2022年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷

2022年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.（3分）下列四个几何体中，从正面看是三角形的是（）

B.AC.@D.O

2.（3分）一个数的相反数是-2,则这个数是（）

A.2B.2或-2C.-2D..1

2

3.（3分）用不等式表示如图的解集，其中正确的是（）

II।।।»

-101234

A.xW2B.x<2C.x22D.x>2

4.（3分）冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查.发

现白菜价格的平均值均为2.50元，方差分别为5甲2=18.3,S/=17.4,S丙2=20.1,Sr

2=12.5.第四季度白菜价格最稳定的菜市场是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

5.（3分）下列计算正确的是（）

A.5ab-2a=3bB.a+a=c^

C.2ah+3ba=5ahD.Qpy-7xy2=0

6.（3分）在RtZXABC中，ZC=90°,如果AB=2,BC=\,那么sinB的值是（）

A.AB.返C.返D.V3

223

7.（3分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），

余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为

（）

32m

A.32X20-32x-20x=100B.（32-x）（20-x）+x2=100

C.32r+20x=100+?D.（32-x）（20-x）=100

8.（3分）下列命题是真命题的是（）

A.平行四边形的对角互补

B.对角线相等的四边形是矩形

C.相似三角形的面积比等于对应高的比

D.位似三角形是相似三角形

9.（3分）如图，AB是圆O的直径，C,。是AB上的两点，连接AC,8。相交于点E,若

NBEC=56°,那么NOOC的度数为（）

C.64°D.68°

10.（3分）如图，正方形ABCD的边长为4,点E在边CD上，且CE=1,连结4E,点尸

在边A。上，连结BF,把AAB厂沿8尸翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论:

①4E=8尸；②AD=3OF；③SCABF=6；④GE=0.2,其中正确的是（）

A.①②③④B.①③④C.①②@D.①③

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11.（3分）分解因式：7-9）2=.

12.（3分）在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标

有数字1、2,从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为

偶数的概率为.

13.（3分）如图，在aABC中，分别以A、8为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交

于尸、。两点，直线PQ交BC于点。，连接4。；再分别以4、C为圆心，大于」/C的

2

长为半径画弧，两弧交于例，N两点，直线MN交8C于点E,连接AE.若C3=I1,△

14.（3分）如图，4、8是函数y=g（x>0）图象上两点，作P8〃y轴，以〃x轴，PB与

x

%交于点P，若SAB0P=2,则S1MBp=.

15.（3分）如图，aABO中，以点。为圆心，OA为半径作。0,边AB与。。相切于点A,

把AABO绕点A逆时针旋转得到△A8O,点O的对应点。”恰好落在00上,MsinZB'AB

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16.（5分）解方程：?+2r-3=0（公式法）

17.（8分）某校760名学生参加植树活动，要求每人植树的范围是2<xW5棵，活动结束

后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，42棵；B-.3棵；C：4棵；

。：5棵，将各类的人数绘制成扇形统计图（如图2）和条形统计图（如图1）.回答下列

问题：

个人数

(1)补全条形统计图；

(2)被调查学生每人植树量的众数、中位数分别是多少？

(3)估计该校全体学生在这次植树活动中共植树多少棵？

18.(7分)在坐标系中作出函数y=x+2的图象，根据图象回答下列问题:

(1)方程x+2=0的解是；

(2)不等式x+2>l的解；

(3)若-20W2,则x的取值范围是.

19.(8分)如图，在RtZXABC中，/ACB=90°,E是8C的中点，以AC为直径的。。与

AB边交于点D,连接。E.

(1)求证：OE是的切线；

(2)若CO=3cm,DE=^-cm,求直径的长.

3

20.（8分）某中学计划购买A、8两种学习用品奖励学生，己知购买一个A比购买一个8

多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半.

（1）求A、8两种学习用品每件各需多少元？

（2）经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖

品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、8两种奖品的总费用不超过

670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？

21.（9分）【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，/8=90°,小明想从中剪出一个以为内角且面积

最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最

大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比

如图②，在△ABC中，BC=a,BC边上的高4。=心矩形PQWN的顶点尸、N分别在边

AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为.（用含①

h的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形"A8CDE,AB=32,BC=40,AE=20,C3=I6,小明从中

剪出了一个面积最大的矩形（NB为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD,经测量AB=50cm,BC=108cw,C£>=60cw,

且tanB=tanC=A,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边8c上且面积最大的

矩形PQWM求该矩形的面积.

