中国振动工程学会模态分析高级研修班讲课资料(第六章)

三、构造〔物理〕参数识别和有限元模型修正回答什么问题：以为有限元建模不准，如何用实验模态结果来识别和修正构造参数？使修正后的有限元模型可更好地用于呼应等估计！1.有限元建模模型存在哪些误差：各种实际假设、边境条件的近似性，资料参数的不确定性，支撑刚度和衔接刚度的不恰当模拟，阻尼特性或者是被忽略或者远远不够准确等2.实验模态结果虽然存在测试噪声，实践系统不完全是线性的，但依然以为实验模态模型和有限元模型相比要可靠得多。3.实验模态模型可用于验证有限元模型的可靠性。因此提出模型修正的概念。4.所谓模型修正是：获得一个新的有限元模型可以重现一切模态参数的模型〔N个固有频率，N个模态振型的幅值及相位〕，或者是获得一个可以重现一切测得的频率呼应函数的有限元模型，或者是一个具有正确的质量，刚度，阻尼矩阵的有限元模型——前二者与第三者意义是不同的。这一节要讲三个问题计算模型和实验模型间的相关准那么模态缩减和扩展从模态实验获取和修正构造参数30.12.2023

概述：模型参数修正的主要方法从被修正的参数来分大致有两类：1.直接修正矩阵法2.基于灵敏度分析的参数修正法。

从有限元模型和实验模态模型之间的相关要求来分有三类：1.要求计算得到的模态频率和实验得到的模态频率相一致；2.要求计算模态频率、模态振型和实验得到的模态频率、模态振型相一致；3.要求计算得到的频率呼应和实验得到的频率呼应相一致。在基于灵敏度分析的参数修正法中的误差函数构造中，三者可以适当加权表达在同一个误差函数中，而且估计迭代方法同属于贝叶斯法。

数值模型和实验模态模型的相容性问题

讨论模型修正之前，应该指出，数值模型和实验模态模型之间存在不相容性〔不相容就是没法比较的意思〕。这种不相容性主要由实验模态模型的不完好性产生。实验模态模型的不完好性，1.是数值模型的自在度数远大于实验模态模型的自在度数，和数值模型相比，实验模态模型的自在度数不完好〔也就没法相容〕；2.是指实验模态数不完好，由于实验频率宽度有限，而且在高频段模态密度高，难以从中提出模态，因此实验模态数m更小于计算模态数。第二种不完好性并不很重要，由于人们主要关怀的是低阶模态。第一种不完好性对有限元模型和实验模态模型之间的相关分析，对模型修正呵斥了相当困难。因此，有限元模型的缩减，或实验模态模型的扩展也是本节讨论的间题之一。

30.12.2023计算模型和实验模型间的相关准那么有限元模型修正普统统过三种模型进展。1.是由质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵构成的空间形状模型〔spacialmodel),利用摄动法或优化方法直接对质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵进展修正。2.是模态模型〔Modalmodel)，由模态频率、模态向量等构成。3.模型是频率呼应函数模型，由足够多的频率呼应函数构成。在下面的公式中，下标e表示实验模型，下标a表示计算模型。@空间模型或时域模型由以下微分方程给出：

如求得质量矩阵、刚度矩阵和阻尼矩阵，那么空间模型可以确定。@模态模型由模态频率，模态振型，模态阻尼，模态质量矩阵和模态刚度矩阵给出。普通而言，模态模型由实验确定，由于模态阻尼无法由计算得到。但是模态频率、模态振型可以由空间模型的特征方程解得。

@频率呼应模型由频率呼应函数矩阵给出。频率呼应函数矩阵由下式给出：

或其中Z(ω)是阻抗矩阵。为频率呼应矩阵的逆矩阵。对无阻尼系统，三者关系为1〕空间模型的相关准那么由于阻尼难以确定，因此仅对质量矩阵和刚度矩阵讨论相关准那么：质量矩阵正交性，刚度矩阵正交性，30.12.2023当振型为刚体模态时，质量矩阵正交性检验退化为总质量检验，刚度矩阵正交性所对应的频率为零，质量矩阵和我刚度矩阵的对称性。

