2022年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷（理科）（附答案详解）

2022年安徽省黄山市高考数学第一次质检试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.设复数Z=Up则复数Z的虚部是()

A.]B.IC.-\iD.V

2.命题：3xG/?,a/-a%-2>。为假命题的一个充分不必要条件是()

A.(-8,0)B.[-8,0]

C.(―8,0]D.(—00,—8]U[0,+8)

3.设集合4={x|=<0},8={x|-l<x<3),则4n(CRB)=()

X—4

A.{x|3<%<4或％=-1}B.{x|3<%<4]

C.{x|3<x<4或％=-1}D.{%|3<%<4]

4.连续函数/(x)是定义在(一1,1)上的偶函数，当不。0时，x/'Q)>0.若/(a+1)-

/(2a)>0,贝ija的取值范围是()

A.(-pl)B.(-i,0)C.D.(-|,0)

5.在长方体力BC。一&B1GD1中，40和CD】与底面所成的角分别为30。和45。，异面

直线公。和CD1所成角的余弦值为()

A更B.立C.在D.叵

4434

6.现将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在一个小区

服务，每个小区至少有一名志愿者，则不同的安排方案有()

A.60种B.90种C.150种D.180种

7.已知函数f(x)=2s/3sina)x+acosa)x(a)>0)图象的一个对称中心到相邻对称轴的

距离为三，且f(0)+f%)=6,则函数/(x)在下列区间单调递增的是()

A.(-p^)B.(-7T,-y)C.(兀言)D.（第2兀）

8.一个平面封闭图形的周长与面积之比为“周积率”，如图

是由三个半圆构成的图形最大半圆的直径为6,若在最大的

半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为g,则阴影

部分图形的“周积率”为()

A.2B.3C.4D.5

9.“斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的,

该数列满足：ai=1.a2=1.an=斯_]+an_2（n>3,nGN*）,若<12024=G,则

其前2022项和为（）

A.GB.G+1C.~GD.G-1

10.已知f（x）=jne*-2/，曲线y=f（%）在不同的三点（%,/（巧））,（x2,/（x2））>

（%3，/。3））处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是（）

A.碟,+8）B.（0,§C.瑞,+8）D.（0浸）

11.已知椭圆C：式+艺=1的焦点为E，F2,第一象限点P在C上，且而•而=：,则

434

△P&F2的内切圆半径为（）

A.|B.|C.1D.|

12.已知a=e。】，6=宰+1,c=g,则它们的大小关系正确的是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.已知向量为=（一1,1）,1=（2,3），a1（2a+fcK），则实数k的值为.

14.已知双曲线E：b/+y2=-2b的一个焦点与抛物线C：炉=4V3的焦点相同，则

双曲线E的渐近线方程为.

15.已知数列｛即｝满足的=2,an+1=^an,则诉谭/嬴

16.如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形4BCD

的边长为4,AADE是以40为斜边的等腰直角三角形，

乙HDC=NB4B=90°,则该四棱锥外接球被平面PBC所截

的圆面的面积为.

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17.△ABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin（A+C）=8sin2*

⑴求cosB；

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(2)若a+c=6,△48C的面积为2,求b.

18.如图1在梯形ABCD中，AD//BC,/.BAD=pAB=BC=2,AD=4,E是AD的

中点，。是AC与BE的交点.将△4BE沿BE折起到△&8E的位置，如图2.

(I)求证：CD1平面40C；

(II)若平面4BE，平面BCDE,求二面角B-&C-E的余弦值.

19.在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解

情况，进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次)通过随机抽样，得到

参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：

组别[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]

频/p>

(1)由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分f〜N(〃,198)，〃近似为这100

人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表).

①求4的值；

②利用该正态分布，求P(f<19或f>47)；

(2)在(1)的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:

①得分不低于〃的可以获赠2次随机话费，得分低于〃的可以获赠1次随机话费；

②每次获赠的随机话费和对应的概率为：

赠送话费的金额(单位：元)3050

32

概率

55

现有市民甲参加此次问卷调查，记X(单位：元)为该市民参加问卷调查获赠的话费，

求X的分布列与数学期望.

参考数据与公式：石死=14.若X〜NO，，)，则p(〃一avXSju+c)=0.6826,

-2a<X<n+2a)=0.9544,P®-30<X<〃+3。)=0.9974.

20.设椭圆C：5+，=l(a>b>0)的左、右焦点分别为&、％，抛物线'=的

焦点与椭圆的一个顶点重合，又椭圆的离心率与抛物线的离心率之比为它.

