八年级下学期期中数学试卷

矩形、菱形、正方形

一、选择题

1、（2013年安徽凤阳模拟题二）如图，矩形。8c的顶点O是坐标原点，边。/在x轴上,

边0c在y轴上.

若矩形O41&G与矩形QZ8C关于点O位似，且矩形。为4G的面积等于矩形

A.(3,2)B.(―2,—3)

C.(3,2)或(一3,-2)D.(2,3)或(一2,-3)

答案：C

2、（2013年安徽省模拟八）如图，在矩形N8CZ）中，AB=3,BC=4,点尸在8c边上运动，

联结DP,过点4作垂足为E,设DP=x,AE=y,则能反映y与X之间函

数关系的大致图象是

3、（2013年湖北荆州模拟5）如图所示，P是菱形/BCD的对角线ZC上一动点，过P垂直

于NC的直线交菱形N8CD的边于MN两点，设NC=2,50=1,AP=x,AAMN的面

积为6则y关于x的函数图象的大致形状是（▲）fl

4、（2013年上海奉贤区二模）对角线相等的四边形是（▲）

A.菱形；B.矩形；C.等腰梯形；D.不能确定；

答案：D

5、（2013浙江省宁波模拟题）如图，边长为12的正方形ABCD中，有一个正方形

EFGH,其中E、F、G分别在AB、BC、DF±,若BF=3,则正方形EFGH

的边长为（)

15

A.5B.6D.2A/3

4

第11题

答案：C

6.（2013沈阳一模）顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是（）

A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

答案：C

7、（2013浙江锦绣•育才教育集团一模）如图，菱形/8CD和菱形ECGE的边长分别为3

和4,ZJ=120°,则图中阴影部分的面积（▲）

A.百B.-73C.273D.3正

答案：B

8、（2013年江苏南京一模）如图，在矩形内，以8c为一边作等边三角形E8C,连接

AE、DE.若BC=2,瓦）=小，则工8的长为

A.2yf2B.2小

C.立+小D.2+小

答案：C

9、（2013云南劭捧中学二模）若一个菱形的一条边长为4cn）则这个菱

形的周长为（）

（a20cm（618cm（016cm（D12cm

【答案】C

10、（2013宁波五校联考一模）如图，正方形ABCD及正方形AEFG,连结BE、CF、DG,

则BE：CF：DG等于（）

A.1：1：1B.1：A/2：1C.1：V3：1D.1：2：1

答案：B

11.（2013宁波五校联考一模）如图，边长为1的正方形EFG，在边长为3的正方形/BCD

所在平面上移动，始终保持线段C尸的中点为"，。，的中点为N,则线段的

长为（）

A.9B.aC.叵D.亚

23

答案：C

12、（2013山东德州特长展示）如图，把•个长方形的纸片对折两次，然后剪下…个角,

为了得到一个钝角为100。的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（）

A.25°或50°B.20°或50°C.40°或50°D.40°或80°

C

13、（2013山东德州特长展示）如图，在△NBC中，点£、D、尸分别在边/8、BC、CA

上，且。E〃/IC,DF//AB.下列说法中错误的是（）

A.四边形正是平行四边形

B.如果/8/C=90",那么四边形4瓦加是矩形

C.如果那么四边形/切正是正方形

第2题图

D.如果/。平分/比1C,那么四边形厂是菱形

14、（2013山东德州特长展示）如图是一个由正方形ABCD和半圆O组成的封闭图形,

点O是圆心.点P从点A出发，沿弧AB、线段BC、线段CD和线段DA匀速运动，到

达终点4运动过程中OP扫过的面积（s）随时间（力变化的图象大致是（）

r>

A

15、（2013凤阳县县直义教教研中心）如图，将边长为acm的正方形N8CD沿直线/向右

翻动（不滑动），当正方形连续翻动8次后，正方形的中心。经过的路线长是（）

A.8&B.8

C.3兀D.4兀

D

16、（2013年福州市初中毕业班质量检查）“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中

间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.随机在大正方形及其内部区域投针,

若针扎到小正方形（阴影部分）的概率是］，则大、小两个正方形的边长之比是

A.3：1B.8：1C.9：1D.2y[2：1

A

17、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，正方形ABCD的边长为25,内部儡血

个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个

小正方形的边长为（）.