22.（10分）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他

们经历了实践一一应用一一探究的过程：

（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道

的路面宽为10，小隧道顶部最高处距地面6.25相，并画出了隧道截面图，建立了如图①所

示的直角坐标系，则该抛物线的解析式为.

（2）应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至

少为05*.为了确保安全，问该隧道能否让最宽3%、最高3.5〃?的两辆厢式货车居中并

列行驶（两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙）？

（3）探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，

提出了以下两个问题，请予解答：

I.如图②，在抛物线内作矩形ABCC,使顶点C、。落在抛物线上，顶点A、B落在x

轴上.设矩形4BCO的周长为/,求/的最大值.

II.如图③，过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点交抛物线对称轴于点M

P为直线OM上一动点，过尸点作x轴的垂线交抛物线于点Q.问：在直线OM上是否

存在点P,使以P、N、。为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐

标；若不存在，请说明理由.

年I4：牛；/

6.25卜一;z+x6.25P—6.25——-小/

图①图②图③

2022年广东省深圳市罗湖区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一

个是正确的）

1.（3分）下列四个几何体中，从正面看是三角形的是（）

【分析】找到从正面看所得到的图形为三角形即可.

【解答】解：A.主视图为长方形，不符合题意；

B.主视图为三角形，符合题意；

C.主视图为长方形，不符合题意；

D.主视图为长方形，不符合题意.

故选：B.

【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.

2.（3分）一个数的相反数是-2,则这个数是（）

A.2B.2或-2C.-2D..1

2

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.

【解答】解：的相反数是-2,

.•.这个数是2.

故选：A.

【点评】本题考查了相反数的定义.熟记相反数的定义是解题的关键.

3.（3分）用不等式表示如图的解集，其中正确的是（）

IIIUII.

-101234

A.xW2B.x<2C.x22D.x>2

【分析】根据图中数轴上所表示的不等式的解集，即可得到答案.

【解答】解：用不等式表示如图的解集为：

故选：C.

-101234

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在数轴上表示出

来（>,》向右画；<,《向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，在表示解集时“》”,

要用实心圆点表示；要用空心圆点表示.

4.（3分）冬季来临，某同学对甲、乙、丙、丁四个菜市场第四季度的白菜价格进行调查.发

现白菜价格的平均值均为2.50元，方差分别为5甲2=18.3,S乙2=]7.4,S丙2=20」，S丁

2=125第四季度白菜价格最稳定的菜市场是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁

【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定.

2

【解答】解：甲2=18.3,S乙2=17.4,S丙2=20.1,ST=12.5,

.••S内2>S中2>s乙2>s丁2,

第四季度白菜价格最稳定的菜市场是丁；

故选：D.

【点评】本题考查了方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，

表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这

组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

5.（3分）下列计算正确的是（）

A.Sab-2a=3bB.a+a=（r

C.2ab+3>ba=5abD.Ix^y-7Ay2=0

【分析】根据合并同类项的法则进行计算，逐一判断即可.

【解答】解：A、5岫与2“不能合并，故A不符合题意；

B、a+a=2a,故8不符合题意；

C、2ab+3ba=5ab.故C符合题意；

D、77y与-7町2不能合并，故D不符合题意：

故选：C.

【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键.

6.（3分）在RtZ\A8C中，ZC=90°,如果AB=2,BC=\,那么sinB的值是（）

A.AB.返C.近D.V3

223

【分析】先由勾股定理求出AC的长，再根据正弦=对边+斜边计算即可.

【解答】解：在Rt^ABC中,

VZC=90°,AB=2,BC=\,

:.AC=M，

AB2

故选：B.

【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，解题时牢记定义是关键.

7.（3分）如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），

余下部分种植草坪，要使小路的面积为100平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为

（）

A.32X20-32x-20x=100B.(32-x)(20-x)+/=100

C.32X+20X=100+A-2D.(32-x)(20-x)=100

【分析】设道路的宽x米，小路的面积+炉=一个长32宽x的矩形面积+一个长20宽x

的矩形的面积，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解.

