安徽省舒城某中学2023届仿真模拟卷（一）数学试题（含答案解析）

安徽省舒城中学2023届仿真模拟卷（一）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

♦2«3

1.已知复数2=上工，2是z的共轨复数，则N.Z=（）

1+i

A.0B.TC.1D.2

2.第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举166公斤，挺举198公斤，

总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别划分的

最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体

育赛事举重质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和

举重质量之间的关系的是（）

举重运动员的体重与举重质量关系折线图

举重质量/公斤

运动员体重/公斤

A.y=rny/x+n(/«>0)B.y=mx+n(,”>())

C.y=mx2(m>0)D.y=max+n(机>0,〃>0且。。1)

3.要得到函数y=&cosx的图象，只需将函数y=&sin[x+?J的图象（）

A.向左平移£个单位B.向右平移£个单位

44

C.向上平移£TT个单位D.向下平移£TT个单位

44

4.以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（)

(x2+l)ex

D.y—2---------L——

X

ex

D-F

5.在正方体ABC。-A4GA中，过点。作直线/与异面直线AC和BG所成角均为6,

则e的最小值为（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

6.数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的

战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，"世界数

学通史”，“几何原本”，“什么是数学“四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多

选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有（）

A.60种B.78种C.84种D.144种

7.在矩形ABCD中，AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若

AP=2AB+〃AD，则2+〃的最大值为

A.3B.2应C.V5D.2

8.若函数”力=阴+依2+。，则下列说法正确的是（）

A.若人＞-1,则对于任意”＞0函数/（/（x））都有2个零点

B.若人＜-1,则对于任意a＞0函数〃/（力）都有4个零点

C.若。＜-1,则存在%＞。使得函数〃/（力）有2个零点

D.若b=-l,则存在4＞0使得函数/（/（力）有2个零点

二、多选题

9.下列说法正确的是（）

A.将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数〃后，方差也变为原来的4倍

试卷第2页，共6页

B.设有一个回归方程y=3-5x,变量X增加1个单位时，y平均减少5个单位

C.线性相关系数r的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关性越强；反之，越接近

于0线性相关性越弱

D.在某项测量中，测量结果J服从正态分布N（1Q2）（（T>0）,则尸依>1）=05

10.已知函数/（x）=sin[cosx]+cos卜inx],其中[x]表示不超过实数x的最大整数，关

于/（X）有下述四个结论，正确的是（）

A./（x）的一个周期是B.是非奇非偶函数

C.在（0,乃）单调递减D.f（x）的最大值大于&

11.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本

次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为茉，托盘由

边长为4的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图②.则下列结论正

确的是（）

A.经过三个顶点A民。的球的截面圆的面积为9TT

B.异面直线A。与CF所成的角的余弦值为（

O

,JT

C.直线4）与平面。EP所成的角为H

D.球离球托底面DEF的最小距离为6+远-1

3

12.在数列｛%｝中，对于任意的〃eN*都有4,>。，且向=。“，则下列结论正确

的是（）

A.对于任意的“22,都有4>1

B.对于任意的4>0,数列｛%｝不可能为常数列

C.若0<4<2,则数列｛4｝为递增数列

D.若4>2,则当"22时，2<a„<Oy

三、填空题

13.(1+2x)6的展开式中xs项的系数为(用数字作答)

2

14.已知双曲线'v-马=l(a2>0)左右焦点分别为耳，工，过点1作与一条渐近线垂直

a'h-

的直线/,且/与双曲线的左右两支分别交于M,N两点，若则该双曲线

的渐近线方程为.

四、双空题

15.一项“过关游戏''规则规定：在第〃关要抛掷一颗骰子"次，如果这〃次抛掷所出现

的点数的和大于2"，则算过关.则某人在这项游戏中最多能过关；他连过前

三关的概率是

五、填空题

16.在锐角三角形ABC中，角AB,C的对边分别为a,。,c,若从+C2=4儿sin(A+?

则tanA+tanB+tanC的最小值是.

六、解答题

17.如图，在平面直角坐标系X0X中，锐角a的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半

轴重合，终边与单位圆交于点Pa，y)，cosa差.

(1)求X的值;

试卷第4页，共6页

rr

(2)射线OP绕坐标原点。按逆时针方向旋转］后与单位圆交于点加(々,女)，点N与M

关于x轴对称，求tan/MON的值.