2

(1)求椭圆C的方程；

(2)设斜率为正数的直线/与椭圆C交于M,N两点，作MGLx轴于点G,。为坐标原

点，若(4两-9^)1.而，求△OMN面积的取值范围.

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21.已知函数/(%)=%/nx—%—靖一°,g(x)=—[a/+e4-e+@(@£附

(1)求函数9(x)=/(%)+e”一，的最小值；

x

(2)设函数/(%)=/(%)+g(x)的两个不同极值点分别为久「x2(i<%2>

心求实数a的取值范围；

5)若不等式，<m恒成立，求正数4的取值范围(这里e=2.71828…为自然对数的

底数).

22.已知曲线C的极坐标方程为。=后高，直线/的参数方程为为参

数).

(1)当直线，的倾斜角为黑寸，求出该直线的参数方程并写出曲线C普通方程；

(2)直线，交曲线C于4、8两点，若|48|=|鱼，求直线2的斜率.

23.已知函数f(x)=|x-a|+2|x+1|.

(1)当a=1时，求不等式/(x)<4的解集；

(2)设不等式f(x)<|2x+4|的解集为M,若[0,3]cM,求a的取值范围.

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答案和解析

1.【答案】D

(3-i)(l-2i)3—6i—i—217.

【解析】解：复数z=-I

(l+2i)(l-2i)—^—=35

则复数z的虚部是-

故选：D.

利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.

本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解：3%GR,ax2—ax—2>0为假命题0V%6R,ax2—ax—2<0为真命

题，

①当a=0时，则一2W0符合题意，

②当{箕1+8』时，—<。，

a的取值范围为[一8,0],

'''(-8,0)9[—8,0]>

3x£/?,ax2—ax—2>0为假命题的一个充分不必要条件是(-8,0),

故选：A.

根据含有量词的命题的否定关系，以及充分必要条件的定义即可得到结论.

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用命题真假之间的关系是解决本题的关键.

3.【答案】C

【解析】解：因为4={x|—；30)={灯-1Wx<4},8={x|-1<x<3},

所以CRB={X|XS-1或xN3},

则An(CRB)={x|3<x<4或x=1).

故选：C.

解分式不等式可求集合4,然后结合集合的补集及交集运算可求.

本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：连续函数f(x)是定义在(—1,1)上的偶函数，当*彳0时，xf(x)>0.

所以>0或ir(x)<0,

所以f(x)在(一1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

所以/(a+1)—f(2a)>0等价于/(|a+1|)>f(|2a|),

(|a+l|>|2a|

所以，一l<a+l<l,解得-.(aCO,

所以a的取值范围是(-30).

故选：D.

利用导数分析函数f(x)的单调性，可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取

值范围.

本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用函数的性质求解不等式，考查转化

思想与运算求解能力，属于中档题.

5.【答案】B

【解析】解：连接4道,BD,则B4〃CDi，

所以4BA1。为异面直线4£>和CD1所成角，

因为在长方体ABCD-ABiGDi中，和CD】与底面所成的角分别为30。和45。,

所以N&DA=30。，4nle0=45。，

设=a,则4。=V3a,CD=a,所以B。=2a,ATB=\[2a,AxD=2a,

在AAiDB中，由余弦定理得，

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4遇2+41。2-8。2_2a2+4。2-4。2_在

CQSZ-BA^D

2A1BA1D-2\[2a-2a-4

所以异面直线为。和CD］所成角的余弦值为

故选：B.

由题意可得乙41。4=30。，ZDXCD=45°,若设力&=a,则可表示出4D,CO的长，连

接BD,则NB&O为异面直线为。和CA所成角，然后利用余弦定理可求得结果.

本题考查异面直线所成的角，考查学生的运算能力，属于中档题.

6.【答案】C

【解析】解：现将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在

一个小区服务，每个小区至少有一名志愿者，

①这3个小区分别有1人，1人，3人的情况，则有底用=60种不同的安排方法，

②这3个小区分别有1人，2人，2人的情况，则有饕•心=90种不同的安排方法，

故不同的安排方案共有60+90=150种.

故选：C.

根据已知条件，分这3个小区有1人，1人，3人，有1人，2人，2人两种情况，分别求解，

并求和，即可求解.

