第02章平面体系的几何构造分析

第二章平面体系的几何构造分析§2-1几何构造分析的根本概念§2-2几何不变体系的组成规律§2-3平面体系的计算自由度制作：周书敬郭延华一、几何构造分析的目的1、判断某个体系是否为几何不变体系，因为只有几何不变体系才能作为结构使用；此外应根据几何不变体系的规律设计新结构。2、正确区分静定结构与超静定结构。二、根本概念1、几何不变体系和几何可变体系几何不变体系：假设不考虑材料的应变，体系的位置和形状不会改变。§2-1几何构造分析的根本概念制作：周书敬郭延华对于几何不变体系，体系的内部和外部都具有足够的联系(约束)；几何不变体系制作：周书敬郭延华几何可变体系：假设不考虑材料的应变，体系的位置或形状是可以改变的。几何可变体系常变体系瞬变体系常变体系——可以发生大位移的几何可变体系叫作常变体系。瞬变体系——是指本来是几何可变的、经微小位移后又成为几何不变的体系。特别注意：瞬变体系是几何可变体系的一种特例，因而不能作为结构使用，这尤其需要引起工程界的重视。制作：周书敬郭延华CABo瞬变体系几何可变体系不能作为结构来使用。对于几何可变体系，体系的内部和(或)外部缺少足够的联系(约束)。常变体系制作：周书敬郭延华(1)从微小运动看是可变体系——具有自由度；(2)经微小位移后成为不变体系——瞬变体系；(3)具有多余约束——是暂时的。从有多余约束来说，它具有超静定结构的性质；从静力学方面讲，在荷载作用下它的解是不唯一的。2、刚片(刚体)由于不考虑材料的应变，可以把一根梁、一根链杆或一个几何不变的局部作为一个刚体，在几何构造分析中称为刚片。研究刚片上两点连线的转动就代表了刚片的转动。瞬变体系具有三个特点：制作：周书敬郭延华3、自由度自由度：是指物体或体系在平面内运动时，彼此可以独立改变的几何参数的个数。(1)一个结点在平面内有两个自由度，因为确定该结点在平面内的位置需要两个独立的几何参数xA、yA。xAAxAyOyCBByBx

(2)一个刚片在平面内有三个自由度，因为确定该刚片在平面内的位置需要三个独立的几何参数xB、yB、

。制作：周书敬郭延华一般：n个独立的运动方式=n个自由度4、约束(联系)但凡能减少体系自由度的装置就称为约束。约束的种类可分为外部约束和内部约束两种。(1)外部约束(支承条件)：是指体系与根底之间的联系，也就是支座。一个滚轴支座=1个约束一个铰支座=2个约束一个固定支座=3个约束一个定向支座=2个约束制作：周书敬郭延华(2)内部约束(杆件间的联系)：是指体系内部各杆之间或结点之间的联系，如铰结点、刚结点和链杆等。讨论：平面上的两个刚片的连接情况(未连接前有6个自由度)。①用一根单链杆连接AAx

