大市高三历次考试数学试题分类汇编：函数的应用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精【推荐】江苏省13大市2013年高三历次考试数学试题分类汇编3:函数的应用一、解答题AUTONUM\＊Arabic．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为4米，这种薄板须沿其对角线折叠后使用。如图所示,为长方形薄板,沿AC折叠后,交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能,凹多边形的面积最大时制冷效果最好。（1)设AB=x米，用x表示图中DP的长度,并写出x的取值范围;（2)若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽?(3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？AABCD（第17题）P【答案】解：（1）由题意，,.因,故设，则.因△≌△,故.由，得,(2)记△的面积为，则,当且仅当∈(1，2）时，S1取得最大值故当薄板长为米,宽为米时，节能效果最好(3)记△的面积为，则,于是，关于的函数在上递增，在上递减。所以当时,取得最大值故当薄板长为米，宽为米时，制冷效果最好本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力。试题以常见的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考查.讲评时，应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律,教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理，在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心.在使用基本不等式应注意验证取等号的条件，使用导数时应谨慎决断最值的取值情况.AUTONUM\*Arabic．（南京市、盐城市2013届高三年级第一次模拟考试数学试题）近年来,某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元）与太阳能电池板的面积(单位:平方米）成正比，比例系数约为0。5。为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位:平方米）之间的函数关系是为常数）。记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.(1）试解释的实际意义,并建立关于的函数关系式；（2）当为多少平方米时,取得最小值？最小值是多少万元?【答案】解：(1）的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用，即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费由，得所以(2)因为当且仅当,即时取等号所以当为55平方米时，取得最小值为59.75万元（说明:第（2)题用导数可最值的，类似给分)AUTONUM\＊Arabic．（苏州市2012—2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）在路边安装路灯,灯柱与地面垂直,灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知,路宽米,设灯柱高（米），()（1）求灯柱的高(用表示);（2）若灯杆与灯柱所用材料相同,记此用料长度和为,求关于的函数表达式，并求出的最小值。【答案】AUTONUM\＊Arabic．（江苏省泰州市2012-2013学年度第一学期期末考试高三数学试题）如图，一个半圆和长方形组成的铁皮，长方形的边AD为半圆的直径，O为半圆的圆心，,现要将此铁皮剪出一个等腰三角形，其底边.（1）设备，求三角形铁皮的面积;(2）求剪下的铁皮三角形面积的最大值。【答案】(1）设MN交AD交于Q点∵∠MQD=30°,∴MQ=,OQ=（算出一个得2分）S△PMN=MN·AQ=××（1+）=(2）设∠MOQ=θ，∴θ∈[0,]，MQ=sinθ,OQ=cosθ∴S△PMN=MN·AQ=(1+sinθ)(1+cosθ)=(1+sinθcosθ+sinθ+cosθ)令sinθ+cosθ=t∈[1，]，∴S△PMN=（t+1+）θ=,当t=,∴S△PMN的最大值为AUTONUM\*Arabic．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）如图,两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直,它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角。(1） 求的长度；(2) 在线段上取一点点与点不重合)，从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时,最小?第17题图第17题图【答案】⑴作，垂足为，则，,设，则,化简得,解之得，或（舍)答:的长度为⑵设,则，设,，令,因为,得，当时，，是减函数；当时，,是增函数,所以,当时,取得最小值,即取得最小值,因为恒成立，所以，所以，，因为在上是增函数，所以当时,取得最小值.