本题主要考查组合、排列数的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：由题意可知，函数f(x)的最小正周期为7=4x3=71,所以，3=年=2,

则/(x)=2>/3sin2x+acos2x，所以/(0)—o-,f(，)=2v5sin+acos=3+^a,

故/(0)+f()=3+|a=6,可得a=2,

所以，/(x)=2V3sin2x+2cos2x=4sin(2x+-),

6

对于4选项，当勺时，T<2x+g<?,

3NZOO

故函数f(x)在区间(一g，今上不单调；

对于B选项，当“6(一乃,一争时，一詈<2x+*<-学

故函数/（X）在区间（-兀,一？）上单调递增；

对于C选项，当xe5,蓝）时，攀＜2%+*＜?，

故函数/（%）在区间（兀,羡）上不单调；

对于。选项，当X6（手,2兀）时，等＜2x+X等，

2ooo

故函数f（x）在区间（表2兀）上不单调.

故选：B.

由函数f（x）的最小正周期可求得3的值，再由已知条件可求得实数a的值，再利用正弦

型函数的单调性逐项判断可得出合适的选项.

本题考查正弦函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：依题意，设较小的白色半圆的半径为r,则较大的白色半圆的半径为合=

3-r,

nx32nrr27r（3-7）2

所以;——-^—2~~2—，解得丁=1或丁=2（舍），

2

71X3+71X2+71X1c

所以阴影部分图形的“周积率”为：WZ=3.

222

故选：B.

设较小的白色半圆的半径为丁，则较大的白色半圆的半径为空=3-乙根据题意，阴

影面积与最大半圆的面积比为京求出r,计算“周积率”即可.

本题考查了新定义，考查了圆的周长，面积的计算，属于基础题.

9.【答案】D

a

【解析】解：由an=n-l+。九一2可得，

+。3+Q5"1-----F@2023=。2+（。4一。2）+（。6一。4）+…+（a2024一。2022）=

a2024=G,①

。2+。4+。6-----1■a2022=（a3-al）+（a5-。3）+（a7-a5）-----（a2023一a2021）=

a2023一1，②

①+②得，四+。2+。3+。4+…+。2022+。2023=G+。2023-1，

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化间得+。2+。3+。4+…+。2022=G—1.

故选：D.

根据与=an_!+®_2写出两个等式后再联合即可求解•

本题考查了斐波那契数列的求和问题，属于中档题.

10.【答案】D

【解析】解:函数/'(x)=me*-2炉,导数为1(%)=zne*-6/,

由题意可得mex-6x2=。有3个不同的解，即zn=与有3个不同的解.

ex

设g(©=等,则或x)=修=竽，

当％<0或%>2时,g'(x)<0,当0<xV2时，g'(%)>0，

所以g(x)在(-8,0),(2,+8)上单调递减，在(0,2)上单调递增，

所以g(x)的极小值为g(0)=0,极大值为g(2)=g,

作出g(x)的大致图象如图所示,

4-g(X)考

由图象可得m的取值范围是(0浸).

故选：O.

求得f(x)的导数，由题意可得771/-6/=0有3个不同的解，由参数分离和构造函数,

求得导数和单调性、极值，可得所求范围.

本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查转化思想和数形结合思想,

考查运算能力与推理能力，属于中档题.

1I.【答案】A

【解析】解：由已知条件得Q2=4,b2=3,c2=a2-b2=1,则”-1,0),尸2(1,0),

设点的坐标为Qp,yp),则两i=(-1-xpf-ypy~PF2=(1--

两/•恒2=蚱+丫我-1=£即用+必=?①,

•••第一象限点P在C上，.•.则乎+?=1,即瑶=4一萼②，

联立解得力=I，

由椭圆的定义得|P0|+\PF2\=2a=4,

设AP&E的内切圆半径为r，则SAP&FZ=：「(仍&1+IPF2I+I&F2I)=3r,

13

又SAPFI&=--2c-yP=-,

•••3r=即r—

22

故选：A.

根据椭圆的定义可知|PFi|+\PF2\=4,由椭圆方程可知I&F2I=2,进而利用向量数量

积的坐标运算和第一象限点P在C上可求出点P的纵坐标，最后利用内切圆的性质和三角

形面积公式即可求出答案.

本题考查椭圆的性质，考查学生的运算能力，属于中档题.

12.【答案】C

【解析】解：设/(x)=+1-则/-1=詈，

••./(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，且/'(1)=0,

/'(E)<0.lnVL2+1-VL2<0，］“nl.2+1<V12,.-.c>b,

-c=V12<1.1，•••lnVL2+1<V12<1.1)

•••lnV12<0.1.A/L2<e01，­••a>c,

：・a>c>b,

故选：C.