A.6B.5

D

18、（2013年湖北武汉模拟）

分

别落在点G，3处.若NGH4=50°,则N45E的度数为

A.15°B.20°C,25°

答案：B

19.（2013年湖北武汉模拟）如图，正方形438的对角线相交于O点,

A

BE平分/180交/O于E点，CFLBE于尸点，交8。于G点，连结EG、。尸.则NOFG

的度数是

A.60°B.45°C.30°D.75°

答案：B

20.(2013年湖北宜昌调研)如图所示，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿MN折叠,

使点D落在BC中点E处，点A落在F处，线段CN的长是(

(A)6(B)5(C)4(D)3

答案：D

21.(2013年吉林沈阳模拟)顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是()

A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

答案：C

22.(2013年江苏东台第二学期阶段检测)如图，将边长为12cm的正方形纸片力6徵折叠,

使得点力落在边切上的〃点，折痕为，柄：若纺的长为8cm,贝IJ.肠¥的长为

A.12cmB.12.5cmC.4^/10cmD.13.5cm

答案：C

23.(2013年江苏无锡崇安一模)下列图形中不是中心对称图形的

是.......................................(▲)

A.矩形B.菱形C.正五边形D.平行四边形

答案：C

24、(2013年广西钦州市四模)正方形H8C。、正方形6EFG

和正方形火的位置如图4所示，点G在线段QK匕正

方形BEFG的边长为4,则△QEK的面积为：

(A)10(B)12(C)14(D)16

答案：D

图4

25.（2013年杭州拱墅区一模）如图，在△/BC中，已知/C=90。，ZC=BC=4,。是4B

的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点力、C重合）,

且保持NE=C/，连接。E、DF、EF.在此运动变化的过程中，有下

列结论：

①四边形CEZ加1有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；

③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为72.

其中正确的结论是（）

A.①④B.②③C.①②④D.①②®®

答案：D

26.（2013上海黄浦二摸）我们把两个能够完全重合的图形称为全等图形，则下列命题中

真命题是

（A）有一条边长对应相等的两个矩形是全等图形

（B）有一个内角对应相等的两个菱形是全等图形

（C）有两条对角线对应相等的两个矩形是全等图形

（D）有两条对角线对应相等的两个菱形是全等图形

答案：D

27.（2013年上海静安区二摸）如果必8CD的对•角线相交于点O,那么在下列条件中，能

判断必88为菱形的是

（A）ZOAB=ZOBA（B）ZOAB=ZOBC

（C）ZOAB=ZOCD（D）ZOAB=ZOAD

答案：D

28.（2013年上海徐汇区二摸）下列正方形的性质中，菱形（非正方形）不具有的性质是

A.四边相等；B.对角线相等；

C.对角线平分一组对角；D.对角线互相平分且垂直.

答案：B

二、填空题

1.（2013年安徽初中毕业考试模拟卷一）如图，菱形的两条对角线分别长6和8,

点P是对角线NC上的一个动点，点、M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最

小值是.

D

第1题

答案：5

2、（2013年安徽省模拟八）点£尸分别在一张长方形纸条Z8CD的边8c上，将这张

纸条沿着直线£尸对折后如图，BF与DE交于点G,如果N8GD=30。，长方形纸条的

宽AB=2cm,那么这张纸条对折后的重叠部分的面积Ss=cm2.

第1题图

3、（2013届宝鸡市金台区第一次检测）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于

点O,OEJ,AB,垂足为E,若NADC=120。，则/AOE=

答案：20

9、（2013北仑区一模）18.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,OD的半径为1.现将

一个直角三角板的直角顶点与矩形的对称中心O重合，绕着。点转动三角板，使它的

一条直角边与OD切于点H,此时两直角边与AD交于E,F两点，贝I」tanNEFO的值

10、（2013重庆-中一模）16.如图，矩形Z8CQ中，AB=1,AD=C,以的长为

半径的

。工交3c边于点E,则图中阴影部分的面积为

（结果保留根号和兀）.