18.数列A,:4电,…,a”(〃N2)满足qe{-I,l}(i=l,2,…,〃)，称

13

Tn=at-2-+%.2T+%-2"-+•••+%,2'+4V2"为数列A,,的指数和.

⑴若"=3,求《所有可能的取值；

(2)求证：数列4的指数和1,<0的充分必要条件是4=7.

19.如图①所示，长方形ABC。中，A£>=1,钻=2,点〃是边C£>的中点，将

沿AM翻折到△小连接尸8,PC,得到图②的四棱锥P-ABOW.

(1)求四棱锥P-ABCM的体积的最大值：

(2)设。的大小为。，若。，求平面和平面P8C夹角余弦值的最

小值.

20.自2019年底开始，一种新型冠状病毒C0W619开始肆虐全球.人感染了新型冠状

病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困

难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本,

再进行核酸检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果(阳

性、阴性)是相互独立的，且每份样本是阳性结果的概率均为P(O<P<1).

(1)若p=g,现对4份样本进行核酸检测，求这4份中检验结果为阳性的份数g的分布

列及期望；

⑵若p=l-2；现有2%伏€叶n2)份样本等待检验，并提供“合1”检验方案：将

k(k6W,k>2)份样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每

个人都为阴性;若检验结果为阳性，则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“k

合1”检验方案所需的检验次数X的期望E(X)与2k的大小.

21.已知A8,C是双曲线C:>?=l(a>0,10)上相异的三个点，点48关于原点对称,

直线BC,AC的斜率乘积为2.

(1)求双曲线C的离心率.

(2)若双曲线C过点(6,2),过圆0:/+V=从上一点以6为)作圆。的切线/，直线/交

双曲线C于P,。两点，|。"・|。0=4而，求直线/的方程.

22.已知二次函数/(9=炉+0¥+加+1,关于x的不等式”X)<(2〃L1)X+1-病的解

集为(北〃叶1),其中“为非零常数，设g(x)=".

(1)求。的值；

(2)Z,，〃(AeR,/〃xO)如何取值时，函数⑴(x)=g(x)-*ln(x-l)存在极值点，并求出极值

点.

(3)若〃?=1,且x>0,求证：[g(x+l)]"-g(x"+l)N2"-2(〃wN*).

试卷第6页，共6页

参考答案:

1.B

【分析】利用复数的除法可求z,进而可求

i+i2+i3-1-1+i11.

【详解】=------F-1,

1+i1+i(l+i)(l-i)22

11.11

所以z-z=----1H—=—

2242

故选：B.

2.A

【分析】根据函数.y=x,y=F,y=W,y=2',y=(gj的图象特征判断

2

【详解】在同一坐标系中作出函数y=%,y=G,y=xf

由函数图象，根据折线图可知，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是y=+〃

(机>0),

故选：A

3.A

【解析】先变形：y=&cosx=0sin(x+g,再根据左加右减原理即可得解.

【详解】因为y=V^cosx=&sin(x+]),

所以由函数y=&sin(x+?)的图象得到函数y=^sin[x+5)的图象，

答案第1页，共20页

TT

根据左加右减，只需向左平移二个单位.

4

故选：A.

4.C

【分析】根据题意，用排除法分析排除A、B、D,综合可得答案.

【详解】根据题意，用排除法分析:

对于A,/(x)=|-,当x<0时，有〃x)<0,不符合题意，

对于B,当x<0时，/(x)=(『+W<0,不符合题意，

X

对于D,/("=七，八2)=*<1，不符合题意，

故选：C.

5.B

【解析】计算异面直线AC和8c所成角，则e的最小值为异面直线AC和BG所成角的一

半

【详解】解：因为ac〃AG，

所以ZBGA为异面直线AC和g所成角,

因为AG=BG=AB,

所以VA8G是等边三角形，所以N8CA=60°,

过点B作直线/的平行线则当/与N8GA的角平分线平行时，e取得最小值为30。,

答案第2页，共20页

【点睛】此题考查异面直线所成角，属于基础题.

6.B

【分析】先分类，再每一类中用分步乘法原理即可.