先构造函数/(%)=仇%+1-%,再判断单调性得到c>b,再利用c=VI攵V1.1，得到

lnVL2<0,1，即a>c,求解即可.

本题考查三个数大小的比较，利用构造函数和对数函数性质是关键，属于中档题.

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13.【答案】-4

【解析】解：因为五=（一1,1）,b=（2,3）.

所以2五+k9=（2k-2,3k+2），

因为五1（2a+/ch），

所以1•（2方+kB）=2—2k+3k+2=0，

解得k=-4.

故答案为：-4.

由已知结合向量数量积性质的坐标表示即可求解.

本题主要考查了向量数量积性质的坐标表示，属于基础题.

14.【答案】y=+V2x

【解析】解：抛物线C：/=4乃y的焦点（0,历），

所以双曲线E：bx2+y2=-2b的一个焦点坐标（0,历），

所以A/2-2b-V6>解得b=—2,

所以双曲线E的渐近线方程为y=±V2x.

故答案为：y=+V2x.

求出抛物线的焦点坐标，利用已知条件列出方程，求解b,然后求解双曲线的渐近线方

程.

本题考查抛物线的简单性质，双曲线的简单性质的应用，是基础题.

15.【答案】黑

【解析】解：由即+1=3詈an

所以即+】=管即，得鬻=2（含）,

所以数歹支岩｝是以告=1为首项，以2为公比的等比数歹U，

所以含=2吁1,

所以an=(n+l),2nT.

12n1

设｛an｝的前几项和为Sn，则Sn=2x2°+3x2+4x2+-...+(n+1)-2-,

n

所以2sli=2x21+3X22+…...+Ti•2"T+(n+l)-2,

两个式子相减得，-S.=2X2°+(21+22++2=T)-(n+1)•271=2+2(：］)-

(n+1)•2n=一几•2n,

所以S九=n-2n,

所以a2021_2022X22020_1011

A2020

a1+a2+a3+……+a202012O2OX2—1010,

故答案为：黜

依题意可得黑=2(含)，即数列｛含｝是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而得到

an=(n+l>2n-i,再用错位相减法求和，即可得解.

本题考查了数列的递推式以及错位相减法求和的问题，属于中档题.

16.【答案】詈

【解析】解：该几何体的直观图如下图所示，

分别取AC,BC的中点0,M,连接。M,PM,

•••PO=2,OM=4,PM=7PB2-BM2=V24-4=2炳,

2

0P2+0M2=PM,OP10M,

又•；P。1AD,所以由线面垂直的判定定理得出P。_L平面4BCD,

以点。为坐标原点，建立空间直角坐标系，

4(2,0,0),B(2,4,0),<7(-2,4,0),0(-2,0,0),P(0,0,2),

设四棱锥P-ABC。外接球的球心N(0,2,a),

•••PN=NA,.-.4+(2-a)2=4+4+a2,解得a=0,

设平面PBC的法向量为元=(x,y,z),

PB=(2,4,-2),PC=(-2,4,-2),/VP=(0,—2,2),

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则(而-n=x4-2y—z=0

{PC-n=-x4-2y—z=0

取z=2,则运=(0,1,2),

四棱锥P-4BCD外接球的球心到面PBC的距离为:

(/=|称卜际伍,而〉|=|而|,|尚需|=专=当，

又|而|=2近，所以平面PBC所截的圆的半径「=Ji衲2_d2=靠,

所以平面P8C所截的圆面的面积为■=等.

故答案为：子.

先由线面垂直判定定理证明P。L平面4BCD,进而建立空间直角坐标系，根据球心的性

质列出方程得出球心坐标，再求出平面PBC的法向量，最后由向量法得出四棱锥P-

4BCD外接球的球心到面PBC的距离，再计算出半径即可求解.

本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题.

17.【答案】解：(l)TsinG4+C=8sin2g,4+C=TI■—B,

:.sinB=4(1—cosB),

•:sin2^+COS2F=1,

・•・16(1—COSB)2+COS2B=1,

:.17coszB-32cosB+15=0,

A(17cosB-15)(cos8-1)=0,

・・・B为三角形内角，则cosBWl,

r»15

**•COSD—.

17

(2)由(1)可得=\/l—cos2B=—,

17

,:S»ABC=lac-sinB=2,

17

：•ac=一,

2

・,・由余弦定理可得：

b2=a2-Vc2—2ac•cosB

°91715

=a2+cz—2x—x—

217

=a2+c2-15

=(a+c)2—2ac—15

=36-17-15=4,

b=2.

