2022年山西省晋中市中考数学一模试卷附答案详解

2022年山西省晋中市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.比一2大3的数是（）

A.-5B.-1C.1D.5

2.下列运算正确的是（）

A.2a+5a=7a2B.（—2a）3-8a3

C.—8a2+2a=-4aD.3a2-a3=3a6

3.平遥古城位于山西省中部平遥县内，始建于西周宣王时期，被称为“保存最为完好

的四大古城”之一，也是中国仅有的以整座古城申报世界文化遗产获得成功的两座

古城市之一.下列图标是古城内部分建筑的形象设计图，其中不属于轴对称图形的

是（）

4.如图，矩形纸片的一条边经过含有30。角的直角三角板的直角

顶点，矩形纸片的一组对边与三角板的两条直角边相交形成41

和42,若42=120。，则41的度数为（）

A.15°

B.30°

C.60°

D.120°

5.一个不等式组中两个不等式的解集在同一数轴上的表示-------6---4------>

3-2-101?

如图所示，这个不等式组的解集为（）

A.x<—1B.x<1C.-1<x<1D.x>1

6.古希腊数学家欧几里得被誉为“几何学之父”，其编写的数学著

作总结了前人的生产经验和研究成果，从公理和公设出发，用演

绎法叙述几何学，其中还包括整数论的许多成果，例如求两整数

的最大公约数的“辗转相除法”.这本数学著作的名称是（）赢

A.倜髀算经B.施岛算经》C.《几何原本》D.仇章算术》

7.如图，点4是反比例函数y=：（k力0）图象上的一点，过

点4作/Bly轴于点8,点C为4轴上一点，连接AC,BC,

若A4BC的面积为4,则k的值为（）

A.-8

B.8

C.—4

D.-2

8.志愿者是自愿贡献个人的时间和精力，在不计物质报酬的

前提下为推动人类发展、社会进步和社会福利事业而提供

服务的人员，某医院要从4B、C三名志愿者中任意抽调

两人助力全民核酸检测工作，恰好抽到志愿者B和C的概

率是（）

9.板球是以击球、投球和接球为主的运动，该项目主要锻炼手眼的协调能力，集上肢

动作控制能力、技巧与力量为一体的综合性运动.如图，是运动员击球过程中板球

运动的轨迹示意图，板球在点4处击出，落地前的点B处被对方接住，已知板球经

过的路线是抛物线，其表达式为y=-展/+；x+i,则板球运行中离地面的最大

高度为（）

10.如图，在△ABC中，ZC=90°,以。4为半径的半圆经过

Rt△4BC的顶点8,交直角边AC于点E,且8,E是半圆的

三等分点，弧BE的长为［兀，则图中阴影部分的面积为（）

A.vB.vC.6百-"

838

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.化简：（岔+2）（75-2）=.

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12.“双奥之城”指既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会

的城市.2008年北京夏季奥会之后，2022年北京冬季奥运

会成功举办，使北京成为世界上首座“双奥之城”.下列正

方体展开图的每个面上都标有一个汉字，把它们折成正方体

后，与“双”字相对面上的汉字是

13.如图，是一组有规律的图案，第(1)个图案由4个基础图形组成,第(2)个图案由7个

基础图形组成，第(3)个图案由10个基础图形组成.....按此规律排列下去，则第

几个图案中基础图形的个数为，(用72的代数式表示)

(1)⑵(3)

14.为引导学生进一步坚定理想信念，传承红色基因，某校在清明节期间组织团员和学

生干部步行前往距学校13.2千米的烈士陵园进行清明祭英烈活动，已知返回学校的

平均速度是前往陵园的平均速度的1.1倍，且返回学校所用的时间比去时少18分钟,

如果设前往陵园时的平均速度为x千米/小时，根据题意可列方程为

15.在AHBC中，BD平分NABC,交4c于点D,AE1BC,交BC

于点E,且4B=5,AE=BC=4,贝北。=

三、解答题(本大题共8小题，共75.0分)

16.(1)712+(-9T-2tan60°+(?r-3)°；

(2)下面是小明同学解分式方程的过程,请认真阅读并完成相应任务.汽=三-2

3X+oX+Z

2X-1

解:言一2……第一步

3(X+2)

2x-1=3(%-1)-2・・・・・・第二步

2x-1=3x-3-2……第三步

—X=-4.......第四步

%=4.......第五步

经检验x=4是原方程的根......第六步

任务一：以上解方程步骤中，第步开始出现错误,这一步错误的原因是

任务二：请直接写出该分式方程的正确结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注

意的事项给其他同学提一条建议.

