北京市平谷区市级名校2024届高三1月质量检测试题数学试题

北京市平谷区市级名校2024届高三1月质量检测试题数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若时，，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．的展开式中的系数为()A．－30 B．－40 C．40 D．503．设命题p:>1,n2>2n,则p为（）A． B．C． D．4．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．5．某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查，利用列联表，由计算得,参照下表:0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828得到正确结论是()A．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关”B．有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“学生性别与中学生追星有关”6．若复数是纯虚数，则实数的值为()A．或 B． C． D．或7．已知函数,则函数的图象大致为（）A． B．C． D．8．给出下列三个命题：①“”的否定；②在中，“”是“”的充要条件；③将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．其中假命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．若直线与圆相交所得弦长为，则（）A．1 B．2 C． D．310．正项等比数列中，，且与的等差中项为4，则的公比是()A．1 B．2 C． D．11．已知正三角形的边长为2，为边的中点，、分别为边、上的动点，并满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．12．的展开式中，满足的的系数之和为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______14．在等差数列（）中，若，，则的值是______.15．四边形中，，，，，则的最小值是______.16．在的展开式中，的系数等于__．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某生物硏究小组准备探究某地区蜻蜓的翼长分布规律，据统计该地区蜻蜓有两种，且这两种的个体数量大致相等，记种蜻蜓和种蜻蜓的翼长（单位：）分别为随机变量，其中服从正态分布，服从正态分布.（Ⅰ）从该地区的蜻蜓中随机捕捉一只，求这只蜻蜓的翼长在区间的概率；（Ⅱ）记该地区蜻蜓的翼长为随机变量，若用正态分布来近似描述的分布，请你根据（Ⅰ）中的结果，求参数和的值（精确到0.1）；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从该地区的蜻蜓中随机捕捉3只，记这3只中翼长在区间的个数为，求的分布列及数学期望（分布列写出计算表达式即可）.注:若，则，，.18．（12分）如图，在四棱锥中，，，，和均为边长为的等边三角形.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知数列中，（实数为常数），是其前项和，且数列是等比数列，恰为与的等比中项．（1）证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）若，当时，的前项和为，求证：对任意，都有．20．（12分）已知函数.（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若对于任意恒成立，求的取值范围.21．（12分）设（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.22．（10分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若函数在区间上的最小值为，求m的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解题分析】

由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.【题目详解】由题得对恒成立，令，在单调递减，且，在上单调递增，在上单调递减，，又在单调递增，，的取值范围为.故选：D【题目点拨】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.2、C【解题分析】

先写出的通项公式，再根据的产生过程，即可求得.【题目详解】对二项式，其通项公式为的展开式中的系数是展开式中的系数与的系数之和.令，可得的系数为；令，可得的系数为；故的展开式中的系数为.故选：C.【题目点拨】本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.3、C【解题分析】根据命题的否定，可以写出：，所以选C.4、D【解题分析】

求出命题不等式的解为，是的必要不充分条件，得是的子集，建立不等式求解.【题目详解】解：命题，即:，是的必要不充分条件，，，解得．实数的取值范围为．故选：．【题目点拨】本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验．5、B【解题分析】

通过与表中的数据6.635的比较，可以得出正确的选项.【题目详解】解:，可得有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”，故选B.【题目点拨】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题.6、C【解题分析】试题分析：因为复数是纯虚数，所以且，因此注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数7、A【解题分析】

用排除法，通过函数图像的性质逐个选项进行判断，找出不符合函数解析式的图像，最后剩下即为此函数的图像.【题目详解】设，由于，排除B选项；由于，所以，排除C选项；由于当时，，排除D选项.故A选项正确.故选：A【题目点拨】本题考查了函数图像的性质，属于中档题.8、C【解题分析】

结合不等式、三角函数的性质,对三个命题逐个分析并判断其真假,即可选出答案.【题目详解】对于命题①,因为,所以“”是真命题,故其否定是假命题,即①是假命题;对于命题②,充分性:中,若,则,由余弦函数的单调性可知,,即,即可得到,即充分性成立;必要性:中,,若,结合余弦函数的单调性可知,,即,可得到,即必要性成立.故命题②正确;对于命题③,将函数的图象向左平移个单位长度,可得到的图象,即命题③是假命题．故假命题有①③.故选:C【题目点拨】本题考查了命题真假的判断,考查了余弦函数单调性的应用,考查了三角函数图象的平移变换,考查了学生的逻辑推理能力,属于基础题.9、A【解题分析】