2)模态振型的相关准那么假定计算模型和实验模型的振型运用同一种正那么化方法，那么两者在一定频率范围内等价的条件是：两者的〔有阻尼〕固有频率相等。两者的〔复〕振型一致；两者的模态质量矩阵或模态刚度矩阵一致.检验有限元模型和模态模型两者之间的固有频率能否相等是容易的。而检验两者之间的振型能否一致并不是那么直观。主要有下面几种方法：模态标定因子MSF〔Modalscalfactor〕，模态置信准那么MAC〔ModalAssuranceCriterion〕，坐标模态置信准那么Comac〔CoordinateModalAssurancecriterion〕，以及动态力平衡方法DFBM〔DynamicForceBalanceMethod〕。动态标定因子MSF定义为MSF表示两个振型间的比例因子。假设两个振型正交，那么MSF为零。假设完全线性相关，那么两个振型的各个分量成比例。假设介于两者之间，那么误差可以用正那么模态差NMD〔NormalizedModalDifference〕表示：最常用的模态置信准那么是MACMAC大于等于零小于等于l。MAC等于1表示两者线性相关，等于零表示两者线性无关。NMD和MAC之间的关系为3〕频率呼应模型的相关准那么

这里主要引见频率呼应模型的正交性和频率呼应函数方式置信准那么SAC。频率呼应模型的正交性由下式给出：

上式表示计算模型的动刚度矩阵和测得到的频率呼应函数矩阵的乘积应该为单位矩阵。而频率呼应函数方式置信准那么SAC是对计算得到频率呼应和测试得到频率呼应进展相关分析。SAC可以表示为

式中：其中Hcij〔ωk〕是j点鼓励，i点呼应的频率呼应函数在〔ωk〕处的值。显然，SAC等于1表示表示两者线性相关，等于零表示两者线性无关。模态缩减和扩展在有限元模型修正中，我们引见了MAC、COMAC、MSF等方法用于判别计算模型的振型和实验模型的振型相关的程度。实践上，计算模型的自在度总数，普通而言，远大于实验模型的自在度总数。这就是在本节一开场所讲到的第一种实验模态模型的不完好性。要处理这个问题，或者是将有限元模型缩聚到实验模型的自在度上，或者是将实验模型的振型扩展到有限元模型的自在度上。模型的缩聚和扩展看似问题的两个方面，但在求解过程中是一致的〔双向转换〕。1〕GUYAN缩减法2〕KIDD扩展法3〕SEREP法4〕IRS有限元计算模型自在度数：m+s实验模型自在度数：m30.12.2023Guyan缩聚，主辅自在度转化方法Guyan提出：将全部构造自在度，根据它们对动态性能影响的大小，区分为主自在度(masters)与辅自在度(slavers)。经过矩阵分块技术，并假定辅自在度对构造没有“动〞特性的影响〔如忽略梁位移中转动自在度)。式中和分别为有限元模型和模态实验模型对应的模态，m+s为有限元模型的自在度数，s那么是模态实验模型的自在度数。上式实现了计算模型与实验模型间的模态的转换。假定(等价于的第二式)，令III构造参数的识别与修正回答什么问题？如何从模态实验中获得正确的构造〔物理〕参数—质量阵、刚度阵？目前可供应用的构造参数识别与修正的方法有多种。陈介中摄动法该方法采用完好的模态集识别构造参数。Berman摄动法Berman提出的方法对质量矩阵与刚度矩阵进展修正后，得到的是满阵，这就失去了原来矩阵的带状稀疏性特点我国学者彭晓洪等于1984年提出了一种改良的模型修正方法，使修正后的计算模型能坚持初始计算模型的带状性质。周欣等于1985年提出一种基于模态正交性原理的修正方法，使修正后的物理参数满足特征方程。该方法可利用不完备的模态集。1.J.C.Chen矩阵摄动法

该方法由陈介中〔J.C.Chen〕于1983年提出，它直接利用实验模态分析所得获得的模态矩阵φ和特征值矩阵Λ＝[λr2]修正构造的物理参数。

设某构造的自在度为N。用有限元法计算所得质量矩阵、刚度矩阵、特征值矩阵和模态矩阵分别为Mo、Ko、Λo、φo，它们均为NxN阶矩阵。由于用有限元计算时必需对实践构造进展离散化处置，并引进一系列人为的假设，因此，计算时所运用的物理模型往往与实践构造不同。更加上计算中不可防止的误差，使计算所得构造振动特性与实验所得结果不相符合。这就有必要对原构造系统的物理模型进展修正。

