2023学年上海外国语大学附属浦东高三第二次诊断性检测数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积（单位：c/T?）为（）

22

D.

T

2.如图所示是某年第一季度五省GDP情况图，则下列说法中不正确的是（）

与

A

I2K年

同

X期

6H!

比

4增

长

、

-率

《

C亲

南

东

江

河

山

》

A.该年第一季度GDP增速由高到低排位第3的是山东省

B.与去年同期相比，该年第一季度的GDP总量实现了增长

C.该年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省份有2个

D.去年同期浙江省的GDP总量超过了4500亿元

3.已知向量£=（1,0）,1=（1,6），则与2Z—B共线的单位向量为（）

4.设，•是虚数单位'若复数，，+公是纯虚数,则〃的值为()

A.-3B.3C.1D.-1

5.设复数二满足(l+i)z=l-7i,贝lb在复平面内的对应点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.已知复数二满足(l+i)z=2i,则目=()

历1

A.J2B.1C.—D.一

22

7.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示，则此几何体的体积是()

正视图侧视图

俯视国

A.36cm3B.48cm3C.60cm3D.72cm3

8.已知x=0是函数/(x)=x(<u-tanx)的极大值点，则。的取值范围是

A.Y,T)B.y,i]

C.[0,+QO)D.

9.已知正方体ABC。-AgG。的棱长为L平面a与此正方体相交.对于实数如果正方体

ABC。-AqGA的八个顶点中恰好有团个点到平面a的距离等于d,那么下列结论中，一定正确的是

A.加。6B.m牛5

C.m^4D.m于3

10.已知函数/(%)=25皿。%+0)+》(口>0),/*('+%)=/(乙一%),且/心)=5,贝!)。=()

888

A.3B・3或7C.5D.5或8

11.已知命题p:直线a〃力，且方u平面a,则。〃a；命题q:直线LL平面a，任意直线机ua,贝(JLLm.下列命题为真命

题的是()

A.p/\qB.pV（非q）C.（非p）/\qD.p/\（非q）

12.记S”为数列｛叫的前〃项和数列｛4｝对任意的0,”^满足%”=4+%+13.若%=-7,则当S“取最小值

时，〃等于（）

A.6B.7C.8D.9

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知集合4=｛工||%|<4,》62｝,3=｛1,加｝,若ADB=A,且3-〃则实数〃?所有的可能取值构成的集合

是.

14.若函数"X）=Asin（3x+0）（A>0,。>0）的图像与直线y=机的三个相邻交点的横坐标分别是弓,多金，则实

数①的值为.

15.正四棱柱ABCO-AgG，中，A3=4,A4,=2百.若M是侧面BCGg内的动点，且4W_LMC,则A/

与平面BCCA所成角的正切值的最大值为.

16.如果复数二满足i-z=l+i,那么忖=（i为虚数单位）.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22

厂上厂

17.（12分）如图,椭圆C:7+F=Ka>b>0）的左、右顶点分别为4,4,上、下顶点分别为BI,鸟，且B,（0,l）,

△44员为等边三角形，过点（1,0）的直线与椭圆。在）’轴右侧的部分交于M、N两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求四边形层4面积的取值范围.

18.（12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、

"不合格''两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结

果及对应的频率分布直方图如下所示：

等级不合格合格

得分[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)

频数6X24y

(I)若测试的同学中，分数段［20,40)、［40,60)、［60,80)、［80,100］内女生的人数分别为2人、8人、16人、4人,

完成2x2列联表，并判断：是否有90%以上的把握认为性别与安全意识有关？

是否合格

不合格合格总计

性别

男生

女生

总计

(II)用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这1()人中任选4

人，记所选4人的量化总分为X,求X的分布列及数学期望E(X)；

(HI)某评估机构以指标M(M,其中O(X)表示X的方差)来评估该校安全教育活动的成效，若M20.7,

则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在(II)的条件下，判断该校是否应调整安

全教育方案？

n(ad-bc)2

附表及公式:其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>kQ)0.150.100.050.0250.010

氏02.0722.7063.8415.0246.635

19.(12分)如图,设点居(1,0)为椭圆£：:与+马=1(。＞6＞0)的右焦点，圆。：(彳一。)2+〉2=。2,过工且斜率为

a~b~

以々＞0)的直线/交圆。于A8两点，交椭圆E于点P,。两点，已知当女=G时，AB=2瓜

(1)求椭圆E的方程.

