2024届新教材二轮复习 　实际问题中的最值问题 作业

2024届新教材二轮复习实际问题中的最值问题作业一、选择题1．从时刻t＝0开始的ts内，通过某导体的电量q(单位：C)可用公式q＝2t2＋3t表示，则第5s时电流强度为(B)A．20C/s B．23C/sC．25C/s D．27C/s[解析]某导体的电量q在5s时的瞬时变化率就是第5s时的电流强度．因为q′＝4t＋3，所以当t＝5时，电流强度为4×5＋3＝23(C/s)．2．把长度为8的线段分成四段，围成一个矩形，矩形面积的最大值为(B)A．2 B．4C．8 D．以上都不对[解析]设矩形的长为x，则宽为eq\f(8－2x,2)＝4－x，所以矩形面积为S＝x(4－x)＝－x2＋4x(0<x<4)，所以S′＝－2x＋4，令S′＝0，得x＝2，所以矩形的最大面积为S＝2(4－2)＝4.3．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是(D)A.eq\f(3,2)eq\r(3)cm2 B．4cm2C．3eq\r(2)cm2 D．2eq\r(3)cm2[解析]设两段长分别为xcm,(12－x)cm，这两个正三角形的边长分别为eq\f(x,3)cm，eq\f(12－x,3)cm，面积之和为S(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(x,3)))2))＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,9)x2－\f(8x,3)＋16)).令S′(x)＝eq\f(\r(3),4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)x－\f(8,3)))＝0，解得x＝6.则x＝6是S(x)的极小值点，也是最小值点，所以S(x)min＝S(6)＝2eq\r(3)cm2.4．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x>390，))则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是(D)A．150 B．200C．250 D．300[解析]由题意，总利润P(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,70090－100x，x>390，))∴P′(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x2,300)＋300，0≤x≤390，,－100，x>390.))令P′(x)＝0，得x＝300，经检验当x＝300时总利润最大，故选D.5．(多选)一个质量m＝5kg的物体做直线运动，设运动距离s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数：s(t)＝t＋eq\f(1,2)t2表示，并且物体的动能Ek＝eq\f(1,2)mv2(m为物体质量，v为物体运动速度)，则(AC)A．物体开始运动后第7s时的动能是160JB．物体开始运动后第7s时的动能是165JC．第7秒时的速度为8m/sD．第7秒时的速度为eq\f(63,2)m/s[解析]s(t)＝t＋eq\f(1,2)t2，则s′(t)＝v(t)＝1＋t，当t＝7时，v＝8，所以Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)×5×82＝160J.二、填空题6．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则其速度应定为_40__.[解析]由题设知y′＝x2－39x－40，令y′>0，解得x>40或x<－1，故函数y＝eq\f(1,3)x3－eq\f(39,2)x2－40x(x>0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40)上递减，所以当x＝40时，y取得最小值．由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.7．做一个无盖的圆柱体水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为_3__.[解析]设圆柱的底面半径为R，母线长为L，则V＝πR2L＝27π，所以L＝eq\f(27,R2)，要使用料最省，只需使圆柱表面积最小，因为S表＝πR2＋2πRL＝πR2＋eq\f(54π,R)(R>0)，所以S′表(R)＝2πR－eq\f(54π,R2)，令S′表(R)＝0，得R＝3，所以当R＝3时，S表最小．8.酒杯的形状为倒立的圆锥(如图)，杯深8cm，上口宽6cm，水以20cm3/s的流量倒入杯中，当水深为4cm时，水升高的瞬时变化率为eq\f(80,9π)cm/s.[解析]设水深为h时，水面半径为r，则eq\f(h,8)＝eq\f(r,3)，所以r＝eq\f(3,8)h，经过ts后，水的体积为20t，则20t＝eq\f(1,3)πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)h))2·h，即h(t)＝eq\r(3,\f(20×64,3π)t)，又h＝4时，r＝eq\f(3,2)，V＝3π，所以t＝eq\f(3π,20)，h′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,20)π))＝eq\f(80,9π).三、解答题9．某考生在参加数学考试时，其解答完的题目数量y(单位：道)与所用时间x(单位：分钟)近似地满足函数关系y＝f(x)＝2eq\r(x).(1)求x从0分钟变化到36分钟时，y关于x的平均变化率；(2)求f′(64)，f′(100)，并解释它们的实际意义．[解析](1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为eq\f(f36－f0,36－0)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完eq\f(1,3)道题．(2)∵f′(x)＝eq\f(1,\r(x))，∴f′(64)＝eq\f(1,8)，f′(100)＝eq\f(1,10).它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可解答eq\f(1,8)道题和eq\f(1,10)道题．10.如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？