【高频考点题型】28.1 锐角三角函数（拔高篇）（解析版）

【冲刺高分】人教版九年级数学下学期学神考霸养成优选练测卷【高频考点题型】28.1锐角三角函数（拔高篇）（考试时间：90分钟试卷满分：120分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________本卷试题共三大题，共22小题，单选8题，填空8题，解答6题，限时90分钟，满分120分，本卷题型精选核心常考重难易错典题，具备举一反三之效，覆盖面积广，可充分考查学生双基综合能力！选择题：本题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2022·全国·九年级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的三边都缩小3倍，则sinA的值（）A．缩小3倍 B．放大3倍 C．不变 D．无法确定【答案】C【分析】直接利用锐角的正弦的定义求解．【详解】解：∵∠C＝90°，∴sin∠A=，∵△ABC的三边都缩小3倍，∴∠A的对边与斜边的比不变，∴sinA的值不变，故选：C．【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题，掌握三角函数定义即可．2．（2022·浙江宁波·九年级期末）在中，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出图形，设BC=3k，AB=5k，利用勾股定理列式求出AC，再根据锐角的余切即可得解．【详解】解：如图，，∴∴设BC=3k，AB=5k，由勾股定理得，∴．故选：B．【点睛】本题考查了求三角函数值，利用“设k法”表示出三角形的三边求解更加简便．3．（2022·北京房山·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据正切的定义求解．【详解】解：∵∠ACB=90°，AB=5，BC=3，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理、锐角正切值的求法，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键．4．（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项．【详解】解：，，故A选项正确，不符合题意；CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，，故B选项不正确，符合题意；，即，故C选项正确，不符合题意；，即,又故D选项正确，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键．5．（2022·山西运城·九年级期末）如图，在矩形中，，点是上一点，将沿直线折叠，点落在矩形的内部点处，若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点分别作的垂线交于，根据，求出，再得出，算出，再由勾股定理求解．【详解】解：过点分别作的垂线交于，如下图：根据翻折的性质，，，，，，，，，由勾股定理得：，解得：，，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的翻折、利用正切值求线段长、勾股定理，解题的关键是添加适当辅助线利用转化的思想求解．6．（2022·福建惠安·九年级期末）如图中的每个小正方形的边长均相等，则的值为（）A．1B．C．D．【答案】D【分析】根据网格的特点以及勾股定理求得，过点作，再三线合一求得，进而根据正弦的定义求解即可．【详解】解：如图，，，是等腰三角形过点作在中，故选D【点睛】本题考查了勾股定理，求正弦值，掌握勾股定理，等腰三角形的性质，正弦的定义是解题的关键．7．（2022·重庆潼南·九年级期末）如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心O，点C为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO、AK，由题意可得AB垂直平分线段OK，∴AO=AK，OH=HK=3，∵OA=OK，∴OA=OK=AK，∴∠OAK=∠AOK=60°，∴AH=OA×sin60°=6×=3，∵OH⊥AB，∴AH=BH，∴AB=2AH=6，∵OC+OH⩾CT，∴CT⩽6+3=9，∴CT的最大值为9，∴△ABC的面积的最大值为=27，故选：C.【点睛】本题考查垂径定理、三角函数、三角形的面积、垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．8．（2022·湖南岳阳·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A是双曲线的图象上任意一点，连接AO，过点O作AO的垂线与双曲线交于点B，连接AB，且，则（）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点分别向轴做垂线，垂足分别为，证明，根据已知条件求得，进而根据即可求得答案，注意【详解】解：如图，过点分别向轴做垂线，垂足分别为轴，轴，在中，设，则故选C【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，反比例函数的几何意义，掌握三角形相似的性质是解题的关键．二、填空题：本题共8个小题，每题3分，共24分。9．