2023-2024学年福建省百校联考高三上学期期中考试数学试题及答案

保密★启用前准考证号__________姓名__________（在此卷上答题无效）2023~2024学年高中毕业班第一学期期中考试数学试题2023.118小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．图中的阴影部分表示的集合为（A．ABCB．ABðCUD．UABCC．AðBCU2．若Z，Z为复数，则“ZZ是纯虚数”是“Z，Z互为共轭复数”的（121212A．充分不必要条件C．充要条件B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件21e3．函数fx1x的部分图象为（xA．C．B．D．4．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群．故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前75°约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度（单位：米）约为（A．35．已知数列n满足B．4C．63naD．33n1，且21，若k168，则正整数k为（an1nn12A．13B．12C．11D．106．如图，AB是圆O的一条直径，且AB4．C，D是圆O上的任意两点，CD2．点P在线段CD上，则PAPB的取值范围是（A．1,2C．3,4D．1,0B．3,25π4ππ0图像相邻的两条对称轴，将fx的图7．已知直线x，x是函数fx4sinx636π像向右平移gxgx在,mm6的取值范围为（7ππ12127π13π12125π13π12125ππ1212A．,B．,C．,D．,8．已知ae，b1.1，c1.11，则（A．abcB．acbC．bacD．bca4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．设正实数a，b满足ab2，则下列说法正确的是（ba2A．的最小值为3B．ab的最大值为1D．ab2的最小值为2bC．ab的最小值为22π2的部分图象如图中实线所示，图中圆C与fx的图象交于M，N10．函数fx2sinx,两点，且M在y轴上，则（3πA．函数fx在,π上单调递增2273B．圆的半径为2πC．函数fx的图象关于点,0成中心对称3π2023πD．函数fx在,上单调递减121211．如图，在长方体ABCDABCD，224，E，F分别是棱AD，BC的中点，点P1111111R，则三棱锥P1F外接球表面积的取值可能是在侧面A内，且xBEyBFx,y11（A．10πB．20πC．12πD．44π12．已知数列n满足11，an12aa1，则下列说法正确的有（nn231a2A．5B．ann12n1234n1n2n12C．若n2，则1D．i1i1i1i1三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．ππππ313．已知sin，且,，则sin______．64433π14a，b满足b3,1，a,babaa在向量b方向上的投影向3量的坐标为______．aa222an2nnnN，nnn24nn为单调递增数15n满足1L2列，则的取值范围为______．16边三角形的外接圆圆心恰好是一个等边三角形的三个顶点．在ABC中，A60ABBCAC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O，O，O，则OAO______OOO的面积为3，则12313123三角形中ABAC的最大值为______．四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．ππ，将fx的图象向左平移个单位长度，所17．已知函数fx3sin2x2x23得函数的图象关于y轴对称．（1）求函数fx的解析式；π56（2）若关于x的方程fxa在,π上恰有两个实数根，求实数a的取值范围．18．已知函数fxxax1aR．（1）讨论函数fx的单调性；N，都有fxmx恒成立，若存在求出实数m的最小值，（2）若a2，是否存在整数mm若不存在说明理由．n1，nN．19．设数列n前n项和Sn满足Snnn2n1n1（1）证明：数列S为等比数列；n11nnn1Sn，求数列的前n项和T．n（2）记nn120．如图，在四棱锥PABCD中，PAD为等边三角形，M为PA的中点，PDAB，平面平面ABCD．（1）证明：平面平面PAB；33434（2）若AD//BC，24，2，直线PB与平面MCD所成角的正弦值为P的体积．，求三棱锥21．如图，在海岸线EF一侧有一休闲游乐场，游乐场的前一部分边界为曲线段FGBC，该曲线段是函数π，x0B2xAyAsin分为长1千米的直线段CD，且CD//，游乐场的后一部分边界是以O为圆心的一段圆弧DE．（1）求曲线段FGBC的函数表达式；（2）曲线段FGBC上的入口G距海岸线EF最近距离为1千米，现准备从入口G修一条笔直的景观路到O，求景观路GO长；（3ODE区域内建一个平行四边形休闲区OMPQEF半径OD上，另外一个顶点P在圆弧DE上，且POE，求平行四边形休闲区OMPQ面积的最大值及此时的值．22．已知函数fxxsinxcosx．（1）求fx在xπ,π的单调区间与最值；11（2）当a时，若gxfxax，证明：gx有且仅有两个零点．