【详解】由题意可知三年修完四门课程，则每位同学每年所修课程数为1」，2或0,1,3或0,2,2

若是1J2,则先将4门学科分成三组共种不同方式.再分配到三个学年共有种不同

A；

分配方式，由乘法原理可得共有.禺=36种，若是0,1,3,则先将4门学科分成三组

共种不同方式，再分配到三个学年共有A；种不同分配方式，由乘法原理可得共有

c2c2

C：C1A；=24种，若是0,2,2,则先将门学科分成三组共三种不同方式,再分配到三个

C：C；

学年共有国种不同分配方式,由乘法原理可得共有.禺=18种

所以每位同学的不同选修方式有36+24+18=78种,

故选：B.

7.A

【详解】如图所示，建立平面直角坐标系.

设A（0,l）,5（0,0）,C（2,0）,D（Zl）,P（x,y）,

2O4

易得圆的半径r=而，即圆C的方程是（x-2）-+V=（,

UUUL1LMIULIU

AP=（x,y—l）,AB=（O,—1）,AO=（2,0）,若满足AP=4A8+MAZ）,

则［龙:，〃=3，%=i-y，所以2+〃=：-y+i，

［y-\=-A22

设z=1-y+l,即T-y+l-z=0,点P（x,y）在圆（x-2y+V=［上,

答案第3页，共20页

r

所以圆心(2,0)到直线1-y+l-z=O的距离解得14Z43,

所以z的最大值是3,即义+〃的最大值是3,故选A.

【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量

的加、减或数乘运算.

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结

论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

8.B

【分析】先判断出偶函数，求导讨论/(x)在［0,+8)上的单调性，确定最小值，再结合选项，

讨论最小值和0的大小，进而分析出/(x)的零点，再分析/(f(x))的零点即可.

【详解】易得定义域为R,又/(一可=朋+/+6=/(耳，则””为偶函数；当X20时,

/(x)=er4-or2+b,/*(%)=eJ+2c4¥,

当a>0时，则r(x)=e，+2ox>0,则f(x)在9+⑹上单增，/(x)>/(O)=l+&,又〃x)

为偶函数，则在R上，/(x)n.n=l+/7；

对于A,若b>-l,贝厅(xUul+b〉。，故在R上有令f=/(x),则”0,易

得了(。>0,则f(7(x))无零点，故A错误；

对于B,若b<-l,则/(力.=1+"<0，又+8,故f(X)在［0,+8)上有1

个零点七，又用(力为偶函数,

则在(-8,0)上有另一个零点F,则/(/(X))零点的个数等价于"x)=X以及*x)=-x，解

的个数，又外>0,易得〃X)=玉有2个解，

又e*+ar；+6=0,-^-g(x)=ev+ar2-x-l(x>0),则g'(x)=e*+2or-]>0,贝!Jg(x)单增，

即g(x)>g(0)=0,

贝1%”+以2—》一1>0,可得e*+ax；-X1-l>0,即即6+1<-±,则〃力=-玉

有2个解,

答案第4页，共20页

综上可得对任意a＞0,〃”=玉以及/(力=-%有4个解，即/(/(⑼有4个零点，故B

正确；C错误；

若b=-l,则/(x)111ta=1+6=0,则〃x)有唯一零点0,则/(“X))零点的个数等价于

f(x)=0解的个数，

显然只有1个解0,即对任意。＞0,/(/(x))只有1个零点，故D错误.

故选：B.

【点睛】本题关键点在于讨论最小值和。的大小，进而分析出“X)的零点；当

时，易得f(x)有两个零点为，F，通过构造函数g(x)=e'+G：2—%—心＞。)判

断-为和8+1的大小，是求出/(力=-演解的个数的关键.

9.BCD

【分析】直接利用方差关系式的变化和原数据的关系，回归直线方程，相关系数的关系式,

正态分布的关系式的应用判断A、B、C、D的结论.

【详解】解：对于A：将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数〃后，方差也变为原

来的/倍，故A错误；

对于B：设有一个回归方程5=3-5x,变量x增加1个单位时，y=3-5(x+l)=3-5x-5,所

以平均减少5个单位，故B正确；

对于C：线性相关系数，•的绝对值越接近于1,两个变量的线性相关性越强；反之，越接近

于0线性相关性越弱，故C正确；

对于D：在某项测量中，测量结果J服从正态分布阳1,4)(。＞0),对称轴为4=1则

尸©＞1)=0.5,故D正确；

故选：BCD.

10.ABD

【分析】先根据周期函数定义判断选项A,再根据y=[x]函数的意义，转化/(X)为分段函

数判断B选项，结合三角函数的图象与性质判断C,D选项.