【解析】本题考查了三角形的内角和定理，降嘉公式，三角形的面积公式，余弦定理,

属于中档题.

(1)利用三角形的内角和定理可知A+C=兀-8,再利用诱导公式化简sin(A+C),利

用降新公式化简8sin2结合si/B+cos28=1,求出cosB.

(2)由(1)可得sinB=蒋，利用三角形面积公式求出ac的值，再利用余弦定理变形即可求

出b.

18.【答案】(I)证明：在图①中，因为4B=BC=2,40=4,E是4。的中点,484。=],

故四边形ABCE为正方形，所以BE1AC,

即在图②中，BE10Ax,BE10C,乂。4nOC=O,

所以BE_L平面40C.

又BC//DE,BC=DE,所以四边形BCCE是平行四边形，

所以CD〃BE,所以CD1平面40C.

(H)解：由已知，平面4BE1平面BCCE,又由(1)知，BE10AT,BE1OC,

所以4410c为二面角4一BE-C的平面角，所以0C1。&,

如图所示，以。为原点，分别以OB,0C,。a所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角

坐标系.

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4式0,0,V2),B(V2,0,0),C(0,V2,0),。(一2夜,近,0E(-V2,0,0),

设平面&BC的一个法向量为4=(x,y,z),A^B=(夜,0,-夜)，砧=(0,V2,-V2)-

fn7-AB-V2x-y/2z

A，令z=1,■■x=1,y=1,

(n7-AXC=V2y—V2z=0

故平面4BC的一个法向量为4=(1,1,1),

设平面4CE的一个法向量为荻=(xi.yi.Zi).EC=(V2,V2,0),^7?=(0,V2,-V2).

.风・正=g1+何1=0令—•xv-1

,

"U.^C=V2y1-V2z1=0"一1，-』—1，月一1，

平面&CE的一个法向量为雨=(一W)，

设二面角B-&C-E的平面角为。，

从而|cos8|=|cos阮，初|=|高落l=^h=?

由图得二面角为钝角，

故二面角B-&C-E的余弦值为一也

【解析】(I)根据线面垂直的判定定理，先证明BE,平面40C,再根据CD〃BE,即可

证明结论；

(口)根据题意建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而求得相关向量的坐标，然

后求出平面4BC和平面&CE的法向量，根据向量的夹角公式求得答案.

本题主要考查线面垂直的证明，空间向量及其应用，二面角的计算等知识，属于中等题.

19•【答案】解：(1)①〃=40xW+50x怒+60X焉+70X芸+80X芸+90X

缶=61；

@8=V198=14,

P(19<f<103)=0.9974,P(47<f<75)=0.6826,

P(f<19或f>47)=-1-0-.9-9-7-4+,(1---0-.6-8-2-6、=0.8426,

2I2，

(2)P(f<M)=P(f>M)=p

X=30,50,60,80,100,

P(X=30)=ix|=A,P(x=50)=ix|=l,P(X=60)="|X|=。

P(X=80)=：x(|x|+|x|)=*P(X=100)=1x|x|=^

X30506080100

31962

p

To5502525

31962

EX=30x-+50x-+60x-+80x-+100x-=57.

【解析】(1)①根据题意以及平均数的计算规则即可解出；②根据正态分布的性质即可

直接计算；

(2)根据题意分析可知随机变量的可能取值为30,50,60,80,100,分别解出对应的

概率即可解出.

本题考查了统计与概率，分布列，数学期望，学生的数学运算能力，属于基础题.

20.【答案】解：(1)由已知得抛物线的方程为/=—4y,则其焦点为(0,-1),

・焦点就是椭圆短轴的一个端点，二6=1.

•••椭圆的离心率与抛物线的离心率之比为逅，.••椭圆的离心率e

2

即次=§==1—与=之,解得02=%=3,

a2a2a24

2

则椭圆C的方程为?+y2=1.

(2)设MQi，%),/V(x2,y2),G(Xi，0),直线，的方程为y=kx+m(/c>0),

代入椭圆方程亍+y2=1并化简得：(4k2+l)x2+8kmx+4m2—4=0,

依题意得4=16(4/c2+1-巾2)>o,化简得血2<4k2+1①,

8km4m2-4

且/+x=—;—,XX=—；—

24k2+11乙24k2+1

22

yry2=(fc%1+m)(fcx2+M)=kxrx2+kmg+x2)+m.