【解答】解：设道路的宽x米，则

32r+20x=100+7.

故选：C.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二

次方程是解题的关键.

8.（3分）下列命题是真命题的是（）

A.平行四边形的对角互补

B.对角线相等的四边形是矩形

C.相似三角形的面积比等于对应高的比

D.位似三角形是相似三角形

【分析】根据平行线的性质、矩形的判定定理、相似三角形的性质、位似三角形的概念

判断即可.

【解答】解：A、平行四边形的对角相等，不一定互补，本选项说法是假命题，不符合题

思；

3、对角线相等的平行四边形是矩形，本选项说法是假命题，不符合题意；

C、相似三角形的面积比等于对应高的比的平方，本选项说法是假命题，不符合题意；

。、位似三角形是相似三角形，本选项说法是真命题，符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查的是命题的真假判断，掌握平行线的性质、矩形的判定定理、相似三

角形的性质、位似三角形的概念是解题的关键.

9.（3分）如图，48是圆。的直径，C,。是AB上的两点，连接AC,8。相交于点E,若

NBEC=56：那么NOOC的度数为（）

【分析】连接BC,利用直径所对的圆周角是直角，可得/ACB=90。，易得/I,利用

圆周角定理可得结果.

【解答】解：连接BC,

「AB是圆。的直径,

AZACB=90Q,

VZfiEC=56°,

AZ1=90°-NBEC=90°-56°=34°,

AZDOC=2Z1=2X34°=68°,

故选：D.

【点评】本题主要考查了圆周角定理及其推论，作出恰当的辅助线是解答此题的关键.

10.(3分)如图，正方形A8CQ的边长为4,点E在边CD上，且CE=1,连结AE,点、F

在边AO上，连结BF,把AABF沿8F翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：

①AE=8F；®AD=3DF；③SAABF=6；④GE=0.2,其中正确的是()

A.①②③④B.①③④C.①®@D.①③

【分析】根据翻折的性质证△回/^△D4E(ASA),得出AF=OE=3,BF=AE,即可判

断①正确；根据。尸=AD-4/=4-3=1,即可判断②错误；由勾股定理得出8尸=5,由

SAABF求出即可求得③正确；根据尸•?!”,求出A"，即可判断④

22

正确，进而得出答案.

【解答】解：•.•四边形A3。为正方形，

：.AB=AD=CD=4,/84。=/。=90°,

,:CE=1,

：.DE=3,

由折叠的性质可知，4ABF注AGBF,8F垂直平分AG,

：.BFLAE,AH=GH,

NBA”+NAB，=90°,

"：ZFAH+ZBAH=90°,

ZABH^ZFAH,

在△ABF和△D4E中，

rZBAF=ZD

<AB=AD，

2ABF=NDAE

.'△ABF丝△ZME(ASA),

：.AF=DE^3,BF=AE,故①正确；

'：DF=AD-AF=4-3^1,

：.AD=4DF,故②错误;

在RtZ\AB尸中，

BF=VAB2+AF2=742+32=5，

，SAABF=LAB・AF=LX4X3=6,故③正确；

22

,."SA4BF=—^B*AF=—

22

：.4X3=5AH,

5

：.AG=2AH=2^,

5

'：AE=BF=5,

：.GE=AE-AG=5--21=0.2,故④正确；

5

综上所述：正确的是①③④，

故选：B.

【点评】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，

解决本题的关键是掌握翻折的性质.

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

11.(3分)分解因式：x2-9)?=(x+3y)(x-3y).

【分析】直接利用平方差公式分解即可.

【解答】解：X2-9)2=(x+3y)(x-3y).

【点评】本题主要考查利用平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键.

12.(3分)在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标

有数字1、2,从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之积为

偶数的概率为_3_.

4

【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出相应的概率.

【解答】解：树状图如下所示，

开始

/\/\

1212

两数之积1224

由上可得，一共有4种可能性，其中数字之积为偶数的可能性有3种,

，数字之积为偶数的概率为：3,

4

故答案为：1.

4

【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图.

