第03讲：不等式性质与基本不等式期末高频考点题型讲与练 解析版

第03讲：不等式性质与基本不等式期末高频考点题型讲与练【考点梳理】考点一等式的基本性质(1)如果a＝b，那么b＝a. (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c.(3)如果a＝b，那么a±c＝b±c. (4)如果a＝b，那么ac＝bc.(5)如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).考点二不等式的性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔b<a⇔2传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆3可加性a>b⇔a＋c>b＋c可逆4可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac>bcc的符号eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac<bc5同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c>b＋d同向6同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac>bd同向7可乘方性a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)同正考点三．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)1.基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为eq\f(a＋b,2)，几何平均数为eq\r(ab)，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．考点四．利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2eq\r(p).(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值eq\f(p2,4).(简记：和定积最大)【题型归纳】题型一：不等式的性质应用1．（2023上·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）下列说法不正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】A【分析】对于A，举例判断，对于B，利用不等式的性质判断，对于CD，作差判断【详解】对于A，若，则，，此时，所以A错误，对于B，由可得，则，所以由不等式的性质可得，所以B正确，对于C，因为，所以，所以，所以，所以C正确，对于D，因为，所以，所以，所以，所以D正确，故选：A2．（2022上·黑龙江哈尔滨·高一哈九中校考阶段练习）如果，则正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】举例说明ABD是错误的，用作差法证明C是正确的．【详解】取，则，故A错误；取，则，故B错误；由于，所以，则，故C正确；取，则，，故D错误.故选：C．3．（2023上·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）下列命题为真命题的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】通过举反例判断AB；利用不等式的性质判断CD.【详解】对于A：当时，，故A错误；对于B：当时，，但，故B错误；对于C：，，，故C正确；对于D：，，，故D错误；故选：C.题组二：由基本不等式证明或比较不等式的大小4．（2021上·云南昭通·高一云南云天化中学教育管理校考期末）下列结论表述正确的是（）A．若，则恒成立B．若，则恒成立C．若，，则成立D．函数的最小值为3【答案】C【解析】根据基本不等式成立的条件可判断ABC的正误，根据双勾函数的性质可判断D的正误.【详解】对于A，若，则恒成立，错；对于B，若，则恒成立，若，则，错；对于D，函数，，令，则且，因为在上为增函数，故，对于C，因为，而，，故成立.故选：C．【点睛】易错点睛：利用基本不等式判断给定的不等式是否成立时，注意依据“一正二定三相等”来检验，另外，说明一个不等式成立，需严格证明，关注代数式变形时符号的要求.5．（2019下·广东广州·高一广州市培正中学校考期末）已知，，则下列不等式中成立的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题先根据完全平方公式与基本不等式得到，所以排除选项A；再根据基本不等式化简得到，所以排除选项B；接着根据基本不等式得到，所以排除选项C；最后根据基本不等式得到选项D正确.【详解】解：对于选项A：因为，，所以，故选项A错误；对于选项B：，故选项B错误；对于选项C：，故选项C错误；对于选项D：，所以，故选项D正确.故选：D.【点评】本题考查基本不等式的应用、学生的运算能力和转换能力，是基础题.6．（2019下·内蒙古包头·高一统考期末）若，则下列不等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由条件优先判断，用作差法可判断，可将还原成，结合作差法可判断两数的大小.【详解】因为，故由均值不等式可知：；因为，故；因为，故；综上所述：.故选：B.题型三：基本不等式求积的最大值7．（2023下·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，则的最大值为（）A． B． C． D．3【答案】B【分析】根据基本不等式的变形形式直接求解.【详解】由题意得，，即，当且仅当，即或时等号成立，所以的最大值为.故选：B8．（2023上·陕西渭南·高一统考期末）已知正数，满足，则的最大值为（）A．2 B．1 C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式计算可得.【详解】因为正数，满足，所以，当且仅当且，即时取等号，所以的最大值为.故选：C.9．（2023上·重庆沙坪坝·高一重庆市第七中学校校考期末）已知，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用基本不等式即可求解【详解】因为，所以所以，当且仅当即时，取等号，所以.故选：D题型四：基本不等式求和的最小值10．（2023上·辽宁葫芦岛·高一校考期末）设，且，则（）A．有最小值为 B．有最小值为C．有最小值为 D．无最小值【答案】C【分析】利用基本不等式求解即可．【详解】由，当且仅当，即，时等号成立，故当，时，取得最小值为．故选：C．