答：当为时，取得最小值AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（江苏省无锡市2013届高三上学期期末考试数学试卷）要制作一个如图的框架（单位：米),要求所围成的总面积为19。5（米2)，其中ABCD是一个矩形,EFCD是一个等腰梯形,梯形高h=AB,tan∠FED=,设AB=x米,BC=y米.(Ⅰ）求y关于x的表达式；（Ⅱ）如何设计x，y的长度,才能使所用材料最少?【答案】AUTONUM\＊Arabic．（南京市、淮安市2013届高三第二次模拟考试数学试卷）如图,某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，,广场管理部门欲在绿地上修建观光小路:在上选一点C,过C修建与OB平行的小路CD,与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由.【答案】AUTONUM\*Arabic．(江苏省苏锡常镇四市2013届高三教学情况调研（一）数学试题）某部门要设计一种如图所示的灯架,用来安装球心为,半径为（米）的球形灯泡.该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托，,，所在圆的圆心都是、半径都是（米)、圆弧的圆心角都是(弧度)；灯杆垂直于地面，杆顶到地面的距离为(米），且;灯脚,，,是正四棱锥的四条侧棱,正方形的外接圆半径为（米),四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为（弧度）。已知灯杆、灯脚的造价都是每米(元),灯托造价是每米(元),其中,，都为常数.设该灯架的总造价为(元）.（1)求关于的函数关系式;(2）当取何值时,取得最小值?【答案】AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（江苏省泰州、南通、扬州、宿迁、淮安五市2013届高三第三次调研测试数学试卷）某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示:图1是单层玻璃,厚度为8mm;图2是双层中空玻璃，厚度均为4mm,中间留有厚度为的空气隔层.根据热传导知识，对于厚度为的均匀介质，两侧的温度差为，单位时间内,在单位面积上通过的热量,其中为热传导系数.假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等.（注:玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为.）（1）设室内,室外温度均分别为,,内层玻璃外侧温度为,外层玻璃内侧温度为，且.试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用,及表示）;（2）为使双层中空玻璃单位时间内,在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计的大小？图1图2墙图1图2墙墙T1T2室内室外墙墙x4T1T2室内室外4（第17题）【答案】解：(1)设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为，,则,(2）由(1）知,当4％时，解得(mm)。答:当mm时,双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4％AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（江苏省盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试卷）如图,在海岸线一侧C处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客，在上设立了A、B两个报名点，满足A、B、C中任意两点间的距离为10千米。公司拟按以下思路运作：先将A、B两处游客分别乘车集中到AB之间的中转点D处（点D异于A、B两点)，然后乘同一艘游轮前往C岛.据统计，每批游客A处需发车2辆，B处需发车4辆，每辆汽车每千米耗费2元,游轮每千米耗费12元。设∠,每批游客从各自报名点到C岛所需运输成本S元.⑴写出S关于的函数表达式，并指出的取值范围;⑵问中转点D距离A处多远时,S最小？【答案】解:（1）由题在中，。由正弦定理知,得(2），令,得当时,;当时,，当时取得最小值此时，中转站距处千米时,运输成本最小AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（2012—2013学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学试题)如图所示,有两条道路与,，现要铺设三条下水管道,，(其中,分别在,上）,若下水管道的总长度为,设,.（1）求关于的函数表达式,并指出的取值范围；(2)已知点处有一个污水总管的接口,点到的距离为,到点的距离为,问下水管道能否经过污水总管的接口点？若能,求出的值，若不能,请说明理由。【答案】AUTONUM\*Arabic．（扬州、南通、泰州、宿迁四市2013届高三第二次调研测试数学试卷)为稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会.计划用1