13.（3分）如图，在△A8C中，分别以A、8为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交

2

于P、Q两点，直线P。交8c于点连接再分别以4、C为圆心，大于Lc的

一2

长为半径画弧，两弧交于M,N两点，直线MN交BC于点、E,连接AE.若CO=11,△

【分析】先利用基本作图得到PQ垂直平分AB,例N垂直平分AC,则利用线段垂直平分

线的性质得到D4=OB,EA=EC,再利用等线段代换得到8C=17,然后计算BC-C。

即可.

【解答】解：由作法得PQ垂直平分A8,MN垂直平分AC,

：.DA=DB,EA=EC,

•.,△AQE的周长为17,

：.DA+EA+DE=11,

：.DB+DE+EC=\1,

即8c=17,

：.BD=BC-CD=11-11=6.

故答案为：6.

【点评】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考

查了线段垂直平分线的性质.

14.（3分）如图，A、B是函数y=2（x>0）图象上两点，作PB〃y轴，用〃x轴，PB与

X

雨交于点P,若S"0P=2,则SzMBP=4

【分析】设点M的纵坐标为，〃，点N的横坐标为〃，求出矩形0MPN=2,进而得出加〃

=2,根据三角形的面积公式计算，即可得出结论.

【解答】解：如图，延长8P交x轴于N,延长AP交y轴于M,设点M的纵坐标为处

点N的横坐标为n,

；.AM_Ly轴，8N_Lx轴，又NMCW=90°,

二四边形OMPN是矩形，

•.♦点A,B在双曲线>=旦上，

X

••S/\AMO=S8BNO=3,

,**S&BOP=2,

••SAPMO=SAPNO=1»

：.S矩形OMPN=2,

••mn=2,

.9

n

.•.BP=|且-川=|3〃-川=2间，

m

AP=|@-加片性I，

nn

，弘ABP=1X2|〃|X自=4,

2n

故答案为：4.

【点评】本题考查的是反比例函数的性质、三角形面积公式、矩形的判定和性质，掌握

反比例函数图象上点的坐标特征、正确作出辅助线是解本题的关键.

15.（3分）如图，△ABO中，以点。为圆心，0A为半径作。。，边AB与。。相切于点A,

把△ABO绕点A逆时针旋转得到△AB'O',点O的对应点（7恰好落在。。上,贝U

的值是

【分析】由旋转得OA=O'A,则OA=。'A=OO',△00'A是等边三角形，可得N

O'40=60°,根据切线的性质以及旋转的性质得NO'AB'=90°,可得/

£48=60°,根据特殊角的三角函数值即可求解.

【解答】解：由旋转得OA=O'A,ZOAB=ZO'AB',

：.OA=OrA=OO>,

•••△OO'4是等边三角形，

・・・N。'>40=60°,

・・•边A3与。。相切于点A,

：.ZOAB=ZOrAB'=90°,

AZB'AB=60°,

sinZB'AB=y^-.

_2

故答案为：近.

2

【点评】此题考查圆的切线的性质、等边三角形的判定和性质，锐角三角函数.

三、解答题（本题共7小题，共55分）

16.（5分）解方程：/+2x-3=0（公式法）

【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程.

【解答】解：△=?2-4X（-3）=16>0,

A“_-2±4f

2X1

所以Xl=l,XI--3.

【点评】本题考查了解一元二次方程-公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公

式法.

17.（8分）某校760名学生参加植树活动，要求每人植树的范围是2WxW5棵，活动结束

后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：2棵；B：3棵；C：4棵；

D-.5棵，将各类的人数绘制成扇形统计图（如图2）和条形统计图（如图1）.回答下列

问题：

（1）补全条形统计图；

（2）被调查学生每人植树量的众数、中位数分别是多少？

（3）估计该校全体学生在这次植树活动中共植树多少棵？

【分析】（1）由B类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以。类型的对应的

百分比即可求出其人数，据此可补全图形；

（2）根据众数和中位数的概念可得答案；

（3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可.

【解答】解：（1）这次调查一共抽查植树的学生人数为8・40%=20（人），

。类人数=20X10%=2（人），补全统计图如下：

(2)•••植3棵的人数最多，

...众数是3棵，

把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，则中位数是^^=3(棵).

2

(3)这组数据的平均数是：A-X(4X2+8X3+4X6+5X2)=3.3(棵)，

20

3.3X760=2508(棵).

