北京市朝阳区2022-2023学年高一上学期数学期末试题（含答案详解）

北京市朝阳区2022~2023学年度第一学期期末质量检测高一数学2023.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若SKIPIF1<0，则下列各式一定成立的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.【详解】AD选项，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，所以AD选项错误.B选项，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以B选项错误.C选项，若SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，所以C选项正确.故选：C2.若角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0是（）A第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【答案】B【解析】【分析】根据三角函数四个象限符号确定.【详解】SKIPIF1<0为第二，三象限角或者SKIPIF1<0轴负半轴上的角；又SKIPIF1<0为第二，四象限角所以SKIPIF1<0为第二象限角.故选：B3.下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为SKIPIF1<0的是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.【详解】对于A，SKIPIF1<0在定义域上单调递增且值域为SKIPIF1<0，故A不正确；对于B，SKIPIF1<0在定义域上单调递增值域为SKIPIF1<0，故B正确；对于C，由双勾函数的图象知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，故C不正确；对于D，SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0，故D不正确.故选：B.4.设集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，则A与B的关系为（）ASKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.【详解】由于集合SKIPIF1<0，所以集合SKIPIF1<0表示终边落在SKIPIF1<0轴上的角的集合；由于集合SKIPIF1<0，所以集合SKIPIF1<0表示终边落在SKIPIF1<0轴上的角的集合；所以SKIPIF1<0.故选：A5.声强级SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）出公式SKIPIF1<0给出，其中I为声强（单位：SKIPIF1<0）．若平时常人交谈时的声强约为SKIPIF1<0，则声强级为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据对数运算求得正确答案.【详解】依题意SKIPIF1<0.故选：C6.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.【详解】当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，充分性成立；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，满足SKIPIF1<0，但此时SKIPIF1<0，必要性不成立，综上所述，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件.故选：A.7.已知函数SKIPIF1<0，有如下四个结论：①函数SKIPIF1<0在其定义域内单调递减；②函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0；③函数SKIPIF1<0的图象是中心对称图形；④方程SKIPIF1<0有且只有一个实根．其中所有正确结论的序号是（）A.①② B.②③ C.①③ D.③④【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.【详解】SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，①错误.由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函数，图象关于原点对称，③正确.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在唯一零点，也即方程SKIPIF1<0有且只有一个实根，④正确.所以正确结论的序号是③④.故选：D8.已知角SKIPIF1<0为第一象限角，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】先确定SKIPIF1<0的取值范围，由此求得SKIPIF1<0的取值范围.【详解】由于角SKIPIF1<0为第一象限角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A9.某厂以x千克/小时速度匀速生产某种产品（生产条件要求SKIPIF1<0），每小时可获得利润SKIPIF1<0元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A.2千克/小时 B.3千克/小时C.4千克/小时 D.6千克/小时【答案】C【解析】【分析】生产100千克该产品获得的利润为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由换元法求二次函数最大值即可.【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0.故选：C10.定义在SKIPIF1<0上的偶函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0，则a，b，c的大小关系是（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a，b，c，最后根据单调性比较大小.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的周期为2，又SKIPIF1<0为偶函数，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，∴SKIPIF1<0.故选：A第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．11.已知集合SKIPIF1<0，集合SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根据并集的定义运算即可.【详解】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<012.已知角SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________；SKIPIF1<0__________．【答案】①.SKIPIF1<0##SKIPIF1<0②.SKIPIF1<0【解析】【分析】由条件结合诱导公式求SKIPIF1<0，根据特殊角三角函数值求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.13.设SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________.【答案】2【解析】【分析】对SKIPIF1<0利用对数运算公式，得到SKIPIF1<0，再由基本不等式以及条件中的SKIPIF1<0，得到答案.【详解】因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0所以由基本不等式可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.14.设函数SKIPIF1<0的定义域为I，如果SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，已知函数SKIPIF1<0的最大值为2，则SKIPIF1<0可以是___________．【答案】SKIPIF1<0（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的SKIPIF1<0.【详解】依题意可知SKIPIF1<0是偶函数，且最大值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合题意.故答案为：SKIPIF1<0（答案不唯一）15.已知下列五个函数：SKIPIF1<0，从中选出两个函数分别记为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图象如图所示，则SKIPIF1<0______________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】观察图象确定函数SKIPIF1<0的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定SKIPIF1<0的解析式.【详解】由已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，观察图象可得SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0中必有一个函数为SKIPIF1<0，且另一个函数不可能为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的图象不关于原点对称，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0图象矛盾，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.16.