设实践的，或由实验所得的质量矩阵、刚度矩阵、特征值矩阵及模态矩阵分别为M、K、A、φo。计算值与实验值之间的差别可以为是对原构造的一种摄动，那么有以下关系：

Chen假设式中A是系数矩阵。于是式可以写成由模态正交性条件可得将代入上两式并思索ΔM﹑ΔK﹑ΔΦ﹑ΔΛ及A均为微小量，将二次微小量略去后可得对上两式前乘Φ0-T，后乘以Φ0-1，并思索到可得--1由式可得将上两式代入1，并插入单位矩阵，经过推导可得到构造参数修正的计算公式在上面两式中Mo、Ko、Λo、Φo均为计算值〔知〕，Φ及Λ为实验所得，亦为知，因此就可由上两式计一算出构造参数的修正值。在上述方法中Φ及Λ必需是完好的模态集即为NXN阶矩阵。但在实践测试时，对复杂构造，往往很难得到完好的模态集。这是此方法的一个严重缺乏之处。抑制的方法就是就是前面所讲的自在度缩减与扩展〔先将有限元自在度缩减为实验模型的自在度m，进展上述各步修正，然后用Guyan方法经过坐标变换矩阵T将m扩展为m+s,回到有限元模型自在度〕。2Berman法该法的优点是不需求有计算的特征值和特征向量，它只用实验模态矩阵Φ及特征值Λ来修正M0和K0，从而求得修正后的构造参数M和K。此方法的实际根底亦是模态正交性条件，即思索到那么有式中E0称为正交检验性矩阵，它不一定是对角阵。由于是以非完备的模态集作为修正基准，满足式的解不是独一的，故以此式作为约束条件，寻觅使以下范数极小化的解：

Berman又定义了一个拉格朗日函数

式中：矩阵E0为非对角阵，Lij为拉式乘子。将上式对ΔM的每个元素及Lij求导，并令其为零，便可得到满足正交性条件，又能使的ε最小解：将上式代入到得到再将上式代入到，便得：

在求得ΔM后即可得修正后的质量矩阵。Wei用类似的方法〔将以上过程的M改为K〕找到了刚度矩阵的修正公式：式中BERMAN方法的缺乏之处

这种直接修正矩阵的拉格朗日乘子法的缺乏之处主要有以下几点：①采用实验模态向量修正质量矩阵和刚度矩阵。由于实验模态向量是不完好的，仅仅是测试频率范围内的假设干阶模态，而且实验模态的自在度数远小于计算模型的自在度数，因此必需进展振型扩展〔在本章前面讨沱过〕；②实验模态的误差普通较大，在15％左右；③原来质量矩阵和刚度矩阵的稀疏性能够不再存在；④原来质量矩阵和刚度矩阵中为零的元素，譬如第ij个元素，能够不再为零，表示在第i个节点和第j个节点之间添加了新的单元，这能够不符合实践情况；⑤能够出现虚伪模态〔SpuriousModes〕。

因此，工程上适用的方法是基于灵敏度分析的物理参数修正法。特征方程拟合法这里再引见一种利用非完备的实验模态集〔部分丈量模态〕进展物理模型修正的方法。

对于一线性小阻尼N自在度的构造系统，假设初始实际模型〔有限元计一算模型，或构造作某种修正前的原始模型〕以M0、K0，描画，那么由特征方程

留意几点：

1.有限元模型的M0及K0是近似的2.因此由M0及K0根据特征方程式计算所得的特征值矩阵Λ0及模态矩阵Φ0也是不能够与真实构造的特征值矩阵Λ及模态矩阵Φ相一致。3.设实践构造的质量矩阵及刚度矩阵分别M,K。它们均为NXN矩阵。实验模态分析给出了该构造系统的前s个特征值以及相应的特征向量λr，Φr〔r=1,2,…,s),并构成特征值矩阵及模态矩阵Λ和Φ。

很显然M、K、A、Φ应使特征方程得到满足，即

式中M、K就是我们所求的未知矩阵或经过修正后的质量矩阵与刚度矩阵。再次提示：A(sxs〕、Φ〔Nxs〕是非完备的。以此为根底修正M0和K0得到修止后的M、K与实践构造的质量矩阵．与刚度矩阵的吻合程度如何呢？检验规范：对于非完备模态，用少于构造自在度数的特征对修正构造的物理参数，最终得到的数学模型应具有这样的动力特性，即在实验频段范围与实践构造系统等价，而不一定满足高阶时的等价关系。矩阵摄动法和误差矩阵范数极小化方法均是基于以上规范开展起来的。1〕矩阵摄动法从模态正交性条件出发，利用初始模型特征对与相应的实测特征对之差进展摄动，从而获得修正结果M、K。该方法的缺陷是在非完备模态情况下，不能满足特征方程，需求再做修正处置2〕误差矩阵范数极小化方法那么经过构造误差矩阵〔M一M0〕、〔K一K0〕，并以不同方式加权误差矩阵构成范数，在满足正交条件及特征方程前提下，极小化该范数，从而获得相应于不同加权方式的修正结果。这种方法的缺陷在于破坏了矩阵M、K的带状稀疏性。