【答案】----------（或J2-----------）

424

11.（2013江西饶鹰中考模拟）在。。中，点8在。。上，四边形Z0C8是矩形，对角线

A

AC的长为5,则。。的半径长为

答案：5

12、（2013山东德州特长展示）如图，矩形中,E为。C的中点，AD:AB=JJ:2,

CP.BP=\:2,连接EP并延长，交48的延长线于点£AP、8E相交于点O.下列结论:

①EP平分/CEB；②XEBPsAEFB；@/\ABP^^ECP；®AOAP=OB2.其中正确的

13、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）如图，矩形0ABC的顶点A、C分别在x、y轴

的正半轴上，点D为对角线0B的中点，反比例函数>=£k（x>0）在第一象限内的图象经

X

过点D,且与AB、BC分别交于E、F两点，若四边形BEDF的面积为1,则上的值

14、（2013年湖北省武汉市中考全真模拟）一知在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,P为对角线

AC上一点，过P作BP的垂线交直线AD于点Q,若△APQ为等腰三角形，则AP的长度

为或.3.6或1

15、（2013年江苏东台第二学期阶段检测）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起,

。、A是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是

答案：2

17.（2013年上海静安区二摸）在正方形488中，点E、F、G、〃分别在边48、BC、

CD、AD四边形EFG”是矩形，EF=2FG,那么矩形"6/7与正方形Z8CD的面积

比是▲

4

答案:-

9

18.（2013年上海闵行区二摸）如图，在正方形N8CZ）中，E为边8c的中点，EFVAE,

与边CD相交于点F,如果的面积等于1,那么△/BE的面积等于▲

答案：4

（第17题图）

19.（2013年上海浦东新区二摸）如图，已知四边形是边长为2的菱形，点E、B、

C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，S.ZADE=ZCDF,那么EF的长度等于

A.（结果保留加）

4

答案：―兀

3

20.（2013年上海浦东新区二摸）边长为1的正方形内有一个正三角形，如果这个正三角

形的一个顶点与正方形的一个顶点重合，另两个顶点都在这个正方形的边上，那么这个

正三角形的边长是▲.

答案：76-72

三、解答题

1、（2013年湖北荆州模拟题）如图，在矩形ZBCQ中，对角线3。的垂直平分线「与「

相交于点「，与「相较于点「，与「相较于「，连接「.请你判定四边形「是什么特殊四边形,

并说明理由.

解：四边形「是菱形.理由如下:

「四边形「是矩形：.AD//BC「

「「是「的垂直平分线r

rrrr

「四边形「是平行四边形「「是「的垂直平分线

「平行四边形「是菱形

2、（2013年安徽模拟二）如图，四边形NBC。是边长为2的正方形，点G是8c延长

线上一点，连接NG,点E、尸都在4G上,连接BE、DF,有N1=N2,Z3=Z4.

（1）证明：r;

（2）若「，求EF的长.

解：（1）证明：；四边形是正方形,

'.AB=AD=2.

VZ1=Z2,Z3=Z4,

；.「USA).

(2)VZ1=Z2,Zl+Z4=r,

即「.

.,.Z2+Z4=r,

：ZG+Z4=r.AZ2=ZG=r.

：.AE=\,BE=「.

由(1)可知/F=BE=「，：.EF=AF-AE=V-

3.（2013年北京房山区一模）已知,矩形纸片Z8CD中,AB=icm,AD=i>cm,按下列

步骤进行操作:

r

如图①，在线段ND上任意取一点E,沿EB,EC剪下一个三角形纸片E8C(余下部分

不再使用)；

如图②，沿三角形EBC的中位线G”将纸片剪成两部分，并在线段G”上任意取一点

M,线段8c上任意取一点N,沿MV将梯形纸片G8C77剪成两部分；

如图③，将左侧纸片绕G点按顺时针方向旋转180。，使线段GB与GE重合，将

肱V右侧纸片绕”点按逆时针方向旋转180。，使线段"C与"E重合，拼成一个与三角形纸

片EBC面积相等的四边形纸片.(注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)

(1)通过操作，最后拼成的四边形为

(2)拼成的这个四边形的周长的最小值为C777,最大值

为cm.

答案：(1)平行四边形；....................1分

(2)拼成的平行四边形上下两条边的长度等于原来矩形的边AA6,左右两边的长等

于线段的长，

当垂直于BC时，其长度最短，等于原来矩形的边的一半，等于4,于是这个

平行四边形的周长的最小值为2(6+4)=20；.................3分

当点E与点/重合，点朋•与点G重合，点N与点C重合时，线段最长，等于「，

此时，这个四边形的周长最大，

其值为2(6+「)=12+「.-------5分

4、(2013年安徽省模拟六)如图，正方形N8CZ)中，/8=24,点E在边8上，且8

=3。£■.将△/£)£沿ZE对折至△ZFE,延长交边8c于点G,连结ZG、CF.