[解析]设C点距D点xkm，则AC＝50－x(km)，所以BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝eq\r(x2＋402)(km)．又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5aeq\r(x2＋402)(0<x<50)．y′＝－3a＋eq\f(5ax,\r(x2＋402))，令y′＝0，解得x＝30，y′>0,30<x<50，函数单调递增，y′<0,0<x<30，函数单调递减，在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20km，可使水管费用最省．B组·能力提升一、选择题1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是(C)A．8 B．eq\f(20,3)C．－1 D．－8[解析]瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x，为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.2．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高为(D)A.eq\f(\r(3),3)cm B．eq\f(10\r(3),3)cmC.eq\f(16\r(3),3)cm D．eq\f(20\r(3),3)cm[解析]设圆锥的高为x，则底面半径为eq\r(202－x2)，其体积为V＝eq\f(1,3)πx(400－x2)，0<x<20，V′＝eq\f(1,3)π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝eq\f(20\r(3),3)，负值已舍去．当0<x<eq\f(20\r(3),3)时，V′>0，当eq\f(20\r(3),3)<x<20时，V′<0，所以当x＝eq\f(20\r(3),3)时，V取最大值．3．某个体户计划同时销售A，B两种小商品．当投资额为x(x≥0)千元时，销售A，B两种小商品所获收益分别为f(x)千元与g(x)千元，其中f(x)＝2x，g(x)＝5ln(2x＋1)，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种小商品，为使总收益最大，那么A商品需投入(B)A．4千元 B．3千元C．2千元 D．1千元[解析]设投入经销B商品x千元(0≤x≤5)，则投入经销A商品的资金为(5－x)千元，获得的收益为S(x)千元，则S(x)＝2(5－x)＋5ln(2x＋1)＝5ln(2x＋1)－2x＋10(0≤x≤5)，S′(x)＝eq\f(10,2x＋1)－2.当0≤x<2时，S′(x)>0，函数S(x)在[0,2)上单调递增；当2<x≤5时，S′(x)<0，函数S(x)在(2,5]上单调递减；所以当x＝2时，函数S(x)取得最大值S(2)＝6＋5ln5，所以当投入经销B商品的资金为2千元，投入经销A商品的资金为3千元时，总收益最大．二、填空题4．在半径为r的圆内，作内接等腰三角形，当底边上的高为eq\f(3r,2)时它的面积最大．[解析]如图，设∠OBC＝θ，则0<θ<eq\f(π,2)，OD＝rsinθ，BD＝rcosθ.∴S△ABC＝rcosθ(r＋rsinθ)＝r2cosθ＋r2sinθcosθ.令S′＝－r2sinθ＋r2(cos2θ－sin2θ)＝0，∴cos2θ＝sinθ，∴1－2sin2θ＝sinθ，解之得sinθ＝eq\f(1,2)，又0<θ<eq\f(π,2)，∴θ＝eq\f(π,6).即当θ＝eq\f(π,6)时，△ABC的面积最大，即高为OA＋OD＝eq\f(3r,2)时面积最大．5．某生产厂家生产一种产品的固定成本为1万元，并且每生产1百台产品需增加投入0.5万元．已知销售收入R(x)(万元)满足R(x)＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,8)x2＋eq\f(1,2)x(其中x是该产品的月产量，单位：百台，0<x<8)，假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为_6__百台时，公司所获利润最大．[解析]设销售利润为g(x)，由题意得，g(x)＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,8)x2＋eq\f(1,2)x－1－eq\f(1,2)x＝－eq\f(1,8)x3＋eq\f(9,8)x2－1，x∈(0,8)，g′(x)＝－eq\f(3,8)x2＋eq\f(9,4)x＝－eq\f(3,8)x(x－6)，令g′(x)>0，∴0<x<6，令g′(x)<0，∴6<x<8，∴g(x)在(0,6)上递增，在(6,8)上递减，∴x＝6时，g(x)取最大值，∴当公司每月产量为6百台时，公司所获利润最大．三、解答题6．某连锁分店销售某种商品，该商品每件的进价为6元，预计当每件商品售价为x(7≤x≤11)元时，一年的销售量(单位：万件)R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x7≤x≤9，,\f(48,x－5)9<x≤11，))该分店全年需向总店缴纳宣传费、保管费共计2x万元．(1)求该连锁分店一年的利润与每件商品售价x的函数关系式f(x)；(2)求当每件商品售价为多少元时，该连锁分店一年的利润最大，并求其最大值．[解析](1)①当7≤x≤9时，f(x)＝(21－x)(x－6)－2x＝－x2＋25x－126.②当9<x≤11时，f(x)＝eq\f(48x－6,x－5)－2x，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋25x－126，7≤x≤9，,\f(48x－6,x－5)－2x，9<x≤11.))(2)①当7≤x≤9时，f(x)＝－x2＋25x－126，其图象的对称轴为直线x＝eq\f(25,2)>9，所以当x＝9时，f(x)有最大值f(9)＝18.②当9<x≤11时，f(x)＝eq\f(48x－6,x－5)－2x，设x－5＝t(4<t≤6)，eq\f(48x－6,x－5)－2x＝38－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(24,t)))≤38－4eq\r(t·\f(24,t))＝38－8eq\r(6)，当且仅当t＝2eq\r(6)，即x＝5＋2eq\r(6)时取等号．因为38－8eq\r(6)>18，所以每件商品售价为(5＋2eq\r(6))元时，该连锁分店一年的利润最大，最大利润为(38－8eq\r(6))万