(2)当时，求APQC的面积.

20.(12分)已知〃：VxeR,m(4/+1)>X；:3xe[2,8],mlog2x+1..0.

(1)若P为真命题，求实数优的取值范围；

(2)若力vq为真命题且r?人q为假命题，求实数%的取值范围.

21.(12分)已知函数八幻=6-必-履(其中e为自然对数的底，A为常数)有一个极大值点和一个极小值点.

(1)求实数★的取值范围；

(2)证明：/(x)的极大值不小于1.

22.(10分)如图，在AABC中，AB>BC,ZABC=\2O(),AB=3，N/LBC的角平分线与AC交于点。，BD=1.

(I)求sinA；

(H)求ABC£＞的面积.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.D

【解析】

根据几何体的三视图，该几何体是由正方体去掉三棱锥得到，根据正方体和三棱锥的体积公式可求解.

【详解】

如图，该几何体为正方体去掉三棱锥用-AGE,

AB

I122

所以该几何体的体积为：V=自一匕AAGE=2x2x2—X—x2x2xl=——,

故选：D

【点睛】

本题主要考查了空间几何体的三视图以及体积的求法，考查了空间想象力，属于中档题.

2.D

【解析】

根据折线图、柱形图的性质，对选项逐一判断即可.

【详解】

由折线图可知A、B项均正确，该年第一季度GOP总量和增速由高到低排位均居同一位的

省份有江苏均第一.河南均第四.共2个.故C项正确；4632.1+(1+3.3%)a4484<4500.

故D项不正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查折线图、柱形图的识别，考查学生的阅读能力、数据处理能力，属于中档题.

3.D

【解析】

根据题意得，2£-人(1,-6)设与2£-5共线的单位向量为(％>)，利用向量共线和单位向量模为1,列式求出x，y即

可得出答案.

【详解】

因为a=(l,0),b=(1,5/3),则2M=(2,0),

所以2Z—

设与2a-b共线的单位向量为(x,V).

->/3x-y=0

则

22i

x1+y=\

i1

x=­x=——

22

解得或，

A/3G

尸了

所以与名-否共线的单位向量为

故选：D.

【点睛】

本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.

4.D

【解析】

整理复数为人+3的形式，由复数为纯虚数可知实部为0,虚部不为0,即可求解.

【详解】

由题,〃+诏5/=。+(25+;(,2)-(/2匕))"+2"1=(.。+1、)+2，;

因为纯虚数，所以。+1=0,则。=一1,

故选:D

【点睛】

本题考查已知复数的类型求参数范围，考查复数的除法运算.

5.C

【解析】

化简得到z=-3-4i,得到答案.

【详解】

_6-即

(l+z)z=l-7z,故2==-3-4z,对应点在第三象限.

1+z(l+z)(l-z)2

故选：C.

【点睛】

本题考查了复数的化简和对应象限，意在考查学生的计算能力.

6.A

【解析】

根据复数的运算法则，可得Z,然后利用复数模的概念，可得结果.

【详解】

由题可知：2=用2i=鬲2/(1-信j)2f2

由i2--1,所以z-\+i

所以|z|=jF+f=夜

故选：A

【点睛】

本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题.

7.B

【解析】

试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积彳=2-2-4=16,四棱柱的底面是梯形，体积为

^=-(2+6)24=32,因此总的体积V=16+32=48.

2

考点：三视图和几何体的体积.