(1)求证：AABG冬/\AFG；

(2)求8G的长度；

(3)求△FGC的面积.

答案：解：(1)'：AB=AD=AF,AG=AG,NB=NAFG=90°,

：.Rt/\ABG^Rt/\AFG(HL)；(3分)

②♦:EF=DE=「CD=8,设8G=FG=x,贝I」CG=24—x.

在直角△ECG中，根据勾股定理，得：

(24-x)2+162=(x+8)2,解之，解得：-12.(7分)

(3)SAGCe=rGC・CE=「x12x16=96.

'：GF=\2,EF=8,△GFC和△网?£1等高，

•'••JAGFC：S△FC£=3：2，

：•SAGFLrx96=r-(12分)

第1题图

5、（2013年安徽省模拟八）（本题满分10分）已知：平行四边形488中，从尸是BC、AB的

中点，DE、。厂分别交N8、C8的延长线于〃、G；

（1）求证：BH=4B；

（2）若四边形Z8CD为菱形，试判断NG与N4的大小，并证明你的结论.

答案：（1）•四边形N8CD是平行四边形

(2);四边形/BCD是平行四边形，.•./£>〃C8,...//£>「=NG

•.,四边形48CD是菱形，:.AD=DC=CB=4B,/4=NC

*：E、F分别是Cfi、48的中点,：.AF=CE

:./\ADF冬ACDE,AZCDE=ZADF：.ZH=ZG

6、（2013年安徽省模拟八）如图，在矩形Z8C£>中，/8=6米，8c=8米，动点P以2米/

秒的速度从点/出发，沿/C向点C移动，同时动点。以1米/秒的速度从点。出发，

沿C8向点8移动，设P、。两点移动，秒（0<?<5）后，四边形尸面积为S米2.

（1）求面积S关于忖间t的函数关系式；

（2）在尸、。两点移动的过程中，mmABQP

与△CP。的面积能否相等？若能，求出此时点P的

位置；若不能，请说明理由.

R

第3题图

答案：⑴过点P作于E,

放△/8C中，AC=10（米）

由题意知:AP=2t,CQ=t,则PC=10-2/

由N8_L8C,PE1,BC得PE〃AB

r=rBP：r=r

PE=『（10—27）=—「z+6

又：S「=rx6x8=24

:.S=Sr-s△CP0=24—r-/•（一「f+6）=「Ff+24

S=「P-37+24

（2）假设四边形ZBQP与△CP。的面积相等，则有：「Z2—3，+24=12,

即：?-5/+20=0

：/-4农=（-5）2-4xlx20<0

方程无实根

,在P、。两点移动的过程中，四边形/8QP与△CP。的面积不能相等。

7、（2013届宝鸡市金台区第一次检测）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、

PC、PD,得到APAB,APBC,APCD,APDA,设它们的面积分别是S1、S2>S3、S4、

给出如下结论:①S1+S4=S2+S3;②S2+S4=S|+S3;③若S3=2SP则S4=2S2;④若点P在

矩形的对角线BD（不含B、D两点）上，则S1=S2,其中正确结论的序号是（把

所有正确结论的序号都填在横线上）

r

答案：②④

8、（2013年上海奉贤区二模）如图，已知「是等边三角形，点「是「延长线上的一个动

点，

以「为边作等边「，过点「作「的平行线，分别交「的延长线于点「，联结「.

（1）求证：「；

（2）如果8C=CD,判断四边形「的形状，并说明理由.

答案：（1）•••等边「和等边「

,「，NCAB=NEAD=60°..................................（1分）

'：ZBAE+ZEAC=60°,ZDAC+ZEAC=60°

'ZBAE=ZCAD-----------------------------------------------------------（2分）

•••r-----------------------------------------------------（3分）

（2）r；.N4BE=NACD,BE=CD-------------------（1分）

,?NABC=NACB=60°

：./ABE二NACD=/BCG=120°：.NDBE=60°

AZBCG+ZDBE=180°,J.BE//CG----------------------------（2分）

•・•BC//EG•••四边形「是平行四边形--------------------（1分）

"：BC=CD,：.BE=BC------------------------------------------------（1分）

四边形平行四边形「是菱形。........................（1分）

9、（2013年上海长宁区二模）如图，ZX/BC中，NACB=「,D、E分别是BC、8Z的中

点，联结。E,尸在DE延长线上，且/尸=/£

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若四边形/CE尸是菱形，求N8的度数.