将圆的方程化简成标准方程,再根据垂径定理求解即可.【题目详解】圆的标准方程,圆心坐标为,半径为,因为直线与圆相交所得弦长为,所以直线过圆心,得,即.故选：A【题目点拨】本题考查了根据垂径定理求解直线中参数的方法,属于基础题.10、D【解题分析】

设等比数列的公比为q，，运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q．【题目详解】由题意，正项等比数列中，，可得，即，与的等差中项为4，即，设公比为q，则，则负的舍去，故选D．【题目点拨】本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题．11、A【解题分析】

建立平面直角坐标系，求出直线，设出点，通过，找出与的关系．通过数量积的坐标表示，将表示成与的关系式，消元，转化成或的二次函数，利用二次函数的相关知识，求出其值域，即为的取值范围．【题目详解】以D为原点，BC所在直线为轴，AD所在直线为轴建系，设，则直线，设点，所以由得，即，所以，由及，解得，由二次函数的图像知，，所以的取值范围是．故选A．【题目点拨】本题主要考查解析法在向量中的应用，以及转化与化归思想的运用．12、B【解题分析】

，有，，三种情形，用中的系数乘以中的系数，然后相加可得．【题目详解】当时，的展开式中的系数为．当，时，系数为；当，时，系数为；当，时，系数为；故满足的的系数之和为．故选：B．【题目点拨】本题考查二项式定理，掌握二项式定理和多项式乘法是解题关键．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．【题目详解】解：如图，在四面体中，底面，，，可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．其表面积为．故答案为：．【题目点拨】本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．14、-15【解题分析】

是等差数列，则有，可得的值，再由可得，计算即得.【题目详解】数列是等差数列，，又，，，故.故答案为：【题目点拨】本题考查等差数列的性质，也可以由已知条件求出和公差，再计算.15、【解题分析】

在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果.【题目详解】，如图，在中，由正弦定理可得，即，故当时，取到最小值为.故答案为：.【题目点拨】本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．16、7【解题分析】

由题，得，令，即可得到本题答案.【题目详解】由题，得，令，得x的系数.故答案为：7【题目点拨】本题主要考查二项式定理的应用，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），；（Ⅲ）详见解析.【解题分析】

（Ⅰ）由题知这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的，所以，代入数值运算即可；（Ⅱ）可判断均值应为，再结合（1）和题干备注信息可得，进而求解；（Ⅲ）求得，该分布符合二项分布，故，列出分布列，计算出对应概率，结合即可求解；【题目详解】（Ⅰ）记这只蜻蜓的翼长为.因为种蜻蜓和种蜻蜓的个体数量大致相等，所以这只蜻蜓是种还是种的可能性是相等的.所以.（Ⅱ）由于两种蜻蜓的个体数量相等，的方差也相等，根据正态曲线的对称性，可知由（Ⅰ）可知，得.（Ⅲ）设蜻蜓的翼长为，则.由题有，所以.因此的分布列为.【题目点拨】本题考查正态分布基本量的求解，二项分布求解离散型随机变量分布列和期望，属于中档题18、(1)见证明；(2)【解题分析】

(1)取的中点，连接，要证平面平面，转证平面，即证，即可；(2)以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入公式，即可得到结果.【题目详解】（1）取的中点，连接，因为均为边长为的等边三角形，所以，，且因为，所以，所以，又因为，平面，平面，所以平面.又因为平面，所以平面平面.（2）因为，为等边三角形，所以，又因为，所以，，在中，由正弦定理，得：，所以.以为坐标原点，以为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则，即，令，则平面的一个法向量为，依题意，平面的一个法向量所以故二面角的余弦值为.【题目点拨】空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19、（1）见解析（2）（3）见解析【解题分析】

（1）令可得，即．得到，再利用通项公式和前n项和的关系求解，（2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，再根据恰为与的等比中项求解，（3）由（2）得到时，，，求得，再代入证明。【题目详解】（1）解：令可得，即．所以．时，可得，当时，所以．显然当时，满足上式．所以．，所以数列是等差数列，（2）由（1）知，．设等比数列的公比为，所以，恰为与的等比中项，所以，解得，所以（3）时，，，而时，，，所以当时，.当时，，∴对任意，都有，【题目点拨】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系，等差数列，等比数列的定义和性质以及数列放缩的方法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题，20、（1）或；（2）.【解题分析】

（1）时，分类讨论，去掉绝对值，分类讨论解不等式.（2）时，分类讨论去绝对值，得到解析式，由函数的单调性可得的最小值，通过恒成立问题，得到关于的不等式，得到的取值范围.【题目详解】（1）因为，所