2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元综合测试(附答案)

2021-2022学年人教版九年级数学下册《第27章相似》单元综合测试（附答案）一．选择题（共8小题，满分24分）1．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A． B． C． D．2．下列各组数中，不能组成比例的是（）A．2、4、4和8 B．0.3、6、0.2和4 C．2、5、7和15 D．、、和3．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（）A． B． C． D．4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1 B．：1 C．3： D．3：25．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2：6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（）A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）7．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④8．如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不能与△ABC相似的三角形（）A．△CEF B．△ADE C．△ACE D．△ACF二．填空题（共10小题，满分30分）9．已知＝＝，则＝．10．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝．11．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD＝90°且AB＝2AD，DC⊥l4，则四边形ABCD的面积是．12．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．13．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为．14．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为．15．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为米．16．如图，在△ABC中，AB＝4，D是边AB中点，∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE与线段CD交于点F，那么的值是．17．数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝米．18．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝．三．解答题（共9小题，满分66分）19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？21．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．22．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．23．如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C．求证：CD平分EF．24．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．25．如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长．26．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．27．△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）（3）在（2）的条件下，连接EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．

参考答案一．选择题（共8小题，满分24分）1．如图，在Rt△ABC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，AB＝10，BD＝6，则BC的值为（）A． B． C． D．解：根据射影定理得：AB2＝BD×BC，∴BC＝＝．故选：D．2．下列各组数中，不能组成比例的是（）A．2、4、4和8 B．0.3、6、0.2和4 C．2、5、7和15 D．、、和解：A、2×8＝4×4，能组成比例，故本选项不符合题意；B、4×0.3＝6×0.2，能组成比例，故本选项不符合题意；C、2×15≠5×7，不能组成比例，故本选项符合题意；D、×＝×，能组成比例，故本选项不符合题意．故选：C．3．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（）A． B． C． D．解：如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF＝，∴BE＝FH＝AB﹣AE＝，∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（×）：（1×）＝．故选：A．4．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1 B．：1 C．3： D．3：2解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝AB＝a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，∴（）2＝2，∴＝．故选：B．5．如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（）A．5：3 B．4：3 C．：2 D．2：解：∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，，∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，∵，∴△ACE∽△ABD，∴，∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，故选：A．