2024届福建省示范名校高三下学期期末学业水平调研数学试题试卷

2024届福建省示范名校高三下学期期末学业水平调研数学试题试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A． B． C． D．2．函数在上为增函数，则的值可以是()A．0 B． C． D．3．若执行如图所示的程序框图，则输出的值是（）A． B． C． D．44．已知实数、满足不等式组，则的最大值为（）A． B． C． D．5．已知的内角的对边分别是且，若为最大边，则的取值范围是（）A． B． C． D．6．命题“”的否定为（）A． B．C． D．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．8．执行如图所示的程序框图，若输出的，则①处应填写（）A． B． C． D．9．设为自然对数的底数，函数，若，则()A． B． C． D．10．已知，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D．12．过椭圆的左焦点的直线过的上顶点，且与椭圆相交于另一点，点在轴上的射影为，若，是坐标原点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验，则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________．14．已知全集，集合，则______.15．若直线与直线交于点，则长度的最大值为____．16．双曲线的左右顶点为，以为直径作圆，为双曲线右支上不同于顶点的任一点，连接交圆于点，设直线的斜率分别为，若，则_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线为，是上的两个动点，．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）证明：当取最小值时，与共线．18．（12分）管道清洁棒是通过在管道内释放清洁剂来清洁管道内壁的工具，现欲用清洁棒清洁一个如图1所示的圆管直角弯头的内壁，其纵截面如图2所示，一根长度为的清洁棒在弯头内恰好处于位置（图中给出的数据是圆管内壁直径大小，）.（1）请用角表示清洁棒的长；（2）若想让清洁棒通过该弯头，清洁下一段圆管，求能通过该弯头的清洁棒的最大长度.19．（12分）已知等差数列和等比数列的各项均为整数，它们的前项和分别为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）求；（3）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由.20．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，若直线与曲线相交于、两点，求的值21．（12分）在直角坐标平面中，已知的顶点，，为平面内的动点，且.（1）求动点的轨迹的方程；（2）设过点且不垂直于轴的直线与交于，两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过轴上的定点.22．（10分）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，丄底面.（1）证明：平面平面；（2）过的平面交于点，若平面把四棱锥分成体积相等的两部分，求二面角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解题分析】

联立方程解得M(3，)，根据MN⊥l得|MN|＝|MF|＝4，得到△MNF是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案.【题目详解】依题意得F(1,0)，则直线FM的方程是y＝(x－1)．由得x＝或x＝3.由M在x轴的上方得M(3，)，由MN⊥l得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4又∠NMF等于直线FM的倾斜角，即∠NMF＝60°，因此△MNF是边长为4的等边三角形点M到直线NF的距离为故选：C.【题目点拨】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.2、D【解题分析】

依次将选项中的代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【题目详解】当时，在上不单调，故A不正确；当时，在上单调递减，故B不正确；当时，在上不单调，故C不正确；当时，在上单调递增，故D正确.故选：D【题目点拨】本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.3、D【解题分析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，得出的变化以4为周期出现，由此可得结论．【题目详解】；如此循环下去，当时，，此时不满足，循环结束，输出的值是4.故选：D．【题目点拨】本题考查程序框图，考查循环结构．解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论．4、A【解题分析】

画出不等式组所表示的平面区域，结合图形确定目标函数的最优解，代入即可求解，得到答案．【题目详解】画出不等式组所表示平面区域，如图所示，由目标函数，化为直线，当直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最大，目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为，故选A．【题目点拨】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．5、C【解题分析】

由，化简得到的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.【题目详解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因为为三角形的最大角，所以，又由余弦定理，当且仅当时，等号成立，所以，即，又由，所以的取值范围是.故选：C.【题目点拨】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.6、C【解题分析】

套用命题的否定形式即可.【题目详解】命题“”的否定为“”，所以命题“”的否定为“”.故选：C【题目点拨】本题考查全称命题的否定，属于基础题.7、A【解题分析】

根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【题目详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积.故选：A.【题目点拨】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．8、B【解题分析】

模拟程序框图运行分析即得解.【题目详解】；；.所以①处应填写“”故选：B【题目点拨】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9、D【解题分析】

利用与的关系，求得的值.【题目详解】依题意，所以故选：D【题目点拨】本小题主要考查函数值的计算，属于基础题.10、D【解题分析】

“是的充分不必要条件”等价于“是的充分不必要条件”，即中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集.【题目详解】由题意知：可化简为，，所以中变量取值的集合是中变量取值集合的真子集，所以.【题目点拨】利用原命题与其逆否命题的等价性，对是的充分不必要条件进行命题转换，使问题易于求解.11、C【解题分析】

将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【题目详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【题目点拨】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.12、D【解题分析】

