2017年度中考数学试卷汇编圆(带内容答案)

圆的有关性质

一、选择题

1.（2016•山东省滨州市・3分）如图，/8是。。的直径，C,。是0。上的点，且OC\\BD,

力。分别与BC,OC相交于点E,F,则下列结论：

①，。_LBD;@^AOC=^AEC-③CB平分NAB。;®AF=DF\⑤8p=2。，⑥△CE曲BED,

其中一定成立的是（）

A.②④⑤⑥B.①③⑤⑥C.②③④⑥D.①③④⑤

【考点】圆的综合题.

【分析】①由直径所对圆周角是直角，

②由于N/OC是。。的圆心角，N/a是。。的圆内部的角角，

③由平行线得到NOCB=zDBC,再由圆的性质得到结论判断出NOBC=zDBC;

④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；

⑤用三角形的中位线得到结论；

⑥得不到ACF和△%■。中对应相等的边，所以不一定全等.

【解答】解：①、X8是O。的直径,

.2408=90°,

..AD1.BD,

②、是。。的圆心角，N/a是。。的圆内部的角角，

:.z.AOCtz.AEC,

：.z.OCB=z.DBC,

■：OC=OB,

:.z.OCB=z.OBC,

:.z.OBC=z.DBC,

:.CB平分乙ABD,

④、是。。的直径，

.♦.乙4。8=90°,

:.AD1.BD,

■：OC\\BD,

尸0=90°,

•・•点。为圆心，

:.AF=DF,

⑤、由④有，力尸=。尸，

；点。为中点，

.•Q尸是“8。的中位线，

:.BD^2OF.

⑥・3）尸和A8£。中,没有相等的边，

尔与A6£。不全等，

故选。

【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质,平行线的性质，角平分线的性质，解本题

的关键是熟练掌握圆的唾.

2.（2016•山东省德州市・3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中

有下列问题"今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？"其意思是："今有直角三角形，

勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内

切圆）直径是多少？"（）

A.3步B.5步C.6步D.8步

【考点】三角形的内切圆与内心.

【专题】圆的有关概念及性质.

【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，即可确定出内切圆半径.

【解答】解：根据勾股定理得：斜边为必诲=17,

2+1R-17

1P

则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r=-2-=3（步），即直径为6步，

故选C

【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，Rt^ABC,三边长为a,b,c（斜边），其内

切圆半径々史。.

3.（2016•山东省济宁市-3分）如图，在0。中，忘，2/08=40。，贝Ik/OC的度

数是（）

B

A.40°B.30°C,20°D.15°

【考点】圆心角、弧、弦的关系.

【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出〃。仁“。6=50。，再由圆周角定理即可得出结

论.

【解答】解:,.在o。中，标=*£,

：.z.AOC-z.AOB,

•.2/08=40°,

..""=40°,

:.^ADC=^LAOC=2Q°,

故选C.

4.（2016云南省昆明市4分）如图，为。。的直径，28=6,力九弦CD,垂足为G,

E尸切。。于点8,N/=30°,连接4?、OC、6c下列结论不正确的是（）

A.EF\\CDB.A096是等边三角形

C.CG=DGD.菽的长为日”

【考点】弧长的计算；切线的性质.

【分析】根据切线的性质定理和垂径定理判断力；根据等边三角形的判定定理判断B;根据

垂径定理判断C;利用弧长公式计算出后例长判断D.

【解答】解：・.，8为0。的直径，f尸切。。于点8,

：.ABA.EF,又ABlCD.

:.由。，A正确;

■：ABA.^CD,

•■•BC=BD，

.•"08=2/2=60°,又OC=OD,

是等边三角形，8正确；

弦CD,

：.CG=DG,C正确;

■-1^-I60X">(3ce±t3

BC的长为：——rzz——="，。错俣，

loU

故选：D.

5.(2016•浙江省湖州市・3分)如图，圆。是的Z6C的外接圆，N/C8=90°,"=25°,

过点C作圆。的切线，交AB的延长线于点。，则N。的度数是()

【考点】切线的性质；圆周角定理.

【分析】首先连接OC,由N/=25°,可求得N8OC的度数，由。是圆。的切线，可得

0d。，继而求得答案.

【解答】解：连接OC,

.・圆。是/?加力8c的外接圆，N/C8=90°,

是直径，

・"=25°,

.♦.N8OC=2"=50°,

••,c。是圆。的切线，

:.OCA_CD,

.-.zP=90°-N8OC=40。.