17.如图，已知48是。。的直径，AC是。。的切线，8c与。。

相交于点D,E是4c的中点，连结ED,AD.

(1)求证：DE是。。的切线；

(2)若BD：BC=2：5,AB=5V6，求AC的长.

B

18.每年6月26日是“国际禁毒日”.某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，

组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动.该校德育处对八年级全体学生答

题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如

图不完整的统计图.请你根据图1.图2中所给的信息解答下列问题：

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(1)该校八年级共有名学生，“优秀”所占圆心角的度数为

(2)请将图1中的条形统计图补充完整.

(3)已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八

年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？

(4)德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参

加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率.

19.“滑块钱链”是一种用于连接窗扇和窗框，使窗户能够开启和关闭的连杆式活动链

接装置(如图1).图2是“滑块钱链”的平面示意图，滑轨MN安装在窗框上，悬臂DE

安装在窗扇上，支点B、C、D始终在一条直线上，已知托臂4C=20厘米，托臂BD=

40厘米，支点C,D之间的距离是10厘米，张角4CAB=60。.

(1)求支点。到滑轨MN的距离(精确到1厘米)；

(2)将滑块4向左侧移动到4',(在移动过程中，托臂长度不变，即AC=4C',BC=

BC')当张角4C'A'B=45。时，求滑块4向左侧移动的距离(精确至IJ1厘米).(备用数据:

V2«1.41，V3«1.73，V6«2.45.b*2.65)

图1图2

20.世界读书日是在每年的4月23日，“世界图书日”设立目的是推动更多的人去阅读

和写作，希望所有人都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的文学、文化、科

学、思想大师们，保护知识产权.某批发商在世界读书日前夕，订购了一批具有纪

念意义的书签进行销售，平均每天可售出500张，每张可获利0.5元.调查发现，如

果每张书签的售价每降价0.1元，平均每天可多售出200张.批发商要想平均每天获

利270元，求每张书签应降价多少元.

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21.阅读与思考

请仔细阅读材料，并完成相应任务.

好学善思的小明和小亮同学阅读数学课外书时，看到这样一道题：

解关于x的不等式：言>。

两位同学认为这道题虽然没学过，但是可以用己学的知识解决.

小明的方法：

根据“两数相除，同号得正”，可以将原不等式转化为｛；：」打0或

解得……

小亮的方法：

将原不等式两边同时乘以(3%-2),得x+l>0,

解得……

任务一：你认为小明和小亮的方法正确吗？若正确请补充完整解题过程；若不正确,

请说明理由.

任务二：请尝试利用已学知识解关于x的不等式：㈢<2.

22.综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动.

操作发现

某数学小组对图1的矩形纸片4BCD进行如下折叠操作：

第一步：如图2,把矩形纸片4BCD对折，使AD与BC重合，得到折痕MN,然后把

纸片展开；

第二步：如图3,将图2中的矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得点4落在MN上的点

4处，折痕与4D交于点E,然后展开纸片，连接44,BA',

EA'.

问题解决

(1)请在图2中利用尺规作图，作出折痕8E；(保留作图痕迹)

(2)请你判断图3中的形状，并说明理由；

(3)如图4,折痕BE与MN交于点F,BA的延长线交直线CD于点P,若MF=1,BC=7,

请你直接写出PC的长.

23.综合与探究

如图，抛物线y=。％2+取+3与工轴交于4,B(3,0)两点(点4在点B的左侧)，与y轴

交于点C,且。4=：。8,点。是抛物线上一动点，设点。的横坐标为m(0<7n<3).

连接AC,BC,BD,CD.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当4BCD的面积等于△40C的面积时，求m的值；

(3)当巾=2时，若点P是x轴上一动点，点Q是抛物线上一动点，试判断是否存在这

样的点P,使得以点B,D,P,Q为顶点的四边形是平行四边形.若存在，请直接

写出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

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答案和解析

1.【答案】

C

【解析】

解：-2+3=(3-2)=1.故选。.

有理数运算中加法法则：异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相减.