本方法先从正交性条件出发，经过待定矩阵M(sxs)，K(sxs)确实定，导出满足正交性条件的M与K，然后调整矩阵M及K，进而使特征方程得到满足。1〕矩阵摄动法先从正交性条件出发，经过待定矩阵M(sxs)，K(sxs)确实定，导出满足正交性条件的M与K，然后调整矩阵M及K，进而使特征方程得到满足。对于待求的矩阵M和K应与特征对Λ及Φ一同满足正交性条件，即

假设M,K与M0与K0满足如下关系式中分别为sxs阶的待定矩阵。上式表示假定修正模型的M和K可分别表示为初始模型M0、K0与各自的修正量之和。待定矩阵确实定应使M、K分别满足上面两式。易得令显然B矩阵是sxs阶的对称矩阵。由于振型的独立性，故B又是满秩矩阵因此B有逆阵，便可得进一步求得满足正交性条件的M与K

---(1)---(2)众所周知，在非完备模态集情况下，仅仅满足正交条件的M与K既不独一，又不满足特征方程。因此，假设将上两式确定的M、K矩阵作为最终结果进展特征值运算时，将不能求得与实测值相吻合的特征频率与振型。

将上两式右边分别乘以ΦΛ和Φ，思索到可得

(a)

(b)

由上两式可见，显然(c)

即M、K不满足特征方程。由于推导只利用了正交性条件，故式〔c〕的存在是预料之中的。但完备模态集的情况就不同了。此时B之逆阵可写成(d)

〔当非完备情况时，Φ-1不存在，故上式不成立〕将式〔d〕代入〔a〕〔b〕得(e)(f)得(g)或(h)上式即特征方程式。由此可见，对完备模态集而言，由正交性条件解出的M、K，亦满足特征方程。而式〔c〕那么阐明，在非完备模态集情况下，满足正交性条件并不一定满足特征方程。利用部分实验模态来修正构造的物理参数时，如何满足特征方程〔或拟合特征方程〕？

如今的间题是能否充分利用仅仅满足正交性一结果，然后进一步修正其中的K或M，使它们满足特征方程。回答是一定的。分别调整K和M的两种方案，现引见如下：2〕误差矩阵范数极小化方法方案一保管式〔1〕，调整式〔2〕，即以为刚度修正结果式〔2〕不准确，导致式〔2〕左右两边不相等。以KA表示〔2〕式右端项KA与K之间的误差矩阵用EK表示

式中EK是待求的未知矩阵，它对KA的修正应使K满足特征方程。现构造EK的欧氏范数如下：以Xk作为目的函数，使其极小并满足约束条件--特征方程，其解即为我们所期望的K思索到特征方程式的非对称性，必需添加对称约束这是一个约束优化问题，即须使Xk极小，又须满足式上式和利用拉格朗日乘子矩阵α(NxS)，β〔NxN〕可将上述约束优化问题演化为无约束优化问题。这时构造的Xk可写为如下的增广目的函数〔或称为拉格朗日函数〕

(1)令，并思索到K和KA的对称矩阵，可得(2)

(3)上式与同式的转置相加，消去β矩阵可得

(4)将上式代入特征方程，可解出α矩阵。(5)先将(5)式代入(4)，然后代以α的转置即可从式〔4〕中消去α，即得(6)由于M及K由正交性条件推出，因此它们满足正交性条件。式亦满足正交性条件，于是有如下关系：故式中K最后一项便为零，所以(7)

对比上式与式，即可得误差矩阵为(8)将式代入(7)，便可得K矩阵的最后修正公式(9)对上式进展整理得(10)由上式计算的K既满足正交性条件又满足特征方程。现将保管的M与再次修正的K一并写下，就得到第一方案的物理参数修正公式：(11)方案二保管式中K，调整式中M，即假设初始识别结果式M的右边项不是构造的质量矩阵的真实表示，于是式Ⅰ左右两边不能相等。设两边之差矩阵为EM。以MA表示式M的右边项，