故选B.

6.（2016浙江省绍兴市4分）如图，8。是O。的直径，点AC在。。上，0=箴,

N/O8=60°,则N6OC的度数是（）

A.60°B,45℃.35°D.30°

【考点】圆周角定理.

【分析】直接根据圆周角定理求解.

【解答】解：连结OC,如图，

-AB=BC,

.•28。0=1/1。8=当60°=30°.

22

故选D.

7.（2016广西南宁3分）如图，点4,B,C,P在。。上，CD^OA,CErOB,垂足

分别为。，&N〃CE=40。，则NP的度数为（）

A.140°B.70℃.60°D.40°

【考点】圆周角定理.

【分析】先根据四边形内角和定理求出的度数，再由圆周角定理即可得出结论.

【解答】解：•.C2LC4,CErOB,垂足分别为。，E,zZ?C£=40°,

.•.zP（9F=180o-40°=140°,

二“聂。。£=70°.

2

故选B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，

都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

8.（2016贵州毕节3分）如图，点4,6,C在。。上，"=36°,NC=28°,贝上8=（）

A.100°B.72℃.64°D.36°

【考点】圆周角定理.

【分析】连接根据等腰三角形的性质得至IJNO，C=NC=28°,根据等腰三角形的性质解

答即可.

【解答】解：连接OA.

:OA=OC,

:.^OAC=^C=28°,

:20/8=64°,

:OA=OB,

...N8=N36=64°,

9.（2016河北3分）图示为4x4的网格图，/,8,C,D,。均在格点上，点。是（）

第9题图

A.A/Q?的外心B.6c的外心

C.的内心D.”SC的内心

答案：B

解析：点。在外，且到三点距离相等，故为外心。

知识点：外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。

内心：三角形内心到三角形三条边的距离相等。（也就是内切圆圆心）

10.（2016•山东潍坊3分）木杆28斜靠在墙壁上，当木杆的上端力沿墙壁/V。竖直下滑

时，木杆的底端8也随之沿着射线。例方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点。随之下

落的路线，其中正确的是（）

OBMOBMOBMOBM

【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线.

【分析】先连接OP,易知。户是/?小/斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等

于斜边的一半，可得OP^AB,由于木杆不管如何滑动,长度都不变，那么。户就是一个

定值，那么。点就在以。为圆心的圆弧上.

【解答】解：如右图，

连接OP,由于。。是斜边上的中线，

所以。吟AB,不管木杆如何滑动，它的长度不变，也就是。户是一个定值，点P就在以

。为圆心的圆弧上，那么中点P下落的路线是一段弧线.

故选D.

11.（2016•陕西・3分）如图，。。的半径为4,△力8c是O。的内接三角形，连接。&

OC.若N班C与N8OC互补，则弦6c的长为（）

A.3bB.4辰.5折.6A/3

【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形.

【分析】首先过点。作ODX.8c于D,由垂径定理可得BC=2BD,又由圆周角定理，可求

得N8OC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得NO8C的度数，利用余弦函数，即可

求得答案.

【解答】解：过点。作ODLBC于D,

贝BC=2BD,

,"/6C内接于。。，N82C与/6OC互补，

:.乙BOC=2乙A,N8OC+N4=180°,

.-.z5（9（7=120°,

：OB=OC,

:./LOBC=^OCB=^=3G°,

・・・。。的半径为4,

:.BD=OB.cos乙OBC=A^^=2臬,

・收=4晒■

12.(2016•四川眉山・3分)如图，4。是。。上的两个点，8c是直径.若/。=32°,则

AOAC=()

【分析】先根据圆周角定理求出N8及N6ZC的度数，再由等腰三角形的性质求出/。46的

度数，进而可得出结论.

【解答】解：.BC是直径,zZ?=32°,

...N8=NP=32°,N必回90°.

：OA=OB,

..N8ZO=N6=32°,

：.^OAC=^BAC-zBAO=3Q°-32°=58°.

故选B.

【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,

都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.

13.(2016•四川攀枝花)如图，点。(0,3),0(0,0),C(4,0)在0/上，BD

是。力的T弦，贝Usin乙OBD=()

【考点】锐角三角函数的定义.

