10个免费送2个，不满10个不赠送；乙店的政策是：打八折销售；丙店的政策是：购物满200元，返还现金30元。三个店的足球单价都是25元，你认为王老师到哪个店买合算？为什么？2、小刚骑在牛背上，赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，过河依次需1、2、5、6分钟。如果每次只能赶两头牛过河〔包括小刚骑的牛〕，要把四头牛都赶到对岸去，最少需要多少分钟？3、甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用时间生产上衣，时间生产裤子，共生产448套衣服〔每套上衣、裤子各一件〕；乙厂每月用时间生产上衣，时间生产裤子，共生产720套衣服。两厂合并后，每月最多可以生产多少套衣服？4、某电视机厂要印制产品宣传资料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费。印制800份宣传材料，选哪家印刷厂比拟合算？电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂比拟合算？印制多少份时，两家收费相同?根据以上计算，你认为什么条件下选择甲厂？什么条件下选择乙厂？5、某工厂生产某种产品很畅销，但在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米方案一：工厂污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损消耗为30000元；〔1立方米的水重1方案二：工厂将污水排到污水厂统一处理，每处理1立方米污水需14⑴如果每个月该厂生产过程中共产生污水3000吨，那么应采用哪种污水处理方案合算？⑵如果每个月该厂生产产品3000件，那么应采用哪种污水处理方案合算？第十讲综合应用题应用题有简单应用题和复合应用题两类，复合应用题又分一般应用题和典型应用题。一般应用题往往是有两组或两组以上的数量关系交织在一起，有的条件是间接的，数量关系比拟复杂，表达的方式和顺序也比拟多样。因此，一般应用题没有明显的结构特征和解题规律可循。解答时可以按下面步骤进行：1、弄清题意，找出条件和所求问题；2、分析条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径；3、拟订解答方案，列出算式，算出得数；4、检验解答方法是否合理，结果是否正确，最后写出答案。分析一般应用题的思路多种多样，概括起来分为：一般解题思路和特殊解题思路。一般解题思路有两种：〔1〕综合法：从条件出发，逐渐推出所求问题。〔2〕分析法：从问题出发，找出必须的两个条件。特殊的解题思路有以下几种：〔1〕图解法：利用各种图形来分析解容许用题的方法。〔2〕代替法：根据题里所给条件，用一个未知数量代替另一个未知数量，从而找出解题途径。〔3〕逆推法：从最后结果出发，根据题目中的条件一步一步逆向推理，逐步靠拢条件，从而解决问题。此外，类比法、假设法、划归法等等也是特殊的解题思路。例1、六个同学有同样多的存款，假设每人拿出15元捐给“希望工程〞后，六位同学剩下的钱正好等于原来4人的存款数，原来每人存款多少元？试一试1、五年级有5班，每班人数都相等。从每班选20人参加集体舞排练，剩下的同学相当于原来3个班的人数，原来每个班多少人？例2、张新，纪伟和林凡三人外出活动，张新带了5个面包，纪伟带了4个同样的面包，林凡没带面包，中午三人将面包平均分吃了，林凡按市价拿出5.4元。张新、纪伟各得多少元？试一试2、六一儿童节同学们做彩花，小明买来8张彩纸，小红买来10张同样的彩纸。老师把这些纸平均分给小明、小军和小红三位同学，结果小军付给老师12元。问老师应把12元怎样分给小明和小红？例3、王师傅原方案每天做50个零件，实际每天比方案多做20个，结果提前6天完成任务。