大学物理(II)4守恒定律

§4-1动量守恒定律§4-2质点动量矩(角动量)守恒定律§4-3机械能守恒定律§4-4碰撞----守恒定律应用第四章守恒定律§4-1-1冲量与动量定理力对时间的累积效应。一.力的冲量：§4-1动量守恒定律二.动量定理：由得上式积分得：或合外力对质点的冲量=质点动量的增量。----动量定理的微分形式讨论：逆风行舟：

与的改变量相联系，而不是本身。航向风

变时，一般不与其方向相同。

或：

某一方向上的冲量只能改变该方向上的动量。

分量式：

形式不变性地面为参照系：汽车为参照系：对不同惯性系，动量不同，但动量定理形式不变。三.应用（1）求碰撞或冲击问题中变力的均值。（2）合理利用或减小冲力。t§4-1-2质点系的动量定理动量守恒定律一、质点系的动量定理质点系m1m2内力外力作用时间速度变化

合外力的冲量=

质点系动量的增量，与内力无关。由质点的动量定理：对m1：对m2：

对所有质点求和，且得：二、动量守恒定律则运动过程中,质点系所受合外力处处为零，系统动量守恒。

内力不会影响系统总动量，但可使动量在质点间转移。讨论：若

分量式：（当时）恒量（当时）（当时）恒量恒量

系统在某一方向上合外力处处为零时，此方向上动量守恒。而此时总动量不一定守恒。[例]RvMmV1/4圆弧槽质量为M，置于光滑水平面上，m自其顶点由静止滑下，求m滑到底时M移动的距离。解取M+m为一系统，水平方向动量守恒，问题：此距离与弧形槽光滑是否有关？三、火箭飞行原理---靠喷射气体时的持续反冲来推动前进。之后dt内，喷出dm,dm相对火箭速度为u

，dmuMv+dvv则在t+dt时刻，火箭质量t

时刻，火箭质量，速度速度火箭+喷射的气体的总动量守恒，四、变质量物体的运动(视为质点系)。则—变质量物体的动力学方程

设某物体在t时刻：

m

、另一质量元：dm

、在t+dt时刻：

dm与

m

合并，有作用，且在t~t+dt内，有(略去二次小量)

例

一辆装煤车以v=3m/s的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为：

m=500kg。若使车厢的速率保持不变，应用多大的力拉车厢？mdmxvF解：

设

m为t时刻车与车内煤的总质量。dm为dt时间内落

入车厢内的煤。t时刻,系统水平总动量：t+dt时刻,系统水平总动量：由动量定理：[例]质量m=1kg的小球作半径R=2m

的圆周运动，运动方程为(自然坐标)，求小球从到所受外力冲量大小和方向解：设P为计时起点时时圆周周长小球速度方向如图方向解：由冲量定义有[例]一质点受合外力作用，外力为求此质点从静止开始在2s内所受合外力的冲量和质点在2s末的动量(SI)根据动量定理解：水平方向上车和人系统动量守恒[例]质量为m的人由小车一端走向另一端，小车质量为M、长为l，求人和车各移动了多少距离?(不计摩擦)设车和人相对地面速度分别为和即设人在时间t内走到另一端人相对于车的速度为设m1：外力,内力有相加得m2：外力,内力一.质心§4-1-3质心、质心运动定理对n个质点的系统有----系统的动力学方程即设有其中----质心质量连续分布时在直角坐标系中有或[例]证明一匀质杆的质心位置C在杆的中点解：设杆长为l，质量为m，单位长度质量为建立如图的坐标系取线元dx质量得证或[例]一半圆形均匀铁丝，半径为R，求其质心位置解：建立如图的坐标系任取一小段铁丝dl，质量由对称性知质心在y轴上质心不在铁丝上，但相对于铁丝的位置是确定的[例]一半径为R的匀质圆盘，开了一半径为r的圆孔，两圆中心0、0’相距为d，求其质心解：建立如图的坐标系大盘质心坐标：O’等效为质量面密度为的无孔大盘和质量面密度为的小盘组合而成大盘：小盘质心坐标：小盘：O’

二.质心运动定理----质心运动定理在直角坐标系中(1)质心运动遵循与牛二定律相同的规律讨论

(2)质心为质点系的代表点，其上集中了系统的全部质量和合外力(3)当时即常矢量=常矢量----系统动量守恒定律(4)系统内力不改变质心的运动(5)质心和重心是两个不同的概念[例]水平桌面上有一张纸，纸上放一均匀球，球的质量为M=0.3kg。将纸向右拉时有f=0.1N的摩擦力作用在球上。求该球球心加速度和从静止开始的2秒内，球心相对桌面移动的距离解：质心：球心水平方向只受摩擦力作用根据质心运动定律有开始2秒内球心运动的距离为一.质点的动量矩（角动量）

一质点质量m，以在空间运动，若某时刻相对空间某点O

的位矢为，则定义此质点相对于O

的动量矩：o大小：方向：右手法则判定。§4-2质点的动量矩（角动量）及其守恒定律定义:作用在质点上的力相对参考点O的力矩，大小：方向：右手定则。o二.质点的动量矩守恒定律1.动量矩定理