【分析】连接CD,可得出NOS仄,根据点Z?(0,3),C(4,0)，得OD=3,

0c=4,由勾股定理得出CD=5，再在直角三角形中得出利用三角函数求出夕位。8。即可.

【解答】解：「0(0,3),0(4,0),

.-.(9/7=3,OC=4,

：^COD=90°,

.•.CZ?=732+42=5，

连接C。，如图所示：

：z.OBD^z.OCD,

：.sinz.OBD-sinz.OCD=^-=-^r.

CD5

故选：D.

y)

【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理、以及锐角三角函数的定义；熟练掌握圆周角定

理是解决问题的关键.

14.（2016•黑龙江龙东・3分）若点。是等腰小8C的外心，且N8OG60。，底边8c=2,

则的面积为（）

A.2+\/5B.华C.2+^2->/3D.4+273^2-73

【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质.

【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相应的边的长度，从而可

以求出不同情况下的面积，本题得以解决.

【解答】解：由题意可得，如右图所示，

存在两种情况，

当"6C为"1歌时，连接08、OC,

:点。是等腰的外心，且/6。。=60。，底边BC=2,OB=OC,

.”。尤为等边三角形，OB=OC=BC=2,O4U8C于点。，

-'CD-I,OZ?=^22-12=V3，

_BC・A|D_2X（2-q）=2-b，

S

AA1BC-2-273

当"6U为"28C时，连接OB、OC,

••点。是等腰“跋的外心，且N6。0=60°,底边BC=2,OB=OC,

.“。8c为等边三角形，OB=OC=BC=2,O4U6C于点。，

-'-CD-1,<9/7=^22-12=V3>

片及吆=2X⑵正）_2+技

22

由上可得，”8C的面积为2-73H£2+V3,

故选C.

15.（2016•黑龙江齐齐哈尔-3分）下列命题中，真命题的个数是（）

①同位角相等

②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行

③长度相等的弧是等弧

④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

A.ljB.2jC.3jD.4j

【考点】命题与定理.

【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据平行公理对②进行判断；根据等弧的定义对

③进行判断;根据中点四边的判定方法可判断顺次连接菱形各边中点得到的四边形为平行四

边形，加上菱形的对角线垂直可判断中点四边形为矩形.

【解答】解：两直线平行，同位角相等，所以①错误；

经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，所以②错误；

在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，所以③选项错误；

顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，所以④正确.

故选A.

16.（2016・湖北黄石-3分）如图所示，O。的半径为13,弦的长度是24,ONrAB,

垂足为/V,则O/V=（）

A.5B.7C.9D.11

【分析】根据。。的半径为13,弦28的长度是24,0ML28,可以求得Z/V的长，从而

可以求得02的长.

【解答】解：由题意可得，

04=13,N024=90°,46=24,

：.AN=12,

-AN2=7132-122=5，

故选A.

【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题.

17.（2016湖北荆州3分）如图，过O。外一点。引O。的两条切线PA、PB,切点分别

是48,交。。于点C,点。是优弧球上不与点4点。重合的一个动点，连接AD、

CD,若“眸80：贝的度数是（）

A.15°B.20℃.25°D.30°

【分析】根据四边形的内角和，可得N6C4,根据等弧所对的圆周角相等，根据圆周角定理,

可得答案.

B

【解答】解；如图",

由四边形的内角和定理，得

N83=360°-90°-90°-80°=100°,

®AC=BC，得

N/OC=N8OC=50°.

由圆周角定理，得

z/IPC=lz/t?C=25°,

2

故选：C.

【点评】本题考查了切线的性质，切线的性质得出众=前是解题关键，又利用了圆周角定

理.

二、填空题

1.（2016・重庆市4卷4分）如图，OA,。8是。。的半径,点C在。。上，连接47,

BC,若N/06=120°,则/»=60度.

【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半可得答案.

【解答】解：.OJlOS,

.2/06=120°,

.♦.N/D=120°X±=60°,

2

故答案为：60.

【点评】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等

弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

2.（2016・广西百色・3分）如图，。。的直径28过弦。的中点E,若NC=25°,则NZ?=_

65。.

【考点】圆周角定理.

【分析】先根据圆周角定理求出NZ的度数，再由垂径定理求出/力£。的度数，进而可得出

结论.

【解答】解：-.zC=25°,

.Z=NC=25°.

