新教材适用2023-2024学年高中数学第2章函数1生活中的变量关系课件北师大版必修第一册

§1

生活中的变量关系自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析随

堂

练

习课标定位素养阐释1.了解生活中两个变量之间的依赖关系现象.2.了解生活中两个变量之间的函数关系现象.3.能辨析依赖关系和函数关系的区别和联系.4.体会数学抽象的过程,加强数学抽象和数学建模素养.

自主预习·新知导学一、依赖关系【问题思考】1.某人坐摩天轮一圈用时20min.若摩天轮匀速转动,则他的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系吗?当他转动一圈位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了多少分?提示:该人的海拔高度与摩天轮转动的时间有依赖关系.当他转动一圈位于摩天轮一半高度时,摩天轮转了5

min或15

min.2.在某变化过程中有两个变量,如果其中一个变量的值发生了变化,另一个变量的值也会随之发生变化,那么就称这两个变量具有依赖关系.二、函数关系【问题思考】1.若某人坐摩天轮一圈用时20min,摩天轮匀速转动,现将摩天轮的转动时间t当作自变量,他的海拔高度h为因变量,则每取一个t值,有几个h值与之对应?提示:每取一个t值,有唯一一个h值与之对应.2.如果在一个变化过程中,有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应,那么y就是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.3.下列说法不正确的是(

)A.依赖关系不一定是函数关系B.函数关系是依赖关系C.如果变量m是变量n的函数,那么变量n也是变量m的函数D.如果变量m是变量n的函数,那么变量n不一定是变量m的函数解析:根据依赖关系与函数关系的区别可知A,B正确.若变量m是变量n的函数,因为满足函数关系的自变量n对因变量m可以是多对一,此时若把m换成自变量,n换成因变量,显然对于m的每一个取值,可能会有多个n与之对应,所以变量n不是变量m的函数.故C错误,D正确.答案:C三、分段函数【问题思考】1.某市空调公共汽车的票价按下列规则收取:①5km以内(含5km),票价2元.②5km以上,每增加5km,票价增加1元(不足5km的按5km计算).已知两个相邻的公共汽车站间相距1km,沿途(包括起点站和终点站)有11个公共汽车站.请根据以上内容,回答下面的问题:(1)从起点站出发,公共汽车的行程x(km)与票价y(元)间的函数关系是什么?(2)这种函数关系的特征是什么?提示:(1)当0<x≤5时,y=2;当5<x≤10时,y=3,(2)在给定范围内,对于自变量x的不同取值,对应关系不同.2.形如上述的函数,一般叫作分段函数.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)圆的周长与其直径的比值是常量.(√)(2)一般地,一个人的能力与他受教育的程度之间是依赖关系.(√)(3)发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系.(√)

合作探究·释疑解惑探究一探究二探究三探究一

依赖关系与函数关系【例1】

下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系?其中哪些是函数关系?(1)球的体积和它的半径;(2)速度不变的情况下,汽车行驶的路程与行驶时间;(3)家庭的收入与消费支出;(4)正三角形的面积和它的边长.解:(1)中,球的体积V与半径r间存在

的关系.(2)中,在速度不变的情况下,行驶路程s与行驶时间t之间存在正比例关系.(3)中,家庭的收入与消费支出间存在关系,但具有不确定性.(4)中,正三角形的面积S与其边长a间存在

的关系.综上可知(1)(2)(3)(4)中两个变量间都存在依赖关系,其中(1)(2)(4)是函数关系.判断两个变量间有无依赖关系,主要看其中一个变量变化时,是否会导致另一个变量随之变化.而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系,关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性,即考察对于一个变量的每一个值,另一变量是否都有唯一确定的值与之对应.【变式训练】

谚语“瑞雪兆丰年”说明(

)A.下雪与来年的丰收具有依赖关系B.下雪与来年的丰收具有函数关系C.下雪是丰收的函数D.丰收是下雪的函数解析:积雪层对越冬作物具有防冻保暖的作用,大雪可以防止土壤中的热量向外散发,又可阻止外界冷空气的侵入,具有增墒肥田的作用.所以下雪与来年的丰收具有依赖关系,但不是函数关系.答案:A探究二

用图象表示变量间的关系【例2】

某市一天24h内的气温变化,如图所示.

上午8时的气温是多少?全天的最高气温、最低气温分别大约是多少?解:上午8时的气温是0

℃,全天最高气温大约是9

℃,在14时达到,全天最低气温大约是-2

℃,在4时达到.1.本例中条件不变,请问大约在什么时刻,气温为0℃?解:大约在8时和22时,气温为0

℃.2.本例中条件不变,大约在什么时间内,气温在0℃以上?两个变量有什么特点,它们具有怎样的对应关系?解:大约在8时到22时之间,气温在0

℃以上,变量0≤t≤24,变量-2≤θ≤9,由于图象是连续的,可知它们之间具有随着时间的增加,气温先降再升再降的变化趋势,所以θ与t具有依赖关系,也具有函数关系.对于这类问题,求解的关键是充分利用图象.探究三

用表格表示变量间的关系【例3】

声音在空气中传播的速度简称声速,实验测得声速与气温的一些数据如表.(1)根据表内数据作图,由图可看出变量声速是随什么变化?(2)求x与y间的关系式;(3)气温为22℃时,某人看到烟花燃放5s后才听到声响,那么此人与燃放烟花所在地相距约多少米?解:(1)根据题中数据,可作出如下图.

由图可看出变量声速随气温的变化而变化.对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题,求解时根据表中两个变量对应数据,分析其变化情况,即可做出判断.易

错

辨

析【典例】

一高为H、满缸水量为V0的鱼缸轴截面如图2-1-2,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸中水深为h时,水的体积为V,则V与h间的关系的大致图象可能是图中的(

).错解

因为水在不停地流出,所以水的体积V在不断减少,由鱼缸的形状可知,水的体积V先减少得快,后减少得慢,故选C.答案

C以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解审题不细致,没弄清题意,不理解V与h的关系而致误.正解:由鱼缸的形状可知,水的体积V随着h的减小,先减少得慢,后减少得快,又减少得慢,故选B.答案:B这类问题审题要仔细,分清变量间的关系.【变式训练】

一人骑着自行车一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间.图中与这件事正好吻合的图象是(其中x轴表示时间,y轴表示路程)(

)解析:开始一段时间路程逐渐增大,增大时的速度相同,图象是一直线段,耽搁的时间段路程不变,图象与x轴平行,然后行驶路程在原来的基础上又增大,由题中图象知选A.答案:A随

堂

练

习1.下列两个变量之间的关系,不是函数关系的是(

)A.多边形的边数和它的内角和

B.正方形的边长和面积C.圆的面积和半径

D.人的体重和身高答案:D2.下图是某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法错误的是(

).

A.这天15时的温度最高B.这天3时的温度最低C.这天的最高温度与最低温度相差13℃D.这天21时的温度是30℃解析:这天的最高温度与最低温度相差36-22=14

(℃),故C错误.答案:C3.当圆柱底面半径变化时(圆柱的高不变),圆柱的体积也随之发生变化,在这个变化过程中,

是自变量,

是因变量.

答案:圆柱底面半径

圆柱的体积4.一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80km的两城镇间旅行时,路程和时间的关系如图所示.由图可知,骑自行车者用了6h(含途中休息的1h),骑摩托车者用了2h,有人根据这个图象,提供了这两个旅行者的如下信息,其中正确的信息是

.(填序号)

①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h,晚到1h;②骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动;③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者.解析:由题中图象可以看出骑自行车者早出发3

h,而晚到1

h,是变速运动