王师傅一共做了多少个零件？试一试3、机床厂生产一批机床，原方案每天生产15台，实际每天比原方案多生产5台，这样比原方案提前4天完成任务。这批机床一共有多少台？例4、把一根竹竿插入水底，竹竿湿了50厘米，然后将竹竿倒转过来插入水底，这时，竹竿湿的局部比它的一半长20试一试4、有一根铁丝，两头各截去15厘米，截去的局部比原来铁丝的长的一半短10例5、小李和小张二人加工零件。小李比小张每天多加工10个零件，小张中途休息了15天。40天后，小张所加工的零件个数正好是小李的一半。这时两人各加工了多少个零件？试一试5、甲、乙二人加工一批帽子，乙每天比甲多加工8个，中途甲因事休息了5天，20天后，甲加工的帽子正好是乙的一半，这时两人各加工了多少个帽子？例6、师、徒二人生产同一种零件，徒弟比师父早2小时开工，当师傅生产了2小时后，发现自己比徒弟少做了50个零件，二人又生产了3小时，师傅反而比徒弟多生产了10个。师、徒二人每小时各做多少个零件？试一试6、张明和李凡同时从A地去B地，前3小时内，张明因修车用去1小时，所以，李凡领先于张明5千米。又经过3小时，张明反而领先了李凡22综合训练1、把一堆砖平均分给6个小组运，当每组都运了120块时，正好剩下了这堆砖的一半，这堆砖有多少块？2、外出游泳时玲玲和明明拿出同样多的钱共买了6个汉堡包，中午发现红红没带食品，结果三人平分了这些汉堡包，而红红分别付给玲玲和明明3元，求每个汉堡包多少元？3、食堂准备了一批煤，原方案每天烧0.6吨，实际每天比原方案节约了0.1吨，这样比原方案多烧了2天，这批煤共有多少吨？4、两堆煤，第一堆21吨，第二堆15吨，5天内两堆煤烧掉同样多吨数，这样第一堆剩下的煤正好是第二堆所剩下煤的4倍。问5天中两堆煤各被烧掉了多少吨？5、师、徒二人承包一项工程，共得1200元，师傅工作了12天，徒弟工作了10天，且师傅4天的工资和徒弟5天的工资同样多。求二人各分得多少元？6、纪亮和李云同时打印一份稿件，前2小时内，纪亮因事外出了0.5小时，因此，李云比纪亮多打2000个字。又同时打印了2小时，纪亮与李云打印的总字数同样多。纪亮每小时打印多少个字？7、甲、乙两个粮店共存面粉92吨，从甲店调出28吨后，乙店存的面粉比甲店的4倍少4吨，两个粮店原来各存面粉多少吨？8、甲地有89吨货物要运到乙地，大卡车的载重量是7吨，小卡车的载重量是4吨，大卡车运一趟耗油14升，小卡车运一趟耗油9考查训练1、老师将一批手工制作材料平均分给四个小组制作，当每组制作6件时，发现剩下的材料数正好是原来每组分得的件数。原来每组分到几件制作材料？2、张师傅在水果市场买来7千克苹果，王师傅也买来同样单价的苹果5千克，在车间他们将所有苹果与李师傅平分，因此李师傅拿出3、汽车从甲地开往乙地，方案每小时行50千米，实际每小时比方案多行15千米，结果提前3小时到达。甲、乙两地的距离是多少千米？4、有一根铁丝，截去一半多10厘米，剩下局部正好做一个边长8厘米的正方形框架。这根铁丝原来长多少厘米？5、快车和慢车同时从A、B两地相对开出，快车比慢车每小时多行25千米。途中慢车因修车用了26、王新、陈冬二人加工一批零件。王新先花去2.5小时改装机器，因此前4小时王新比陈冬少做400个零件，又同时加工4小时后，王新总共加工的零件反而比陈冬多4400个。问王新、陈冬每小时各加工多少个零件？7、小兵和小强各要加工600个零件。他们同时开始加工，但小兵比小强早做完4小时，这时小强已做了400个零件，求小兵完成任务共需要几小时？8、甲城有177吨货物需要一次运到乙城。大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大、小卡车跑一趟的耗油量分别是10升和59、甲、乙两人以相同的速度加工一种零件，乙问甲现在加工了多少个，甲说：“当我完成你现在的个数时，你只加工58个，当你完成我现在的个数时，我已加工了154个。〞