新教材适用2023-2024学年高中数学第2章函数2函数2.1函数概念课件北师大版必修第一册

2.1

函数概念自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.借助集合语言理解函数的概念,了解构成函数的三要素.2.会求一些简单函数的定义域、函数值、值域.3.体会数学抽象的过程,提升抽象概括、数学运算的素养.

自主预习·新知导学一、函数的概念【问题思考】1.函数y=x2+1中,x,y的取值集合如何表示?x每取一个值,y有几个值与之对应?提示:x的取值集合为R,y的取值集合为[1,+∞);由一元二次函数的图象(图略)可知x每取一个值,y有唯一确定的值与之对应.2.给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系

f,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就把对应关系f称为定义在集合A上的一个函数,记作

y=f(x),x∈A.其中集合A称为函数的定义域,x称为自变量,与x值对应的y值称为函数值,集合{f(x)|x∈A}称为函数的值域.3.在函数的定义中,集合B就是函数的值域吗?提示:不一定.例如,A={1,2,3},B={1,2,3,4},f:x→y=x,则f:A→B是从集合A到集合B的一个函数,但函数的值域{1,2,3}是集合B的子集.4.如图,能表示函数关系的是

(填序号).

答案:①②④

二、函数的三要素【问题思考】1.函数f(x)=x2,x∈R与g(t)=t2,t∈R是不是同一个函数?f(x)=x与g(x)=|x|呢?提示:f(x)=x2,x∈R与g(t)=t2,t∈R都是描述的同一集合R中任一元素,按同一对应关系“平方”对应B中唯一确定的元素,故是同一个函数.f(x)=x与g(x)=|x|不是同一个函数,因为两个函数虽然定义域相同,但对应关系不同.2.(1)函数的三要素:定义域,对应关系,值域.其中,定义域和对应关系起决定作用,只要确定了一个函数的定义域和对应关系,这个函数也就确定了,值域也随之确定.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数是同一个函数.(3)用f(a)表示函数f(x)当x=a时的函数值.3.(1)函数有定义域、对应关系和值域三要素,为什么判断两个函数是不是同一个函数,只看定义域和对应关系?(2)定义域和值域分别相同的两个函数是同一个函数吗?提示:(1)由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域,所以判断两个函数是不是同一个函数,只看定义域和对应关系即可.(2)不一定,如果对应关系不同,这两个函数一定不是同一个函数.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)对于函数y=f(x),x∈A,f(x)与f(a)意义相同.(

×

)(2)函数的定义域和值域一定是无限集.(

×

)(3)函数符号y=f(x)表示f与x的乘积.(

×

)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究四探究一

函数的概念【例1】

判断下列对应关系是不是集合A到集合B的函数.(1)A=R,B=(0,+∞),对应关系f:x→y=|x|;(2)A=Z,B=Z,对应关系f:x→y=x2;(3)A=Z,B=Z,对应关系f:x→y=;(4)A={x|-1≤x≤1},B={0},对应关系f:x→y=0.解:(1)A中的元素0在B中没有对应元素,故不是集合A到集合B的函数.(2)对于集合A中的任意一个整数x按照对应关系f:x→y=x2,在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应,故是集合A到集合B的函数.(3)集合A中的负整数没有平方根,在集合B中没有对应的元素,故不是集合A到集合B的函数.(4)对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x→y=0,在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应,故是集合A到集合B的函数.1.判断对应关系是不是函数的两个条件(1)A,B必须是非空数集.(2)A中任意一个元素在B中有且只有一个元素与之对应.对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系.2.判断图形是不是函数图象的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若直线l与图形有且只有一个交点,则是函数图象;若直线l与图形没有交点或有两个或两个以上的交点,则不是函数图象.3.在两个函数中,只有当定义域、对应关系都相同时,两个函数才是同一个函数.值域相同,只是前两个要素相同的必然结果.【变式训练1】

下列给出的各组函数f(x)与g(x),是同一个函数的是(

)解析:A项中函数的定义域不同,B项中函数的解析式不同,即对应关系不同,D项中函数的定义域不同,只有C项符合题意.答案:C探究二

求函数的定义域1.当函数是由解析式给出时,求函数的定义域就是求使解析式有意义的自变量的取值集合,必须考虑下列各种情形:(1)负数不能开偶次方,所以偶次根号下的式子大于或等于零.(2)分式中分母不能为0.(3)零次幂的底数不为0.(4)如果f(x)由几部分构成,那么各部分应都有意义.(5)如果函数有实际背景,那么除符合上述要求外,还要符合实际情况.2.求函数的定义域,一般转化为解不等式或不等式组,注意定义域是一个集合,其结果必须用集合或区间来表示.3.含有参数的函数,其自变量取值范围的确定随参数取值的变化而变化,要依据参数的所有可能情况分类研究确定.探究三

求函数值求函数值的方法(1)已知f(x)的表达式时,只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值;(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则.探究四

求简单函数的值域解:(1)f(x)=-x2-2x+1=-(x+1)2+2.∵x∈(-2,3),∴f(x)max=f(-1)=2,又f(-2)=-(-2)2-2×(-2)+1=1,f(3)=-32-2×3+1=-14,∴-14<f(x)≤2,即f(x)的值域为(-14,2].(2)当x≥0时,f(x)=x2+1≥1;当x<0时,f(x)=x-1<-1,故函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪[1,+∞).求值域的方法:(1)图象法:根据函数图象求得函数值域,是一种求值域的重要方法.(2)配方法:配方法是求“二次函数类”值域的基本方法.(3)换元法:运用代数代换,将所给函数化成值域容易确定的另一函数,从而求得原函数的值域.(4)分段函数值域分段求解,然后取并集.答案:[0,1)易

错

辨

析因定义域理解不透致误

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?随

堂

练

习1.(多选题)对于函数f:A→B,若a∈A,则下列说法正确的是(

).

A.f(a