新教材适用2023-2024学年高中数学第8章数学建模活动一2数学建模的主要步骤课件北师大版必修第一册

§2

数学建模的主要步骤自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑课标定位素养阐释1.了解如何提出数学建模问题.2.掌握数学建模的一般步骤.3.通过掌握建模步骤,体会数学建模的思想.

自主预习·新知导学一、数学建模问题【问题思考】1.如何提出数学建模问题?提示:在实际生活中,我们会遇到各种问题,当我们对这些问题进行思考时,我们可以提出数学建模所需要的问题.数学建模问题的提出来源于生活中存在的实际问题.2.数学建模中提出的问题的依据有哪些?提示:具有实用性,具有数据采集可操作性,问题本身的需求性.二、建立数学模型【问题思考】1.建立数学模型应注意哪些问题?提示:首先为了排除众多的不同和不确定性干扰因素,建模有一个重要环节——假设.其次,建模问题需要大量的数据,需要收集问题涉及的数据.最后考虑数学建模所涉及的数量有哪些.2.为什么要检验结果?提示:结合数学建模进行实地调查,对结论进行检验,若没有明显误差,就可以使用这个模型,否则再修改假设,重新建模.3.数学建模核心素养是什么?提示:数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的过程.主要过程包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题,分析问题、构建模型,确立参数、计算求解,检验结果、改进模型,最终解决实际问题.4.数学建模的一般步骤是什么?提示:(1)提出问题实际情境中的问题往往是模糊的和笼统的,原始的问题往往是一个希望得到优化的期待,或是某个不良现象的消失.这就需要透过现象,明确地提出问题.(2)建立模型在一定的知识积累的基础上,预测建立的数学模型,抓住主要因素,摒弃次要因素,做出适当简化和假设.(3)求解模型这个过程是求解数学问题.值得注意的是,如果目标是求值,一般不容易求得精确值,这就要根据需要求近似解.(4)检验结果用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况,就要重新建模.

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究四探究五探究六探究一

传送带效率问题的数学模型问题情境:在机械化生产车间里,排列整齐的工作台旁工人们紧张地生产同一种产品,工作台上放一条传送带在运转,带上设置若干钩子,工人将产品挂在经过他上方的钩子上带走.当生产进入稳定状态后,每名工人生产一件产品所需时间是不变的,而他挂产品的时刻是随机的.衡量这种传送系统的效率可以看他能否及时把工人生产的产品带走.很明显,在工人人数不变的情况下传送带速度越快,带上钩子数越多,效率越高.探究二

问题重述构造衡量传送系统效率的指标,并在简化假设下建立模型描述这个指标与工人人数、钩子数量等参数的关系.探究三

模型假设与符号说明1.有n名工人,其生产是独立的,生产周期是常数,有n个工作台均匀排列.2.生产已进入稳态,即每名工人生产出一件产品的时刻在一个周期内是等可能性的.3.在一周期内有m个钩子通过每一工作台上方,钩子均匀排列,到达第一个工作台上方的钩子都是空的.4.每名工人在任何时刻都能触到一只钩子,且只能触到一只,在他生产出一件产品的瞬间,如果他能触到的钩子是空的,则可将产品挂上带走;如果非空,则他只能将产品放下,放下的产品就永远退出这个传送系统.4.每名工人在任何时刻都能触到一只钩子,且只能触到一只,在他生产出一件产品的瞬间,如果他能触到的钩子是空的,则可将产品挂上带走;如果非空,则他只能将产品放下,放下的产品就永远退出这个传送系统.探究四

模型建立及求解将传送系统效率定义为一周期内带走的产品数与生产的全部产品数之比,记作D,设带走的产品数为s,生产的全部产品数为n,则

,需求出s.如果从工人的角度考虑,分析每名工人能将自己的产品挂上钩子的概率,这与工人所在的位置有关(如第1名工人一定可挂上),这样使问题复杂化.我们从钩子角度考虑,在稳定状态下钩子没有次序,处于同等地位.若能对一周期内的m只钩子求出每只钩子非空的概率p,则s=mp.当n=10,m=40时,上式给出的结果为D=87.5%,而精确表达式①计算得D≈89.5%.提高传送系统效率,即增大D减小E,在工人数n一定的情况下,E与钩子数m成反比,即m增大一倍,E减少50%.探究五

模型优化及改进问题:如何改进模型使“效率E”(可理解为相反意义的效率)降低?解决方案:通过增加钩子数来使效率降低的方法.在原有的每一个钩子的位置,放置两个钩子构成双钩组,即有2m个钩子,那么传送系统的效率如何呢?与只是增加钩子数目至2m相比,哪个效率更高呢?易知,在双钩组的情况下,每组钩组在传送系统结束后有三种情况:1.空钩组2.满钩组3.不满钩组而如果只是增加钩子数目至2m,那么D=93.75%,所以这种双钩组改进方案更加优越.探究六

模型评价及推广这个模型是在