•・•。。的直径力8过弦。的中点E,

：.AB±.CD,

.Z£Z?=90°,

.20=90。-25°=65°.

故答案为：65°.

3.（2016•贵州安顺4分）如图,28是O。的直径，弦皿08于点E,若28=8,CD=6,

贝UBE-A于

C'D

B

【分析】连接OC,根据垂径定理得出CE=ED=CD=3,然后在Rt^OfC中由勾股定理求

出的长度，最后由BE=OB-OE,即可求出命的长度.

【解答】解：如图，连接OC.

•.•弦于点f,CD=6,

:.CE=ED^2Cl>3.

♦.在Rt^OEC中,NO£C=90°,CE=3,0c=4,

:.OE==V7

:.BE=OB-OE=A-V7.

故答案为4-V7.

【点评】本题主要考查了垂径定理，勾股定理等知识，关键在于熟练的运用垂径定理得出

CE、的长度.

4.（2016海南4分）如图，Z8是。。的直径，AC.BC是。。的弦，直径于点

P.若点。在优弧ABC上，/8=8,8c=3,则DP=5.5

E

【考点】圆周角定理；垂径定理.

【分析】解：由和是的直径，可推出OA=OB=OD=A,NC=90。，又有DELAC.

得到OPWBC,于是有根据相似三角形的性质即可得到结论.

【解答】解：•.Z8和。旧是。。的直径，

:.OA=OB=OD=4,zC=90°,

5L：DE^.AC,

:.OP\\BC,

iAOPiABC,

OP_AO

,而任，

OP^

即三至，

:.OP=1.5.

:.DP=OP+OP=5.5,

故答案为：5.5.

【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的判定,相似三角形的判定和性质,熟练掌握

圆周角定理是解决问题的关键.

5.（2016•青海西宁2分）O。的半径为1，弦AB=\历，弦AC=M，则度数为75。

或15°.

【考点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形.

【分析】连接OA,过。作OKL/8于F,OEL/C于尸，根据垂径定理求出力£所值，

根据解直角三角形的知识求出N048和NO4U,然后分两种情况求出N8ZC即可.

【解答】解：有两种情况：

①如图1所示：连接OA,过。作0sLz8于E,OFrAC^-F,

：.AOEA=^OFA=9Q°,

由垂径定理得：AE=BE=^,力尸=67=返，

22

3/04£=绊=匹，3"/尸=空=返，

0A20A2

:.^OAE=3Q°,NO4G45°,..N8/IC=30°+45°=75°;

②如图2所示:

连接以，过。作0sLz8于E,OF^AC=^F,

..Ng=Ng=90°,

由垂径定理得：AE=BE当,AF=CF=^,

cos^OAE=~^-,COSNOZ金牛=返，

0A20A2

:.z.OAE=3Q°,N»F=45°,

:.^BAC=^S°-30°=15°;

故答案为：75。或15°.

1

6.(2016•吉林・3分)如图，四边形力8。内接于OO,NZ?/8=130°,连接OC,点P是

半径OC上任意一点，连接DP.BP,则N8也可能为80度(写出一个即可).

【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理.

【分析】连接OB、根据圆内接四边形的性质求出NOCB的度数，根据圆周角定理求

出的度数，得到NZ?CB<N8.

【解答】解：连接。员OD.

,・四边形力6。内接于。。，N〃Z8=130°,

.203=180°-130°=50°,

由圆周角定理得，^DOB=2^DCB=100°,

：.^DCB<ABPD<ADOB,即50°<^BPD<100°,

.28也可能为80°,

故答案为：80.

7.(2016・四川泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点/(1,0),5(1

-a,0),C(l+a,0)(a>0),点P在以。(4,4)为圆心，1为半径的

圆上运动，且始终满足N6PC=90。，则a的最大值是6

【考点】三角形的外接圆与外心.

【分析】首先证明/6=4C=a,根据条件可知PA=AB=AC=a,求出上到

点力的最大距离即可解决问题.

【解答】解：X(1,0),5(1-a,0),C(1+a,0)(a>0),

..AB=1-(1-a)=a,CA=a+l-l=a,

'AB-AC,

:.PA=AB=AC=a,

如图延长2。交。。于P,此时21最大，

：A(1,0),。(4,4),

：.AD=5,

二/7=5+1=6,

-a的最大值为6.

故答案为6.