由(4而-9OG)•ON=0得(-5%1，4%)•(%2，丫2)=-5x1x2+4yly2=°，

2

即4々2%]%2+4km(xt+x2)+4m-5xTx2=0,

□11.•7L、4T?I^—4..—8km,.7八

BP(z4k2—5)x----F4kmx----F4m2=0,

'J4fc2+l4k2+1

即(41—5)(m2—1)—8k2m2+m2(4k2+1)=0,

第18页，共22页

化简得血2+/=3②，

由①②可得高52.,

22

丫|MN|=y/k+1|%1—x2\=y/k+1x"6(4：广±_2

J16(5k2-;)

2

y/k2+1X=7k2+1X2V20fc-l,

4k2+14k2+l

又原点。到直线l的距离d=晨,

C…”」1八2,v2,20H-lIml1l(20fc2-l)(5-4fc2)

AS.0MN=-MNd=7k24-1X——-——x-4==---,广，―

AOM/V21124k2+lVfc2+12勺(4k2+l)2

令4k2+i=te(|,6],贝叶e&,|),

ocoo

即SAOMN=:产衿=/36行+36X»5=3cp法，

则当f=才即k=]时，（SAOMN）max=1，又SAOMN＞。,

OMN面积的取值范围是（0,1].

【解析】⑴求出抛物线的焦点即可得b=1,由椭圆的离心率为当可得1-5=点即可

求出。2=4,故即可求得椭圆的方程；

（2）设出直线I的方程及其直线与椭圆C交点M,N的坐标，将椭圆方程与直线方程联立消

去y即可得到关于％的一元二次方程，由4＞0可得＜4k2+1,利用韦达定理求出两

根之和、两根之积、y,2的表达式，利用向量垂直的坐标式可得-5x62+4%丫2=0,

代入化简即可得到/+1=：,即可求出白＜k2＜{,利用三角形的面积公式，用1表

4204

示出A0MN的面积，即可求得SAOMN的取值范围.

本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥

曲线中的范围与最值问题等知识，属于中等题.

21.【答案】(12分)

解：(1)由题可知：W(x)=xlnx—x-ex~e+ex~e=xlnx—x,■■/'(x)=1+Inx—1=

Inx

由W‘(x)>0=x>1,"(x)<0=>0<x<l.

••.S(x)在(0,1)为减函数，在(1,+8)增函数，

9(x)的最小值为9(1)=

-1......................................................(4分)

(2)(i)由题F(x)=/(x)+g[x}=xlnx-x-|ax2+a,定义域为(0,+oo).

则尸'(x)=1+Inx—1—ax-Inx—ax,由题可得F'(x)=Inx—ax—。有两个不等实数

根.

于是a=等有两个不同的实数根，等价于函数y=a与h(x)=等图象在(。,+8)有两个

不同的交点，

•••〃(x)=1]厂,由九'(x)>0=0<x<e,由/f(x)<0=>x>e,

所以h(x)在(0,e)递增，在(e,+8)递减，

又九(1)=0,/i(x)有极大值为/i(e)=[,当+8时，-0,所以可得函数/i(x)的

草图(如图所示).

所以，要使函数y=a与八。)=手图象在(0,+8)有两个不同的交点，当且仅当ae

(0,;).............(8分)

(it)由(i)可知：&是方程F'(%)=-a%=0的两个实数根，且1<%1<0<x2・

则(伍无1=axi=Q=也为-［眸_

AJxx

l/nx2=Q%2.i-2

In—八

..............................................................................(9分)

Xl-X2

由于<?■,两边取自然对数得入一仇<Alnx2-1=2+1<lnx1+Xlnx2=axr4-

aAx2f

in阻声+孙rA

BPA4-1<Q(%I+AX)=——(%i+Ax)=①百———,

25一如2牛1

令葭=tE(0,1),则入+i<出当匹在1E(o,i)恒成立.

所以"t-U(：T)<0在tG(0,1)恒成

立..........................................(11分)

令Mt)=int-^pde(0,1)),则〃⑴=:翳=

①当；12N1即;IN1时,h'(t)>0,h(t)在(0,1)递增,所以九(t)</i(l)=0恒成立,满

足题意.

第20页，共22页

②当0<2<1时，h(t)在(0,»)递增,在(",1)递减,

所以,当xe