重邮信号与系统课件

变换域分析：频域分析：－－－傅里叶变换，自变量为

复频域分析：－－－拉氏变换,自变量为S=

+j

Z域分析：－－－Z变换，自变量为

S=

+j

第三章傅里叶变换

本章提要周期信号的傅里叶级数傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析卷积和卷积定理抽样信号的傅里叶变换和抽样定理§3.1引言

根据信号正交函数分解可知，对于某一函数，可以利用它在完备正交函数集中各分量的线性组合来表示，这种表示方法称为函数的广义傅里叶级数展开。参看6.3，6.4节三角函数的正交性复指数函数的正交性

§3.2周期信号的FS分析周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数：

1.三角函数式的傅立叶级数

{cosn

1t,sinn

1t}

2.复指数函数式的傅立叶级数

{ejn

1t}一、三角函数式傅里叶级数:直流分量基波分量n=1

谐波分量n>1直流系数余弦分量系数正弦分量系数周期信号的另一种

三角函数正交集表示狄利克雷条件：.在一个周期内只有有限个间断点；.在一个周期内有有限个极值点；.在一个周期内函数绝对可积，即

周期函数的频谱：周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处（离散）。直观看出：各分量的大小，各分量的频移。

相位谱幅度谱单边谱Cn二、指数形式傅里叶级数引入了负频率由前知利用欧拉公式，并令：指数形式的傅里叶级数的系数周期信号的复数频谱图双边谱Fn为实数时周期信号的复数频谱图的特点引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；

Cn是实函数，Fn一般是复函数，当Fn是实函数时，可用Fn的正负表示0和π相位，幅度谱和相位谱合一；Fn反映了f(t)傅立叶级数中n

1处虚指数信号幅度和相位，不同的周期信号，级数的形式相同，但Fn不同，Fn反映了周期信号的特征。单边谱Cn两种频谱图比较：双边谱周期信号的FS展开傅氏级数的系数间的关系画出周期信号的频谱图三、周期信号的功率特性P为周期信号的平均功率将周期信号傅里叶级数展开式代入上式有 1.周期信号的平均功率是直流、基波及各谐波分量有效值的平方和。

2.周期信号的功率谱也为离散谱。

3.时域和频域能量守恒帕赛瓦尔定理四、对称信号的傅里叶级数三种对称：偶函数：f(t)=f(-t)奇函数：f(t)=-f(-t)奇谐函数：半周期对称周期偶函数只含直流和an是实数Fn是实数周期奇函数只含正弦项Fn是虚数任意周期函数有：

偶函数项奇函数项沿时间轴移半个周期；上下反转；波形不变；半周期对称；奇谐函数：奇谐函数的波形：T1/2-T1/20tT1/2-T1/20tsin(w1t)T1/2-T1/20tsin(2w1t)奇谐函数的傅氏级数奇谐函数的偶次谐波的系数为0(n为奇数)偶谐函数：沿时间轴移半个周期；波形不变；半周期重叠信号T1/2-T1/20tf(t)f(t)tE/2T解:(n为奇数)(n为奇数）（n为偶数时为0）五、傅里叶有限级数

实际中，n=N,N是有限整数 如果N越大，则其均方误差愈小如果完全逼近，则n=∞

若用2N＋1项逼近，则误差函数和均方误差误差函数均方误差只要均方误差最小，傅立叶级数唯一。例如对称方波：偶函数且奇谐函数E/2-E/2T1/4-T1/4t只有奇次谐波的余弦项。对称方波有限项的傅里叶级数N=1N=3N=5有限项的N越大，误差越小例如:N=11N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真有吉布斯现象发生不连续点处出现起伏，起伏的频率随N

的增大而增加，但起伏峰值不变，其超量为9%§3.3典型周期信号的FS周期矩形脉冲信号周期锯齿脉冲信号周期三角脉冲信号周期半波余弦信号周期全波余弦信号一、周期矩形脉冲信号在一个周期[-T0/2，T0/2]内：Af(t)T0/2t-T0/2Af(t)T0/2t-T0/2Af(t)T0/2t-T0/2周期矩形脉冲对应的傅里叶级数三角形式:指数形式:f(t)t0ET0-T0Fn0Cn0周期矩形脉冲信号频谱分析离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密，含无穷多条谱线。各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。各谱线的幅度按包络线变化。过零点为，非周期性。主要能量在第一过零点内。带宽脉冲越宽，频带越窄，反之…Fn0周期矩形的频谱变化规律：若T不变，改变τ的情况若τ不变，改变T时的情况T对称方波是周期矩形的特例T1T1/4-T1/4对称方波奇次余弦对称方波的频谱变化规律TT/4-T/4

周期