8.(2016•黑龙江龙东-3分)如图，例/V是。。的直径，MN=4,N//VW=40。，点8为弧

//V的中点，点P是直径例/V上的一个动点，则以1+%的最小值为二、屈.

【考点】轴对称-最短路线问题；圆周角定理.

【分析】过/作关于直线例"的对称点4连接AB，由轴对称的性质可知48即为PA+PB

的最小值，由对称的性质可知菽=亦,再由圆周角定理可求出N/'OAZ的度数，再由勾股

定理即可求解.

【解答】解：过力作关于直线例/V的对称点,连接/'6,由轴对称的性质可知46即为

勿+P8的最小值，

连接OB,OA,AA,

・•,//'关于直线例/V对称，

.,愈=厂1，

・"例/V=40°,

；.N4O/V=80°,4BON=AO：

:2408=120°,

过。作OQJL48于Q,

在/?m/'OQ中，。4'=2,

.•./'8=24Q=26，

即以1+户8的最小值

故答案为：273.

A

三、解答题

1.(2016•四川泸州)如图，△/18c内接于。。，8。为0。的直径，8。与AC

相交于点H,ZC的延长线与过点8的直线相交于点E,Hz/=z£5C.

(1)求证：6F是。。的切线；

(2)已知CGWEB,且CG与BD、82分别相交于点尸、G,若8G・8/=48,

FG=y[2.DF=2BF,求力”的值.

【考点】圆的综合题；三角形的外接圆与外心；切线的判定.

【分析】(1)欲证明8F是O。的切线，只要证明/£8。=90°.

(2)由4/80,4086,得区=空求出8C,再由尸CSASC。，得BC=BF・BD

BGBC

求出BF,CF.CG.GB,再通过计算发现CG=AG,进而可以证明CH=CB,

求出ZC即可解决问题.

【解答】(1)证明：连接CD,

,•,8。是直径，

:.ABCD=9Q°,即NO+NC6O=90°,

'：Z.A-Z.D,Z.A-Z.EBC,

:.乙CBD+乙EBC=90°,

BEA.BD,

••・8F是0。切线.

(2)解：:31£8,

:.乙BCG=^EBC,

:.z.A-z.BCG,

:乙CBG=4ABC

ABCsACBG,

.导噜，即BO=BG・BA=48,

DbDC

：.BC=4/3,

■：CG\\EB,

CF1.BD,

△BFCsABCD,

:.BC=BF・BD,

■：DF=2BF,

:.BF=4,

在RCBCF中，CF=7BC2-FB2=4、反，

:.CG=CF+FG=5^/2,

在RT^BFG中,BG=VBF2+FG2=3\^2-

•••8G・82=48,

•.BA=8扬PAG=5量,

:.CG=AG.

：.^A=^ACG=ABCG,4CFH=^CFB=q0°,

:.乙CHF=z.CBF,

：.CH=CB=AM，

hABCsACBG,

,AC=BC

"CG~'BG'

CG3

:.AH=AC-CH=^^.

3

2.(2016•四川攀枝花)如图，在A/O8中，N/O6为直角，04=6,08=8,半径为2

的动圆圆心Q从点。出发，沿着方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动点P

从点Z出发，沿着方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动时间为f秒(0

<"5)以P为圆心，外长为半径的。P与AB、OA的另一个交点分别为C。，连结CD、

a.

(1)当？为何值时，点Q与点。重合？

(2)当。Q经过点，时，求OP被。8截得的弦长.

(3)若OP与线段QC只有一个公共点，求子的取值范围.

B

【考点】圆的综合题.

【分析】(1)由题意知CDS.OA,所以，利用对应边的比求出2。的长度，

若Q与。重合时，则，AD+OQ=OA,列出方程即可求出f的值；

(2)由于0＜片5,当Q经过/点时，OQ=4,此时用时为4s,过点。作PE1.OB于点E,

利用垂径定理即可求出。户被。8截得的弦长；

(3)若。P与线段QC只有一个公共点，分以下两种情况，①当QC与。P相切时，计算

出此时的时间；②当Q与。重合时，计算出此时的时间；由以上两种情况即可得出f的取

值范围.

【解答】解：(1)..3=6,08=3,

二由勾股定理可求得：28=10,

由题意知：OQ=AP=t,

：.AC=2t,

是。户的直径，

.2。/=90。，

：.CD\\OB,

：aACDs&ABO,

.AC_AD

"AB=OA(

.,.74P=-pt，

5

当Q与。重合时，

AD+OQ=OA,

•哈t+片6,

.30.