答:估计这760名学生共植树2508棵.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

18.(7分)在坐标系中作出函数y=x+2的图象，根据图象回答下列问题：

(1)方程x+2=0的解是尤=-2:

(2)不等式x+2>l的解x>-1；

(3)若-2WyW2,则x的取值范围是-4&W0.

【分析】先画出函数图象，然后根据函数图象可以解答(1)(2)(3)三个小题.

【解答】解：y=x+2

列表如下：

X•••0-2

y=x+2•••20•••

图象如下图所示:

(1)由图形可得，方程x+2=0的解是x=-2,

故答案为X--2；

(2)由图象可得，不等式x+2>1的解是-1,

故答案为-1；

⑶若-2WyW2,则x的取值范围是-4WxW0,

故答案为-4WxW0.

【点评】本题考查一次函数的图象、一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不

等式，解题的关键是利用数形结合的思想解答问题.

19.(8分)如图，在RtZUBC中，ZACB=90°,E是8c的中点，以AC为直径的0。与

A8边交于点。，连接。E.

(1)求证：OE是。。的切线；

(2)若CO=3C7",DE=—cm,求直径的长.

【分析】(1)连接0。，由圆周角定理得出NAOC=NBOC=90°,由直角三角形的性质

得出ED=EC,进而得出NECC=NEC£),由0Q=0C,得出N0QC=/0C£>,由NACB

=90°,得出/OCZ)+/ECZ)=90°,进一步得出NE£>C+NO£>C=90°,即可证明结论；

(2)由直角三角形的性质及勾股定理得出8。=也4"，BD=J^-(cm),再证明△8OC

33

sXCDN得出理型，进而得出o。直径的长理运o”.

ACCD19

【解答】（1）证明：如图1,连接。，

图1

：AC是。0的直径，

AZADC=ZBDC=90°,

是BC的中点，

：.ED=EC,

:.NEDC=NECD,

'：OD=OC,

.\ZODC=ZOCD,

'：ZACB=90°,

/.ZOCD+ZECD=90°,

:.NEDC+NODC=90°,

为半径，

.♦.CE是。。的切线；

(2)解：如图2,

图2

是Rt/YBOC斜边上的中线，DE=^-cm,CD=3cm,

3

：.BC=2DE=^-cm,

3

.•.BD=7BC2_CD2=^(^.)2_32=Vp.(cm),

VZA+ZACD=ZBCD+ZACD=90°,

：.ZBCD=ZAf

VZBDC=ZCDA=90°,

：./\BDC^/\CDA,

10V19

.BCBDpDV_3

ACCDAC3

."C=30而(cm),

19_

...OO直径的长变®，〃.

19

【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，掌握直角三角形的性质，圆周角

定理，切线的判定方法，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.

20.(8分)某中学计划购买A、8两种学习用品奖励学生，已知购买一个A比购买一个8

多用20元，若用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半.

(1)求A、8两种学习用品每件各需多少元？

(2)经商谈，商店给该校购买一个A奖品赠送一个B奖品的优惠，如果该校需要B奖

品的个数是A奖品个数的2倍还多8个，且该学校购买A、B两种奖品的总费用不超过

670元，那么该校最多可购买多少个A奖品？

【分析】(1)设4种学习用品每件x元钱，则B种学习用品每件G-20)元钱，由题意：

用400元购买A的数量是用160元购买B数量的一半.列出分式方程，解方程即可；

(2)设该校可购买y个A奖品，则可购买(2)+8-y)个8奖品，由题意：商店给该校

购买一个A奖品赠送一个8奖品的优惠，且该公司购买A、B两种奖品的总费用不超过

670元，列出一元一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：(1)设A种学习用品每件x元钱，则8种学习用品每件(x-20)元钱，

由题意得：40Q^lx160,

x2x-20

解得：x=25,

经检验，x=25是原方程的解，且符合题意,

则x-20=5,

答：4种学习用品每件25元钱，则B种学习用品每件5元钱；

（2）设该校可购买y个A奖品，则可购买（2）叶8-y）个B奖品，

由题意得：25y+5（2y+8-y）W670,

解得：yW21,

答：该校最多可购买21个A奖品.

【点评】本题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式.

21.（9分）【探索发现】

如图①，是一张直角三角形纸片，NB=90°,小明想从中剪出一个以为内角且面积

最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最

大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比

值为1.