（2021·全国·九年级期末）在中，，的面积为10，则的值为_________．【答案】或##或【分析】作AD⊥BC于D，如图，根据等腰三角形的性质得BD=CD，设AD=x，BD=CD=y，利用三角形面积公式和勾股定理得到xy=10，x2+y2=52，再利用代数式变形得到x+y=3，x-y=±，则解得x=2，y=或x=，y=2，然后根据正弦的定义求解．【详解】解：作AD⊥BC于D，如图，则BD=CD，设AD=x，BD=CD=y，∵AD•BC=10，AD2+BD2=AC2，∴xy=10，x2+y2=52，∴(x+y)2-2xy=25，(x-y)2+2xy=25，∴x+y=3，x-y=±，∴x=2，y=或x=，y=2，在Rt△ACD中，，当x=2，=；当x=，=．即的值为或．故答案为或．【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．10．（2022·江苏·苏州市振华中学校九年级期末）我们给出定义：如果两个锐角的和为45°，那么称这两个角互为半余角．如图，在△ABC中，∠A，∠B互为半余角，且，则tanA＝_____．【答案】【分析】作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，则△BCD是等腰直角三角形，利用勾股定理求出CD、BD的长，然后根据正切的定义求解即可．【详解】解：作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，∵∠A，∠B互为半余角，∴∠BCD=∠A+∠B=45°，∴∠CBD=45°，∴∠BCD=∠CBD，∴BD=CD，∵，∴可设BC=，AC=，∵BD2+CD2=BC2，∴BD=CD=，∴AD=3x+2x=5x，∴tanA＝，故答案为：．【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，以及正切的定义，正确作出辅助线是解答本题的关键．11．（2021·吉林大学附属中学九年级阶段练习）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连结OA、OB．若OA＝5，AB＝6，则tan∠AOB＝______．【答案】【分析】由题意易得∠OAB=90°，然后根据三角函数可进行求解．【详解】解：∵AB是⊙O的切线，∴∠OAB=90°，在Rt△OAB中，OA＝5，AB＝6，∴，故答案为．【点睛】本题主要考查三角函数与切线的性质，熟练掌握三角函数与切线的性质是解题的关键．12．（2022·上海徐汇·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，点D为斜边BC上一点，且BD=3CD，将△ABD沿直线AD翻折，点B的对应点为B′，则sin∠CB′D=______．【答案】##【分析】先证明A、B′、C、D四点共圆，推出∠CB′D=∠CAD，过点D作DE⊥AC于点E，利用平行线分线段成比例定理得到AE=3CE，由勾股定理得到AD=，再由正弦函数即可求解．【详解】解：∵∠CAB=90°，AB=AC，∴∠ACB=∠B=45°，由折叠的性质得∠AB′D=∠B=45°，∴∠AB′D=∠ACD=45°，∴A、B′、C、D四点共圆，∴∠CB′D=∠CAD，过点D作DE⊥AC于点E，∵∠CAB=90°，∴DE∥AB，∵BD=3CD，∴AE=3CE，∵∠ACB=45°，∴△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CE，设DE=CE=a，则AE=3CE=3a，在Rt△ADE中，AD=，∴sin∠CB′D=sin∠CAD=．故答案为：．【点睛】本题考查了圆内接四边形的知识，正弦函数，折叠的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．13．（2022·上海虹口·九年级期末）如图，在中，，．点D、E分别在AB和AC边上，，把沿着直线DE翻折得，如果射线，那么______．【答案】【分析】先根据折叠得到DE平分，根据角平分线过D作两边垂线即可．【详解】解：过D作DM⊥AC于M，过B作BH⊥AC于H∵，，∴，，，∴∴过D作DG⊥EF交EF于N，交AC于G∵把沿着直线DE翻折得∴DE平分，∴,∵∴DG∥BC∴，∴∴∵∴∴故答案为：【点睛】本题难度比较大，综合考查折叠的性质、三角函数、相似三角形的性质与判定，解题的关键是由折叠得到角平分线再根据角平分线作垂线．14．（2022·新疆·乌市八中九年级期末）如图，矩形中，，，以的中点为圆心的弧与相切，则图中阴影部分的面积为__________．【答案】##【分析】如图，连接证明四边形四边形都为矩形，可得扇形半径为1，再求解再利用扇形的面积公式进行计算即可.【详解】解：如图，连接扇形的弧与相切，矩形,四边形四边形都为矩形，扇形半径．在矩形中，，为的中点，在中，．，，同理：．．故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，扇形面积的计算，求解扇形的半径为1，及，是解本题的关键.15．（2022·山西大同·九年级期末）如图，点O是的AB边上一点，，以OB长为半径作，与AC相切于点D．若，，则的半径长为______．【答案】##【分析】在Rt△ABC中，利用正弦函数求得AB的长，再在Rt△AOD中，利用正弦函数得到关于r的方程，求解即可．【详解】解：在Rt△ABC中，BC=4，sinA=，∴=，即=，∴AB=5，连接OD，∵AC是⊙O的切线，∴OD⊥AC，设⊙O的半径为r，则OD=OB=r，∴AO=5-r，在Rt△AOD中，sinA=，∴=，即=，∴r=．