2322023年~2024学年高中毕业班第一学期期中考试数学评分参考标准8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．12345678BDCCBDAA4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9101112ABDCDBCDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．631382π13．14．,15．,16．，43443四、解答题：共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．π171）fx3sin2x2x2sin2x，6π将函数fx的图象向左平移个单位长度后，3π3π56所得函数为y2sin2x2sin2xπ，65ππ∴ππ，kZ，∴π，kZ．623πππ又，∴，∴fx2sin2x．623π5612ππ2π63（2）∵x,π，∴2x,，6πππππ当当2x2xπ，即x时，fx单调递增；6π6π22π635ππ，即x时，fx单调递减．263312π65π12且f2，f1，f3．3π5π6∵方程fxa在,上恰有两个实数根，∴3a2，∴实数a的取值范围为3,2．1181）∵x0，fxa，x当a0，fx0，∴fx在单调递增，1ax当a0时，fx，x11令fx0，得x，fx0得x，aa1∴fx在单调递增，在,a1a单调递减．综上，a0时，fx在单调递增；1a1a当a0时，fx在单调递增，在,单调递减．（2）∵a2，∴fxx2x1，x2x1，∴m∴x2x1mx1，x112xx2x1x1x令gx，∴gx，x121110，∴ux在单调递减．令ux2x，uxxx2x11ue22e2220230，1∵∵e2e211ue32e3e3e310xe2,e3，使得ux0，即200，20，∴000当x0，ux0，gx0，gx单调递增，，ux0，gx0，gx单调递减，当xx,012030201x021203012∴∵gxg0，0101xx01001xe2,e3，，∴m3，∴m的最小值为3．n100191）证明：∵Sa，，且nSnSn1n2nnn2n21∴2SnSn1n2，n1n1Sn1n111n1n2，∴2SSn1，∴n2n1n2Sn1n112令n1，可得S0，∴S，1121n111所以数列S是首项为，公比为的等比数列．n22n11n2111（2）由（1）可得Sn，n12211n12n1∴∴S，∴b2n，nnnn1b2n11n1，22b1nn12n1211nn1111111133771512121∴TL1．nnn12n111201）取AD中点为N，连接PN，因为PAD为等边三角形，所以PNAD，且平面平面ABCD，平面平面ABCDAD，面PAD，所以PN平面ABCD，又AB平面ABCD，所以PNAB，又因为PDAB，PNPDP，PN，平面PAD，所以AB平面PAD，又因为平面PAD，所以ABDM，因为M为AP中点，所以，且PAABA，PA，PB平面PAD，所以DM平面PAB，且平面CDM，所以平面平面PAB．（2）由（1）可知，PNAB且PDAB，PNPDP，所以AB平面PAD，且平面PAD，所以ABAD，以A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x，y轴，建立如图所示空间直角坐标系，，则可得设AD2aa2aa，Ca,0，D2a,0，A0，B0，Pa,a，M,2233即PBa,a，DCa,0，a,a，22设平面MCD的法向量为nx,y,z，n2xay0则323nayaz02axy2y2xa则可得，取，则，z23，z3y所以平面MCD的一个法向量为na,2,23，设直线PB与平面MCD所成角为，PBn6a16a3sinPB,n所以解得，PBn44a2234a216，或a1，即a4（舍去）或1，2111AB1323所以2，PS．3323211）由已知条件，得A2，T2ππ又∵3，T12，∴．46π62π又∵当x1时，有y2sin2，∴，3π∴曲线段FBC的解析式为y2sinx2π3，x0．6π（2）由y2sinx2π1得x6kk4kZ，63又x0，∴k0，x3，∴G，10，∴景观路GO长为10千米．π（3）如图，3，CD1，∴2，COD，6作PPx轴于P点，在Rt中，PPOPsin2sin，1111sin60在中，，sin120sin604233∴sin602sin，sin1203233SPP2sin2sin1433233234sincossin22sincos23433π23π3sin，63πππ23当时，即时，平行四边形面积最大值为．6263221）∵fxsinxxxsinxxx0，ππ解得x或0或，22∴fx与fx的分布列如下：π2ππ,0π2ππ2π1π,,ππx0222＋↑－↓＋－极小值1极大值↑极大值↓1ππ22π2π2π2π2所以，fx的增区间为：π,，，减区间为：,0，,π，πfx的最大值为，最小值为1．2（2）gx的定义域为R，12∵gxxsinxxa2gx，x所以gx为偶函数．1∵g010，∴当a时，gx有且仅有两个零点31当a时，gx在上有且仅有一个零点．3∵gxxxa，当a1时，若x0，则gx0，所以gx在上单调递减，1aπ20，∴gx在上有且仅有一个零点；∵gπ121π2当a1时，存在