8.B

【解析】

方法一：令g(x)=ox-tanx,则/(x)=x•g(x),g'(x)=a--^-,

cos-x

当xe(—时，g\x)<0,g(x)单调递减，

TT

Axe(——,0)时，g(x)>g(O)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/'(x)=xg'(x)+g(x)>0,

2

jr

；.f'(x)>0,即/")在(——,0)上单调递增，

2

IT

%€(0,万)时，g(x)<g(0)=0,f(x)=x-g(x)<0,且/(x)=xg'(x)+g(x)<0,

7T

.,./'U)<0,即/(X)在(0,式)上单调递减，.•.x=0是函数.f(x)的极大值点，.•.aWl满足题意；

2

IT1

当。>1时，存在，€(0,万)使得cosf=笈，即g")=0,

Ijr

又gG)=〃-一4在(0,二)上单调递减，・・・X£(OJ)时，g(x)>g(0)=。，所以/(x)=x-g(x)>0,

cosx2

这与X=0是函数/(X)的极大值点矛盾.

综上，a<\.故选B.

方法二：依据极值的定义，要使x=0是函数/(x)的极大值点，须在x=0的左侧附近，/(%)<0,即以-tanx>0；

在x=0的右侧附近，/U)<0,即5—tanx<0.易知，a=l时，V=以与y=tanx相切于原点，所以根据卜=口

与了=12111的图象关系，可得aKl,故选B.

9.B

【解析】

此题画出正方体模型即可快速判断m的取值.

【详解】

如图(1)恰好有3个点到平面a的距离为d；如图(2)恰好有4个点到平面a的距离为d；如图(3)恰好有6个

点到平面a的距离为d.

所以本题答案为B.

ABi

(1)(2)0)A

【点睛】

本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系,考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力

和知识方法的迁移能力，属于难题.

10.B

【解析】

根据函数的对称轴x=£以及函数值，可得结果.

O

【详解】

函数/(x)=2sin3x+0)+Z?(69>。)，

若f(g+x)=f(J—x),则/(X)的图象关于X=9对称，

88O

JT

又/(三)=5,所以2+力=5或-2+b=5,

所以)的值是7或3.

故选：B.

【点睛】

本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题

11.C

【解析】

首先判断出，为假命题、“为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项.

【详解】

根据线面平行的判定，我们易得命题P：若直线。//5,直线。u平面a,则直线a〃平面a或直线a在平面C内，命题

P为假命题；

根据线面垂直的定义，我们易得命题4：若直线/_L平面a,则若直线/与平面a内的任意直线都垂直，命题q为真命

题.

故:A命题"/7A<7”为假命题；B命题“pv（F）"为假命题；C命题为真命题；D命题“”为假命

题.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.

12.A

【解析】

先令〃=1a=1,找出4的关系，再令〃=1,4=2,得到。2,4，%的关系，从而可求出囚，然后令〃=〃，9=1,

可得an+l-a„=2,得出数列（«„｝为等差数列,得S"="一12〃，可求出S“取最小值.

【详解】

解法一：由《3=4+4+13=（q+13）+（2a]+13）=-7,所以q=-ll,由条件可得，对任意的

neN*,%=/+4+13=%+2,所以｛4｝是等差数列，/=2〃—13,要使S”最小，由\：解得:釉黑,

4+12022

贝!J几=6.

解法二：由赋值法易求得q=-11,%=-9,。3=-7,…=2〃-13,S“=〃？-12〃，可知当〃=6时，S“取最小值.

故选：A

【点睛】

此题考查的是由数列的递推式求数列的通项，采用了赋值法，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.{0,2,3}.

【解析】

化简集合A,由B=以及3—加wA,即可求出结论.

【详解】

集合A={—3,-2,—1,0,1,2,3},若AuB=A,

则加的可能取值为-3,—2,-1,0,2,3,

又因为3-〃zeA,

所以实数〃?所有的可能取值构成的集合是{0,2,3}.

故答案为:{0,2,3}.

