2024届新教材二轮复习 　二项分布 学案

2024届新教材二轮复习二项分布学案素养导引1.理解n重伯努利试验及二项分布的概念.(数学抽象)2.会利用公式求服从二项分布的随机变量的概率、均值以及方差.(数学运算)3.能利用二项分布概率模型解决简单的实际问题.(数学建模)一、n重伯努利试验只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:(1)同一个伯努利试验重复做n次;(2)各次试验的结果相互独立.【批注】(1)定义中“试验结果相互独立”的含义是每次试验结果互不影响;(2)定义中“重复”意味着各次试验成功的概率相同.二、二项分布1.定义:一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p【批注】(1)因为P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k恰好是二项式[(1-p)+p]n展开后的第k+1项,所以称随机变量X(2)当伯努利试验进行1次时,试验成功的次数服从二项分布,即两点分布,所以两点分布是特殊的二项分布;(3)n重伯努利试验的实际原型是有放回地抽样检验问题,但在实际应用中,从大批产品中抽取少量样品的不放回检验,可以近似地看作此类型,因此独立重复试验在实际问题中应用广泛.2.确定一个二项分布模型的步骤:(1)明确伯努利试验及事件A的意义,确定事件A发生的概率p;(2)确定重复试验的次数n,并判断各次试验的独立性;(3)设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数,则X~B(n,p).三、二项分布的均值与方差如果X~B(n,p),那么E(X)=np;D(X)=np(1-p).[诊断]1.(教材改编题)甲、乙两位选手进行乒乓球比赛,5局3胜制,每局甲赢的概率是23,乙赢的概率是13,则甲以3∶1获胜的概率是 (A.827 B.427 C.49 【解析】选A.由题意知,甲以3∶1获胜是指前3局比赛中甲2胜1负,第4局比赛甲胜,所以甲以3∶1获胜的概率P=C32(23)212.(教材改编题)已知随机变量X服从二项分布B(3,12),则P(X=2)= (A.18 B.14 C.38 【解析】选C.由P(X=k)=C3k·(12)k·(12)3-k=18C3k,得3.(教材改编题)若离散型随机变量X~B(4,23),则E(X)和D(X)分别为 (A.83,169 B.8C.89,83 D.16【解析】选B.因为离散型随机变量X~B(4,23),所以E(X)=4×23=83,D(X)=4×23×(1-2学习任务一独立重复试验公式的应用(数学运算)【典例1】(1)商场举行抽奖活动,已知中奖率为14,现有3位顾客抽奖,则恰有1位中奖的概率为 (A.364 B.964 C.2764 【解析】选C.因为3位顾客抽奖是相互独立的且中奖率为14,所以3位顾客抽奖,则恰有1位中奖的概率为C3114(2)甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛,每一局甲胜的概率为23,若比赛采用“五局三胜(即有一方先胜3局即获胜,比赛结束)”规则,则恰进行5局比赛,甲获胜的概率为 (A.8243 B.32243 C.80243 【解析】选D.若要进行5场比赛且甲获胜,则前4场比赛甲胜两场,最后一场甲获胜,所以概率P=C42(23)2(13)【思维提升】独立重复试验公式的应用独立重复试验是相互独立事件的特殊情况,在公式中,n是独立重复试验的次数,p是一次试验中事件A发生的概率,k是n次独立重复试验中事件A恰好发生的次数;在具体问题中首先要弄清楚公式中n,p,k的意义,才能正确地运用公式解决问题.【即学即练】某人射击5次,每次中靶的概率均为910,则他至少有两次中靶的概率是____________【解析】设此人射击5次中靶ξ次,每次射击为独立重复试验,则至少有两次中靶的概率P(ξ≥2)=1-P(ξ=0)-P(ξ=1)=1-C50·0.90·0.15-C51·0.91·0.14答案:0.99954学习任务二离散型随机变量服从二项分布的分布列(数据分析)【典例2】某公司的一次招聘中,应聘者都要经过三个独立项目A,B,C的测试,如果通过两个或三个项目的测试即可被录用.若甲、乙、丙三人通过A,B,C每个项目测试的概率都是23(1)求甲被录用的概率;(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X,求X的分布列.【解析】(1)由题意得,甲通过两个项目测试的概率为C32(23)2(1通过三个项目测试的概率为C33(23)3(13)0=827,(2)由(1)得每个人被录用的概率为2027X的所有可能取值为0,1,2,3,所以P(X=0)=(1-2027)3=343P(X=1)=C31(2027)1(1-20P(X=2)=C32(2027)2(1-20P(X=3)=(2027)3=8000则X的分布列为X0123P34398028008000【思维提升】1.判断一个随机变量是否服从二项分布的关键(1)对立性:在一次试验中,事件A发生与否必居其一;(2)重复性:试验可以独立重复地进行,且每次试验事件A发生的概率都是同一常数p;(3)X的取值从0到n,中间不间断.2.求二项分布分布列的步骤(1)确定共进行了多少次重复试验,即n的值,然后确定在一次试验中某事件A发生的概率,即p的值,最后确定某事件A发生的次数,即k的值;(2)根据二项分布的概率公式P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,求出事件A(3)以表格形式列出随机变量的分布列.【即学即练】某企业的某产品在出厂前必须进行两轮检测,只有两轮都合格才能进行销售,否则不能销售,已知该产品第一轮检测不合格的概率为16,第二轮检测不合格的概率为110,(1)求该产品不能销售的概率;(2)如果该产品可以销售,则每件产品可获利40元;如果该产品不能销售,则每件产品亏损20元,已知一箱中有该产品4件,记一箱该产品获利X元,求X的分布列和期望.【解析】(1)设“该产品不能销售”为事件A,因为两轮检测是否合格相互没有影响,则P(A)=1-(1-16)(1-110)=所以该产品不能销售的概率为14(2)由(1)知,该产品可以销售的概率为34易知X的可能取值为-80,-20,40,100,160,P(X=-80)=C40(14)4(3P(X=-20)=C41(14)3(34)P(X=40)=C42(14)2(34)P(X=100)=C4314(34P(X=160)=C44(34)4(1则X的分布列为X-80-2040100160P13272781E(X)=(-80)×1256+(-20)×364+40×27128+100×2764学习任务三二项分布的概率计算及期望与方差(数学运算)【典例3】(1)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,且P(X=4)<P(X=6),则E(X)= ()A.6 B.5 C.4 D.3【解析】选A.由二项分布的方差公式D(X)=np(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6.又P(X=4)<P(X=6),即C104p4(1-p)6<C106p6(1-p)4,解得p>0.5,所以p=0.6,则E(X(2)已知随机变量X~B(n,p),若E(X)=1,D(X)=45,则P(X=3)= (A.643125 B.128625 C.125 【解析】选D.由E(X)=1,D(X)=45,得np=1,np(1-p)=45,解得n=5,p=所以P(X=3)=C53(15)3(1-1【思维提升】二项分布的概率计算及期望与方差如果随机变量X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p);已知基本量n,p,可以求出期望与方差;反之,已知期望与方差,可以确定参数n,p,结合X的分布列P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k,【即学即练】1.已知随机变量X~B(4,p),且E(X)=3,则D(3X-1)= ()A.3 B.6 C.274 D.【解析】选C.因为随机变量X~B(4,p),且E(X)=3,所以E(X)=4p=3,解得p=34则D(X)=4×34×(1-34)