6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为（）A．（6，4） B．（6，2） C．（4，4） D．（8，4）解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，∴＝，∵BG＝12，∴AD＝BC＝4，∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴＝，∴＝，解得：OA＝2，∴OB＝6，∴C点坐标为：（6，4），故选：A．7．如图，在三角形纸片中，∠A＝80°，AB＝6，AC＝8．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④解：①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似．故选：B．8．如图，在△ABC中，AC⊥CB，CD是AB边上中线，AE⊥CD于点E，延长AE交BC于点F，则图中不能与△ABC相似的三角形（）A．△CEF B．△ADE C．△ACE D．△ACF解：∵AC⊥CB，AE⊥CD，∴∠ACB＝∠AEC＝∠CEF＝90°，∵AD＝DB，∴CD＝DB＝DA，∴∠DCB＝∠B，∴△ECF∽△CBA，∵∠ACE+∠ECF＝90°，∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠ECF＝∠CAE，∴△ECF∽△EAC∽△CAF，∴△ABC与△ECF，△AEC，△ACF相似，故选：B．二．填空题（共10小题，满分30分）9．已知＝＝，则＝．解：设＝＝＝k，则x＝，y＝，z＝，所以＝＝＝，故答案为：．10．在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC．若AD＝2cm，DC＝4cm，则BD＝2cm．解：如图，∵BD⊥C，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，∠A+∠ABD＝90°，∴∠A＝∠CBD，∴△ADB∽△BDC，∴＝，∵AD＝2cm，CD＝4cm，∴BD2＝AD•CD＝2×4＝8，∵BD＞0，∴BD＝2（cm），故答案为：2cm．11．如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4∥l5，相邻两条平行直线间的距离相等且为1，如果四边形ABCD的四个顶点在平行直线上，∠BAD＝90°且AB＝2AD，DC⊥l4，则四边形ABCD的面积是9．解：延长DC交l5于点F，延长CD交l1于点E，作点B作BH⊥l1于点H，连接BD，∵DC⊥l4，l1∥l2∥l3∥l4∥l5，∴DC⊥l1，DC⊥l5，∴∠BHA＝∠DEA＝90°，∴∠ABH+∠BAH＝90°，∵∠BAD＝90°，∴∠BAH+∠DAE＝90°，∴∠ABH＝∠DAE，∴△BAH∽△ADE，∴＝，∵AB＝2AD，BH＝4，DE＝1，∴AE＝2，AH＝2，∴BF＝HE＝AH+AE＝2+2＝4，在Rt△ADE中，AD＝＝，∴AB＝2AD＝2，∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AB•AD+CD•BF＝×2×+×2×4＝9．故答案为：9．12．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．解：∵＝，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC＝a，∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC∴a2＝CE•a，2a2＝AE•a，∴CE＝，AE＝，∴＝，∵△CEF∽△AEB，∴＝（）2＝，故答案为：．13．在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是Rt△ABC，∠C＝90°，要截得的正方形EFGD的边FG在AB上，顶点E、D分别在边CA、CB上，如果AF＝4，GB＝9，那么正方形铁皮的边长为6．解：根据题意知，∠AFE＝∠BDG＝∠C＝90°，∴∠A＝BDG（同角的余角相等）．∴△AEF∽△DBG，∴＝．又∵EF＝DG，AF＝4，GB＝9，∴＝．∴EF＝6．即正方形铁皮的边长为6．故答案是：6．14．如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为（﹣，2）．解：把△ABC向下平移1个单位得到A点的对应点的坐标为（1，﹣2），点（1，﹣2）以原点为位似中心，在位似中心两侧的对应点的坐标为（﹣，1），把点（﹣，1）先上平移1个单位得到（﹣，2），所以D点坐标为（﹣，2）．故答案为（﹣，2）．15．如图，身高1.8米的小石从一盏路灯下B处向前走了8米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE长是2米，则路灯的高AB为9米．解：由题意知，CE＝2米，CD＝1.8米，BC＝8米，CD∥AB，则BE＝BC+CE＝10米，∵CD∥AB，∴△ECD∽△EBA∴＝，即＝，解得AB＝9（米），即路灯的高AB为9米；故答案为：9．16．如图，在△ABC中，AB＝4，D是边AB中点，∠ACD＝∠B，∠BAC的角平分线AE与线段CD交于点F，那么的值是．解：∵∠ADF＝∠B+∠BCD，∠ACE＝∠BCD+∠ACD，∠B＝∠ACD，∴∠ADF＝∠ACE，∵∠DAF＝∠CAE，∴△ADF∽△ACE，∴＝，∵∠CAD＝∠BAC，∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AC＝2，∴＝＝，故答案为．17．数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB，准备了标杆CD，EF及皮尺，按如图竖直放置标杆CD与EF．已知CD＝EF＝2米，DF＝2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在EF上留下的影子为G，标杆EF在地面上的影子是FH，测得FG＝0.5米，FH＝4米，则路灯的高度AB＝5米．解：如图，延长CG交FH于M，∵∠GMF＝∠CMD，∠GFM＝∠CDM＝90°，∴△GFM∽△CDM，∴，设FM为a米，则a＝（a+2）×，解得：a＝，设BD＝x米，AB＝y米，同理可得，△CMD∽△AMB，∴，，可得，，整理得：，解得：，经检验是分式方程组的解，∴AB＝5米．