OxyAy

BC确定它们的位置需要5个坐标参数，减少了一个自由度。一根单链杆=1个约束②用一个单铰连接AAx

OxyAy

B制作：周书敬郭延华用4个坐标参数可以确定他们的位置，减少了2个自由度。一个单铰=2个约束③

用一个单刚结点连接用3个坐标参数可以确定他们的位置，减少了3个自由度。一个单刚结点=3个约束5、多余约束多余约束：如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因此而减少，那么此约束称为多余约束。讨论：将一个点固定在刚片(根底)上的情况。制作：周书敬郭延华点A有两个自由度，只需两个约束就可以了。可用不共线的两根链杆①、②固定。假设再增加一根链杆③，三根链杆也只能减少两个自由度，所以有一根是多余的。A①②A①②③问题是哪一根是多余的呢？请思考！6、瞬铰(虚铰)两根链杆的约束作用相当于在链杆交点处一个单铰所起的约束作用。故两根链杆可以看作在交点处有一个瞬铰(虚铰)。制作：周书敬郭延华关于∞点的情况需强调几点：①每一个方向有一个∞点；②不同方向有不同∞点；注意：连接两刚片的两链杆构成瞬铰。③各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线；④各有限点都不在∞线上。AA相交在∞点制作：周书敬郭延华§2-2几何不变体系的组成规律前提：平面体系的无多余约束的几何不变体系的组成规律。一、几何不变体系的组成规律根本规律就是三角形规律。1、一个点与一个刚片的连接被约束对象：结点A、刚片I提供的约束：两根链杆1、2ABC2Ⅰ1二元体规则制作：周书敬郭延华规律1：一个结点与一个刚片用不共线的两根链杆相连，那么组成几何不变体系且无多余约束。图示体系，结点A、刚片I由共线的链杆1，2相连，是瞬变体系。A12I2、两个刚片之间的连接1ABCⅠⅡ被约束对象：刚片I、II提供的约束：铰B、链杆1链杆不过铰的中心规律2：两个刚片用一个铰以及与该铰不共线的一根链杆相连，那么组成几何不变体系且无多余约束。制作：周书敬郭延华ⅢABCⅠⅡ3、三个刚片之间的连接被约束对象：刚片I、II、III提供的约束：铰A、B、C三铰不共线规律3：三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在同一直线上，那么组成几何不变体系且无多余约束。上述三条规律表述方式不同，但可归纳为一个三角形规律：如果三个铰不共线，那么一个铰结三角形的形状是不变的，而且没有多余约束。下面看看几种特殊情况：制作：周书敬郭延华一根链杆相当于一个约束，一个单铰相当于两个约束，故一个单铰可以用两根链杆代替，那么有规律4：4、两个刚片用三根链杆连接A3III21被约束对象：刚片I、II提供的约束：链杆1、2、3形成一个虚铰A规律4：两个刚片用三根不交于同一点的链杆相连，那么组成几何不变体系且无多余约束。讨论1：当两刚片用三根链杆连接时，有六种情况发生，但是什么情况下才能组成几何不变体系呢？分析下面各种情况。(都可归结为规律4)制作：周书敬郭延华①三根链杆中有两根杆形成一个实铰，且第三根杆不通过该铰中心(图a)；(a)几何不变体系132ⅠⅡ(1,2)(b1)几何不变体系132ⅠⅡ(b2)几何不变体系132ⅠⅡA②三根链杆中有两根杆形成一个虚铰，且第三根杆不通过该虚铰中心(图b)；③

三根链杆相交于一点，形成一个实铰(图c)；(c)几何常变体系132ⅠⅡ④三根链杆的延长线相交于一点，形成一个虚铰(图d)；制作：周书敬郭延华(d)几何瞬变体系132ⅠⅡ(1,2,3)⑤三根链杆平行且等长，形成一个无穷远处虚铰(图e)；⑥三根链杆平行不等长，形成一个无穷远处虚铰(图f)。(e)几何常变体系132ⅠⅡ(f)几何瞬变体系132ⅠⅡ因此，规律2和规律4也可以统一表达为：两个刚片用一铰(实铰或虚铰)和一根不通过该铰中心的链杆连接，那么组成几何不变体系且无多余约束。制作：周书敬郭延华特别说明：平行两杆在无穷远处形成“虚铰〞。讨论2(看规律3)：三个刚片用三个不共线的铰两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。看以下几种情况，即：3个铰用6根链杆代替的情况：