【点睛】

本题考查集合与元素的关系，理解题意是解题的关键，属于基础题.

14.4

【解析】

2TTTT27r

由题可分析函数/（x）与y=机的三个相邻交点中不相邻的两个交点距离为T,即T=丁-7=—，进而求解即可

3669

【详解】

由题意得函数/（X）的最小正周期T=子-看=子,解得。=4

故答案为：4

【点睛】

本题考查正弦型函数周期的应用，考查求正弦型函数中的。

15.2.

【解析】

如图，以。为原点建立空间直角坐标系，设点M,4,〃），由40_1的得（加一2）2+/=4,证明£）4"瓦为4"

与平面8CGg所成角，令加=2+2cose,"=2sin8,用三角函数表示出tan幺加与，求解三角函数的最大值得到

结果.

【详解】

如图，以O为原点建立空间直角坐标系，设点M（s4,〃），则4（4,0,0）,。（0,4,0），4卜,4,2月1

/.CM=(/?7,0,«),AM=(m-4,4,n),又AMA.MC>

得斯・西=〃/-4m+〃2=(),即(机—2)2+/=%

又，平面BCC4Z^MB,为A.M与平面BCC.B,所成角,

令加=2+2cos8,〃=2sina。€[0,%],

AR

tanZA.MB,=^"=

44

J(2cos，—2y+(2sin6—

20-16sinl/9+^

7F

.•・当6=:时，tanA\MBX最大，即A}M与平面BCCtBt所成角的正切值的最大值为2.

故答案为：2

【点睛】

本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在

动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.

16.V2

【解析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解.

【详解】

•"z=l+i,

1+z_(l+z)(-0_)

---——------7----1

:.|z|=V2,

故答案为：V2.

【点睛】

本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的求法，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)+/=15(2)+孚］.

【解析】

(1)根据坐标和然男生为等边三角形可得凡匕，进而得到椭圆方程;

(2)①当直线MN斜率不存在时，易求M,N坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为

y=1),与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定k的取值范围；利用S=S"+S&MOB。，代

百

入韦达定理的结论可求得S关于攵的表达式，采用换元法将问题转化为s〃日夜+6,2@的值

m+—~2G

m

域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.

【详解】

(1)•.由(0,1),.•2=1,

•.•AA44为等边三角形，.•々=折=6,，椭圆的标准方程为m+y2=l.

(2)设四边形B2MNB1的面积为s.

①当直线MN的斜率不存在时，可得M

,S」x£+亚］*1=1+也

233

②当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=左(》-1),

设N(孙％)，

联立=1得：(3%2+1b2_65》+3公_3=0,

y=k^x-\)

.—一6〃丫一3女2_3।一，/、1273^72^71

评丁将一中丁-七)|=一索不一

,.,%1>0,x2>0,/.X}X2>0,,・.网>1,

面积

11_3/⑹女|42左2+1_3

22

S=S4N*+SAQMN+54同明=5x(%+%2)xl+/x|y]—必卜[3/:+13Z:+1[1

员%+*

,则s=^±2

产+1

A_y/3

令〃Z=f+G，则5=,丈：——=4cB（夜+6,26）,

tn"-2\/3m+4m+-----2.3'

m

•••5（机）在定义域内单调递减，.［〈Svl+的.

综上所述：四边形与MN用面积的取值范围是1,l+y^.

\_

【点睛】

本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是

能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.

is.（I）详见解析；（n）详见解析；（①）不需要调整安全教育方案.

【解析】

（I）根据题目所给数据填写好2*2列联表，计算出K?的值，由此判断出在犯错误概率不超过90%的前提下，不能

认为性别与安全测试是否合格有关.（II）利用超几何分布的计算公式，计算出X的分布列并求得数学期望.（HI）由

（II）中数据，计算出O（X）,进而求得M的值，从而得出该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.