故答案为：5．18．如图，P为平行四边形ABCD边BC上一点，E、F分别为PA、PD上的点，且PA＝3PE，PD＝3PF，△PEF、△PDC、△PAB的面积分别记为S、S1、S2．若S＝2，则S1+S2＝18．解：∵PA＝3PE，PD＝3PF，∴＝＝，∴EF∥AD，∴△PEF∽△PAD，∴＝（）2，∵S△PEF＝2，∴S△PAD＝18，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△PAD＝S平行四边形ABCD，∴S1+S2＝S△PAD＝18，故答案为18．三．解答题（共9小题，满分66分）19．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．（1）求证：BD2＝BA•BE；（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．证明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，∴△ABD∽△DBE，∴，∴BD2＝BA•BE；（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA•BE，∴BD＝4，∴DE＝＝＝4，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，∴∠ABD＝∠CDE，∴∠CDE＝∠DBC，又∵∠C＝∠C，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴EC＝4，CD＝4．方法二、∵sin∠DBE＝＝＝，∴∠DBE＝30°，∴∠ABD＝∠DBE＝30°，∴∠C＝30°，∴∠C＝∠DBC，∴BD＝CD，∵∠ABD＝30°，∴cos∠ABD＝＝∴BD＝4，∴CD＝4．20．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成矩形零件，使一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上．（1）若这个矩形是正方形，那么边长是多少？（2）当PQ的值为多少时，这个矩形面积最大，最大面积是多少？解：（1）设边长为xmm，∵矩形为正方形，∴PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，∵AD⊥BC，∴AD⊥PQ，∴＝，∴＝，解得PQ＝48；答：若这个矩形是正方形，那么边长是48mm；（2）设PQ＝x∵＝，∴＝，∴PN＝80﹣x，∴S四边形PQMN＝x（80﹣x）＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400，当PQ＝60时，S四边形PQMN的最大值＝2400mm2．21．如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．证明：∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC，∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，又∵∠A＝∠BPD，∴∠B＝∠APC，∴△APC∽△PBD．22．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引起一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且AD＝CD，求∠ACB的度数．（2）如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，找出CD与BD的关系．解：（1）当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．（2）结论：CD＝BD．理由：∵△BCD∽△BAC，∴＝，∴＝＝，∴CD＝BD．23．如图，AB为半圆直径，D为AB上一点，分别在半圆上取点E、F，使EA＝DA，FB＝DB，过D作AB的垂线，交半圆于C．求证：CD平分EF．证明：如图，分别过点E、F作AB的垂线，G、H为垂足，连FA、EB．易知：DB2＝FB2＝AB•HB，AD2＝AE2＝AG•AB．二式相减得：DB2﹣AD2＝AB•（HB﹣AG），或（DB﹣AD）•AB＝AB•（HB﹣AG）．于是：DB﹣AD＝HB﹣AG，或DB﹣HB＝AD﹣AG．∴DH＝GD．显然，EG∥CD∥FH．故CD平分EF．24．如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度DE＝3.5m，点F到地面的高度CF＝1.5m，灯泡到木板的水平距离AC＝5.4m，墙到木板的水平距离为CD＝4m．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．（1）求BC的长．（2）求灯泡到地面的高度AG．解：（1）由题意可得：FC∥DE，则△BFC∽BED，故，即，解得：BC＝3；（2）∵AC＝5.4m，∴AB＝5.4﹣3＝2.4（m），∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，∴∠FBC＝∠GBA，又∵∠FCB＝∠GAB，∴△BGA∽△BFC，∴＝，∴，解得：AG＝1.2（m），答：灯泡到地面的高度AG为1.2m．25．如图，正方形ABCD的边长为4，E是CD中点，点P在射线AB上，过点P作线段AE的垂线段，垂足为F．（1）求证：△PAF∽△AED；（2）连接PE，若存在点P使△PEF与△AED相似，直接写出PA的长2或5．（1）证明：在正方形ABCD中，∠D＝90°，CD∥AB，∴∠AED＝∠PAF，∵PF⊥AE，∴∠D＝∠PFA＝90°，∴△PAF∽△AED．（2）解：当PA＝PB＝2时，∵DE＝EC，AP＝PB，∴PE∥AD，此时∠DAE＝∠PEF，∠D＝∠PFE＝90°，可得△PEF∽△EAD．当∠AED＝∠PEF，∠D＝∠PFE时，△ADE∽△PFE，∵CD∥AB，∴∠AED＝∠EAP＝∠AEP，∴PA＝PE，∵PF⊥AE，∴AF＝FE，∵AD＝4，DE＝EC＝2，∠D＝90°，∴AE＝＝＝2，∴AF＝，∵△PAF∽△AED，∴＝，∴＝，∴PA＝5，综上所述，满足条件的PA的值为2或5．26．如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为