那么式中EM是待求的未知矩阵，该矩阵确实定应使M矩阵与K一道满足特征方程

构造EM的欧氏范数如下：XM的极小化应满足约束条件式及以下的对称条件上述为约束优化问题，可经过拉格朗日乘子矩阵将其转化为无约束优化问题。仿照方案一的推导过程可得

上式右边后两项为MA的修正量。将式代入上式，并消去中间量MA，便可得M的修正公式。连同保管的K，可得第二方案的物理参数修正公式：

至此，我们已导出了两个方案的物理参数修正公式。由于该两组公式均与实验模态一同满足特征方程。所以，可以预料：修正后的M与K矩阵将重现实验模态。应该说第二组修正公式与第一组修正公式等价，在实践运用时只需选择其中之一。此方法所得修正结果能使M及K既满足正交性条件，又满足特征方程。此方法的精度良好，缺乏之处在于修正后的矩阵M及K的带状稀疏性已被破坏。4Ibrahim由复模态参数辨识物理参数1982年IbrahimSR.提出了一个从复模态中辨识主模态，进而辨识物理参数的方法。对于一个N自在度的线性阻尼系统，被测得的模态参数需满足如下方程式：

式中：M、K、C分别为系统的质量、刚度、阻尼矩阵，它们的阶次为(NxN〕；S为截取的模态数，普通S<N，即实践得到的经常是非完好的模态集；为第r阶模态向量；为第r模态的特征值，它们都是实测得到的复向量。

很显然，上式是N×S个复方程组。由于S<N，因此不能够由此解出[M-1KM-1C]，还需补充〔N一S〕个方程。Ibrahim提出采用分析计算所得的复模态向量加以补充，即式中：ωr第r阶模态的计算圆频率；ζ是分析计算的阻尼比，它可用前S个实测的阻尼比的平均值来近似，即前两式组合起来就可得到NXN个复方程组，及2NX2N，可写为式中：

有式可解出M-1K和M-1C然后根据M-1K构造特征方程，即

式中：Φ为修正后的主模态矩阵；Λ为修正后的特征值矩阵。由上式即可求得N个特征值与N个特征向量。前S个特征向量即为相应于实测复模态的S个主模态。

有了前S个主模态Φ和分析得到的质量矩阵M。就可利用Berman法中式得到修正的质量矩阵，即

求得M矩阵和[M-1K]、[M-1C]矩阵后，就可得到刚度矩阵及阻尼矩阵，

四、构造动力的修正(重分析与优化〕构造动力修正技术所研讨的问题有两大类。正问题---研讨的是当系统的构造参数，由于设计和制造上的缘由需求做某些改动时，根据其改动量求构造的动力特性〔例如特征值及特征向量〕的改动Δλ﹑ΔΨ。这一类问题在构造改型设计中，或在构造上添加〔或撤除〕某些附件〔如减振器，或某些悬挂物等〕时常遇到。(又称：重分析)反问题---构造动力的所研讨的是希望经过某些构造参数的改动使系统的特性〔特征值和特征向量〕满足预定的要求，或避开〔或落入〕某个范围。即知Δλ﹑ΔΨ求ΔM﹑ΔC﹑ΔK。这类问题在构造动力特性的优化设计及防止共振时经常遇到。构造动力修正技术可以防止修正后构造动力特性的重计算。采用构造动力修正方法无需重新计算修正后构造的特征值与特征向量，从而大大节约了设计时间和本钱。近年来构造动力修正技术的迅速开展，并已开场与有限元分析和计算机辅助设计〔CAD〕相结合，构成一套完好的构造动力特性分析与优化设计方法，作为计算机辅助工程〔CAE〕中的一个重要环节。构造动力特性修正的方法有很多种，目前已开展起来的有矩阵摄动法，加权欧式范数法，传送函数法，及灵敏度法等等。本节着重讨论构造动力修正反问题的灵敏度方法。灵敏度方法是建立在构造特征灵敏度分析的根底上，运用多元函数的泰勒展开式来确定结构特性参数的改动量。设特征值λr与特征向量Ψr均为构造参数mij，kij和cij的多元函数式中mij，kij和cij分别为质量矩阵M，刚度矩阵K和阻尼矩阵C中第i行，第j列元素。将上式展开成泰勒级数。在实践计算时，当构造参数的修正量较小时，常略去二阶修正项。此时特征值向量为式中的导数均对原特征值。根据一阶灵敏度公式，在构造参数修正量Δmij、Δkij、Δcij确定后，即可由上式求出特征值的修正量，从而求得修正后构造的特征值。同样，对特征向量亦可得类似上式的公式，在略去修正量后，可得式中的导数均对取值。有了上面两式，就可以在知灵敏度的前提下，根据构造参数的改动量Δmij