600万元购得一块土地,在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1

000平方米,每平方米的建筑费用与楼层有关,第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx+800)元(其中k为常数).经测算，若每幢楼为5层,则该小区每平方米的平均综合费用为1

270元.(每平方米平均综合费用=eq\f（购地费用+所有建筑费用,所有建筑面积）).(1)求k的值;(2）问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低,应将这10幢楼房建成多少层?此时每平方米的平均综合费用为多少元？【答案】【解】（1)如果每幢楼为5层,那么所有建筑面积为10×1

000×5平方米，所有建筑费用为［（k+800)+（2k+800）+（3k+800）+（4k+800)+（5k+800）］×1

000×10，所以,1270=eq\f（16

000

000+[（k+800）+（2k+800）+(3k+800)+（4k+800)+（5k+800）］×1

000×10,10×1

000×5）,解之得:k=50\f(32000000+[（k+800）+(2k+800）+（3k+800)）+(4k+800)+(5k+800）］×1000×10，10×1000×5)（2）设小区每幢为n(n∈N＊）层时,每平方米平均综合费用为f(n)，由题设可知f(n）=eq\f(16000000+［（50+800）+(100+800）+…+(50n+800)］×1000×10，10×1000×n）=eq\f（1600,n)+25n+825≥2eq\r（1600×25）+825=1225(元）\f(32000000+［（k+800)+(2k+800）+(3k+800)）+（4k+800）+(5k+800)］×1000×10，10×1000×5)当且仅当eq\f（1600,n）=25n,即n=8时等号成立\f（32000000+［(k+800）+（2k+800）+（3k+800))+(4k+800）+(5k+800）］×1000×10，10×1000×5)答：该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1225元AUTONUM\＊Arabic\＊MERGEFORMAT．（连云港市2012-2013学年度第一学期高三期末考试数学试卷）某单位决定对本单位职工实行年医疗费用报销制度,拟制定年医疗总费用在2万元至10万元（包括2万元和10万元）的报销方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①报销的医疗费用y(万元）随医疗总费用x（万元)增加而增加;②报销的医疗费用不得低于医疗总费用的50%;③报销的医疗费用不得超过8万元。(1)请你分析该单位能否采用函数模型y=0.05（x2+4x+8）作为报销方案;(2）若该单位决定采用函数模型y=x2lnx+a(a为常数）作为报销方案，请你确定整数的值。(参考数据：ln20.69,ln102。3）【答案】【解】（1)函数y=0.05(x2+4x+8)在[2,10]上是增函数,满足条件①,当x=10时，y有最大值7.4万元,小于8万元，满足条件③但当x=3时,y=eq\f(29，20）<eq\f（3，2），即yeq\f(x，2)不恒成立,不满足条件②，故该函数模型不符合该单位报销方案（2)对于函数模型y=x2lnx+a，设f（x）=x2lnx+a，则f´(x）=1eq\f(2,x）=eq\f(x－2,x)0。所以f（x)在［2，10］上是增函数，满足条件①,由条件②，得x2lnx+aeq\f（x,2），即a2lnxeq\f(x,2）在x［2，10]上恒成立,令g（x)=2lnxeq\f（x,2），则g´(x）=eq\f(2，x）－\f(1，2)=eq\f（4－x，2x)，由g´（x）〉0得x<4，g（x)在(0,4)上增函数,在(4,10)上是减函数。ag（4)=2ln42=4ln22由条件③，得f(10）=102ln10+a8,解得a2ln102另一方面,由x2lnx+ax,得a2lnx在x[2，10]上恒成立，a2ln2,综上所述，a的取值范围为[4ln22,2ln2］，所以满足条件的整数a的值为1AUTONUM\*Arabic．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷)已知一块半径为的残缺的半圆形材料,O为半圆的圆心，,残缺部分位于过点的竖直线的右侧.现要在这块材料上截出一个直角三角形,有两种设计方案:如图甲,以为斜边;如图乙，直角顶点在线段上，且另一个顶点在上.要使截出的直角三角形的面积最大，应该选择哪一种方案？请说明理由，并求出截得直角三角形面积的最大值。AABOCD（第17题甲图）ABOCD（第17题乙图）E【答案】如图甲,设，则,，所以，当且仅当时取等号，此时点到的距离为,可以保证点在半圆形材料内部,因此按照图甲方案得到直角三角形的最大面积为ABABOCD（第17题甲图）ABOCD（第17题乙图）E如图乙，设，则，,所以，设,则,当时，,所以时，即点与点重合时，的面积最大值为因为，所以选择图乙的方案，截得的直角三角形面积最大，最大值为AUTONUM\*Arabic\＊MERGEFORMAT．（常州市2013届高三教学期末调研测试数学试题）第八届中国花博会将于2013年9月在常州举办,展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的矩形ABCD,，.a,b为常数且满足。组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区(点E,F分别在线段AB，AD上),且该直角三角形AEF的周长为(）,如图.设，△的面积为.(1）求关于的函数关系式;（2）试确定点E的位置,使得直角三角形地块的面积最大，并求出的最大值。FFEbaBDCA【答案】解：（1）设,则，整理，得，(2）当时，，在递增，故当时，；当时，在上，,递增,在上，,递减，故当时，.AUTONUM\*Arabic．（南京市、盐城市2013届高三第三次模拟考试数学试卷)将一张长8cm，宽6cm的长方形的纸片沿着一条直线折叠,折痕(线段）将纸片分成两部分,面积分别为S1cm2,S2cm2，其中S1≤S2。记折痕长为lcm。（1）若l=4,求S1的最大值;（2）若S1∶S2=1∶2,求l的取值范围。【答案】解如图所示，不妨设纸片为长方形ABCD，AB=8cm,AD=6cm,其中点A在面积为S1的部分内.折痕有下列三种情形:①折痕的端点M，N分别在边AB，AD上；②折痕的端点M，N分别在边AB，CD上；③折痕的端点M，N分别在边AD,BC上。AABCD（情形①）MNABCD（情形②）MNABCD（情形③）MN（1)在情形②､③中MN≥6,故当l=4时,折痕必定是情形①.设AM=xcm,AN=ycm，则x2+y2=16因为x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等号，所以S1=eq\f（1,2)xy≤4,当且仅当x=y