基本不等式的十五种类型-解析版

十五种类型解决基本不等式TOC\o"1-1"\h\z\u类型1:基本不等式的直接运用与取等条件 2类型2:换“1”法求最值 3类型3:代换法与解不等式法求最值 4类型4:恒成立问题 5类型5:齐次化处理后用基本不等式 6类型6:换元—较难 7类型7:万能k 8类型8:两次均值不等式—较难 9类型9:配凑后用基本不等式求最值—难 10类型10:整理与代换—难 11类型11:多变量代换减少变量后运用基本不等式—较难 12类型12:凑系数问题使基本不等式满足取等条件—难 12类型13:双勾函数的应用—较难 13类型14:利用x2+y2≥-2xy求范围 14类型15:三元均值不等式 15类型1:基本不等式的直接运用与取等条件典型例题例1.设某同学从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b则()A.v=aba+bB.v=abC.ab<v解析:设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为sa∴v=2ssa∵b>a>0，由基本不等式可得ab<a+b2，∴v=∵v-a=2ab∴v>a，则a<v<ab，D故选：D．例2.(多选)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式A.a+4a≥4B.a2+16a解析:取a=-2，a+a2>0，a2+16取a=-2，b=-2，1aab>0，则ba>0，b故选：BD．例3.已知x,y∈R+,且满足3x+4y=1,解析:3x+4y≥2即xy的最大值为148例4.若0<x<12,则x(解析:因为0<x<12，所以1-2x>0，所以x(1-2x)=当且仅当2x=1-2x，即x=14时取等号，所以x(1-2x)的最大值为跟踪练习1.(多选)已知实数a,b,下列不等式一定成立的是()A.a+b2≥abB.a+1a≥2C.解析:当a<0，b<0时，a+b2≥ab当a<0时，a+1a≥2∵ab+b∵2a故2a2+故选：CD.2.(多选)下列说法正确的有()A.不等式a+b≥2ab恒成立B.存在C.若a>0,b>0,则ba+ab≥2解析:当a<0,b<0时，不等式a+b≥2ab不成立，A当a=-2时，a+1a=-52≤-2，即存在若a,b∈(0,+∞)，则ab>0,ba>0y=x2+2+1x2+2≥2x故选：BC.3.设x>0,则x1-4解析:x1-4x2=44.若x>0,y>0,x+2y=5,则x+1解析:(x+1)(2y+1)xy因为x>0，y>0，所以2xy当且仅当2xy=6xy，即{xy=9所以(x+1)(2y+1)xy的最小值为45.若x>0,y>0,(x+3)(y+1)=12,则x+3y的解析:(x+3)(y+1)=12，则当且仅当x+3=3y+3=6时取等，x+3y≥6类型2:换“1”法求最值典型例题例1.已知正数x,y满足x+2y=1，求1x+1y的最小值∵x>0,y>0∴答:不正确，正确解法见解析.解析:不正确，解答过程中两次利用基本不等式，取等条件不一样，1当2yx=xy所以1x+1例2.若x>0,y>0,x+2y=2,则1x+1解析:1x当yx=x2y例3.若实数a>1,b>2,且满足2a+b-6=0,则解析:2a+b-12+2b-2a所以1a-1+例4.若x>0,y>0,1x+2y=1解析:x+2y=当且仅当2yx=2xy时取等，例5.若整数x,y满足x+y+15=1xA.x为定值,但y的值不确定B.x不为定值,但y是定值C.x,y均为定值D.x,y的值均不确定解析:由题得(x+y)(1x+y≤1，则有x+y+15=1x+9y解方程组x+y=11x+9y=16，得x=1跟踪练习1.已知0<x<1,则1x+1解析:1x当且仅当1-xx=x12.若x>0,y>0,1x+1y=1解析:1x+1所以4xx-113+241-1y1-1x·93.(多选)已知两个不等的正数a,b满足a+b=1,则下列说法正确的是()A.ab<14B.1a+1b<4C.解析:对于选项A：因为a>0，b>0且a+b=1，则ab≤a+b22=14对于选项B：1a+1b=a+bab对于选项C：a+b2=a+b+2ab=1+2ab≤1+2对于选项D：a2+b故选：ACD4.已知a>0,b>0,且4a+b=ab,A.ab≥16B.2a+b≥6+42C.a解析:因为a>0，ab=4a+b≥24ab=4ab，当且仅当4a=b时等号成立，所以ab≥16由4a+b=ab得b=4aa-1>0，a>12a+b=2a+4aa-1=2(a-1)+4a-1+6≥22(a-1)×a=5,b=5满足题意，但a-b=0，C错；由4a+b=ab得1a+4b=1，所以21a2+故选：C5.