【详解】Qf(.x+2TT)=sin[cosx]+cos[sinx]=/(x),

\f(x)的一个周期是2万，故A正确；

答案第5页，共20页

sinl+l,x=O

cosl,x=—

2

sinl,xe

f(x)=<

34

l-sinl,xe

~2

・•・/(x)是非奇非偶函数，8正确；

对于C,xe(O,§时，/(x)=l,不增不减，所以C错误；

对于£>,xe[O,1)，/(x)=sinl+l>sin-+l=l+->1.7>>/2,。正确.

故选：ABD

【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性，奇偶性，考查了特例法求解选择题，属于

中档题.

11.BCD

【分析】求出二ABC外接圆面积判断A,作出异面直线所成的角并求出这个角后判断是B,

根据直线民平面所成的角定义判断C,求出球心到平面OEF的距离可判断D.

【详解】根据图形的形成，知48,C三点在底面。跖上的射影分别是1三边中点

M,N,P,如图，"C与全等且所在面平行，截面圆就是A3C的外接圆与加颂

的外接圆相同.

由题意ZXW尸的边长为1,其外接圆半径为r=1xl=@,圆面积为5=万产=二A错;

答案第6页，共20页

R

由上面讨论知AC与MP平行且相等，而MP与NF平行且相等，因此AC与NG平行且相等,

从而ACFN是平行四边形，CFHAN,所以ND4N是异面直线AD与C尸所成的角（或其补

角）.由已知，AD=2,DN=也,AN=CF=2,

AN2+AD2ND2

CO^DAN=-=^1^,B正确;

IANAD2x2x28

由平面ADE与平面DEF垂直知AE在平面AEF内的射影是DE,所以为直线AD与

平面DEE所成的角，此角大小57T，C正确.

4,4

由上面讨论知AB=BC=C4=1,设。是球心，球半径为R,由§万内=3万得R=l,则

O-ABC是正四面体,棱长为1,设H是ABC的中心，则0H，平面ABC,又Cau平面ABC,

、2

所以CW1CH,CH=息,则0H=3

邛,乂AM=6

37

所以球离球托底面际的最小距离为属当T,D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：本题考查空间折叠问题，掌握空间的垂直关系是解题关键.由垂直平

行关系得出MC与△MNP全等且所在面平行，从而易得截面圆与△MNP的外接圆相同，

答案第7页，共20页

从而可得CF〃AN,得异面直线所成的角，得直线与平面所成的角，根据正四面体积的性

质求得其高，得出距离的最小值.

12.ACD

【分析】A由递推式有上“用=与-+1,结合凡>0恒成立，即可判断：B反证法：

%+1

假设｛《,｝为常数列，根据递推式求。“判断是否符合4>0,即可判断；C、D由上

­=讨论向<2、。向>2研究数列单调性，即可判断.

an+l

【详解】A：由%=区+1,对V”eN*有4>0,则«B+1=-+1>1，即任意n>2都有为>1,

正确；

B：由4+](%+|-1)=%,若｛4｝为常数列且为>。，则。”=2满足4>0,错误；

C：由—=凡+i-1且〃£N*,

%

当1<4"+]<2时。</J<1,此时q=%(%-1)£(°，2)且4<。2，数列｛4｝递增；

an+l

当a“+i>2时&>1,此时％=%(%-1)>%>2,数列｛6｝递减；

。“+1

所以0<q<2时数列｛〃,,｝为递增数列,正确；

D：由C分析知：4>2时>2且数列｛%｝递减，即〃22时2<。“<%,正确.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：选项B应用反证法，假设｛%｝为常数列求通项，判断是否与q>0矛

盾；对于C、D,将递推式变形为2=%"T,讨论1<。向<2、〃向>2时研究数列的单

调性.

13.160

【分析】由二项式的展开式的通项公式得到令r=3,即可求出展开式中『项的系

数.

【详解】因为C；16T(2X)'=C；2X,

6x5x4

所以令r=3,则(1+2"的展开式中/项的系数为屐乂23=丁丁；*8=160,

3x2x1

故答案为：160.

答案第8页，共20页

14.y=±(G+l)x

【分析】根据双曲线的定义可求用用I,|8知|,结合余弦定理可求，的值.