11．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）下列函数中最小值为6的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合特例和基本不等式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数，当，可得，所以A不符合题意；对于B中，函数，当且仅当时，即时，等号成立，所以函数的最小值为，符合题意；对于C中，函数，当且仅当时，即时，显然不成立，所以C不符合题意；对于D中，函数，当时，，可得，所以D不符合题意.故选：B.12．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）下列各式最小值为4的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】A选项，举出反例；B选项，由基本不等式求解，但无解，B错误；C选项，利用基本不等式求出最小值；D选项，由三角函数的有界性求出最值.【详解】A选项，当时，，故A错误；B选项，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立，但无解，无解，故B错误；C选项，因为，由基本不等式得，，当且仅当，即时，等号成立，C正确；D选项，的最大值为4，最小值为4，D错误.故选：C题型五：二次或者二次商式的最值问题13．（2021下·江西吉安·高一永丰县永丰中学校考期末）函数（）的最小值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】将函数化简变形为，然后利用基本不等式求解即可【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以函数（）的最小值为，故选：B14．（2020下·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）若，则有（）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【分析】构造基本不等式即可得结果.【详解】∵，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，即有最小值2.故选：D.【点睛】本题主要考查通过构造基本不等式求最值，属于基础题.15．（2021下·辽宁大连·高二育明高中校考期中）“”是“关于的不等式（）有解”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用基本不等式求得当时，的最小值为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由题意知，可得，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以当时，的最小值为，当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立，反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立，所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件.故选：A.题型六：基本不等式“1”的妙用16．（2023上·北京·高一北京市十一学校校考期末）已知实数，满足，，且，则的最小值为（）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】利用1的妙用，结合基本不等式求解最值即可．【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即时取等号，则的最小值为12．故选：C．17．（2023上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y满足，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.【详解】,.故选:D.18．（2023下·山西·高一统考期末）已知正数a，b满足，则的最小值为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由，得到，再利用“1”的代换求解.【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即，时，等号成立．故选：C题型七：条件等式求最值19．（2023上·新疆·高一校联考期末）设，则的最小值为（）A． B．C． D．6【答案】A【分析】先将目标函数化简，得到，再利用均值定理即可求得其最小值.【详解】由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：A20．（2023上·湖北·高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知正数满足恒成立，则的最小值为（）A． B． C．2 D．3【答案】B【分析】由已知可得，，根据“1”的代换代入，然后根据基本不等式即可求得结果.【详解】由得，于是，当且仅当，且，，即，等号成立.所以的最小值为.故选：B．21．（2022上·贵州毕节·高一统考期末）已知，，且，则的最小值为（）A．4 B． C． D．5【答案】C【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可.【详解】由于，，且，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：C．题型八：基本不等式的恒成立求参数问题22．（2023上·广东广州·高一广州市海珠中学校考期末）若正数满足，且不等式恒成立，则实数的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】将变成，可得，展开后利用基本不等式求解即可．【详解】解：，，，，∴当且仅当，即时等号成立，解得，时等号成立，因为不等式恒成立，所以，即所以，实数的最大值为.故选：D．23．（2022上·湖南岳阳·高一统考期末）已知且恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用对数运算可得出且、均为正数，利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为，则且、均为正数，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，所以，的最小值为，所以，，即，解得.故选：C.24．（2022上·河南商丘·高一校联考期末）若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案.