将对t

求导，

作用于质点的F对O点的

=质点对O的随t的变化率。常矢量2.动量矩守恒定律当时，讨论:(1)动量矩是相对于参考点而言的对O’对O方向垂直向上不变大小大小方向不断变化(2)合力矩在某转轴上的分量为零时，质点系绕该轴的动量矩守恒(3)课堂练习：试分析小球的受力；对O点的动量矩、力矩。oo[例]证明：一个不受外力作用的运动质点，对任一固定点的动量矩保持不变解：质点作匀速直线运动设质点的质量为m，运动速度为相对于0=常矢量大小方向三.质点在有心力场中的运动

有心力：质点所受力始终指向某一固定点（力心），且力的大小只与质点到该点的距离有关。质点在有心力作用下运动，其动量矩守恒。力的作用线始终通过一点(力心)----对力心的力矩为零四.质点系的动量矩守恒定律----质点系的动量矩定理内力矩两两相消，即----动量矩守恒定律当时，=常矢量§4-3-1功一.功：力在位移方向上的分量与位移大小的乘积----元功或

由a

b：§4-3机械能守恒定律直角系中二.功率单位时间内力的功三.作用力和反作用力的功---只与相对位移有关与参考点的选择无关§4-3-2动能定理一.质点的动能定理

合外力对物体的功=物体动能的增量----动能定理定义：----动能二.质点系的动能定理由质点动能定理对m1对m2两式相加

所有外力和内力对质点系作功之和=质点系总动能的增量----质点系动能定理推广到n个质点的质点系[例]细绳一端拴质量m小球,另一端穿过水平桌面上的小孔O。先使小球在桌面上以v1沿半径为r1的圆周匀速转动，然后非常缓慢地将绳向下拉，使半径减小到r2。设小球与桌面的摩擦不计，求此时小球的速度以及拉力T对小球所作的功Tv1解：质点受到的所有力对O的力矩之和=0质点对O点的角动量守恒：因缓慢拉绳，可忽略球沿绳方向速度Tv1[例]质点m系在一端固定的绳子上，在粗糙水平面上做半径为R的圆周运动。当它运动一周时，速率vo

vo/2。求:(1)摩擦力的功;(2)滑动摩擦系数;(3)静止前质点运动了多少圈?解：与运动方向相反得设运动了n圈由动能定理：得(圈)

§4-3-3保守力势能

一.保守力保守力：作功只与物体始末位置有关，而与运动路经无关的力保守力沿任一闭合路径l保守力作功，可引入势能描述反之为非保守力(1)重力势能二.势能重力或定义

----重力势能则----重力作功=重力势能的减少则

重力势能零点选择可任意。若a点重力势能=将m由a移至零势能点时重力所作的功(2)弹性势能弹性力定义:----弹性势能则弹性势能零点：弹簧原长(x=0)(3)引力势能万有引力：定义:若引力势能零点：无穷远处(r

)----引力势能则

势能只有相对意义，势能之差有绝对意义。说明：只有保守力才能引入势能的概念。保守力的功=系统势能增量的负值，势能为系统拥有重力弹性力万有引力保守内力两物体间的摩擦力---非保守内力§4-3-4功能原理

机械能守恒系统的动能定理内力=保守内力+非保守内力其中----系统机械能系统外力作功+非保守内力作功=系统机械能的增量----系统的功能原理---机械能守恒定律当有[例]如图，质量为m的木块与弹性系数为k的轻弹簧碰撞，将弹簧压缩了x米。设木块与斜面之间的摩擦系数为μ，问开始碰弹簧时木块的v有多大?解：设碰弹簧时及压缩最大时木块高度分别为h1、h2木块+弹簧+地球=质点系即[例]质量为m1，m2(m2>m1)的两木板A、B用轻弹簧连在一起，如图。问:(1)至少需用多大的压力F加于上板，才能在该力撤去后，恰好使m2离开地面?(2)如m1，m2交换位置，结果如何?F解：设加F后弹簧比原长缩短,F撤去后弹簧伸长恰使m2提起则(刚离地条件)

取最低点为重力势能零点,原长为弹性势能零点机械能守恒木块+弹簧+地球=质点系解得

m1，m2交换位置，结果不变

完全弹性碰撞：碰撞前后机械能守恒非弹性碰撞：碰撞前后机械能有损失(转化为热、声等能)完全非弹性碰撞：碰撞前后机械能有损失，并以共同的速度运动§4-3-5碰撞一.完全弹性碰撞

二.完全非弹性碰撞能量损失：能量无损：动量守恒:动量守恒:[例]两质量不同的球A和B相互碰撞，A球原来静止，B球速率为v，碰撞后B球速率为v/2，并沿与原来路线垂直的方向运动。求碰撞后A球的运动方向解：由动量守恒[例]地面上竖直安放一倔强系数k的弹簧，其顶端连接一静止物体质量为M，另一质量为m的物体从距离M为h处自由落下，与M作完全非弹性碰撞，求弹簧对地面的最大压力。解：弹性势能零点:(弹簧原长)重力势能零点:Mm自由下落过程:完全非弹性碰撞过程:机械能守恒过程:[例]水平光滑桌面上有一轻弹簧倔强系数k，一端系在