夹角问题+高中数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第2课时夹角问题第一章

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题1.会用向量法求线线、线面、面面夹角.2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系.学习目标地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”，黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°26′.黄道面与地球相交的大圆为“黄道”.黄道及其附近的南北宽9°以内的区域称为黄道带，太阳及大多数行星在天球上的位置常在黄道带内.黄道带内有十二个星座，导语称为“黄道十二宫”.从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、狮子座、双子座等等，这便是星座的由来.随堂演练课时对点练一、两异面直线所成的角二、直线和平面所成的角三、两个平面的夹角内容索引一、两异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝

.知识梳理例1

如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值.＝0＋a2＋abcos120°＋abcos120°－a2－0＝－ab.反思感悟求异面直线夹角的步骤(1)确定两条异面直线的方向向量.(2)确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.(3)得出两条异面直线所成的角.跟踪训练1

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为√解析建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，二、直线和平面所成的角注意点：(1)直线与平面所成的角，可以转化为直线的方向向量与平面的法向量的夹角.(2)线面角的范围为(3)直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角.设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝

＝

.|cos〈u，n〉|知识梳理例2

如图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝N为AB上一点，AB＝4AN，M，S分别为PB，BC的中点.(1)证明：CM⊥SN；证明设PA＝1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系(如图).则P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，(2)求SN与平面CMN所成角的大小.设a＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量，设SN与平面CMN所成的角为θ，反思感悟利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)求直线的方向向量u.(3)求平面的法向量n.跟踪训练2

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F依次为C1C，BC的中点.求A1B与平面AEF所成角的正弦值.解以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,1,0)，设平面AEF的一个法向量为n＝(a，b，c)，令a＝1可得n＝(1，－1,2).设A1B与平面AEF所成角为θ，三、两个平面的夹角问题1两个平面的夹角与二面角的平面角的区别？提示平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.问题2

平面与平面所成的夹角与两平面的法向量所成夹角有何关系？提示两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角.设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝

＝

.知识梳理注意点：(1)求两平面的夹角问题转化为两平面法向量的夹角问题.(2)两平面的夹角的范围是(3)二面角与两平面的夹角不是相同的概念.例3

如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形.(1)证明：O1O⊥平面ABCD；证明因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，因为AC∩BD＝O，AC，BD⊂平面ABCD，所以O1O⊥平面ABCD.(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面OB1D夹角的余弦值.解因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直.如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设棱长为2，因为∠CBA＝60°，平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0,1,0)，设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)，延伸探究本例不变，求平面BA1C与平面A1CD夹角的余弦值.设平面BA1C的法向量为m＝(x1，y1，z1)，反思感悟求两平面夹角的两种方法(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角.也可转化为求与两平面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同.跟踪训练3如图所示，在几何体S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD与平面SAB夹角的余弦值.解如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，以DC，DE，DA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，设平面SAD的法向量为m＝(x，y，z)，1.知识清单：(1)异面直线所成的角.(2)直线与平面所成的角.(3)平面与平面所成的角.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：混淆两个向量的夹角和空间角的关系，不能正确理解空间角的概念，把握空间角的范围.课堂小结随堂演练1.若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为√1234解析l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，2.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为√1234解析如图所示，以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线CC1为z轴建立空间直角坐标系，12343.如图所示，点A，B，C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上，

＝(0,0,2)，平面ABC的一个法向量为n＝(2,1,2)，平面ABC与平面ABO的夹角为θ，则cosθ＝_____.1234解析设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系如图.则D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为_____.1234课时对点练1.两异面直线l1，l2的方向向量分别是v1，v2，若v1与v2所成的角为θ，直线l1，l2所成的角为α，则A.α＝θ

B.α＝π－θC.cosθ＝|cosα| D.cosα＝|cosθ|√基础巩固12345678910111213141516因而cosα＝|cosθ|.2.平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，则斜线l与平面α所成的角为A.30° B.45° C.60° D.90°√解析l与α所成的角即为a与b所成的角(或其补角)，12345678910111213141516所以〈a，b〉＝60°.3.设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝

则l与α所成的角为12345678910111213141516√4.正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为A.30° B.45°C.60° D.90°√12345678910111213141516解析如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1).12345678910111213141516∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.5.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为√12345678910111213141516解析如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，12345678910111213141516连接AC，易证AC⊥平面BB1D1D，6.如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于点O，PO⊥底面ABCD，PO＝2，AB＝

E，F分别是AB，AP的中点.则平面FOE与平面OEA夹角的余弦值为12345678910111213141516√解析由题意，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，OA＝OB＝2，则A(0，－2,0)，B(2,0,0)，P(0,0,2)，∴E(1，－1,0)，F(0，－1,1)，12345678910111213141516设平面OEF的法向量为m＝(x，y，z)，令x＝1，可得m＝(1,1,1)，易知平面OAE的一个法向量为n＝(0,0,1)，12345678910111213141516设平面FOE与平面OEA的夹角为θ，7.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则直线CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_____.12345678910111213141516解析以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图.设AA1＝2AB＝2，则D(0,0,0)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，12345678910111213141516设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量为n＝(2，－2,1).设直线CD与平面BDC1所成的角为θ，8.在空间中，已知平面α过A(3,0,0)和B(0,4,0)及z轴上一点P(0,0，a)(a>0)，如果平面α与平面Oxy的夹角为45°，则a＝____.12345678910111213141516解析平面Oxy的一个法向量为n＝(0,0,1).设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，12345678910111213141516又∵a>0，9.如图所示，在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝求异面直线AB与CD所成角的余弦值.12345678910111213141516解取BD的中点O，连接OA，OC.由题意知OA，OC，BD两两垂直.以O为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，则B(1,0,0)，D(－1,0,0)，1234567891011121314151610.如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点.12345678910111213141516(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；解如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，设AC，A1C1

的中点分别为O，O1，连接OB，OO1，则OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB.以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为AB＝AA1＝2，12345678910111213141516因为P为A1B1的中点，12345678910111213141516(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.12345678910111213141516解因为Q为BC的中点，12345678910111213141516设n＝(x，y，z)为平面AQC1的一个法向量，设直线CC1与平面AQC1所成角为θ，1234567891011121314151611.如图，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D－AB－E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，12345678910111213141516综合运用√根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，1234567891011121314151612.如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为A.45° B.90°C.135° D.150°√12345678910111213141516解析建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知△ABE为等腰直角三角形，设CD＝1，1234567891011121314151613.如图，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为______.12345678910111213141516解析如图，取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设BC＝1，12345678910111213141516设平面ABD的一个法向量为n＝(x，y，z)，1234567891011121314151614.如图，在三棱锥V－ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x轴、y轴、z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝

则异面直线AC与VD所成角的余弦值为_____.12345678910111213141516解析∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).12345678910111213