经检验r=是方程的解，∴⊙O的半径长为．故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，正弦函数，解题的关键是掌握切线的性质、解直角三角形等知识点．16．（2022·重庆渝北·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD交于点O，以点O为圆心，的长为半径画弧，与两条对角线相交，则图中阴影部分的面积是________．【答案】##【分析】如图，利用求解即可．【详解】解：如图，在矩形ABCD中，，，中，，，，，是等边三角形，，，依题意得，，，由中心对称的性质得，，又，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，正切的定义，等边三角形的判定和性质，扇形的面积等知识，利用正切定义求出是解本题的关键．三、解答题：本题共6个小题，17-20每题10分，21-22每题12分，共64分。17．（2022·浙江北仑·九年级期末）计算：(1).(2)已知，求的值.【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据特殊角的三角函数进行计算即可得出答案；（2）先根据设，再代入计算即可．【详解】解：(1)====(2)∵∴设，∴【点睛】此题考查了比例的性质和特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握比例的性质和几个特殊角的三角函数值．（2022·江苏通州·九年级期末）计算。（1）计算：；（2）已知二次函数，当时，，当时，．求该二次函数的解析式．【答案】（1）；（2）【分析】（2）分别把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可；（2）把x，y的值分别代入得关于a，b为未知数的方程组，求解方程组即可．【详解】解：（1）；（2）把，，，分别代入得，解得，∴．【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数的混合运算以及运用待定系数法示二次函数解析式，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．19．（2022·上海虹口·九年级期末）如图，在梯形ABCD中，，，，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且．(1)求证：；(2)如果，，求FC的长．【答案】(1)见解析；(2)2【分析】（1）根据，可得△EAD∽△ECB，从而得到，再由，可得△ABE∽△DFE，从而得到，进而得到，即可求证；（2）根据锐角三角函数，可得AC=9，从而得到，再由，可得AD=3，根据，可得，再由△EAD∽△ECB，可得，，从而得到EC=6，，再由，可得EF=4，即可求解．【详解】解：(1)证明：∵，∴△EAD∽△ECB，∴，即，∵，∠AEB=∠DEF，∴△ABE∽△DFE，∴，∴，∴；(2)解：∵，，，∴，即AC=9，∴，∵，∴AD=3，∵，∴∠BAD=90°，∴，∵△EAD∽△ECB，∴，∴，，∴，，∴EC=6，，∵，∴，∴EF=4，∴FC=EC-EF=6-4=2．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，锐角三角函数，勾股定理等知识，根据题意，准确得到相似三角形是解题的关键．20．（2022·福建泉州·九年级期末）在中，，D为边上的一点，．(1)求证：；(2)求的值．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据即可证明；（2）由（1）可得，设BC=k，则AC=2k，由勾股定理可得AB=，根据正弦的定义可求出的值．【详解】解：(1)∵∴∵，∴又∴，(2)由（1）知∴∵∴设BC=k，则AC=2k，由勾股定理得，∴【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理以及锐角正弦值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．21．（2022·上海奉贤·九年级期末）如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点和在轴的正半轴上,反比例函数在第一象限内的图像经过点,交于点．（1）求反比例函数的解析式；（2）联结,求的正切值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由及点A的坐标可求得AD的长，从而可得点D的坐标，则可求得反比例函数的解析式；（2）由矩形的性质及CE=2BE，可得BE的值，再由点E在反比例函数的图象上可求得点E的坐标，进而可得OB的长，从而可求得结果．【详解】解：（1）∵A(4，0)∴OA=4∵∴AD=3∴点D的坐标为(4，3)把点D的坐标代入中，得∴k=12∴反比例函数的解析式为（2）∵四边形ABCD是矩形∴BC=AD=3∵CE=2BE∴即点E的纵坐标为1∵点E在反比例函数的图象上∴∴x=12即OB=12∴在Rt△OBC中，【点睛】本题考查了反比例函数的图象，求反比例函数的解析式，锐角三角函数，矩形的性质等知识，熟练运用是关键．22．（2022·上海虹口·九年级期末）已知：如图，在中，，，，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得，过点A作于点F．(1)当点E在线段AB上时，求证：；(2)在（1）题