解题关键是理解加法的法则，先确定和的符号，再进行计算.

2.【答案】

C

【解析】

解：2a+5a=7a,故A不正确，不符合题意；

(-2a)3=-8a3,故B不正确，不符合题意；

-8a2+2a=-4a,故C正确，符合题意；

3a2-a3=3a5,故。不正确，不符合题意；

故选：C.

根据合并同类项法则、积的乘方与幕的乘方、单项式除单项式、单项式乘单项式法则逐

项判断即可.

本题考查整式运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、积的乘方与哥的乘方、单项式

除单项式、单项式乘单项式法则.

3.【答案】

B

【解析】

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解：选项A、C、D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，所以是轴对称图形，

选项8不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重

合，所以不是轴对称图形，

故选：B.

根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对

称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可.

本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可

重合.

4.【答案】

B

【解析】

解：如图,

由题意得：/-ABC=90°,EF//BD,

vZ2=120°,

43=180°-Z2=60°,

vEF//BD,

・•・z.4=z3=60°,

・•・zl=/.ABC-z4=30°.

故选：B.

由邻补角可求得43=60。，再由平行线的性质得44=43=60。，从而可求41的度数.

本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相

等.

5.【答案】

A

【解析】

解：数轴上表示解集的线的条数与不等式的个数一样的部分是-1左边的部分，则不等

式解集为：x<—1.

故选A.

本题可根据数轴的性质，实心圆点包括该点用“2"，表示，空心圆圈不包括该

点用，">”表示，大于向右，小于向左.观察相交的部分即为不等式的解集.

本题考查不等式组解集的表示方法.把每个不等式的解集在数轴上表示出来（>,之向右

画；<,S向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的

线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表

示解集时“2”，“V要用实心圆点表示；，“>”要用空心圆点表示.

6.【答案】

C

【解析】

解：这本数学著作是《几何原本.

故选：C.

这本书就是《几何原本少.

考查的是数学知识，这本数学著作是《几何原本》.

7.【答案】

A

【解析】

第12页，共26页

解：连接。4如图所示:

vAB1y轴,

:.ABIIOC,

SMBO=

•四=4

2

A|k|=8,

根据图象可知，k<0,

••k=-8.

故选：A.

连接。4则有S-BC=SMB。，根据k的几何意义，可得”=4,根据图象可知k<0,

即可求出k的值.

本题考查了反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键.

8.【答案】

B

【解析】

解：列表如下:

ABc

A(B,a)(CM)

B(4B)(C,B)

C(4C)(B,C)

由表知，共有6种等可能结果，其中恰好抽到志愿者B和C的有2种结果，

所以恰好抽到志愿者B和C的概率为;=i

o3

故选：B.

列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可.

此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.

9.【答案】

【解析】

解：将二次函数y=-3/+"+1,化成y=一点（工—4）2+|,

当x=4时，y有最大值，y最大值=a

因此，板球运行中离地面的最大高度为|.

故选：B.

将二次函数化简为y=—2（久一铲+|,即可解出y质大的值.

本题考查二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.

10.【答案】

【解析】

解：连接BD,BE,BO,EO,

■■B,E是半圆弧的三等分点,

•••AEOA=乙EOB=4BOD=60°,

第14页，共26页

・•・/.BAD=/.EBA=30°,

:.BE//AD,

・•・弧BE的长为［兀，

60nr4

：•-------——71

18039

解得：r=4,

:.AB=ADcos30°=4>/3,

•••BC=^AB=2A/3,

AC=V3BC=6,

•••S»ABC=2xBCxAC=jx2>/3x6=6V3,

•••△4BE同底等高，

8。£和4ABE面积相等，

;图中阴影部分的面积为：S.ABC—S蒯BOE=6^-曙=6V3-fn.

故选：D.

首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出

BC,4C的长，利用SMBC-S版修B0E=图中阴影部分的面积求出即可.

此题主要考查了扇形的面积计算以及三角形面积求法等知识，根据已知得出480后和4

4BE面积相等是解题关键.

11.【答案】

1

【解析】

解:原式=(V5)2-22

=5-4

=1.

故答案为L

根据平方差公式计算.

本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘

除运算，然后合并同类二次根式.

12.【答案】

城

【解析】

解：与“双”字相对面上的汉字是城，

故答案为：城.