求得点的坐标，由，得出，利用向量的坐标运算得出点的坐标，代入椭圆的方程，可得出关于、、的齐次等式，进而可求得椭圆的离心率.【题目详解】由题意可得、.由，得，则，即.而，所以，所以点.因为点在椭圆上，则，整理可得，所以，所以.即椭圆的离心率为故选：D.【题目点拨】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出、、的齐次等式，充分利用点在椭圆上这一条件，围绕求点的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解题分析】

记只雌蛙分别为，只雄蛙分别为，从中任选只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为，共15个，选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为，共9个，故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是．14、【解题分析】

根据题意可得出，然后进行补集的运算即可．【题目详解】根据题意知，，，，．故答案为：．【题目点拨】本题考查列举法的定义、全集的定义、补集的运算，考查计算能力，属于基础题．15、【解题分析】

根据题意可知,直线与直线分别过定点,且这两条直线互相垂直,由此可知,其交点在以为直径的圆上,结合图形求出线段的最大值即可.【题目详解】由题可知,直线可化为,所以其过定点,直线可化为,所以其过定点,且满足,所以直线与直线互相垂直,其交点在以为直径的圆上,作图如下:结合图形可知,线段的最大值为,因为为线段的中点,所以由中点坐标公式可得,所以线段的最大值为.故答案为:【题目点拨】本题考查过交点的直线系方程、动点的轨迹问题及点与圆的位置关系;考查数形结合思想和运算求解能力;根据圆的定义得到交点在以为直径的圆上是求解本题的关键;属于中档题.16、【解题分析】

根据双曲线上的点的坐标关系得，交圆于点，所以，建立等式，两式作商即可得解.【题目详解】设，交圆于点，所以易知:即.故答案为：【题目点拨】此题考查根据双曲线上的点的坐标关系求解斜率关系，涉及双曲线中的部分定值结论，若能熟记常见二级结论，此题可以简化计算.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）证明见解析．【解题分析】由与，得，，的方程为．设，则，由得．①（Ⅰ）由，得，②，③由①、②、③三式，消去，并求得，故．（Ⅱ），当且仅当或时，取最小值，此时，，故与共线．18、（1）；（2）.【解题分析】

（1）过作的垂线，垂足为，易得，进一步可得；（2）利用导数求得最大值即可.【题目详解】（1）如图，过作的垂线，垂足为，在直角中，，，所以，同理，.（2）设，则，令，则，即.设，且，则当时，，所以单调递减；当时，，所以单调递增，所以当时，取得极小值，所以.因为，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通过此钢管的铁棒最大长度为.【题目点拨】本题考查导数在实际问题中的应用，考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.19、（1）；（2）；（3）存在，1.【解题分析】

（1）利用基本量法直接计算即可；（2）利用错位相减法计算；（3），令可得，，讨论即可.【题目详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为，因为，所以，即，解得，或（舍去）.所以.（2），，所以，所以.（3）由（1）可得，，所以.因为是数列或中的一项，所以，所以，因为，所以，又，则或.当时，有，即，令.则.当时，；当时，，即.由，知无整数解.当时,有，即存在使得是数列中的第2项，故存在正整数，使得是数列中的项.【题目点拨】本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.20、（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）.【解题分析】

（1）在曲线的参数方程中消去参数可得出曲线的普通方程，利用两角和的正弦公式以及可将直线的极坐标方程化为普通方程；（2）设直线的参数方程为（为参数），并设点、所对应的参数分别为、，利用韦达定理可求得的值.【题目详解】（1）由，得，，曲线的普通方程为，由，得，直线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数），代入，得，则，设、两点对应参数分别为、，，，，，.【题目点拨】本题考查了参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线参数方程几何意义的应用，考查计算能力，属于中等题.21、（1）（）；（2）证明见解析.【解题分析】

（1）设点，分别用表示、表示和余弦定理表示，将表示为、的方程，再化简即可；（2）设直线方程代入的轨迹方程，得，设点，，，表示出直线，取，得，即可证明直线过轴上的定点.【题目详解】（1）设，由已知，∴，∴（），化简得点的轨迹的方程为：（）；（2）由（1）知，过点的直线的斜率为0时与无交点，不合题意故可设直线的方程为：（），代入的方程得：.设，，则，，.∴直线：.令，得.直线过轴上的定点.【题目点拨】本题主要考查轨迹方程的求法、余弦定理的应用和利用直线和圆锥曲线的位置关系求定点问题，考查学生的计算能力，属于中档题.22、（1）见证明；（2）【解题分析】

（1）先证明等腰梯形中，然后证明，即可得到丄平面，从而可证明平面丄平面；（2