2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷含答案

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知直线的方程为x﹣y+1＝0，则该直线的倾斜角为（）A．π6 B．π4 C．2π32．（5分）“m＝4”是“2，m，8成等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知等差数列{an}中，a2+a7＝18，则数列{an}的前8项和S8等于（）A．42 B．50 C．72 D．904．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，A．12a→+C．12a→5．（5分）已知直线l的方向向量是a→=（3，﹣2，1），平面α的法向量是μ→=（1，2，1），则A．l⊥α B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α6．（5分）已知两条异面直线的方向向量分别是m→=(1，-2，3)，n→A．sinθ=914 B．sinθ=14 C．7．（5分）已知点P是抛物线x2＝4y上的一个动点，则点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（）A．172 B．3 C．25 8．（5分）直线y＝kx交椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，PA，PBA．35 B．34 C．3二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列四个选项中，正确的是（）A．数列1，0，1，0，⋯与数列0，1，0，1，⋯是同一数列 B．数列的图象是一群孤立的点 C．数列13，25，37，4D．若数列{an}的前n项和Sn＝n2+2n+1，则a3＝7（多选）10．（5分）已知双曲线C：x29A．实轴长为6 B．焦距为5 C．离心率为43D．焦点到渐近线的距离为4（多选）11．（5分）在平面上，动点M与两定点A，B满足|MA|＝λ|MB|（λ＞0且λ≠1），则M的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆．已知动点M（x，y）与两定点A（﹣3，0），B（0，0）满足|MA|＝2|MB|，记M的轨迹为圆C．则下列结论正确的是（）A．.圆C方程为：（x﹣1）2+y2＝4 B．.过点P（0，3）作圆C的切线，则切线长是6 C．.过点Q（0，3）作圆C的切线，则切线方程为x-3D．.直线（m+1）x﹣my﹣（2m+2）＝0（m∈R）与圆C相交于A，B两点，则|AB|的最小值是23（多选）12．（5分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．直线EF与AC所成的角为60° B．直线A1G与平面ABCD所成的角为60° C．直线A1G与平面AEF平行 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知空间向量a→=(1，2，0)，b→=(-2，1，3)14．（5分）已知直线3x+4y﹣3＝0与6x+my+1＝0互相平行，则它们之间的距离是．15．（5分）在数列{an}中，2an+1=1an+1an+2，a1＝1，a2=12，则a1a16．（5分）已知实数x，y满足(x+7)2+y2+四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求出满足下列条件曲线的方程：（1）求焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆的标准方程；（2）经过点A（1，2）的等轴双曲线的标准方程．18．（12分）（1）在等差数列{an}中，a1+a3＝5，a2+a4＝10，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）在等比数列{bn}中，b1+b3＝5，b2+b4＝10，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn．19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（1，2），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若OA⊥OB，求证：直线AB过x轴上一定点．20．（12分）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an+1＝2an﹣1．（1）求证：{an﹣1}是等比数列；（2）若bn=3n-2an-1，记数列{bn}的前n项和为21．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形BDEF为平行四边形，FA＝FC，AB＝2，∠DAB＝60°．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）若FB＝FD，平面AEF与平面ABF的夹角为45°，求点B到平面AEF的距离．22．（12分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两焦点F1（﹣1，0），F2（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点F1作不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与y轴负半轴交于点Q，若点Q的纵坐标的最大值为-18，求|