根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可.

本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的

方法是解题的关键.

13.【答案】

3n+1

【解析】

解：观察图形，可知

第1个图案由4个基础图形组成，即4=1x3+1,

第2个图案由7个基础图形组成，即7=2x3+1,

第3个图案由10个基础图形组成，即10=3x3+1,

第n个图案的基础图形的个数为：3n+l.

故答案为：3n+l.

根据前三个图形中基础图形的个数得出第n个图案中基础图形的个数为3n+1即可.

本题考查了图形的变化类、列代数式，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律.

14.【答案】

13.213.2_18

xl.lx60

第16页，共26页

【解析】

解：••・返回学校的平均速度是前往陵园的平均速度的1.1倍，且前往陵园时的平均速度为

X千米/小时，

二返回学校的平均速度为1.1X千米/小时.

依题意得：出-善=焉

xl.lx60

故答案为：螫一手=青

由返回与前往速度间的关系可得出返回学校的平均速度为1.1X千米/小时，利用时间=路

程+速度，结合返回学校所用的时间比去时少18分钟，即可得出关于x的分式方程，此

题得解.

本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关

键.

15.【答案】

4g

9

【解析】

解：­：AE1.BC,

/.AEB=/.AEC=90°,

在Rt△4BE中，BE=yjAB2-AE2=V52-42=3.

：.CE=BC-BE=4-3=1,

在Rt△ACE中，AC=y/AE2+CE2=Vl2+42=g,

•••8。平分N4BC,

.•.点。至和BC的距离相等，

S^ABD：SMBD~BA：BC=5：4,

'-'SAABD：SACBD=4D：CD,

•••AD：CD=5：4,

CD=-AC=-Xy/17=iXlZ.

999

故答案为："

9

先利用勾股定理计算出BE=3,则CE=1,利用勾股定理可计算出AC=近7,再根据

角平分线的性质得到点。到和BC的距离相等，则根据三角形面积公式得到S^BD：

SACBD=BA：BC=5：4=AD：CD,所以CO=g/lC=噂.

本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即工=?x底

X昌).

16.【答案】

二去分母时，方程右边常数项2没有乘3(x+2)

【解析】

解：(1)原式=2百-3-2遮+1

=-2；

(2)任务一：以上解方程步骤中，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去分母时，

方程右边常数项2没有乘3(x+2)；

故答案为：二，去分母时，方程右边常数项2没有乘3(x+2)；

任务二：去分母得：2x-l=3(x—1)—6Q+2),

去括号得：2x-l=3x-3-6x-12,

移项合并得：5x=-14,

系数化为1得：x=-蓝，

经检验》=-3是原方程的根；

任务三：解分式方程注意要检验.

(1)原式利用二次根式性质，零指数暴、负整数指数幕法则，以及特殊角的三角函数值

计算即可求出值；

(2)任务一：查找方程出错的步骤，分析其原因即可；

任务二：写出正确的结果即可；

任务三：提出一条解分式方程注意的事项即可.

此题考查了解分式方程，实数的运算，零指数哥，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握

运算法则及分式方程的解法是解本题的关键.

17.【答案】

第18页，共26页

(1)证明：连接。。，

・・・/B是。。的直径，

:.Z.ADB=90°,

・•・^ADC=90°,

・・・E是4c的中点，

・••AE=DE,

:.Z.DAE=Z-ADE,

•・•OD=OAf

・•・Z.OAD=Z.ODA,

・•・Z.DAE+Z.DAO=Z.ADE+Z.ADO,

・・・48是。。的直径，4c是。。的切线，

・♦・乙CAB=90°,

:.乙ODE=90°,

•・•。。是O。的半径，

・・・DE是。。的切线；

(2)解：・・・BD：BC=2：5,

・•・BD=2%,BC=5%,

・・•Z.CAB=Z-ADC=90°,

ZC+Z.CAD=Z.CAD+乙BAD=90°,

:.Z.C=乙BAD,

:DBA,

・A•B・一=BD一,

BCAB

5V6_2x_

17=褊

・•.X=遮(负值舍去)，

・•・BC=5同，

AC=>JBC2-AB2=J(5底>_(5V6)2=15-

故AC的长为15.