如图②，在△48C中，BC=a,8C边上的高4。=力，矩形PQMN的顶点P、N分别在边

AB,4c上，顶点Q、M在边8c上，则矩形PQMN面积的最大值为_乎_.（用含小

/7的代数式表示）

【灵活应用】

如图③，有一块“缺角矩形"A8CDE,AB=32,8c=40,AE=2Q,8=16,小明从中

剪出了一个面积最大的矩形（NB为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积.

【实际应用】

如图④，现有一块四边形的木板余料ABCQ,经测量AB=50c〃?，BC=108cv",CD=60。"，

且tanB=tanC=2,木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的

3

矩形PQMM求该矩形的面积.

【分析】【探索发现】：由中位线知EF=2BC、ED=1AB,由5矩形FEDB=EF・DE_.可

22SAABC-j-AB'BC

得；

【拓展应用】：由△A/WsaABC知里=坐，可得PN="-包PQ,设PQ=x,由S矩形

BCADh

PQMN=PQ*PN=-A(x-21)2+辿，据此可得；

h24

【灵活应用】：添加如图1辅助线，取B尸中点/,FG的中点K,由矩形性质知AE=EH

=20、CD=DH=\6,分别证AAE尸丝ACDGgAHDE得AF=DH=16、CG=

HE=20,从而判断出中位线/K的两端点在线段AB和QE上，利用【探索发现】结论解

答即可；

【实际应用】：延长54、CD交于点E,过点后作£：〃，8。于点“，由tanB=tanC知EB

=EC、BH=CH=54,EH=aBH=12,继而求得8E=CE=90,可判断中位线PQ的两

3

端点在线段A&8上，利用【拓展应用】结论解答可得.

【解答】解：【探索发现】

；EF、E£＞为4A8c中位线，

J.ED//AB,EF//BC,EF=LBC,ED^^AB,

22

又/B=90°,

四边形尸EOB是矩形，

则迤眄_=空皿=在至乜，

SAABCyAB-BCyAB'BC2

故答案为：1；

2

【拓展应用】

'：PN//BC,

：./\APN^/\ABC,

.押=里即PN=h-PQ

BCADah

：.PN=a-包PQ,

h

设PQ=x,

则S矩彩PQMN=PQ"PN=x(t?-Ax)=-^jr+ax—一3(x-A)2+.®lL,

hhh24

当。。=包时,S矩形PQMN最大值为他，

24

故答案为：ah；

4

【灵活应用】

如图1,延长84、DE交于点、F,延长BC、ED交于点G,延长AE、CD交于点H,取

BF中点、I,EG的中点K,

由题意知四边形ABCH是矩形,

\'AB=32,BC=40,AE=20,CD=16,

.♦.£77=20、DH=\6,

：.AE=EH,CD=DH,

在△AEF和△//£»中，

'NFAE=/DHE

AE=AH，

ZAEF=ZHED

:.△AEF@XHED(ASA),

：.AF=DH^16,

同理△C£>GgZ\H£)E,

：.CG=HE=20,

；.B/=卷+AF=24,

2

'：Bl=2402,

：.中位线IK的两端点在线段AB和DE上,

过点K作KL_L8C于点L,

由【探索发现】知矩形的最大面积为」(40+20)xl(32+16)=720,

2222

答：该矩形的面积为720；

【实际应用】

如图2,延长BA、CC交于点E,过点E作EHLBC于点H,

tanB—tanC——,

3

：.ZB=ZC,

：.EB=EC,

108cm,且EHJLBC,

BH=CH="C=54cm,

2

VtanB=^H=A,

BH3

EH=^BH=AX54=11cm,

33

在RtZXBHE中，BE=VEH2+BH2=90CM>

'：AB=50cm,

：.AE=40cm,

BE的中点。在线段ABE,

CD=60cm,

.*.££)=30CT?7>

・・・CE的中点尸在线段CO上，

中位线尸。的两端点在线段48、CD上，

由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为28C・E”=1944c7n2,

答：该矩形的面积为1944c

【点评】本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握中位线定理、相似三角形的判定与

性质、等腰三角形的性质及类比思想的运用是解题的关键.

22.（10分）【实践与探究】九（1）班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他

们经历了实践一一应用一一探究的过程：

（1）实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测