,r"11’

(2)当0。经过/点时，如图1,

OQ=OA-QA=4,

4

・小丁=4s,

:.PA=A,

:.BP=AB-PA=6,

过点P作PEI08于点&OP与08相交于点F、G.

连接)，

:.PE\\OA,

:^PEB-^AOB,

.PE_BP

,京辛，

♦/£=¥,

b

由勾股定理可求得：仔三绰9,

由垂径定理可求知:FG=2EF=皿兽■;

(3)当QC与OP相切时，如图2,

此时NQC4=90。，

:OQ=AP=t,

；./Q=6-t,AC=2t,

'：z.A=z.A,

AQCA=^ABO,

:.^AQC-^ABO,

,AQ_AC

•,而而，

.6-t_2t

'10'6'

*13'

.•.当0＜仁；|时,OP与QC只有一个交点，

当QCLO4时，

此时Q与。重合，

由（1）可知：七招,

当答〈仁5时，0P与QC只有一个交点，

综上所述，当，OP与QC只有一个交点，/的取值范围为：0<”才|或居<华5.

图2

B

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性

质，学生需要根据题意画出相应的图形来分析，并且能综合运用所学知识进行解答.

3.（2016•山东潍坊）正方形内接于。。，如图所示,在劣弧标上取一点E,连接

DE、BE,过点。作DFWBE交O。于点F,连接BF、AF,且/尸与相交于点G,求证：

（1）四边形F8尸。是矩形；

【考点】正方形的性质；矩形的判定；圆周角定理.

【分析】（1）直接利用正方形的性质、圆周角定理结合平行线的性质得出

/BED=/BAD=90。，/BFD=/BCD=90。，zEDF=9b°,进而得出答案；

（2）直接利用正方形的性质标的度数是90°,进而得出BE=DF,则BE=DG.

【解答】证明：（1）1.正方形ABCD内接于0O,

"BED=/BAD=9G：8cp=90°,

文：DF\\BE,

：.^EDF+^BED=18Q°,

.•.z£P£=90°,

••・四边形£8尸。是矩形；

(2))•.正方形ABCD内接于。O,

，薪的度数是90°,

.力处45°,

又.NG0G9O°,

:.乙DGF=LDFC=45°,

:.DG=DF,

又•.在矩形EBFD中,BE=DF,

:.BE=DG.

4.(2016•广西桂林・8分)已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？

古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式--

海伦公式S=[p(p_a)(p-b)(p-C)(其中a，6，。是三角形的三边长,

。,5为三角形的面积)，并给出了证明

P~2

例如：在“8C中，a=3,b=4,u5,那么它的面积可以这样计算：

:a=3,。=4,u5

._a+b+c

••尸^-=6

•.S=VP(p-a)(p-b)(p-c)=V6X3X2X1=6

事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶

提出的秦九韶公式等方法解决.

如图,在6c中,8c=5,AC=6,/8=9

(1)用海伦公式求的面积；

(2)求“6C的内切圆半径r.

【考点】三角形的内切圆与内心；二次根式的应用.

【分析】(1)先根据BC、ZC的长求出P,再代入到公式S=Vp(p-a)(p-b)(p-c)

即可求得S的值；

(2)根据公式S=lr(ZC+6C+/18),代入可得关于「的方程,解方程得「的值.

【解答】解：(1)-.BC=S,/回6,48=9,

BC+AC4-AB=516+9=w

P22

・•.s=VP(P-a)(p-b)(p-c)=V10X5x4X1=10-72；

故△板的面积1072；

(2).5=全(2C+8C+/8),

•♦•IO&=£,(5+6+9),

解得：r=V2，

故的内切圆半径々血.

5.(2016•广西桂林10分)如图，在四边形力8。中，Z8=6,BC=8,0=24,AD=26,

N8=90。，以4。为直径作圆。，过点。作。国48交圆。于点E

(1)证明点C在圆。上；

(2)求为厄4乃的值；

(3)求圆心。到弦的距离.

BA

E-----D

【考点】实数的运算.

