高中文科数学高频考点与核心归纳：导数在函数中的应用

导数在函数中的应用-2-一、导数与函数的单调性、极值、最值-4-命题热点一命题热点二命题热点三利用导数讨论函数的单调性【思考】

函数的导数与函数的单调性具有怎样的关系?例1设函数f(x)=ax2-a-lnx,,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,g(x)>0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.-5-命题热点一命题热点二命题热点三-6-命题热点一命题热点二命题热点三-7-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思利用函数的导数研究函数的单调性的一般步骤:(1)确定函数的定义域.(2)求导数f'(x).(3)①若求单调区间(或证明单调性),只需在函数y=f(x)的定义域内解(或证明)不等式f'(x)>0或f'(x)<0;②若已知y=f(x)的单调性,则转化为不等式f'(x)≥0或f'(x)≤0在单调区间上恒成立问题求解.-8-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练1函数y=x2-lnx的单调递减区间为(

)A.(-1,1] B.(0,1]C.[1,+∞) D.(0,+∞)由y'≤0,解得-1≤x≤1,且x≠0.又x>0,∴0<x≤1.故选B.-9-命题热点一命题热点二命题热点三利用导数求函数的极值或最值【思考】

函数的极值与导数有怎样的关系?如何求函数的最值?例2已知函数

,a∈R.(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x-a)cosx-sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.-10-命题热点一命题热点二命题热点三解

(1)由题意f'(x)=x2-ax,所以当a=2时,f(3)=0,f'(x)=x2-2x,所以f'(3)=3,因此曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程是y=3(x-3),即3x-y-9=0.(2)因为g(x)=f(x)+(x-a)cos

x-sin

x,所以g'(x)=f'(x)+cos

x-(x-a)sin

x-cos

x=x(x-a)-(x-a)sin

x=(x-a)(x-sin

x).令h(x)=x-sin

x,则h'(x)=1-cos

x≥0,所以h(x)在R上单调递增.因为h(0)=0,所以当x>0时,h(x)>0;当x<0时,h(x)<0.-11-命题热点一命题热点二命题热点三①当a<0时,g'(x)=(x-a)(x-sin

x),当x∈(-∞,a)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(a,0)时,x-a>0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(0,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=a时g(x)取到极大值,极大值是g(a)=-a3-sin

a,当x=0时g(x)取到极小值,极小值是g(0)=-a.②当a=0时,g'(x)=x(x-sin

x),当x∈(-∞,+∞)时,g'(x)≥0,g(x)单调递增;所以g(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增,g(x)无极大值也无极小值.-12-命题热点一命题热点二命题热点三③当a>0时,g'(x)=(x-a)(x-sin

x),当x∈(-∞,0)时,x-a<0,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(0,a)时,x-a<0,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(a,+∞)时,x-a>0,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以当x=0时g(x)取到极大值,极大值是g(0)=-a;当x=a时g(x)取到极小值,极小值是g(a)=-a3-sin

a.综上所述:当a<0时,函数g(x)在区间(-∞,a)和(0,+∞)内单调递增,在区间(a,0)内单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(a)=-a3-sin

a,极小值是g(0)=-a;当a=0时,函数g(x)在区间(-∞,+∞)内单调递增,无极值;当a>0时,函数g(x)在区间(-∞,0)和(a,+∞)内单调递增,在区间(0,a)内单调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是g(0)=-a,极小值是g(a)=-a3-sin

a.-13-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思1.对于函数y=f(x),若在点x=a处有f'(a)=0,且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则当x=a时f(x)有极小值f(a);若在点x=b处有f'(b)=0,且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则当x=b时f(x)有极大值f(b).2.求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.-14-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练2已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间

上的最大值和最小值.解

(1)因为f(x)=excos

x-x,所以f'(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,f'(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.(2)设h(x)=ex(cos

x-sin

x)-1,则h'(x)=ex(cos

x-sin

x-sin

x-cos

x)=-2exsin

x.-15-命题热点一命题热点二命题热点三利用导数求与函数零点有关的参数范围【思考】

如何利用导数求与函数零点有关的参数的取值范围?例3设函数f(x)=

-klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,

]上仅有一个零点.-16-命题热点一命题热点二命题热点三-17-命题热点一命题热点二命题热点三-18-命题热点一命题热点二命题热点三题后反思与函数零点有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊点,从而判断函数的大致图象,讨论其图象与x轴的交点个数问题(或者转化为两个熟悉函数的交点问题),进而确定参数的取值范围.-19-命题热点一命题热点二命题热点三对点训练3(2018天津,文20)设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若d=3,求f(x)的极值;(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6

有三个互异的公共点,求d的取值范围.解

(1)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f'(x)=3x2-1.因此f(0)=0,f'(0)=-1.又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f'(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.-20-命题热点一命题热点二命题热点三-21-命题热点一命题热点二命题热点三-22-命题热点一命题热点二命题热点三-23-规律总结拓展演练1.求函数f(x)的单调递增区间,可转化为求不等式f'(x)>0的解集;若f(x)在M上单调递增,则f'(x)≥0在M上恒成立.2.f(x)在区间A上单调递减与f(x)的单调递减区间为A不同,当f(x)在区间A上单调递减时,A可能是f(x)的单调递减区间的一个真子集.若f(x)的单调递减区间为[m,n],则在x=m(x=n)两侧导数值异号,f'(m)=0(f'(n)=0).3.求可导函数极值的步骤:(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f'(x);(3)求f'(x)=0在定义域内的根;(4)判定根两侧导数的符号;(5)下结论.要注意函数的极值点对应的导数为0,但导数为0的点不一定是函数的极值点,必须导数为0的点的左右附近对应的导数异号.-24-规律总结拓展演练4.求函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值,首先求出各极值及区间端点处的函数值;然后比较其大小,得结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).5.对于研究方程根的个数的相关问题,利用导数这一工具和数形结合的数学思想就可以很好地解决.这类问题求解的通法是:(1)构造函数,并求其定义域;(2)求导数,得单调区间和极值点;(3)画出函数草图;(4)数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.-25-规律总结拓展演练1.已知x0是函数f(x)=2sinx-πlnx(x∈(0,π))的零点,且x1<x2,则①x0∈(1,e);②x0∈(e,π);③f(x1)-f(x2)<0;④f(x1)-f(x2)>0,其中正确的为(

)A.①③ B.①④C.②③ D.②④B解析

因为f(1)=2sin

1-πln

1=2sin

1>0,f(e)=2sin

e-π<0,所以x0∈(1,e),即①正确.综上可知,当x∈(0,π)时,f