若x>0,y>0,x+y=1,则yx+解析:yx+4所以yx+4y6.若正数a,b,c满足1a+4b解析:12ca∙9ac+而1a+4b+9c类型3:代换法与解不等式法求最值典型例题1.已知正实数x,y满足xy+x+2y=6,则xy的最大值为_____.解析:∵xy+x+2y=6，且x,y>0，∴x+2y=6-xy≥22xy，∴xy+22xy-6≤0∴xy≤2当且仅当x=2,y=1时取等号.故答案为：22.已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最大值为_____.解析:∵正实数x,y满足xy+2x+y=4，∴y=4-2x∴x+y=x+4-2x当且仅当x=6-1跟踪练习1.已知x>0,y>0,x2+4y2+x+解析:x2+4y2≥4xy，1=x2所以xy≤2-34，2.已知x>0,y>0,满足x2+2xy-1=0,A.2B.3C.23D解析:由x2+2xy-1=0，得y=1-x2因此，3x+2y=3x+1-x2x=2x+1x所以3x+2y的最小值为22.故选：D3.已知5x2y2+解析:x2=115y2=4y4.若正实数a，b满足ab+a+b=8A.ab≤4 B.a+bC.a+2b≥62-3D解析:对于A，由ab+a+b=8可得a+b=8-ab≥2ab，即ab+2可得ab+4ab-2≤0，解得当且仅当a=b=2时，等号成立；所以A正确；对于B，由ab+a+b=8可得ab=8-a+b≤a+b所以a+b4-1a+b+8≥0，解得a+b≥4对于C，由ab+a+b=8可知a=8-bb+1=-1+9b+1a+2b=-1+9当且仅当9b+1=2b+1，即对于D，由ab+a+b=8可得，1=181+bab+a+ab+ab类型4:恒成立问题典型例题1.已知x>0,y>0,且x+y=2,若4x+1-m解析:4x+1-mxy≥0恒则4x+1xy=所以m的最大值为4.跟踪练习1.正数a,b满足9a+b=ab,若不等式a+b≥-x2+2x+解析:∵9a+b=ab,∴1a+9b∴a+b=(a+b)(1当且仅当ba=9ab，即若不等式a+b≥-x2+2x+18-m对任意实数则16≥-x2+2x+18-m对任意实数x恒成立，即m≥-x∵-x∴m≥3.2.已知正实数x,y满足x+2y+xy-7=0,3t2-2t≥解析:因为x+2y+xy-7=0所以xy-x=x∙7-x-2x2+5x由于3t2-2t≥xy-x恒成立,所以3t2-2类型5:齐次化处理后用基本不等式典型例题1.已知x>0,y>0,z>0,x2-3xy+4y2解析:∵x∴z=x∴xyz=xyx2∴xyzmax2.已知x>0,y>0,x+解析:已知x>0，y>0，x+2y=3，则x2当且仅当x2=2y2时，即当故x2+3yxy跟踪练习1.设a>0,b>0,a+b=1解析:由3a当且仅当b=2a时，即a=12.已知a>0,b>0,且a+3b=解析:1a2+2a9b2所以1a2+3.若对任意实数x>0,y>0，不等式2x+xy≤a(2x+y)恒成立，则实数aA．2-14 B．6+24 C．6解析:由题意可得，a≥2x+xy2x+y对于任意实数x>0,y>0恒成立，则只需求2x+xy2x+y的最大值即可，2x+xy2x+y=2+当且仅当m=6m所以a≥6+24，即实数a的最小值为6类型6:换元—较难典型例题1.若x>0,y>0,则yx+16解析:令2x+y=t则yx+16所以yx+16x2.设a>b>0,则a解析:令m=a+2bn=则aa+2b所以aa+2b3.设a>b>0,若a2+3b2+4解析:a2+3b2+4ab则5a+9b=53n-m2+9m-n4.若x>0,y>0,3(解析:3(x+2y)y+所以2xy=3xx+2y+8y5.设a,b,c为∆ABC的三边的长,求证:abc≥(a+解析:令b+c-a=mc+a-b=na+而n+t2≥nt跟踪练习1.已知x>0,y>0,5x解析:5x2+4xy-y2=(5x-y)(x+y)所以mn=1当且仅当m2所以12x2+8xy-y22.已知正数a,b满足ab+a+3b解析:∵ab+a+3b=13，∴a所以mn=16,2a当且仅当2m所以2a+3b的最小值为3.