已知函数SKIPIF1<0，给出以下四个结论：①存在实数a，函数SKIPIF1<0无最小值；②对任意实数a，函数SKIPIF1<0都有零点；③当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增；④对任意SKIPIF1<0，都存在实数m，使方程SKIPIF1<0有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是________________．【答案】①②④【解析】【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.【详解】①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的图象如下图所示，由图可知，SKIPIF1<0没有最小值，①正确.②，由于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以对任意实数a，函数SKIPIF1<0都有零点，②正确.③当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上不是单调递增函数，③错误.④，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，画出SKIPIF1<0的图象如下图所示，由图可知存在实数m，使方程SKIPIF1<0有3个不同的实根，④正确.综上所述，正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17.已知角SKIPIF1<0的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的值；（2）求SKIPIF1<0值．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求出SKIPIF1<0，再根据二倍角的正弦公式即可求得SKIPIF1<0；（2）先根据二倍角的余弦公式求出SKIPIF1<0，再根据商数关系求出SKIPIF1<0，再根据两角和的正切公式即可得解.【小问1详解】解：由题意得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；【小问2详解】解：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.18.已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，解不等式SKIPIF1<0；（2）若命题“SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立”是假命题，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得不等式SKIPIF1<0的解集.（2）结合开口方向以及判别式求得SKIPIF1<0的取值范围.【小问1详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.【小问2详解】当SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0不为0时，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0成立，所以SKIPIF1<0命题“SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立”是假命题所以a的取值范围为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．19.已知函数SKIPIF1<0．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求a的值；（2）求SKIPIF1<0的最小值，以及取得最小值时x的值．条件①：SKIPIF1<0的最大值为6；条件②：SKIPIF1<0的零点为SKIPIF1<0．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）若选条件①，则SKIPIF1<0；若选条件②，则SKIPIF1<0（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）化简SKIPIF1<0的解析式，根据条件①或②求得SKIPIF1<0的值.（2）利用三角函数最值的求法求得正确答案.【小问1详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0.若选条件①，则SKIPIF1<0.若选条件②，则SKIPIF1<0.【小问2详解】若选条件①，由（1）得SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0.若选条件②，由（1）得SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0.20.已知函数SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，解不等式SKIPIF1<0；（2）若函数SKIPIF1<0是偶函数，求m的值；（3）当SKIPIF1<0时，若函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0有公共点，求实数b的取值范围．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0（3）SKIPIF1<0【解析】【分析】（1）SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，结合对数、指数函数单调性求解即可；（2）SKIPIF1<0偶函数，则SKIPIF1<0，结合对数运算法则化简求值即可（3）由对数运算得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且值域为SKIPIF1<0，即可由数形结合判断b的取值范围.【小问1详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；【小问2详解】函数SKIPIF1<0是偶函数，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；【小问3详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0为减函数，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且值域为SKIPIF1<0∵函数SKIPIF1<0的图象与直线SKIPIF1<0有公共点，故实数b的取值范围为SKIPIF1<0.21.设全集SKIPIF1<0，集合A是U的真子集．设正整数SKIPIF1<0，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的SKIPIF1<0子集：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，判断SKIPIF1<0是否为U的SKIPIF1<0子集，说明理由；（2）当SKIPIF1<0时，若A为U的SKIPIF1<0子集，求证：SKIPIF1<0；（3）当SKIPIF1<0时，若A为U的SKIPIF1<0子集，求集合A．【答案】（1）SKIPIF1<0不是U的SKIPIF1<0子集；（2）证明见解析；（3）集合SKIPIF1<0.【解析】【分析】（1）取SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0不满足性质②可得SKIPIF1<0不是U的SKIPIF1<0子集；（2）通过反证法，分别假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的情况，由不满足SKIPIF1<0子集的性质，可证明出SKIPIF1<0；（3）由（2）得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再分别假设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四种情况，由不满足SKIPIF1<0子集的性质，可得出SKIPIF1<0，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可.【小问1详解】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，不满足性质②，所以SKIPIF1<0不是U的SKIPIF1<0子集.【小问2详解】当SKIPIF1<0时，A为U的SKIPIF1<0子集，则SKIPIF1<0；假设SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0，不满足性质②，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；假设SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，再取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，但与性质①SKIPIF1<0矛盾，所以SKIPIF1<0.【小问3详解】由（2）得，当SKIPIF1<0时，若A为U的SKIPIF1<0子集，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0