②6根链杆两两形成实铰，三铰不共线，组成无多余约束的几何不变体系(图b)；CBA(a)几何瞬变体系ⅠⅡⅢ①当三个铰共线时，那么为几何瞬变体系(图a)；(b)几何不变体系ⅡⅠⅢCBA制作：周书敬郭延华③6根链杆两两形成虚铰，三铰不共线，组成无多余约束的几何不变体系(图c)；(c)几何不变体系ⅡⅠⅢCBA④6根链杆形成一个实铰和无穷远处的两个虚铰，三铰不共线，那么体系几何不变，且无多余约束(图d)；(d)几何不变体系ⅡⅠCBAⅢ⑤6根链杆形成一个实铰和一个虚铰，而这两个铰的连线与另外两根链杆平行，那么体系几何瞬变(图e)；制作：周书敬郭延华(e)几何瞬变ⅡⅠCBAⅢ⑥6根链杆形成三个无穷远铰，数学上可证明三铰共线，故体系几何瞬变(图f)。(f)几何瞬变ⅡⅠCBAⅢ看几种混合情况：⑦三铰(不同的铰)不共线，体系几何不变。ⅡⅠⅢCBA制作：周书敬郭延华AIII1IIB2ICAIIIIIBIC⑧三铰(不同的铰)共线，体系几何可变。IIIIIIABC四根链杆相互平行(不等长)形成的瞬铰B、C在同一无穷远点，所以三个铰A、B、C位于同一直线上，故体系为瞬变体系。制作：周书敬郭延华由此可知，规律3还可表达如下：三个刚片用不共线的三个铰(实铰或虚铰)两两相连，组成无多余约束的几何不变体系。上述四个根本组成规律可归结为三种根本装配格式：(1)简单装配格式固定一个结点的装配格式用不共线的两根链杆将结点固定在根本刚片上。(2)联合装配格式固定一个刚片的装配格式用不共线的铰和链杆，或用不共点的三根链杆将一个刚片固定在根本刚片上。(3)复合装配格式固定两个刚片的装配格式制作：周书敬郭延华用不共线的三个铰将两个刚片固定在根本刚片上。装配过程通常有两种：(1)从根底出发进行装配(图a、b、c)。(2)从内部刚片出发进行装配(图d、e)。(a)10123456789EABCD(b)ABCD123ⅥⅠⅡⅢⅣⅤ(c)制作：周书敬郭延华IIIIII二、根本组成规律的应用1、利用根本组成规律构成几何不变体系；2、对已给的体系进行几何组成分析。在此，主要介绍第二方面的内容。解题思路：根底看作一个大刚片；要区分被约束对象及提供的约束；在被约束对象之间找约束；除复链杆和复铰外，约束不能重复使用。(b)ABCDEFABCDGEF(a)制作：周书敬郭延华例2-2-1试分析如以下图所示体系的几何构造。解：(方法1)被约束对象：刚片I、II及结点D。45III(基础)D刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4，组成大刚片I'；123I'大刚片I'

、结点D用链杆4、5相连，符合规律1。制作：周书敬郭延华故体系为几何不变且无多余约束。(方法2)被约束对象：刚片I、II、III及结点D。34III(基础)DIII12I'BAO刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰O)；刚片I、III用铰B相连；刚片II、III用铰A相连。铰A、B、O不共线，符合规律3，组成大刚片I'。大刚片I'与结点D用链杆3、4相连，符合规律1。即可得出结论。制作：周书敬郭延华例2-2-2

试分析图示体系的几何构造。III(基础)123解：被约束对象：刚片I、II(根底)。刚片I、II用链杆1、2、3相连，符合规律4。故该体系几何不变且无多余约束。注意：约束等效代换，直杆1、3代替折杆。制作：周书敬郭延华例2-2-3

试分析图示体系的几何构造。C65A12IIIIIIB34解：刚片I、Ⅱ用链杆1、2相连，(瞬铰A)；刚片I、Ⅲ用链杆3、4相连，(瞬铰B)；刚片Ⅱ、Ⅲ用链杆5、6相连，(瞬铰C)。A、B、C三铰均在无穷远处，位于同一无穷远线上，故为瞬变体系。制作：周书敬郭延华例2-2-4