已知正实数x,y满足2xy-x-y=A.xy的最小值为3+12B.xC.x+2y的最小值为6+32解析:因为x,y为正实数，选项A：因为2xy-x-y=1，则x+y=2xy-1≥2xy，即2解得xy≥1+32，xy≥2+选项B：因为x+y=2xy-1，所以x+ymin当且仅当x=y=1+32选项C：由2xy-x-y=1得x2y-1=y+1，当y=1则x=y+12y-1>0，得y>则x+2y=y+1当且仅当34y-2=124y-2选项D：x2令xy=t，由A可知t≥2+则x2当且仅当t=2+32时等号成立，故故选：BCD4.设a,b,c为∆解析:令b+c-a=mc+a-b=n即证ab+c-a而nm+mn≥10.设a,b,c解析:令b+c=mc+a=na所以即证a即证nm+tm+mn类型7:万能k典型例题1.已知x,y∈R,x2+2解析:令t=2x+y，则y=t-2x，代入整理可得,7x可知Δ=解之得，t2≤4，所以2x+y的最小值为-2跟踪练习2.已知x,y∈R,4x2+解析:令t=x+y，则y=t-x，代入4x2整理可得，6x可知Δ=解之得，t2≤8所以x+y的范围为-类型8:多次均值不等式—较难典型例题1.若m>0,n>0,则n+1m解析:n+1当且仅当{1m=4mn22.若a,b∈R,ab解析:∵a4+4∴aba4+4当且仅当4ab=1ab时，即a∴a2=2b2所以aba4+43.若x>y>0,则xy解析:xy+x+2yy所以xy+x+2跟踪练习1.设a>b>0，求a2解析:a2+16当且仅当b=a-b，a2所以a2+16b(a-b)2.已知正实数a,b满足a+2b=1,则解析:由于a4b+则a4当且仅当a4b=b，32b4a所以a4b+3.已知正数x,y满足x2+2y解析:法一:2y1-y+x1-x=21所以2y1-y+所以2y1-y+法二:2y1-y+当且仅当x=y=12时取等，所以类型9:配凑后用基本不等式求最值—难典型例题1.若a,b,c均为正实数,且aa+b+c+bc=4-23解析:aa+b+c+=a+ba+c≤2a+b+c≥2(3-1),所以2a+b+c的最小值是2.若2a2+b2=4a+4解析:两边同时除以ab,2ab则41a+此时a=1+2，所以1a+1b3.若x,y均为正实数,(x-y)2=(xy)3解析:(x-y)2=(xy)3,可得:则(1x+所以1x+1y跟踪练习1.正实数a,b,c满足ab+bc解析:由ab+bc+ca即a+ba+c=a所以2a+b+c所以2a+b+2.已知正实数a,b满足2b2+ab-4ba+2解析:2b2+ab-即4=2b+a2所以a+2a+b3.若x>0,y>0,x2+y解析:x2+y1x2+1y2当且仅当xy=4所以1x+1类型10:整理与代换—难典型例题1.设ab=14,a,b∈解析:由题：ab=14，a，b∈（0，1），1==1当且仅当(4a-1)4-4a解得当a=38时，取的最小值2.已知a>0,b>0,a+解析:1a2令t=3-ab，则1当且仅当t=8所以1a2+1跟踪练习1.已知a>b>0,a+b=1解析:将b=1-a代入得,2aa则a+1a2-所以2aa2+b2.已知正实数a,b,c满足b+c=2abc,则a+bc解析:a+bc当且仅当ab+ac+bc所以a+bcb+c3.已知x>0,y>0,4xy(x+y)=(x-y解析:将y=x-y4x所以3x-y-故3x当且仅当x+所以3x-y类型11:多变量代换减少变量后运用基本不等式—较难典型例题1.已知x>0,y>0,z>0,x2+解析:1+zxyz≥当且仅当xy=z,1-所以S=1+zxyz跟踪练习2.设a>0,b>0,c>0,d>0,a+b=1解析:1abc+1而4c当且仅当4d所以1abc+13.设a>0,b>0,c>0,b+c≥解析:b+c≥当且仅当12所以bc+c类型12:凑系数问题使基本不等式满足取等条件—难典型例题1.已知x>0,y>0,z>0,则xy+yz解析:x取2λ=21-则x2+y2+z此时xy+yzx所以xy+yzx2+2.已知x>0,y>0,z>0,则x解析:法一:柯西不等式,xy+2yz=5yx此时x2所以x2+y法二:5当且仅当x=55此时x2所以x2+y跟踪练习1.正数a,b,c,a2+解析:a2当且仅当a2=λb取2λ=2此时232a所以2ab+bc法二:2ab+bc=(当且仅当,21=ac,a2此时232a所以2ab+bc2.命题P:∃x>0,y>0,使得不等式(2xy+4y)λ>xA.λ|λ>52B.λ|λ>53解析:寻找充要条件,∃x>0,y>0,使得不等式(2xy+4y则λ>法一:待定系数配凑,x+y+5令2μ=1所以x+y+5≥53(2