【详解】

解：（I）由频率分布直方图可知，得分在［20,40）的频率为0.005x20=0.1,故抽取的学生答卷总数为焉=60,

y=60x0.2=12,尤=18.

性别与合格情况的2x2列联表为:

是否合格

不合格合格小计

性别

男生141630

女生102030

小计243660

,2_60x（14x20-10x16）10

•.——<乙./UO

30x30x24x369

即在犯错误概率不超过90%的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关.

（II）“不合格”和“合格”的人数比例为24:36=2:3,因此抽取的1（）人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可

能的取值为20、15、10S、0,

P（X=20）=告=号”=15）=专吟P（X=10）=岩号，

4

P（X=5）=警=《4,P（X=0）=*r=+1.

X的分布列为：

X20151050

18341

P

14217352W

所以塔=20X-!-+15X*+10X3+5XW+0X-!-=12.

1421735210

(HI)由(II)知：Z)(X)=(2()-12)2X^-+(15-12)2X^+(1()-12)2X|+(5-12)2X^+(()-12)2X^=16

故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.

【点睛】

本小题主要考查2x2列联表独立性检验，考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算，所以中档题.

19.(1)工+工=1(2)—

989

【解析】

(1)先求出圆心C(a,O)到直线/的距离为"二，再根据=2指得到6+3(“—0=/,解之即得a

4

的值，再根据C=1求出b的值得到椭圆的方程.(2)先求出「［-1，一1

，再求得APQC的面积

【详解】

⑴因为直线/过点鸟(1,0),且斜率％=百.

所以直线/的方程为)，=G(x—1)，即百x—y—百=0,

|由a-

所以圆心。(a,0)到直线/的距离为d=j网21,

又因为A5=2几，圆。的半径为“，

解之得，a=3或。=一9(舍去).

所以从=。2一/=8,

所以所示椭圆E的方程为上+二=1.

98

c1

⑵由⑴得，椭圆的右准线方程为m:x=9,离心率e=^=—,

a3

10

则点。到右准线的距离为d=股=?=10,

e£

3

r2v2Q

所以9Tp=10,即4=1,把/=-1代入椭圆方程］+1_=1得，％=±铲

因为直线/的斜率Z>0,

所以yp=-g,'P(-1,-g)

因为直线/经过马(1,0)和1),

4

所以直线/的方程为y=§(x-l),

y=*T),

联立方程组22得3》2—4x—7=0,

工+J

[98

7

解得了=一1或%=；,

3

所以唱都

所以APQC的面积S=.(%_'P)=gx2x[?+：)=?.

【点睛】

本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法,考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知

识的掌握水平和分析推理计算能力.

20.(1)I-,+℃](2)加V-1或加〉，

U)4

【解析】

(D根据P为真命题列出不等式，进而求得实数切的取值范围;(2)应用复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”

真，一真“或”为真，两真“且”才真.

【详解】

(1),/Rm(4%2+lj>A:,

.•.心0且1-16”<0.

解得机〉,

4

所以当P为真命题时，实数加的取值范围是(!，+8.

(4)

1

(2)由lve[2,8],根log,x+1NO,可得Ire[2,8],机2-，

-log2x

又•.•当xw[2,8]时，-J—e,

log,xL3_

...当r7V4为真命题，且力人4为假命题时,

•••”与夕的真假性相同，

1

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当夕假4假时，有彳4,解得加<一1；

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1

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当。真4真时，有〈4,解得机>z；

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故当一1PV4为真命题且-pA4为假命题时，可得加<T或加〉•！.

4

【点睛】

本题主要考查结合不等式的含有量词的命题的恒成立问题，存在性问题，考查复合命题的真假判断，意在考查学生对

这些知识的掌握水平和分析推理能力.

21.(1)『2-21n2,+oo)；(2)见解析

【解析】

(1)求出/'(x)=e'-2x-Z,记g(x)=e、-2x,问题转化为方程g(x)=〃有两个不同解，求导，研究极值即可得

结果；

(2)由(1)知，/(%)在区