【分析】（1）如图1,连结。.先由勾股定理求出/C=10,再利用勾股定理的逆定理证

明A/。是直角三角形，NC=90°,那么0c为/?力4。斜边上的中线，根据直角三角形斜

边上的中线等于斜边的一半得出。0=,力。=r,即点C在圆。上；

（2汝口图2延长BC、交于点尸下。=90°根据同角的余角相等得出NCO£=N，CB在

Rt^ABC中,利用正切函数定义求出tan^ACB=-=-,则tanz.CDE=tan^ACB=-;

844

（3）如图3，连结Zf,作OGLED于点G,则0GlM£,且易证"863多。，

根据相似三角形对应边成比例求出CF=~-,那么BF=BC+CF=/^.再证明四边形28%

55

是矩形，得出2£=8/三半，所以OG=^rAE=^.

bN5

【解答】（1）证明：如图1,连结co.

,.48=6,BC=8,z5=90°,

.♦.410.

又..CP=24,AD=26,102+242=262,

・•・A/O是直角三角形，zC=90°.

,.乂。为。。的直径，

：.AO=OD,OC为/?仁/。斜边上的中线，

.-.OC=^AD^r,

.,.点C在圆。上；

(2)解：如图2,延长6GDE交于点F/BFD=9G.

■：^BFD=90°,

:.ACDE+AFCD=9Q°,

又："8=90°,

:.^ACB+AFCD=2G°,

:.z.CDE=z.AC^>.

在R3ABC中,tan乙ACB=2=£,

84

3

:.tanz.CDE-tanz.ACB--;

4

(3)解：如图3,连结〃，作OG_L£。于点G,则OGIIZF,且OG=4/£.

^j^ABC-^CFD,

.AB=AC即g=12

CFCD'CF24'

"=今，

□

BF=BC+CF=8.

55

:AB=AF=AAED=9Q°,

四边形28%是矩形，

.-.AE=BF=—,

5

:.OG=­AE^—,

25

即圆心。到弦的距离为平.

5

BA

6.(2016•贵州安顺口2分)如图，在矩形中，点。在对角线ACY.,以＜24的长为

半径的圆。与42/C分别交于点£F,且乙ACB=LDCE.

(1)判断直线"与。。的位置关系，并证明你的结论；

返

(2)若tan"CB=2,BC=2,求0。的半径.

【分析】(1)连接。£.欲证直线CE与O。相切，只需证明NC£O=90。，即OE±&F即可；

(2)在直角三角形Z史中，根据三角函数的定义可以求得AB=、反,然后根据勾股定理求

得/(；=、几，同理知。匹=1；

方法一、在RSCOE中,利用勾股定理可以求得Ca=OP+CP,即（A-r）'=户+3,

从而易得/"的值；

方法二、过点。作。例，/£于点例，在/?热力例。中，根据三角函数的定义可以求得/•的

值.

【解答】解：（1）直线％与O。相切.…（1分）

理由如下：

•.四边形Z8C。是矩形，

:.BC\\AD,z.ACB=z.DAC;

文：乙ACB=4DCE,

:.乙DAC=ADCE;

连接OE,贝此。4c=N/£O=N/XT;

•••zPC£+zZ?£C=90°

.1.z/£0+zZ?£C=90°

.-.zO£C=90°,即OEA.CE.

又。£是。。的半径，

.•.直线上与。。相切.…（5分）

AB返

（2）：tan^ACB^^-2,BC=2,

:.AB=BC、tanzACB=Fi,

:.AC=E；

文：乙ACB=4DCE，

返

：.tan/.DCE-tanz-ACB-2,

.'.DE-DGtanADCE-1;

方法一：在RNCDE中,CF=VCD2+DE2=V3,

2

连接。巳设。。的半径为「，则在々ACW中，Ca=OP+CP,gp（V6-r）=/2+3

返

解得：々4

方法二:AE=AD-DE=1,过点。作OA<L/E于点〃，贝I」AM=2AE=2

AM12返

在中，G!4=cosZEA0=2^^T...（9分）

【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的

长.

7.(2016•黑龙江哈尔滨口0分)已知：08C内接于OO,。是上一点，ODLBC,垂足

为H.