【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”.所以，即实数a的最小值为.故选：D.题型九：基本不等式的实际问题的应用25．（2023上·重庆·高一统考期末）2022年10月16日上午，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂开幕．二十大报告提出，全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，巩固拓展脱贫攻坚成果．某地政府为深入推进乡村振兴，决定调整产业结构．该地区现有260户农民，且都从事水果种植，平均每户的年收入为万元．为增加农民收入，当地政府决定动员部分农民从事水果加工．据测算，若动员户农民只从事水果加工，剩下的只从事水果种植，则从事水果加工的农民平均每户收入将为万元，而从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高5x%．(1)若动员x户农民从事水果加工后，要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入，求x的取值范围；(2)在（1）的条件下，要使这260户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入，求a的最大值．【答案】(1)(2)22【分析】（1）依题意列出不等式，解一元二次不等式即可求得x的取值范围为；（2）化简表达式并利用基本不等式即可求出a的最大值为22.【详解】（1）根据题意可知，需满足，化简为，解得，故x的取值范围为（2）由题意得整理可得，因为，当且仅当时，取到最小值10；所以，即a的最大值为2226．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）为了减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙通常需要建造隔热层，某地正在建设一座购物中心，现在计划对其建筑物建造可使用40年的隔热层，已知每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每年的能源消耗费用P（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：．若不建隔热层，每年能源消耗费用为9万元．设S为隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和．(1)求m的值及用x表示S；(2)当隔热层的厚度为多少时，总费用S达到最小，并求最小值．【答案】(1)，（）；(2)当隔热层的厚度为时，总费用取得最小值110万元.【分析】（1）利用给定条件，求出的值，进而可得能源消耗费用与隔热层建造成本之和.（2）利用基本不等式即可求最值，根据等号成立的条件可得隔热层厚度.【详解】（1）设隔热层厚度x，依题意，每年的能源消耗费用为：，而当时，，则，解得，显然建造费用为，所以隔热层建造费用与40年的能源消耗费用之和为：（）.（2）由（1）知，当且仅当，即时取等号，所以当隔热层的厚度为时，总费用取得最小值110万元．27．（2023上·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）．经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本．每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完．(1)写出年利润L（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)105千件，最大利润是1000万元【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可；（2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值．【详解】（1）当时，；当时，；所以；（2）当时，，当时，取得最大值，且最大值为950，当时，，当且仅当时，等号成立．因为，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.【强化精练】一、单选题28．（2023上·河南新乡·高一校联考期末）若正实数满足，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】将条件变形为，然后利用常数代换结合基本不等式求解即可.【详解】由，得，又为正实数，所以，当且仅当时，等号成立.故选：D.29．（2023下·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）已知正实数m，n满足，则的最大值是（）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】由于，所以，即，当且仅当时等号成立．故选:B．30．（2022上·湖北孝感·高一校考期末）若正数，满足，则的最小值为（）A．3 B．6 C．9 D．15【答案】B【分析】利用换元法与基本不等式即可得解.【详解】因为，则，即，所以，令，则，，所以，当且仅当，即，，时，等号成立，故的最小值为.故选：B.31．（2022上·福建莆田·高一校考期末）当时，的最小值为（）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】利用，借助基本不等式计算即可.【详解】因为，所以,,因为，所以，，当且仅当时，即时，取得最小值.故选：B.32．（2023下·广东揭阳·高一统考期末）设，则函数的最小值为（）A．6 B．7 C．11 D．12【答案】C【分析】先化简为，再利用基本不等式即可求解.【详解】，，当且仅当，即时，等号成立，所以函数的最小值为.故选：C33．（2023下·浙江台州·高一统考期末）我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，c，满足，，则该三角形面积S的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】把给定数据代入公式，再利用均值不等式求解作答.【详解】依题意，，当且仅当时取等号，所以该三角形面积S的最大值为.故选：B34．（2023下·河南周口·高一校联考期末）已知，，，则的最小值为（）A．8 B．16 C．24 D．32【答案】D【分析】由题意利用“1”的妙用，可先求出的最小值，再由求出答案.【详解】由（当且仅当时取等号），又由（当且仅当a＝4，b＝2时取等号），有，可得的最小值为32．故选：D．35．