【详解】如图，设直线/：y=-^x,6S1/且垂足为s,

因为闺N|T骂M=2a，故低M=2a,所以住陷=4〃，

而「SJL/,故［5=6,故COSNS"E=9,

C

h

在△耳中，由余弦定理可得16/=4/+4,2-2x2cx2。*一,

C

整理得到：2/+2H-〃=0,故2=1+6，

a

因此该双曲线的渐近线方程为y=±(V3+l)x.

故答案为：y=+(>/3+l)x.

100

15.4—

243

【分析】每关得到的最大点数为6”，令。,,=6〃-2",利用作差法可求得数列｛%｝单调性，

由此可确定当“24时，6n<2%从而得到结论；分别计算该人通过第一、第二和第三关的

概率，根据独立事件概率乘法公式可求得结果.

【详解】若每次抛掷一颗骰子都能得到最大点数6点，则第〃关抛掷的点数和为6〃，

令q=6〃-2",则--%=6〃+6--6"+2"=6-2",

则当“42时，数列｛4｝单调递增；当〃23时，数列｛%｝单调递减；

又q=4>0,%=10>0,a4=-10<0,

二当〃24时，6〃<2",则某人在这项游戏中最多能过4关；

该人第一关所有可能的结果为1,2,3,4,5,6,则通过第一关的概率网=：4=32；

答案第9页，共20页

该人第二关所有可能的结果有6x6=36利i,则不能过关的基本事件个数为2Wx+y«4的正

整数解的个数，则有1+C；+C；=6种，

•••通过第二关的概率P，=1=：；

36o

该人第三关所有可能的结果有6x6x6=216种，则不能过关的基本事件个数为

34x+y+z48的正整数解得个数，则有1+C；+C：+C；+C：+C；=1+3+6+10+15+21=56

种，

通过第三关的概率P3=1-费W；

・••连过前三关的概率"2P3/x'x券=黑.

3o2/243

HG工100

故答案为：4；五)

16.873

【分析】由余弦定理及所给等式可得“2+2历34=4限皿［+/化简得/=2^^114,

然后利用正弦定理进行边化角可整理得tanB+tanC=2力tan8tanC,再由

tanA=-tan(8+C)可推出tanA+tanB+tanC=tanA-tanB・tanC,令

121137211。-1=〃?(机>0)将所求式子整理为关于相的函数，利用基本不等式即可求得最小

值.

【详解】由余弦定理，得6+/="+加3人则由从+c2=40csin(A+高，得

a2+2/?ccosA=40c'sin(4+^)=2bc(6sinA+cosA),所以〃2=2由bcsinA,

由正弦定理，Wsin2A=25/3sinBsinCsin/4»所以sinA=2>/5sinBsinC,

所以sin(B+C)=2A/3sinBsinC,sinBcosC+cosBsinC=26sinBsinC,

tan3+tanC=2GtanBtanC.

tanB+tanC

因为tanA=-tan(8+C)=

tanBtanC-1

所以tanA+tan8+tanC=tanAtan8tanC,

i“八_tanB+tanC__tanBtanC__

贝rnIi」tanA+tanB+tanC=------------------tanB-tanC=---------------------tanB-tanC.

tanBtanC-1tanBtanC-1

人c-«一八〃1tan8tanC_

令tan3tanC-l=m，而tanBtanC-l=-------+-------m>0

tanAtanA

答案第10页，共20页

则tan8•tanC=6+1,

22

,D<25/3(/»+l)2y/3(m+2m+\)

tanA+tan8+tanC=----------=---------------

mm

=26(m+—+2]..2^(2J/n--+2)=8>/3,

\m)vm

当且仅当机=1时，等号成立，

故tanA+tanB+tanC的最小值为8\/5.

故答案为：8出

【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式、正切公式，基本不

等式的应用，换元法的应用等，属于较难题.根据条件中边和角的关系求解三角形的相关问

题的一般方法：(1)利用正弦定理将边化为角，然后利用三角函数的知识及其他知识求解；

(2)利用正弦定理或余弦定理将角化为边，然后利用代数知识求解.

17.⑴苧

吗

【分析】(1)根据角a的终边与单位圆交于点cosa=4,利用三角函数的定义，

结合平方关系求解；

(2)设单位圆与x轴负半轴交点为Q,则Q(-I,o),设=求得tanp,再利用二

倍角的正切公式求解.

【详解】(1)解：因为锐角a的终边与单位圆交于点尸(知乂)，cosa=@,

所以y=sinc=>/l-cos2a=.