(1)如图1,当圆心。在Z8边上时，求证：AC=2OH-t

(2)如图2,当圆心。在“SC外部时，连接AD、CD,与8c交于点巴求证：

乙ACALAPB;

(3)在(2)的条件下，如图3,连接BD,£为O。上一点，连接DE交8c于点Q、交

于点N,连接OE,8尸为O。的弦，8Q.OE于点R交DE于点G,若“3

乙ABD=24BDN,/C=5遥,BN=3后,tanzABc],求6尸的

B

【考点】圆的综合题,

【分析】(1)OaL6C可知点H是8c的中点，又中位线的性质可得

(2)由垂径定理可知：BD=3，所以N8ZO=NC4。，由因为所以

AACD=^APB-,

(3)由4ABD=2乙BDN可知乙AND=9b°,由可知M?和8Q的长

度，再由夕」QF和OD1BC可知乙GBN=zABC,所以BG=BQ,连接，。并延长交O。

于点I,连接《后利用圆周角定理可求得兀和，/的长度，设QH=x,利用勾股定理可求

出Q"和〃。的长度，利用垂径定理可求得E。的长度，最后利用⑵叱。£。=：制］可求得

/?G的长度，最后由垂径定理可求得8尸的长度.

【解答】解：(1)；OZZL6C,

二由垂径定理可知：点H是8c的中点，

.点。是的中点，

.•.OA是“8C的中位线，

:.AC=2OH;

(2)-：ODrBC,

二.由垂径定理可知：BD=CD，

:.z.BAD=z.CAD,

,.金=同，

:.z.ABC-z.ADC,

.-.180°-/胡。-N/8C=180。-ACAD-AADC,

"ACD=/APB,

(3)连接延长交于。。于点I,连接IC,Z8与相交于点M.

■：^ACD-乙ABD=2乙BDN,

3AC。-乙BDN=^ABD+乙BDN,

,:乙ABD+乙BDN=^AND,

:.乙ACD-乙BDN=AAND.

■：^ACD+^ABD=13Q°,

:zABD+/BDN=180°-4AND,

.♦.N4V0=18O。-乙AND,

；zAND=90。，

'：tanz.ABC=^,BN=3瓜,

.W0竽，

•••由勾股定理可求得：8Q=芋,

■：z.BNQ=^QHD=9G°,

:.乙ABC=^QDH.

■：OE=OD,

:.乙OED=乙QDH,

•••z£/?<?=90°,

:.AOED=Z.GBN,

:.乙GBN=4ABC,

,：ABA.ED,

BG=BQ=^,GN=NQ=^^-,

,；//是。。直径，

:.z.ACI=9Q°,

■:tan乙AIC=tan乙ABC=^,

IC2

.•心10«,

，由勾股定理可求得：AI=2S,

连接。8,

设QH=x,

tan乙ABC-tan乙ODE=-1-,

型」

"HD-2'

:.HD^2x,

:.OH=OD-HD=^--2x,

BH^BQ+QH=^-+x,

由勾股定理可得:O吐B印+OW

・•.（苧产=（铮x）2+（苧-2x）2,

解得：x=J■或弓，

当Q〃=,时，

..QD=、芯QH=^~,

:,ND=QD+NQ=6心

:.MN=3y[s,MD=1S

q

・•・Q〃二尹符合题意，舍去,

5

当Q小弓时，

:.QD='、[%QH=三举>

:.ND=NQ+QD=A^>,

由垂径定理可求得：屹=10、/万,

:.GD=GN+ND=

:.EG=ED-GD=2^1

■:tan乙OED=m,

•西」

・京花'

:.EG=Q$RG,

q

；.RG戏,

:.BR=RG+BG=U

..由垂径定理可知：BF=2BR=2A.

（邸）

8.（2016河北）（本小题满分10分）

如图，半圆。的直径力6=4,以长为2的弦PQ为直径，向点。方向作半圆M,其中P点、

在/Q（弧）上且不与Z点重合，但Q点可与6点重合.

发现ZP（弧）的长与Q8（弧）的长之和为定值/,求/;

思考点M与28的最大距离为此时点P,力间的距离为;点例与28的

最小距离为此时半圆例的弧与力8所围成的封闭图形面积为.

探究当半圆例与28相切时，求ZP（弧）的长.

（注:结果保留TT,cos35°=^-,cos55°=与）

解析：图画好，就好求。最大距离就是0例，当。例_L/8时，利用角和边的关系，bAOP

是等边三角形，点例与26的最小距离，Q与8重合，面积，扇形减三角形。

相切，两种情况，左边和右边，对称的，画好图，根据COS35°=F伸55。=工,

33

以及已知角，求所需要的角。

知识点：圆

.

2