「

答案：（1）证：：/ZC8=「，又是历1的中点

：.CE=AE=BE

；4F=AE:.AF=CE（2分）

「

在△8EC中,：BE=CE且。是8c的中点

：.ED是等腰△BEC底边上的中线

：.ED也是等腰4BEC的顶角平分线

.*.Z1=Z2

AZAEC=r-Z1-Z2=r~1Z\（2分）

；AF=AE：.ZF=Z3

VZ1=Z3AZ>ZF=Z3

.,.在△NEF中ZFAE=r-Z3-ZF=r-2Z1（2分）

二ZAEC=ZFAE

：.CE//AF

又•：CE―4F

.♦•四边形/CER是平行四边形（2分）

（2V解：；四边形/CW是菱形；.AC=CE

由（1）知AE=CE：.AC=CE=AE

：./\AEC是等边三角形（2分）

Z4=「

在RZXZ8C中N8=「一/4=「（2分）

10.（2013沈阳•模）（7分）已知正方形/8CD的边长为a,两条对角线ZC、8。相交于

点O,尸是射线

上任意一点，过P点分别做直线ZC、8。的垂线PE、PF,垂足为E、F.

（1）如图1,当P点在线段上时，求尸E+尸尸的值;

⑵如图2,当P点在线段45的延长线上时，求心一尸尸的值.

•••四边形

：.ACYBD.

,JPFLBD,J.PFHAC,同理PE//8D.,.四边形P尸。E为矩形，故PE=OF.

又,?ZPBF=45°,：.PF=BF.：.PE+PF=OF+FB=OB=「.

(2)•.•四边形/BCD为正方形，J.ACLBD.'JPFLBD,J.PF//AC,同理PE//BD

四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又,/NPBF=45°,：.PF=BF.

:.PE-PF=OF—BF=08=「.

11、（2013年江苏南京一模）（8分）如图，在四边形H8CD中，AB=DC,E、尸分别是

8c的中点，G、”分别是对角线B。、NC的中点.

（1）求证：四边形EGF”是菱形；

（2）若4B=1,则当//8C+NDC8=90°时，求四边形EGF”的面积.

BC

（第1题）

答案：（本题8分）

（1）证明：：四边形力8c。中，E、F、G、，分别是BC、BD、ZC的中点，

：.FG=^CD,HE=^CD,FH=；AB,GE=；4B.......................................2分

,:AB=CD,

:.FG=FH=HE=EG.....................................................................................................3分

四边形EG五〃是菱形.....................................................4分

（其他方法参照给分）

（2）解：•.•四边形/BCD中，G、F、，分别是8。、BC、ZC的中点，

：.GF//DC,HF//AB.........................................................................................................5分

：.ZGFB=ZDCB,AHFC=ZABC.

：.Z.HFC+NGFB=ZABC+NDCB=9Q°.

:.NGFH=90°.................................................................................................................6分

菱形EG/77是正方形.........................................................7分

；.EG=%B=；.

；•正方形EGFH的面积=&=；................................................8分

12、（2013年江苏南京一模）（8分）如图，正方形「的边长为12,其内部有一个小正方形「，

其中「、「、「分别在「「、「上.若「，求小正方形「的边长.

「

答案：（本题8分）

解：•；四边形是正方形，

ZB=ZC=90°,AB=BC=\2,CE=3.................................................1分

在RtZXZAE1中,48=12,BE=9,

AE=yJ12-+9-=15..........................................................................................2分

"?N4EB+NCEF=NAEB+NBAE=90°,

：.ZBAE=ZCEF,且N8=NC=90°,

LABE〜AECF........................................................................................6分

•AB_AE_12_=_15.JI

,"EC~EF'13-EF'4.

即小正方形EFG4的边长一｝..............................................8分

13、（2013年江苏南京一模）（10分）如图，菱形力BCD中，对角线4C、8。交于点。，点

P在对角线8。上运动（8、。两点除外），线段绕点尸顺时针旋转脚。（「，得线段

（1）若点Q与点D重合，请在图中用尺规作出点P所处的位置（不写作法，保留作图痕

迹）；

（2）若点。落在边8上，且ZADB=n0.

①探究〃?与〃之间的数量关系：

答案：（1）作AD的垂直平分线，交BC于点P。....................（3分）

（2）①如图，连接PC.