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知直线的方程为x﹣y+1＝0，则该直线的倾斜角为（）A．π6 B．π4 C．2π3【解答】解：直线x﹣y+1＝0的斜率k＝1，设其倾斜角为θ（0°≤θ＜180°），∴tanθ＝1，得θ=π故选：B．2．（5分）“m＝4”是“2，m，8成等比数列”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：若2，m，8成等比数列，则m2＝16，解得m＝±4，故“m＝4”是“2，m，8成等比数列”的充分不必要条件，故选：A．3．（5分）已知等差数列{an}中，a2+a7＝18，则数列{an}的前8项和S8等于（）A．42 B．50 C．72 D．90【解答】解：根据题意，等差数列{an}中，a2+a7＝18，则S8=(故选：C．4．（5分）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，A．12a→+C．12a→【解答】解：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，故DO→故选：B．5．（5分）已知直线l的方向向量是a→=（3，﹣2，1），平面α的法向量是μ→=（1，2，1），则A．l⊥α B．l∥α C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α【解答】解：直线l的方向向量是a→=（3，﹣2，1），平面α的法向量是∵a→∴则l与α的位置关系是l∥α或l⊂α．故选：D．6．（5分）已知两条异面直线的方向向量分别是m→=(1，-2，3)，n→A．sinθ=914 B．sinθ=14 C．【解答】解：两条异面直线的方向向量分别是m→=(1，-2，3)，∴cos＜m∴这两条异面直线所成的角θ满足cosθ=9sinθ=1-(故选：C．7．（5分）已知点P是抛物线x2＝4y上的一个动点，则点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（）A．172 B．3 C．25 【解答】解：已知抛物线方程为x2＝4y，则抛物线的焦点F的坐标为（0，1），又42＞4×3，即点B（4，3）在抛物线外部，由抛物线的定义可得：点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离等于|PB|+|PF|，又|PB|+|PF|≥|BF|=(4-0)2+(3-1)2=2即点P到点B（4，3）的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为25故选：C．8．（5分）直线y＝kx交椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)于A，B两点，P为椭圆上异于A，B的点，PA，PBA．35 B．34 C．3【解答】解：设P（x0，y0），则由P在椭圆上可得y02=a2∵直线AP与BP的斜率之积为-16∴y02把①代入②化简可得b2a2=1625故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。（多选）9．（5分）下列四个选项中，正确的是（）A．数列1，0，1，0，⋯与数列0，1，0，1，⋯是同一数列 B．数列的图象是一群孤立的点 C．数列13，25，37，4D．若数列{an}的前n项和Sn＝n2+2n+1，则a3＝7【解答】解：根据数列项的有序性可知，A显然错误；由于n为正整数，即数列的图象是一群孤立的点，B正确；数列13，25，37，49，…分子为从1开始的连续正整数，分母为3开始，相差2的正整数，故其一个通项公式为an数若列{an}的前n项和Sn＝n2+2n+1，则a3＝S3﹣S2＝7，D正确．故选：BCD．（多选）10．（5分）已知双曲线C：x29A．实轴长为6 B．焦距为5 C．离心率为43D．焦点到渐近线的距离为4【解答】解：已知双曲线C：x则a＝3，b＝4，c=9+16对于选项A，双曲线的实轴长为6，即选项A正确；对于选项B，双曲线的焦距为10，即选项B错误；对于选项C，双曲线的离心率为53即选项C错误；对于选项D，双曲线的焦点到渐近线的距离为43即选项D正确．故选：AD．（多选）11．（5分）在平面上，动点M与两定点A，B满足|MA|＝λ|MB|（λ＞0且λ≠1），则M的轨迹是个圆，这个圆称作为阿波罗尼斯圆．已知动点M（x，y）与两定点A（﹣3，0），B（0，0）满足|MA|＝2|MB|，记M的轨迹为圆C．则下列结论正确的是（）A．.圆C方程为：（x﹣1）2+y2＝4 B．.过点P（0，3）作圆C的切线，则切线长是6 C．.过点Q（0，3）作圆C的切线，则切线方程为x-3D．.直线（m+1）x﹣my﹣（2m+2）＝0（m∈R）与圆C相交于A，B两点，则|AB|的最小值是23【解答】解：设M（x，y），由题意可得(x+3)2+整理可得：（x﹣1）2+y2＝4，即M的轨迹为圆心M（1，0），半径r＝2的圆，所以A正确；B中，因为|PM|=12+32=10C中，因为（0﹣1）2+（3）2＝4，即Q在圆上，kQM=3所以过Q的切线的斜率为-1所以切线方程为：y-3=33x，即x-D中，直线AB：（m+1）x﹣my﹣（2m+2）＝0（m∈R）整理可得：m（x﹣y﹣2）+x﹣2＝0，则直线AB过x﹣y﹣2＝0与x﹣2＝0的交点E（2，0），即直线恒过E（2，0），而此点在圆内，所以直线AB与圆有两个交点，当ME与直线AB垂直时，弦长|AB|最小，|ME|＝1，此时|AB|＝2r2-|ME|2=24-1故选：ABD．（多选）12．（5分）如图所示，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．直线EF与AC所成的角为60° B．直线A1G与平面ABCD所成的角为60° C．直线A1G与平面AEF平行 D．平面AEF截正方体所得的截面面积为9【解答】解：对于A：连接A1C1，A1B，C1B，由E，F分别为BC，CC1的中点，可得BC1∥EF，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得A1C1∥AC，所以∠A1C1B为异面直线直线EF与AC所成的角，由△A1C1B为等边三角形，所以可得直线EF与AC所成的角为60°，故A正确；对于B：取AA1的中点为M，连接MB，因为G是BB1的中点，可得四边形MBGA1为平行四边形，所以A1G∥MB，因为AA1⊥平面ABCD，所以直线A1G与平面ABCD所成的角为∠MBA，其中tan∠MBA=12，所以∠MBA≠60°，所以对于C：如图所示，取B1C1的中点Q，连接AQ，GQ，由GQ∥EF，且GQ⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GQ∥平面AEF，同理可证：A1Q∥平面AEF，因为GQ∩A1Q＝Q，且GQ，A1Q⊂平面A1GQ，平面A1GQ∥平面AEF，又因为A1G⊂平面A1GQ，所以A1G∥平面AEF，所以C正确；对于D：因为E，F为BC，C1C的中点，所以EF∥BC1，因为AD1∥BC1，所以EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，所以截面即为等腰梯形AEFD1，因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，可得EF=22，AD1=则高为h=(所以梯形的面积为S=12⋅(故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）已知空间向量a→=(1，2，0)，b→=(-2，1，3)【解答】解：由于空间向量a→=(1，2，0)，b→故答案为：（5，0，﹣6）．