必修2知识点梳理

必修二知识点归纳梳理

一、空间立体几何的结构、三视图'直观图

1.空间几何体的结构特征

⑴多面体

①棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形.

②棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形.

③棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.

(2)旋转体

①圆柱可以由随绕其一边所在直线旋转得到.

②圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到.

③圆台可以由直角梯形绕直鱼型所在直线或等腰梯形绕上、下底中点连线所在直线旋转得到，也可

由平行于底面的平面截圆锥得到.

④球可以由半圆或圆绕直检所在直线旋转得到.

2.空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是正投影得到,这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的

形状和大小是完全相同的,三视图包括正视图、侧视图、俯视图.

3.空间几何体的直观图

画空间几何体的直观图常用斜二测画法,其规则是：

⑴原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，/轴、y’轴的夹角为45。(或135。)，z'轴与『

轴、y'轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观

图中保持原长度丕变，平行于v轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

4.常用结论

(1)常见旋转体的三视图

①球的三视图都是半径相等的圆.

②水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形.

③水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形.

④水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形.

(2)斜二测画法中的“三变”与“三不变”

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.坐标轴的夹角改变，

，，三变”（与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，

.图形改变.

「平行性不改变，

，，三不变”（与X,Z轴平行的线段的长度不改变，

［相对位置不改变.

二、空间立体几何体积与表面积

1.多面体的表（侧）面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和,表面积是侧面积与

底面面积之和.

2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

侧面展开图

EL一

侧面积公式S附柱例=2兀〃S圈锥侧=以S园台—=兀（门+■）/

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

表面积体积

柱体

S衣面积=S侧+2S底V=Sh

（棱柱和圆柱）

锥体v=1s/?

S表面枳=S侧+S底

（棱锥和圆锥）

V=|(SI+ST+

台体

S表面积=S侧+SI.+5下’

（棱台和圆台）

邓^h

4

球S=4nR2V=^nR3

4.常用结论

（1）与体积有关的几个结论

①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.

②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.

（2）几个与球有关的切、接常用结论

a.正方体的棱长为a,球的半径为R,

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①若球为正方体的外接球，则2R=®

②若球为正方体的内切球，则2R=a；

③若球与正方体的各棱相切，则2R=&a.

b.若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2/?=后不再?.

c.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3：1.

三、空间点线面位置关系

1.四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.

公理2：过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

2.直线与直线的位置关系

（1）位置关系的分类

平行宜线

共面直线

相交直线

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

（2）异面直线所成的角

①定义：设a,6是两条异面直线，经过空间任一点0作直线a,//a,b'//h,把a'与沙所成

的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.

②范围：（0,f.

3.直线与平面的位置关系有壬任、相交、在平面内三种情况.

4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.

5.等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.

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四、直线、平面平行的判定与性质

1.直线与平面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

b—

图形

百b_/丁

条件aUa,bQa,a//ballaalla,aU8,aCB=b

结论a//ab//aaGa=0allb

2.面面平行的判定与性质

判定

性质

定义定理

7

图形zgEpz^7

z^7M~7

bUR,4Gla〃£,

条件a//p,aUp

=P,alla,b〃a

结论a//pa//pa//ba//a

1.直线与平面垂直

2.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(2)判定定理与性质定理

图形条件结论

LaA-btbUa(b为a内的任意一条直线)a_La

判

a上m,a_L〃,m、nUa,mG〃=0aJ_a

定£fey

a7a//b,a_LabS-a

性

a_La,bUaaA-b

质

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ab

b.Laa"b

五、直线方程

1.直线的倾斜角

(1)定义：当直线/与X轴相交时，取X轴作为基准，X轴正向与直线/向上方向之间所成的角叫做

直线/的倾斜角.当直线/与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0。.

(2)范围：直线/倾斜角的范围是10,兀).

2.斜率公式

(1)若直线/的倾斜角a#90。，则斜率仁tana.

(2)P1(xi，%),B(X2,”)在直线/上，且XIWM贝I/的斜率&=三胫

3.直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y—血=攵(戈一丁)不含直线X=XO

斜截式不含垂直于X轴的直线

y—y\x—X}不含直线x=»(xi无冷)和直线y=y\

两点式

”一yiX2-x\(yi#y2)

截距式支+.=]不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

Ax+By+C=0

一般式平面直角坐标系内的直线都适用

伍2+B2#0)

六、两直线位置关系

1.两条直线的位置关系

(1)两条直线平行与垂直

①两条直线平行：

(i)对于两条不重合的直线/1、/2,若其斜率分别为舟、依，则有人〃/20让区.

(ii)当直线人办不重合且斜率都不存在时，h//h.

②两条直线垂直：

3)如果两条直线/|、/2的斜率存在，设为心、k2,则有/」/2。%限2=-L

(ii)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，/山2.

(2)两条直线的交点

直线1\：A\x+B\y+Ci=0,I2：A2X++Q=0,贝U/1与，2的交点坐标就是方程组

[Ax+8]y+G=0,

[A^+B2y+C2=0的解.

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2.几种距离

(1)两点Pl(x”》),尸2(x2，丫2)之间的距离RP2I=M(X2—M)2+—巧)2.

|Axo+Byo+C|

(2)点Po(xo,泗)到直线/：4v+8y+C=0的距离d=

\]A2+B2

(3)两条平行线Ax+B,y+G=O与Ax+By+C2=0(其中C1WC2)间的距离

【知识拓展】

1.一般地，与直线Ar+By+C=O平行的直线方程可设为Ar+By+/M=O；与之垂直的直线方程可

设为Bx—Ay+n=O.

2.过直线/1：Aix+Sy+Ci=O与/2：A^+B2y+C2=0的交点的直线系方程为4x+Biy+Ci+4AM

+&y+C2)=0(2GR),但不包括b

3.点到直线与两平行线间的距离的使用条件：

(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.

(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x,y的系数对应相等.

七、圆的方程

1.圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆.

2.确定一个圆最基本的要素是圆心和半径.

3.圆的标准方程

(X—Z>)2=r2(r>0),其中3，。为圆心,二为半径.

4.圆的一般方程

x1+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是7+四一分,。,其中圆心为(一专，一穹，半径r=

勺。2+£2—4F

2

5.确定圆的方程的方法和步骤

确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为

(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；

(2)根据条件列出关于m6,,•或。、E、尸的方程组；

(3)解出a、b、r或。、E、F代入标准方程或一般方程.

6.点与圆的位置关系

点和圆的位置关系有三种.

圆的标准方程(X—a)2+(y—6)2=产，点加(沏，yo)

(1)点在圆上：(&—a)2+(vo—加2=户；

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(2)点在圆外：(Xo—4)2+(yo—

(3)点在圆内：(双一ap+Cvo—6)2<3.

八、直线与圆、圆与圆的位置关系

1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法

(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.

相交;，/=，,=相切;办，0相离.

>00相交;

(2)代数法：,陪相切;

d=b-4ac

<00相离.

2.圆与圆的位置关系

设圆Oi：(x—ai)2+(y—bi)2=ri(ri>0),

圆。2：(x—a2)2+(y—b2)2=r^(r2>0).

方法代数法：联立两圆方程组

位置关秦几何法：圆心距d与八，〃的关系