试分析图示体系的几何构造。A1243BC56解：刚片I、II用链杆1、2相连(瞬铰A)；刚片I、III用链杆3、4相连(瞬铰B)；刚片II、III用链杆5、6相连(瞬铰C)。因为A、B、C三铰不在同一直线上，符合规律3，故该体系几何不变且无多余约束。小结：(1)要正确选定被约束对象(刚片或结点)以及所提供的约束。IIII(基础)II制作：周书敬郭延华(2)要在被约束对象(刚片或结点)之间找约束，除复链杆和复铰外，约束不能重复使用。(3)注意约束的等效替换。特别说明：当体系与根底的连接不符合两刚片连接规律时，应从体系内部寻找构造单元，进行分析。(1)复杂形状(曲线、折线等)链杆可用直链杆代替；(a)(b)(c)AⅡ(d)Ⅰ(2)连接两刚片的两根链杆，可用其交点处的瞬铰代替。制作：周书敬郭延华(3)排除二元体方法体系中假设局部有不共线的两根链杆将一铰结点连于主体，那么此局部称为“二元体〞。(见规律1)分析体系时，可以先排除“二元体〞，然后分析主体局部的几何构造；假设主体局部几何不变，那么整个体系几何不变。11098765342EABCD123485679111210制作：周书敬郭延华§2-3平面体系的计算自由度一、单约束与复约束1、单链杆与复链杆单链杆：仅连接两个结点的链杆称为单链杆，一根单链杆相当于一个约束。复链杆：连接三个或三个以上结点的链杆称为复链杆。一根复链杆相当于(2n-3)根单链杆，其中n为一根链杆连接的结点数。n=3制作：周书敬郭延华2、单铰与复铰单铰：只与两个刚片连接的铰称为单铰。一个单铰能减少体系两个自由度，故相当于两个约束。单铰xyxIIIy复铰：连接三个或三个以上刚片的铰称为复铰。假设刚片数为m，那么该复铰相当于(m-1)个单铰，故其提供的约束数为2(m-1)。制作：周书敬郭延华复铰2

(3-1)=4xyxIIIIIIy3、单刚结点与复刚结点看作一个刚片单刚结点复刚结点一个连接n个刚片的复刚结点=n-1个单刚结点制作：周书敬郭延华4、封闭刚架有三个多余约束无多余约束二、计算自由度W的定义式W=(各部件的自由度总和)-(全部约束数)说明：“部件〞和“约束〞。部件：可以是“点〞(铰)，也可以是刚片(需注意“刚片内部是否有多余约束〞，如果有多余约束，那么应变成无多余约束的刚片，而这种附加约束数应计入体系的总约束数中去)。制作：周书敬郭延华约束：分为“单约束〞和“复约束〞。单约束：连接两个部件的约束；复约束：连接两个以上部件的约束。三、计算自由度W的计算公式1、刚片体系将体系看作刚片、铰结点、刚结点以及链杆组成的体系，其中刚片为被约束对象，铰结点、刚结点、链杆为约束。那么计算自由度公式为：m—刚片数(无多余约束)；g—单刚结点数；制作：周书敬郭延华h—单铰数；b—单链杆数(含支座链杆数)特别注意：当具有复约束(复铰、复刚结点)时应折算成单约束。在求解时，地基的自由度为零，不计入刚片数。2、链杆体系(铰结体系)将体系看作结点以及链杆组成的体系，其中结点为被约束对象，链杆为约束。那么计算自由度公式为：制作：周书敬郭延华j—结点数；b—单链杆数(包含复链杆折算的单链杆数)。3、混合公式约束对象为刚片和结点，约束为铰结点、刚结点和链杆。那么计算自由度公式为：式中：m、j、g、h、b意义同前。四、举例例2-3-1

求计算自由度W。12解：方法一，按刚片体系计算制作：周书敬郭延华12注意：复铰结点1、2折算。方法二，按铰结体系计算注意：复链杆(梁式杆)的折算。利用前述规律可知，体系几何不变，且有一个多余约束。(内部链杆的任何一杆均可视为多余约束)例2-3-2

试求图示体系的计算自由度。制作：周书敬郭延华ABCIIIIII123解：按刚片体系计算分析可知，该体系为无多余约束的几何不变体系。例2-3-3

求图示体系的计算自由度。AIII12345BCD解：B、C不作为铰，D作为刚结点制作：周书敬郭延华AIII12345BCDB、C不作为铰，D不作为刚结点B、C作为铰，D作为刚结点B、C不作为铰，D不作为刚结点，每根杆均作为刚片制作：周书敬郭延华例2-3-4

求图示体系的计算自由度。BDACE81234567910I解：①混合公式计算②刚片公式计算③铰结体系公式计算制作：周书敬郭延华例2-3-5

求图示体系的计算自由度。解：用刚片体系公式计算。刚片10个，单铰13个(结点B、C处各二个单铰，结点E处三个单铰)，链杆4个(1~4)。1BDA342567893CE10412制作：周书敬郭延华用铰结体系公式计算。铰结点数9个，单链杆数18个