14．（5分）已知直线3x+4y﹣3＝0与6x+my+1＝0互相平行，则它们之间的距离是710【解答】解：直线3x+4y﹣3＝0与6x+my+1＝0分别化为：y=-34x+∵直线3x+4y﹣3＝0与6x+my+1＝0互相平行，∴-6解得m＝8，直线6x+my+1＝0即3x+4y+1∴它们之间的距离d=|-3-故答案为：71015．（5分）在数列{an}中，2an+1=1an+1an+2，a1＝1，a2=12，则a1a2+【解答】解：在数列{an}中，2an+1=1an可得{1an}是首项为1，公差为则1an=1+n﹣1＝n，即a所以anan+1=1所以a1a2+a2a3+⋯+a2022a2023＝1-12+12故答案为：2022202316．（5分）已知实数x，y满足(x+7)2+y2+(x-7【解答】解：因为实数x，y满足(x+7即点P（x，y）到点F1（-7，0）与到点F2（7又因为27=所以点P（x，y）的轨迹是以F1（-7，0），F2（7所以2a＝8，a＝4，c=7，b2＝a2﹣c2所以椭圆的方程为x2而|3x﹣4y﹣24|表示椭圆x216+y2设M（4cosθ，3sinθ）（θ∈R）为椭圆x216+y29=1上的任意一点，且点M则d=|12cosθ-12sinθ-24|所以当cos（θ+π4）＝﹣1时，d取最大值为所以此时|3x﹣4y﹣24|最大值为122+故答案为：122+四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）求出满足下列条件曲线的方程：（1）求焦点在x轴上，长轴长为4，短轴长为2的椭圆的标准方程；（2）经过点A（1，2）的等轴双曲线的标准方程．【解答】解：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，且长轴长为4，短轴长为2，∴2a＝4，2b＝2，∴a＝2，b＝1，∴椭圆的方程为：x24+（2）设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为x2﹣y2＝λ（λ≠0），将点A（1，2），代入可得12﹣22＝λ，∴λ＝﹣3，∴方程为x2﹣y2＝﹣3，即y218．（12分）（1）在等差数列{an}中，a1+a3＝5，a2+a4＝10，求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）在等比数列{bn}中，b1+b3＝5，b2+b4＝10，求数列{bn}的通项公式及前n项和Tn．【解答】解：（1）由题意，设等差数列{an}的公差为d，则a1整理，得2a解得a1∴an＝0+52•（n﹣1）=52n-5Sn＝n•0+n(n-1)2•52=5（2）由题意，设等比数列{bn}的公比为q，则b1即b1解得b1∴bn＝1•2n﹣1＝2n﹣1，n∈N*，Tn=1-2n19．（12分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）经过点P（1，2），O为坐标原点，A，B是抛物线C上异于O的两点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）若OA⊥OB，求证：直线AB过x轴上一定点．【解答】解：（1）由抛物线C：y2＝2px经过P（1，2）知，2p＝4，解得p＝2，所以抛物线C的方程为：y2＝4x，所以抛物线C的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1；（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设A（n24，n），B（n2因为OA⊥OB，所以OA→•OB→=n416此时AB的方程为x＝4，过x轴上的（4，0）点；②当直线AB的斜率存在时且不为0，设其方程：x＝ty+m，m≠0，设A（x1，y1），B（x1，y1），联立x=ty+my2=4x，整理可得：y2﹣4ty﹣4m＝0，Δ＝16t2+16m＞0，即t2y1y2＝﹣4m，x1x2=(y1因为OA⊥OB，即OA→•OB→=x1x2+y1y1＝m2﹣4m即直线AB的方程为：x＝ty+4，可证得直线AB过定点（4，0）．20．（12分）已知数列{an}的首项a1＝3，且满足an+1＝2an﹣1．（1）求证：{an﹣1}是等比数列；（2）若bn=3n-2an-1，记数列{bn}的前n项和为【解答】证明：（1）由an+1＝2an﹣1，变形为an+1﹣1＝2（an﹣1），a1﹣1＝2，∴数列{an﹣1}是等比数列，首项为2，公比为2．（2）由（1）可得：an﹣1＝2n，∴bn=3n-2an∴数列{bn}的前n项和Mn=12+4×122+12Mn=122+4×123+⋯+相减可得12Mn=12+3（122+123+⋯+化为Mn＝4-3n+4∴Mn＜4．21．（12分）如图，四边形ABCD为菱形，四边形BDEF为平行四边形，FA＝FC，AB＝2，∠DAB＝60°．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）若FB＝FD，平面AEF与平面ABF的夹角为45°，求点B到平面AEF的距离．【解答】解：（1）证明：设AC与BD相交于O点，连接OF，∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，O为AC的中点，∵FA＝FC，∴AC⊥OF，又∵OF∩BD＝O，OF⊂平面BDEF，BD⊂平面BDEF，∴AC⊥平面BDEF；（2）连接DF，∵FB＝FD，O为BD中点，∴OF⊥BD，又∵AC⊥OF，AC∩BD＝0，∴OF⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，OA、OB、OF所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系．∴A(