由PC=PQ,得/3=/4。由菱形ABCD,得/3=NPAD。

所以得/4=NPAD,.........................................（4分）

而N4+/PQD=180°.

所以NPAD+NPQD=180°.

所以m+2n=180..............................................（6分）

②解法一：：PQ=QD,

...NPAD=NPCQ=/PQC=2NCDB=2n°.…（7分）

而点P在线段BO上运动，

NBCD2N32NACD,

180-2nN2n290-n,.....................................（9分）

30WnW45..................................................（10分）

解法二：由PQ=QD,可得NQPD=/1,

又Nl=/2,AZQPD=Z2,.........................................（7分）

•.•点P在线段OB上运动，

.♦./ABCW/APQ且NAPQW90°+N2（或NABCWNAPQW90。+Z2）

即（或2nW180-2nW90+n）.......（9分）

；.30WnW45...................................................................（10分）

14、（2013年江苏南京一模）（8分）如图（1）,四边形和8EFC都是平行四边形，/、

B、E在一条直线上.

已知，AD=EF=6,AB=BE=2,/E=「.如图（2）四边形N8CD可以沿着直线/左右

平移，移动后连接力、E、F、。形成四边形NEED.

（1）在平移过程中，四边形4£即是否可以形成矩形？如果可以，直接写出矩形的面

积；如果不可以，请说明理由；

（2）试探究如何平移，四边形/EED为菱形（借助备用图，写出具体过程和结论）？

图⑴图(2)

答案：(本题8分)

(1)12小cn?；..............2分

(2)①如图，若四边形N8CD沿直线/向右平移形成菱形，过点N做/尸，直线/,

VZJB'P=60,/8'/P=30.,：AB=2,：.B'P=^AB'=\.

在RtZVIBT5中，根据勾股定理，得/尸=/相一夕尸，:.AP=y[i.

♦.•四边形为菱形，：.AE=AD=6.

根据题意有.•.NE80=//8'0.

在9。和△E80中，

"NAB'Q=LEBQ,

ZAQB'=ZEQB,

AB'=EB,

.'.AQ—^QE—3,BQ—

在RtA4。尸中，根据勾股定理，得。尸=AQ2-/尸.:.QP=g

•.0。=QP~B'P^y[6~\,

：.BB'=2y[6-2,即四边形/BCD沿直线/向右平移(22)cm可以得到菱形ZEFD

5分

②如图，当四边形Z8C。沿直线/向左平移形成菱形时，过点/做直线/,

由①知AP=小.

:四边形"EFD为菱形，：.AE=AD=6.

根据题意有N8'〃£8，；.NEBQ=NAB，Q.

在△/夕Q和△EBQ中，

rNAB'Q=NEBQ,

NAQB'=NEQB,

LAB'=EB,

：./\AB'Q^/XEBQ.

.,.AQ—^QE—3,BQ—

在RtA4。尸中，根据勾股定理，得。尸=AQ2-“尸

:.QP=*.

'：B'Q=QP+B'P=yj6+1,

:.BB'=2乖+2,即四边形沿直线/向左平移（2#+2）cm可以得到菱形4EED.

15、（2013年江苏南京一模）（8分）如图，在C4BC。中,NABD的平分线BE交AD于点

E,N88的平分线DF交2c于点F,连接8D

（1）求证：AABE安/\CDF；

（2）若AB=DB,求证：四边形DR8E是矩形.

（第5题）

答案：（本题8分）

证明：（1）在28CD中，4B=CD,N4=NC.

,:AB〃CD,：.ZABD=ZCDB.

；BE平分N4BD,DF平分NCDB,

ZABE^ZABD,NCDF=；NCDB.

N4BE=NCDF.（第5题）

在△48E和△8厂中,

VZJ=ZC,AB=CD,NABE=NCDF,

：./\ABE^/\CDF......................................4分

（2）,:AB=DB,BE平分N4BD,：.BE±AD,即NZ）E8=90°.

,:AB=DB,AB=CD,:.DB=CD.

,:DF平分/CDB,：.DF±BC,即/8尸。=90。.

在。48。中，'：AD//BC,：.ZEDF+Z.DEB^180°.

ZEDF=90°.