(2)设单位圆与x轴负半轴交点为Q,则。(TO),

答案第11页，共20页

设乙MOQ=0,则4=乃_[a+')=冗

2~a，

n

---a

2_cosa

所以tan尸=tan

兀sina2

—a

2

2tan(34

所以tan/MON=tan2/?=

1-tan2/?3,

18.(1){-7,-5,—3,—1,1,3,5,7)

(2)证明见解析

【分析】(1)分别讨论4,%，%的取值，由t=4q+2g+4可求得所有可能的取值；

(2)当4=-1时，可知7；4-2"T+(2"2+2"3+...+2i+2°),结合等比数列求和公式可证得

充分性成立；假设4=1,可知7；22，1-27-2"-3——2'-2°,结合等比数列求和公式可

证得必要性成立，由此可得结论.

【详解】(D由题意知:岂=4《+2%+4,

4e{-l,l}(z=l,2,­••,«),

-**当q=4=%=-］时，n=—7；当q==-1f“3=］时，—6+1=—5•

当〃1=〃3=_1，〃2=1时，(=-5+2=-3；当。2=%=—1，q=l时，^3=4-3=1；

当4=-1,生=%=1时、4=-4+3=-1；当〃2=-1,4=%=1时，(=5-2=3；

当〃3=—1,“1=4=1时，4=6—1=5；当4=42=。3=1时；T、=7、

综上所述：1所有可能的取值为{-7,-5,-3,-1,1,3,5,7}.

答案第12页，共20页

充分性：当时，1n23

(2)q=-lTn=-2"-+a2-2~+a3-2"-+■■■+aa.,-2'+a„•2°

1_

<-2'-'+(2"-2+2""+…+2i+2°)=-2"-'+=-2"-'+2"-一1=-1<0(当月.仅当

%=。3=1时取等号）,

即当4=-1时-，（<0,充分性成立；

必要性:假设4=1,则7>2”'+%-2-2+42"-3+...+*.21+%-2°

>2'"'-2"2-2-3-------2'-2°=2"-'-=2"T一2'-'+1=1>0（当且仅当

1-2

4=4=3="”=T时取等号），

与7；<0矛盾，.•.假设错误，即q=-l,必要性成立；

综上所述：数列4的指数和1<0的充分必要条件是4=7

19.（1）—

4

⑵包

11

【分析】（1）取AM的中点G,连接PG,即当平面小〃_L平面ABCM时，P点到平面ABCM

的距离最大，即可得到结果；

（2）连接。G,过点。作。Z,平面ABC。，以。为坐标原点，分别D4以。C,OZ所在直

线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及

法向量，列出方程，即可得到结果.

【详解】（1）取AM的中点G,连接PG,因为必=PM,则尸6人4W,

当平面平面ABCM时，P点到平面A8CM的距离最大，四棱锥2-A8CW的体积取

得最大值，此时PG1•平面ABCM,且PG=-AM=Y-,

22

底面A8CM为梯形，SAM”=（1+2）X1X；=|,

则四棱锥P-MC用的体积最大值为•Lx3x^=走.

3224

答案第13页，共20页

(2)连接£>G,因为D4=ZW,所以。G_LAM,所以NPG。为尸一AM—。的平面角，即

zPGD=e,

过点。作OZJ_平面ABC。，以。为坐标原点,

分别以D4,DC,£>Z所在直线为x轴，)，轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(1,0,0),M(0,1,0),C(0,2,0),

过P作PHLDG于点H,由题意得尸"，平面ABCM,

设尸(%,％,Zo),因为尸6=孝，所以GH=^~-cos0,DH(1-cos6>),

所以/=%=^-(1-COS0)X^-=—(1-COS0)>zo=^y-sin0,

C,.5、

所以P—(1-cos^),-(1-cos0),——sin。,

322,

EMf1+COS0COS。-1s/2•、

所以A"二(—1,1,0),PA=---,---,-sm<9,

~x\+y=0

设平面PAM的法向量为勺=(%,y,zj,则<l+cos。cos0-15/2sin_

-2—玉+-2-Y----2-4=0

令z、=叵,则勺=pan仇tan仇吟

设平面PBC的法向量为%=(w，%,Z2),

cos0-1cos0+35/2.八、

因为CB=(l,0,0),PC=-------,-------,----sine/,

222/

答案第14页，共20页

马=0

则｛cos(9-lcos(9+372."八令%=逐sin8,

----——x2+---------y2———z2sin6/=0

可得%二（0,及sin9,3+cos。）,

设两平面夹角为。，

6也O+3&.+近cos。

COS013cos6+1|

J(2tar|26+2)卜后26+6cos6+10)A/11-cos*123*II^+6cos0

3cos^+-

33

J-fcos^lL^fcos^lV808020

VI3j3I3)9

9|cos0+-

l3

1

令/=r，所以法

?cos"03

3

9

所以cosa—―/:

切以V80/2+60Z-9

-3

因为y=80/+60/-9的对称轴为f=-g,

o

所以当r=3时，cosa有最小值Yll,

II

所以平面PAM和平面PBC夹角余弦值的最小值为近.

11

（2）答案见解析

【分析】（1）分析可知4~8（4，:）,利用二项分布可得出随机变量4的分布，利用二项分布

的期望公式可求得£仁）的值;

答案第15页，共20页

(2)计算出E(X),令2&-E(X)>0可得出log/-；〉。，构造函数〃A)=log2"；(k22),

利用导数研究函数/小)的单调性，比较/(&)与0的大小关系，即可得出E(X)与筋的大小.

【详解】(1)解：记阳性人数为久则4~8卜4%=。)同Y，

.1/2?328

士=1）=C：=士=2）=C]

33）8127

（2）解：记所需化验次数为X,则X的可能取值为2、k+2、2k+2,

p=l-2-^则1_/,=2士

/八2_k_（k\

所以，P（X=2）=，P（X=A+2）=C；.241—,

k）\

（_£\2

P（X=2k+2）=1-2々,

E（X）=2x2W+2（攵+2>2y.i-2.[+（22+2）.1-21=2+221-2々

kkJ

令2Z-E（X）=2h2「"_2>0，可得%>2?,则]<2%

k1k

所以，一]>1°821，SPlog2/:——>0,

令f（k）=\o^k--（k>2],贝=—!——）=4-""2

'）624、'Jv7k\nl44kln2

当24入矗时，r⑻>0,此时函数/⑻单调递增，

当无>3时,r网<0,此时函数〃&）单调递减,

答案第16页，共20页

214、

/（2）=log22-^=l＞0,当壮[2,而J时，/心）＞0恒成立，

/（16）=Iog216-^=0,则当ke总16）时，/（左）＞0恒成立，

当火«16,物）时，/（&）＜0恒成立.

综上所述，当上目2,16）且丘N时，/（&）＞0,则E（X）＜2Z,

当出=16时,/（%）=0,则E（X）=2Z,

当Ae（16,”）且女eN时，/（Z）＜0,则E（X）＞2h

【点睛】方法点睛：求离散型随机变量均值与方差的基本方法：

（1）已知随机变量的分布列求它的均值、方差，按定义求解.

（2）已知随机变量x的均值、方差，求x的线性函数的均值、方差，可直接用x

的均值、方差的性质求解；

（3）如果所给随机变量是服从常用的分布（如两点分布、二项分布等），利用它们的均值、

方差公式求解.

21.（l）e=G

(2)y=±x±2或y二±2x±VlO

【分析】（1）利用原1&%=号*及点差法即可求出4=2,据此可得椭圆离心率；

%2-玉a~

（2）分直线斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时验证可得不成立，当斜率存在时，设直

线/的方程为丁=丘+〃6（%力），。（如％），联立双曲线方程，由根与系数的关系计算可得

OPA-OQ,据此求出=46，利用弦长公式求解可得.

【详解】（1）设A&,yJ,C（w，%），根据对称性，知

所以松.心:山.山二军港.

X2-X]工2+%工2一百

0")

%—江=1

/b2得心c,即c=:

因为点AC在双曲线上，所以两式相减,二2,

K_K=i

a2b2

答案第17页，共20页

所以/=Q=1+<=3,所以e=也.

aQ

(2)因为双曲线过点(6,2),所以双曲线方程：x2-^-=l

当直线I的斜率不存在时，则PQ1耳%|⑰=2,|0。|=2,|0周0。|=4*4而

直线/的斜率不存在时不成立.

当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为>=履+加,尸(如为)，。(孙乂)

又点0到直线/的距离d=-^==帆=0护II,/=2伏2+1),

y=kx+m

联立'肖去,得(2_%2)工2_2初比_m2_2=