【解析】

(1)连接。。，根据圆周角定理得到NADB=90。，求得乙4DC=90。，根据直角三角形的

性质得到4E=CE,求得=推出/ODE=90。，根据切线的判定定理即可

得到结论；

(2)设8。=2%,BC=5%,根据相似三角形的性质得到BC=500根据勾股定理即可

得到结论.

本题考查了切线的性质和判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确地作出辅助

线是解题的关键.

18.【答案】

解：(1)500；108°：

⑵“一般”的人数为500-150-200-50=100（名）,

（3）15000x^-=1500（名）,

即估计该市大约有1500名学生在这次答题中成绩不合格;

(4)画树状图为:

共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加的结果数为6种,

;必有甲同学参加的概率为5=1

【解析】

本题考查了用列举法求概率，属于中档题.

(1)由“良好”的人数和其所占的百分比即可求出总人数；由360。乘以“优秀”所占的

第20页，共26页

比例即可得出“优秀”所占圆心角的度数；

(2)求出“一般”的人数，补全条形统计图即可：

(3)由15000乘以“不合格”所占的比例即可；

(4)画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求

的概率.

解：(1)该校八年级共有学生人数为200+40%=500(名)；“优秀”所占圆心角的度数

为360°*益=108°；

故答案为：500；108°；

(2)见答案;

(3)见答案；

(4)见答案.

19.【答案】

解：（1）过C作CG1AB于G,过。作QH14B于H,

■■AC=20,ACAB=60°,

AG—~^C-10,CG=y/3AG=10V3»

BC=BD-CD=30,

vCG1AB,DHLAB,

CG//DH,

BCG~XBDH,

••・一BC=一CG,

BDDH

30106

40DH

.­,DH=竽笈23（厘米）；

支点。到滑轨MN的距离为23厘米;

（2）过C'作C'S1MN于S,

■■■A'C=AC=20,AC'A'S=45°,

•••A'S=C'S=10V2,

BS=y/BC'2-C'S2=10V7,

•••A'B=10V2+10小,

vBG=y/BC2-CG2=10爬,

•••AB=10+10V6.

•••AA'=A'B-AB6(厘米)，

•••滑块川句左侧移动的距离是6厘米.

【解析】

1

(1)过C作CG于G,过。作。HJ.AB于解直角三角形顶点4G=鼻力。=10,CG=

V3/1G=10V3，根据相似三角形的性质得到。”；

(2)过C'作C'S1MN于S,解直角三角形得到AS=C'S=10V2,求得4B=1072+10书,

根据线段的和差即可得到结论.

本题考查解直角三角形,勾股定理、相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，

灵活运用所学知识解决问题.

20.【答案】

解:设每张书签应降价x元,则每张可获利(0.5-乃元,平均每天可售出500+言x200=

(2000X+500)张，

依题意得：(0.5-x)(2000x+500)=270,

整理得：100/-25x+l=0,

解得：%】=0.2,x2=0.05.

答：每张书签应降价0.2元或0.05元.

【解析】

设每张书签应降价x元，则每张可获利(0.5-x)元，平均每天可售出(2000X+500)张，

利用批发商销售书签平均每天获得的利润=每张的销售利润x平均每天的销售量，即可

得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

21.【答案】

解：任务一：小明的方法正确，

根据“两数相除，同号得正”，可以将原不等式转化为《;」打。或djjo，

第22页，共26页

解得x><-1;

小亮的方法错误；不符合不等式的性质.

任务二:/<2,

整理得缶-2<0,即鬻>0，

根据“两数相除，同号得正”，可以将原不等式转化为｛::或｛:d;

解得%>-3或x<-8.

【解析】

根据两数相除，同号得正，分类讨论求出不等式的解集即可.

此题考查了解一元一次不等式，根据实数乘法(除法)法则得到不等式组是解本题的关键.

22.【答案】

解：如图2,BE为所求.

图2

(2)4484'是等边三角形.

理由如下：由折叠的性质可得4B=48',MN1AB,AM=BM,

MN是4B的垂直平分线，

.-.A'A=A'B,

.-.A'A=A'B=AB,

是等边三角形；

(3)如图4,

图4

•••△ABZ'是等边三角形，

AAABA'=60°,

4MBF=30°,

在RtABM尸中，MF=1,

•••BM=a,

：.AB=2BM=2同

在RtAABH中，Z.ABH=60°,

:.AH—AB-tan60°=