...四边形。F8E是矩形............................................................8分

16、（黑龙江2013）（本题10分）如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BGJ_AE

于G,延长BG至点F使NCFB=45°

（1）求证：AG=FG;

（2）延长FC、AE交于点M,连接DF、BM,若C为FM中点，BM=10,求FD的长.

M

（1）证明：过C点作CH1BF于H点

VZCFB=45°

.".CH=HF（1分）

ZABG+ZBAG=90°,ZFBE+ZABG=90°

ZBAG=ZFBE

VAG±BFCH_LBF（1分）

ZAGB=ZBHC=90°

在4AGB和ABHC中

VZAGB=ZBHC,ZBAG=ZHBC,AB=BC（1分）

.,.△AGB^ABHC（1分）

；.AG=BH,BG=CH

：BH=BG+GH

BH=HF+GH=FG

/.AG=FG（1分）

（2）:CHLGF.'CHaGM;C为FM的中点

，CH=「GMBG=rGM=BM=10

；.BG=「，GM=r（1分）/.AG=rAB=10

/.HF=r；.CF=「X「，CM=「（1分）

过B点作BK1CM于K

：CK=「=「，；.BK=「（1分）

过D作DQ1MF交MF延长线于Q

.".△BKC^ACQD

；.CQ=BK=「（I分）

DQ=CK=「；.QF=「一「=「；.DF=「=「（］分）

17、（2013云南劫捧中学三模）（本小题7分）如图，AC是菱形ABCD的对角线，点E、F分

别在边AB、AD上，且AE=AF.

求证：△ACEgZsACF.

第22题图

【答案】解：证明：...AC是菱形ABCD的对角线,

.\ZFAC=ZEAC,

,•,AC=AC,AE=AF,

.•.△ACE^AACF.

18、（2013年广东省佛山市模拟）（原创）

如图（1）矩形纸片4把它沿对角线折叠，会得到怎么样的图形呢？

（1）在图（2）中用实线画出折叠后得到的图形（要求尺规作图，保留作图轨迹，只需画出

其中一种情况）

（2）折叠后重合部分是什么图形？试说明理由。

A\----------------------在A\----------------------卡

DCD

(1)(2)

（1）图略（4分）

（2）等腰三角形（1分）

（2分）

19、（2013年广州省惠州市模拟）已知一个矩形纸片OACB,将该纸片放置在平面直角坐

标系中，点A（11,0）,点B（0,6）,点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），

经过点0、P折叠该纸片，得点W和折痕OP.设BP=t.

（1）如图①，当/BOP=30°时，求点P的坐标；

（2）如图②,经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB，上，得点C和折痕PQ,若AQ=m,

试用含有t的式子表示m；

（3）在（2）的条件下，当点C"恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可.）.

解：（1）根据题意，ZOBP=90°,OB=6,

在Rt^OBP中，由/BOP=30。，BP=t,得0P=2t。

VOP2=OB2+BP2,即（2t）2=62+t2,解得：t尸「，t2=一「（舍去）.

.••点P的坐标为（「，6）。（3分）

（2）VAOBT.△QCP分别是由△OBP、aQCP折叠得到的，

AAOBP^AOBP,AQCT^AQCPo

AZOPB^ZOPB,ZQPC=ZQPCO

・・・NOPB'+NOPB+NQPC'+NQPC=180。，NOPB+NQPC=900。

VZBOP+ZOPB=90°,.'.ZBOP=ZCPQo

又・・・NOBP=NC=90。，.-.△OBP^APCQo，「。

由题意设BP=t,AQ=m,BC=11,AC=6,贝（|PC=11—t,CQ=6—m.

ro.,・「（0<t<ll）o（8分）

（3）点P的坐标为（「，6）或（「，6）。（12分）

20>（2013北仑区一模）23.（本题9分）已知：如图，。是△43C的边45上一点，CN//AB,

DN交AC于点M,MA=MC.

（1）求证：CD=AN；

（2）若NAMD=2NMCD,求证：四边形4DCN是矩形.

【答案】证明：©VCN/7AB,

.,.ZDAC=ZNCA,--------------------------------------------------1分

在aAMD和ACMN中，

'ZDAC=ZNCA

\AM=MC

ZAMD=ZCMN

AAAMD^ACMN（ASA）,2分

・・・AD=CN,3分

XVAD/7CN,

・・・四边形ADCN是平行四边形，...........................4分

・・・CD=AN；.................................................................................5分

@VZAMD=2ZMCD,