（2023上·广东梅州·高一统考期末）为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成木，每条生产线生产的产品可获得的利润s（单位：万元）与生产线运转时间t（单位：年），，满足二次函数关系：，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t为（）年.A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】求出年平均利润函数，利用均值不等式求解即可.【详解】由题意，年平均利润为，，因为时，，当且仅当，即时，等号成立，所以，即当时，年平均利润最大为6万元.故选：B36．（2023上·河南驻马店·高一统考期末）已知正数满足：，则以下结论中（1）（2）（3）的最小值为9（4）的最小值为3.正确结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】变形给定等式，利用函数的单调性导出，再结合均值不等式“1”的妙用判断作答.【详解】，令函数，显然函数在上单调递增，当时，，函数在上都单调递减，即在上单调递减，因此在上单调递增，于是函数在R上单调递增，显然原等式为，则，即，（1）正确，（2）错误；，当且仅当，即时取等号，于是的最小值为9，（3）正确，（4）错误，所以正确结论个数为2.故选：B37．（2023上·浙江杭州·高一杭州市长河高级中学校考期末）若，，且，则的最小值为（）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】设，可将题目转化为已知，求的最小值，再结合基本不等式可求最小值.【详解】设，则，且，题目转化为已知，求的最小值，即，而，当且仅当，即时等式成立.所以.故选：C.38．（2023上·广东肇庆·高一统考期末）下列函数中，最小值为2的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】利用基本不等式以及等号的成立条件逐一判断即可.【详解】对于A：当时，，A错误；对于B：，当且仅当，即时等号成立，故等号不能成立，，B错误；对于C：，当且仅当，即时等号成立，C正确；对于D：当时，，当且仅当，即时等号成立，D错误；故选：C.二、多选题39．（2023下·云南迪庆·高一统考期末）设正实数满足，则下列说法正确的是（）A．的最小值为4 B．的最大值为C．的最大值为2 D．的最小值为【答案】ABD【分析】根据基本不等式即可结合选项逐一求解.【详解】对于A，，，，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B，，，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，因为，所以的最大值为，故C错误；对于D，因为，故D正确.故选：ABD.40．（2023上·江苏盐城·高一校联考期末）已知实数，，，则下列结论中正确的是（）A． B．若则C．则 D．若则有最大值【答案】CD【分析】举反例判断AB，根据基本不等式判断CD.【详解】对于A，当时，，不满足，错误；对于B，当时，，满足，但是，错误；对于C，因为，所以，所以，所以，正确；对于D，因为，所以有，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立，即有最大值，正确.故选：CD41．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知正数，满足，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】CD【分析】本题首先可根据判断出A，然后根据判断出B，再然后根据判断出C，最后根据判断出D.【详解】因为、是正实数，所以，当且仅当时取等号.因为，所以，故A不正确.因为.当且仅当，即等号成立，故B不正确.，当且仅当时取等号.即，故C正确.，当且仅当时取等号，故D正确.故选：CD.42．（2023下·福建福州·高一福州三中校考期末）已知，，且，则（）A．的最大值为B．的最小值为C．的最小值为D．的最小值为16【答案】BCD【分析】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件.【详解】因为，，所以，仅当时，即等号成立，令，则，故，所以，即，仅当时右侧等号成立，所以的最大值为，A错误；由，则，所以，仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确；由，仅当，即时等号成立，所以的最小值为，C正确；由，仅当，即时等号成立，所以的最小值为16，D正确.故选：BCD43．（2022上·重庆巫山·高一校考期末）下列说法正确的有（）A．若，则B．因为，所以C．（且）D．若正数x，y满足，则的最小值为3【答案】ACD【分析】利用基本不等式即可求得A正确，对选项B利用基本不等式可知等号不成立，即B错误；对的正负进行分类讨论并利用基本不等式可得成立，即C正确；由基本不等式中“1”的应用即可求得当时，的最小值为3，可得D正确.【详解】对于A，由可得，所以，当且仅当时等号成立，故A正确；对于B，由可知当且仅当时，等号成立，而，显然等号不成立，所以错误，可知B错误；对于C，当时，，当且仅当时，等号成立；当时，，当且仅当时，等号成立；即可得成立，所以C正确；对于D，由可得，则，当且仅当，即时，等号成立；即D正确.故选：ACD三、填空题44．（2023上·内蒙古包头·高三校考阶段练习）若，则的最小值是．【答案】3【分析】，利用基本不等式可得最值．【详解】∵，∴，当且仅当即时取等号，∴时取得最小值3.故答案为：3．45．（2023上·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考期末）若，，且，则的最大值为．【答案】1【分析】利用对数运算性质将转化为，再利用基本不等式求出的最大值即可.【详解】∵，，∴，解得，∴，当且仅当，时取等号，故的最大值为1．故答案为：.46．（2023上·安徽合肥·高一校联考期末）设，，且，则的最小值是.【答案】/【分析】根据题意可得，，且，结合基本不等式中“1”的妙用运算求解.【详解】因为，，且，则，，且，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值是.故答案为：.47．（2022上·云南曲靖·高一校考期末）已知，且，则当取得最小值时，．【答案】【分析】根据条件表示出，然后将表示结果代入，利用基本不等式求解最小值并分析取等条件，由此可得结果.【详解】因为，所以，由可知，所以，所以，当且仅当即时取等号，此时，所以，故答案为：.48．（2023上·安徽滁州·高一安徽省定远县第三中学校联考期末）设二次函数（，）的值域是，则的最小值是．【答案】【分析】结合二次函数图象，由值域为，求得，，再由基本不等式求解即可.【详解】当二次函数的图象开口向上，且与轴有且只有一个交点时，其值域为，∴，∴，，